Esame da 6 CFU  Esame da 9 CFU  Esercizi (1) (6 punti

Prova scritta di ANALISI MATEMATICA I del 25/01/2019 Corso di laurea in INGEGNERIA EDILE-ARCHITETTURA

Docente: Christian Casalvieri

NOME ... COGNOME ...

MATRICOLA ...

Esame da 6 CFU  Esame da 9 CFU  Esercizi

(1) (6 punti ) - Determinare l’estremo superiore, l’estremo inferiore, gli eventuali punti di massimo e di minimo locale e gli eventuali asintoti della funzione f : R → R cos`ı definita:

f (x) = arctan x³+ 2x²
e disegnarne un grafico qualitativo.

(2) (6 punti ) - Calcolare, purch´e esista, il seguente limite:

n→+∞lim



1 + 7n + 3 n^5/2

n√ n

.

(3) (6 punti ) - Determinare i valori di x ∈ [0, 2π] per i quali converge la seguente serie:

∞

X

k=0

e^{k cos x}, x ∈ [0, 2π],

e per tali valori calcolarne la somma.

(4) (riservato all’esame da 9 CFU) (6 punti ) - Sia

f (t) =







−1 se t < 0 2t − 1 se t ≥ 0 .

Calcolare

F (x) = Z x

0

f (t)dt e disegnarne un grafico qualitativo.

Domande teoriche

(a) (riservato all’esame da 9 CFU) (1 punto) - La funzione F dell’esercizio (4) `e la pri- mitiva della funzione f ? Motivare la risposta.

(b) (3 punti ) - Enunciare il teorema di De L’Hospital.

(c) (2 punti ) - Ordinare per gerarchia di infinito crescente le seguenti successioni:

a_n = n²n!, b_n = (n!)², c_n = n10²⁰ⁿ, d_n = 3ⁿn!, e_n = 11ⁿ.

(d) (2 punti ) - Tra le seguenti funzioni indicare quelle pari, quelle dispari e quelle che non hanno simmetrie:

f₁(x) = x²sin(2x) + x, f₂(x) = x²sin(x³)3

,

f₃(x) = sin x cos x + log(1 + x²), f₄(x) = sin(x²) cos(x³) + 1.

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