CAPITOLO 6

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CAPITOLO 6

Modellazione e identificazione

di due convertitori operanti in parallelo

6.1 Introduzione

La tecnica di modellazione descritta nel paragrafo 2.4 viene qui applicata al caso di due convertitori uguali fra loro: i parametri ottenuti al capitolo 5 dalla identificazione del convertitore in esame vengono qui usati per descrivere la dinamica di due convertitori uguali a quello esaminato e operanti in parallelo. Si ottiene cosi un modello del sistema complessivo che deriva dall’identificazione del singolo convertitore. Viene poi presentata l’identificazione diretta del sistema dei due convertitori e la successiva fase di validazione del modello ottenuto. Il capitolo si conclude con il confronto tra il modello individuato in fase di modellazione e quello prodotto dalla identificazione.

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6.2 Modellazione

Ponendo N = 1 nella (2.43) e nella (2.44), e supponendo che le due unità siano perfettamente identiche si ha:

1 P =           ' ' ' ' ' ' i x x i v v G G G G G G ; P = 2           ' ' ' ' ' ' ' ' ' T Y Y T Y Y Z A A in x x in out s s (6.1) essendo: u = (vˆc₀, vˆc₁)T (6.2) n = T g in in v i vˆ , ˆ ,ˆ ) ( 1 0 (6.3) y = T in in out i i vˆ , ˆ , ˆ ) ( 1 0 (6.4)

Come visto al capitolo due, se i due convertitori sono uguali le espressioni 2.44 si semplificano e diventano quelle di 2.47 e 2.48 che qui riportiamo per comodità:

2 ' v v G G = ; A_s A_s 2 1 ' = ; 2 ' T T = ; 2 ' out out Z Z = ; (6.5) 2 ' ⋅ ⋅ − = out v i i Z G T G G ; out s in in Z A T Y Y ⋅ ⋅ − = 2 ' ; 2 ' ⋅ ⋅ = out v x Z G T G ; out s x Z A T Y ⋅ ⋅ = 2 '

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Sostituendo in 6.5 le espressioni ottenute identificando il sistema con singolo cnvertitore ed operando la semplificazione di modello (vedi tabella 5-14), si ricavano le funzioni di trasferimento di tabella 6-1. Si noti che le FdT sostituite hanno tutte lo stesso denominatore per cui si hanno ulteriori semplificazioni.

Tab. 6-1

Modellazione del sistema di 2 convertitori in parallelo derivata dal modello del singolo convertitore

-0.001122 s + 12.5 Gv ’ = --- 1.756e-006 s^2 + 0.0009275 s + 1 0.0002252 s^2 + 0.1175 s + 56.84 Gi ’ = --- 1.475e-008 s^3 + 1.467e-005 s^2 + 0.01203 s + 3.92 0.98 As’ = --- 1.756e-006 s^2 + 0.0009275 s + 1 1.498e-005 s^2 + 0.007539 s + 4.096 Yin’ = --- 1.475e-008 s^3 + 1.467e-005 s^2 + 0.01203 s + 3.92 -0.002099 s - 0.98 Zout’ = --- 1.756e-006 s^2 + 0.0009275 s + 1 0.98 T ‘ = --- 1.756e-006 s^2 + 0.0009275 s + 1 0.004396 s - 49 Gx’ = --- 1.475e-008 s^3 + 1.467e-005 s^2 + 0.01203 s + 3.92 -3.842 Yx’ = --- 1.475e-008 s^3 + 1.467e-005 s^2 + 0.01203 s + 3.92

6.3 Identificazione

6.3.1 Introduzione

Anche l’identificazione diretta del sistema di due convertitori, come quella del singolo convertitore, si avvale dei dati prodotti dal simulatore Pspice di OrDCAD 9.0: vengono misurate le risposte del sistema al segnale rumoroso di ingresso in un opportuno range di

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variazione e poi si applica l’algoritmo delle funzioni modulanti.. La figura 6-1 riporta lo schema Orcad-Capture usato nelle simulazioni.

Fig 6-1 Schema Orcad-Capture di due convertitori in parallelo

Definendo l’ingresso u, il disturbo n e l’uscita y come in 6.2, 6.3 e 6.4 rispettivamente, e supponendo il sistema lineare, occorre determinare le matrici di trasferimento M ed N t.c.

y = M u + N n (6.5) dove : M =           i G x G x G i G v G v G ; N =           T in Y x Y T x Y in Y out Z s A s A (6.6) avendo posto:

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1 0 c out c out v v v v v G = = ; 1 0 1 c in c ino i v i v i G = = ; 0 1 1 c in c ino x v i v i G = = ; (vin0 =vin0 =ig0 =ig1 =0) (6.7) 1 0 in out in out s v v v v A = = ; 1 1 0 0 in in in in in v i v i Y = = ; 1 0 0 1 in in in in x v i v i Y = = ; (vc0 =ig0 =vc1 =ig1 =0) (6.8) 1 0 / / g out g out out v i v i Z = = ; T =iin0/ig0 =iin1/ig1; (vc0 =vin0 =vc1 =vin1 =0) (6.9)

Gli ingressi usati per la identificazione delle varie funzioni di trasferimento condividono tutti i seguenti parametri:

Durata simulazione Campionamento rumore Pulsazione di taglio filtro Campionamento segnale 400 ms 15 ms 10000 rad/s 30 us

La forma e il range di variazione del segnale di ingresso, invece, variano opportunamente con la funzione di trasferimento da identificare. In fase di predisposizione dei dati (preprocessing) sono stati eliminati 1334 campioni iniziali, pari a 40ms, al fine di tralasciare il transitorio iniziale del circuito e considerare solo i campioni utili. La sequenza informativa usata in fase di identificazione è così composta da 12000 campioni (pari a 360ms/30us). L’indagine del modello migliore è stata estesa anche ai sistemi con tre poli e due zeri per avere conformità con i risultati prodotti dalla modellazione.

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6.3.2 Identificazione di

GvGi Gx

I risultati dell’identificazione sono riassunti in tabella 6-2

Tab. 6-2

(variaz . di 0.10V ripetto a Vc)

Idemt. di G_v Ident. di G_i Ident di G_x T E T E 3poli 0.013 0.1164 NP NP 0.016 0.3949 3poli 1 zero 0.01 0.1122 0.055 0.4157 0.013 0.3951 3poli 2 zeri 0.019 0.1130 0.013 0.3950 0.013 0.3953 2poli 0.046 0.1115 0.040 0.4078 0.013 0.3976 2poli1zero 0.019 0.1232 0.013 0.3965 0.013 0.3965

I modelli scelti sono quelli corrispondenti ai valori minimi dell’errore medio E (valori in grassetto in tabella 6-2), e sono riportati nelle figure 6-3,6-4 e 6-5.

In questo caso l’algoritmo di identificazione produce un sistema con due poli per G_v, uno con 3 poli e 2 zeri per Gi e uno di 3 poli per Gx, in totale accordo con i risultati della

modellazione (tabella 6-1.). La figura 6.2 riporta il segnale di ingresso usato per l’identificazione delle tre funzioni di trasferimento.

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Fig. 6-3 Diagrammi del modello G_v

12.55 Gv = ---

1.72e-006 s^2 + 0.0009956 s + 1

Fig. 6-4 Diagrammi del modello Gi

6.78e-005 s^2 + 0.0218 s + 18

i

G = --- 4.07e-009 s^3 + 4.086e-006 s^2 + 0.002521 s + 1

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Fig. 6-5 Diagrammi del modello Gx

-16 G_x = ---

3.972e-009 s^3 + 4.027e-006 s^2 + 0.003275 s + 1

6.3.3 Validazione di

GvGi Gx

I modelli identificati sono stati sottoposti a validazione mediante l’analisi della risposta al gradino di ampiezza pari al 50% del range di variazione (figure 6-6, 6-7, 6-8 ).

I tutti e tre i casi la risposta al gradino del modello insegue bene quella effettiva del sistema simulato. Possiamo, dunque, ritenere attendibili i modelli ottenuti.

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Fig. 6-7 Validazione di Gi

Fig. 6-8 Validazione diG_x

6.3.4 Identificazione di

As YinYx

In questo caso, avere una identificazione accurata è stato un po’ più laborioso. Sono state condotte prima le prove C e D che usano due ingressi diversi ma nello stesso range di variazione di 0.12V. In fase di validazione però non si sono ottenuti risultati soddisfacenti allora si e proceduto con la prova E abbassando il range a 0.12V.

Le tabelle 6-3 e 6-4 e 6-5 riassumono i risultati prodotti dall’algoritmo di identificazione nei tre casi. Gli ingressi usati nelle tre prove sono riportati nelle figure 6-9 e 6-10 e 6-11

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Fig. 6-9 Segnale di ingresso della prova C

Fig. 6-10 Segnale di ingresso della prova D

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Tab. 6-3 prova C

(variazione. di 2V rispetto a Vin)

Ident. di A_s Ident. di Y_in Ident di Yx

T E T E T E 3poli 0.028 0.1564 0.094 0.6610 0.01 0.4135 3poli 1 zero 0.013 0.1369 0.022 0.4182 0.013 0.4141 3poli 2 zeri 0.01 0.1362 0.013 0.4214 0.013 0.4148 2poli 0.01 0.1381 0.043 0.4613 0.013 0.4162 2poli1zero 0.01 0.1472 0.022 0.4195 0.01 0.4147 Tab. 6-4 prova D

(variazione di 2V rispetto a Vin)

Ident. di As Ident. di Yin Ident di Yx

T E T E T E 3poli 0.031 0.3286 0.04 0.6347 0.013 0.4244 3poli 1 zero 0.013 0.1902 0.019 0.5844 0.019 0.4239 3poli 2 zeri 0.037 0.2088 0.019 0.4314 0.019 0.4257 2poli 0.01 0.1779 0.013 0.4731 0.01 0.4228 2poli1zero 0.01 0.1890 0.019 0.4304 0.01 0.4252 Tab. 6-5 prova E

(variazione di 1.2V rispetto a Vin)

Ident. di A_s Ident. di Y_in Ident di Yx

T E T E T E 3poli 0.016 0.1172 0.085 0.6450 0.019 0.3963 3poli 1 zero 0.016 0.1123 0.073 0.4079 0.019 0.3962 3poli 2 zeri 0016 0.1121 0.013 0.3960 0.019 0.3959 2poli 0.013 0.1120 0.046 0.4088 0.019 0.3973 2poli1zero 0.013 0.1107 0.037 0.3975 0.019 0.3969

I risultati delle tre prove non possono essere confrontati in maniera diretta perché prodotti da ingressi diversi. La scelta dei modelli finali è stata condotta sottoponendo a validazione

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tutti i modelli migliori di ogni prova (valori in grassetto nelle tabelle 6-3, 6-4 e 6-5), valutando gli scostamenti tra modello e sistema in risposta ad un unico ingresso al gradino di ampiezza pari a 1V. La tabella 6-6 riporta gli indici di errore E ed EQM dei vari modelli confrontati.

Tab. 6.6

Scelta dei migliori modelli

(Errori nelle risposte al gradino di 1V)

Confronto per A_s

E EQM

Prova C_3poli 2zeri 0.1073 0.1115

Prova D_2poli 0.1073 0.1113

Prova E_2poli 1zero 0.1073 0.1115 Coonfronto per Y_in

E EQM

Prova C_3poli 1zero 0.3973 0.4579 Prova D_2poli 1zero 0.4288 0.5107 Prova D_3poli 2zeri 0.3980 0.4591

Prova E_3poli 2zeri 0.3964 0.4562

Confronto per Y_x E EQM Prova C_3poli 0.3974 0.4580 Prova D_2poli 0.3976 0.4580 Prova E_3poli 0.3971 0.4577

Prova E_3poli 2zeri 0.3971 0.4577

I modelli migliori sono quelli corrispondenti ai valori minimi degli indici di errore e sono evidenziati in grassetto in tabella 6-6. Naturalmente nel caso di Ase Yx, a parità di errore,

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coerenti, in termini di numero di poli e di zeri, a quelli individuati in fase di modellazione. Le figure seguenti illustrano i sistemi identificati:

Fig. 6-12 Modello A_s 1 s A = --- 1.612e-006 s^2 + 0.0008928 s + 1 Fig. 6-13 Modello Y_in 7.442e-006 s^2 + 0.002383 s + 1.3 in Y = --- 6.258e-009 s^3 + 6.182e-006 s^2 + 0.003504 s + 1

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Fig. 6-14 Modello Y_x -1.2 x Y = --- 4.419e-009 s^3 + 4.109e-006 s^2 + 0.003056 s + 1

6.3.5 Validazione di

As YinYx

Le figure seguenti riportano le risposte al gradino dei modelli identificati e del sistema simulato. I risultati sono abbastanza soddisfacenti.

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Fig. 6-16 Validazione di Yin

Fig. 6-17 Validazione di Y_x

6.3.6 Identificazione di

Zout

e

T

Tab. 6-7

Variazione di 1A sul carico Ig

Idemt. di Z_out Ident. di T

T E T E 3poli 0.091 0.2591 0.016 0.3936 3poli 1 zero 0.013 0.1069 0.046 0.3936 3poli 2 zeri 0.019 0.1069 0.022 0.3936 2poli 0.076 0.1430 0.016 0.3936 2poli1zero 0.013 0.1069 0.016 0.3936

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L’esame dei risultati riassunti in tabella 6-7 rivela che l’algoritmo di identificazione in questo caso non fornisce precise indicazioni sul numero di poli e di zeri di Z_out o di T . In conformità con le indicazioni fornite dalla modellazione, scegliamo dunque un sistema con 2 poli e uno zero per Z_out e uno con due poli per T .

I modelli identificati sono riportati nelle figure 6-19 e 6-20. La figura 6-18 riporta invece l’ingresso usato in questo caso.

Fig. 6-18 Ingresso usato per identificare Zout e T

Fig. 6-19 Modello Z_out

-0.00207 s - 0.836 Zout = ---

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Fig. 6-20 Modello T

1

T = --- 1.732e-006 s^2 + 0.0009223 s + 1

6.3.7 Validazione di

Zout

e

T

L’ampiezza del gradino usato per la validazione è di 0.5 A, pari al 50% del range di identificazione. I risultati in questo caso sono soddisfacenti come si evince dall’analisi delle figure seguenti:

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Fig 6-22 Validazione di T

6.4 Confronto tra modello “derivato” e modello “diretto”

Al fine di essere più chiari nell’esposizione, e favorire la distinzione tra il modello derivato in fase di modellazione a partire da quelli dei singoli moduli convertitori, e quello ottenuto dalla identificazione diretta del sistema dei due convertitori in parallelo, useremo qui il termine “derivato” per indicare il primo modello, e l’aggettivo “diretto” per riferire il secondo. Il confronto tra i due viene condotto sottoponendo a validazione entrambi i modelli , usando un unico ingresso (vedi figura 6-11).

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I modelli in esame sono entrambi sistemi MIMO lineari, quindi possiamo confrontare direttamente gli elementi delle matrici di trasferimento del primo sistema con i corrispondenti elementi matriciali del secondo. Le figure seguenti illustrano tale confronto.

Fig. 6-12 Confronto in frequenza tra Gv' e Gv

Fig 6-13 Validazione di G_v' e G_v con doppio gradino

Modello E EQM v G (diretto) 0.1023 0.1064 ' v G (derivato) 0.1025 0.1080

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Fig_6-14Confronto in frequenza tra Gx' e Gx

Fig 6-15 Validazione di Gx' e Gx con doppio gradino

Modello E EQM x G (diretto) 0.3924 0.4519 ' x G (derivato) 0.3995 0.4638

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Fig 6-16 Confronto in frequenza tra Gi' e Gi

Fig. 6-17 Validazione di G_i' e G_i con doppio gradino

Modello E EQM i G (diretto) 0.3927 0.4532 ' i G (derivato) 0.3991 0.4636

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