Cenni di analisi vettoriale

Cenni di analisi vettoriale

Antonino Polimeno

Universit`a degli Studi di Padova

Gradiente, divergenza, rotore - 1

Sia φ(x , y , z) una funzione in R³ o C³. Definiamo l’operatore gradientecome ilvettore operatore

∇ = x ∂

∂x + y ∂

∂y + z ∂

∂z

I Consideriamo d r = xdx + ydy + zdz (spostamento infinitesimale); allora

(∇φ) · d r = ∂φ

∂xdx + ∂φ

∂ydy +∂φ

∂zdz = d φ.

I Per una superficie φ = C , d φ = (∇φ) · d r = 0, quindi ∇φ `e perpendicolare alla superficie.

Esempio: F = −∇V (r) forza risultante da un campo di potenziale.

Se V = V (r ), F = r dV

dr (campo radiale).

Gradiente, divergenza, rotore - 2

Sia v(x , y , z) un campo vettoriale in R³ o C³. Definiamo la divergenzadel vettore come

∇ · v = ∂v_x

∂x + ∂vy

∂y +∂v_z

∂z

Esempio: equazione che lega la densit`a ρ(x , y , z, t) di un fluido alla velocit`a di flusso v(x , y , z, t)

∂ρ

∂t + ∇ · (ρv) = 0

il flusso netto che esce/entra in un volume dato risulta in un aumento/diminuzione della densit`a del fluido nel volume.

Si dicesolenoidaleun vettore che abbia divergenza nulla, ∇ · B = 0 (per esempio: B `e il campo di induzione magnetica nelle equazioni di Maxwell).

Gradiente, divergenza, rotore - 3

Sia v(x , y , z) un campo vettoriale in R³ o C³. Definiamo il rotore (curl) del vettore come

∇ × v =       

x y z

∂

∂x ∂

∂y ∂

∂z vx vy vz

= x ∂v_z

∂y −∂v_y

∂z



+ y ∂v_x

∂z −∂v_z

∂x



+ z ∂v_y

∂x − ∂v_x

∂y



Se il rotore di un vettore `e nullo, ∇ × v = 0, si dice che il vettore `e irrotazionale.

Gradiente, divergenza, rotore - 4

I ∇ · ∇φ = ∇²φ `e il laplaciano

∇²φ = ∂²φ

∂x² +∂²φ

∂y² +∂²φ

∂z²

I il gradiente di un campo `e irrotazionale

∇ × ∇φ = 0

I equazioni di Maxwell (nel vuoto)

∇ · B = 0

∇ · E = 0

∇ × B = ₀µ₀∂E

∂t

∇ × E = −∂B

∂t da cui per esempio deriva

∇²E = ₀µ₀∂²E

∂t²

Navier-Stokes equations

Per un fluido comprimibile newtoniano

∂ρ

∂t + ∇ · (ρv) = 0 ρ ∂v

∂t + v · ∇v



= −∇p + µ∇²v +µ

3∇(∇ · v) + ρg dove µ `e la viscosit`a dinamica, p `e la pressione (nell’ipotesi di trascurare correzioni dovute alla viscosit`a statica), g `e il vettore di accelerazioni esterne agenti sul fluido

Per un fluido incomprimibile ρ `e una costante e l’equazione per il flusso `e

∂v

∂t + v · ∇v = −1

ρ∇p + ν∇²v + g dove ν `e la viscosit`a cinematica

Integrazione

I Integrali di linea R

cφd r,R

cv · d r,R

cv × d r Z

c

φd r = x Z

c

φ[x , y (x ), z(x )]dx + y Z

c

φ[x (y ), y , z(y )]dy + z

Z

c

φ[x (z), y (z), z]dz Z

c

v · d r = Z

c

v_x[x , y (x ), z(x )]dx + Z

c

v_y[x (y ), y , z(y )]dy +

Z

c

vz[x (z), y (z), z]dz

I Integrali di superficieR

Sφd σ,R

Sv · d σ,R

Sv × d σ

I integrali di volumeR

V vdv

Due teoremi

I Teorema di Gauss: superficie ↔ volume Z

S

v · d σ = Z

V

∇ · vdv

la quantit`a netta di un fluido che esce/entra da un volume dato `e calcolato in funzione del comportamento del flusso sulla superficie che racchiude il volume.

I Teorema di Stokes : circuito ↔ superficie I

v · d λ = Z

S

∇ × vd σ

l’integrale di linea relativo ad un percorso chiuso (circuito) `e legato ad un integrale calcolato sulla superficie racchiusa dal circuito

Due applicazioni

I Legge di Gauss: dal teorema di Gauss applicato alle equazioni di Maxwell

∇ · E = ρ

0

dove ρ `e la densit`a di carica: la legge di Gauss lega la distribuzione di carica al gradiente del campo elettrico.

I Equazione di Poisson: poich`e E = −∇φ, dove φ `e un potenziale elettrico

∇²φ = −ρ

₀ per ρ = 0 troviamo l’equazione di Laplace

∇²φ = 0

Potenziale

Una forzaconservativasi ricava come gradiente negativo di un campo di potenziale

F = −∇φ

Quando possiamo dire che esiste una campo di potenziale, cio`e che un dato campo di forza `e conservativo? Usando il teorema di Stokes si trovano le due condizioni equivalenti

∇ × F = 0 I

F · d r = 0

vale a dire i) il campo di forza `e irrotazionale oppure ii) il lavoro calcolato lungo un circuito `e nullo.

Altri due teoremi

I Un vettore `e definito in modo univoco in un volume noto date i) la sua divergenza, ii) il suo rotore e iii) la sua componente normale alla superficie che racchiude il volume

∇ · V = s

∇ × V = c

con s densit`a di sorgente e c densit`a di corrente

I teorema di Helmholtz : se s e c tendono a zero per r → ∞, il vettore pu`o essere scritto come la somma di due parti, una irrotazionale e l’altra solenoidale

V = −∇φ + ∇ × A φ potenziale e A potenziale vettore