Manuale d’uso di ExtDyn prima dell’implementazione Appendice A

(1)

I

Manuale d’uso di

ExtDyn prima

dell’implementazione

Appendice A

(2)

II

A.1 Generalità

Il codice ExtDyn è l’implementazione numerica del modello a parametri concentrati descritto.

Per eseguire il codice è necessario avere installato MATLAB 7.0 o superiore ed il toolbox SIMULINK.

La cartella contenente il software ha all’interno i seguenti files:

ExtDyn – File che gestisce l’interfaccia con l’utente e l’utilizzo degli altri file

inserimento_datiZcost – File editabile che consente di inserire i dati di input al codice che utilizza il fattore di smorzamento costante

inserimento_datiZvar – File editabile che consente di inserire i dati di input al codice che utilizza il fattore di smorzamento variabile calcolato con la formula di Gerber

CalcoloTE_tl_Dteta – File editabile che consente di importare i dati da HELICAL 3D relativi all’errore di trasmissione statico, al carico sul dente e alla variazione di TE e calcolare quelli successivamente necessari al programma principale

ExtDynZcost – File principale del codice che utilizza il fattore di smorzamento costante. Carica i dati di input, prepara i dati d’ingresso per il modello simulink e gestisce i risultati realizzando i grafici e generando oggetti nel workspace

ExtDynZvar – File principale del codice che utilizza il fattore di smorzamento variabile calcolato con la formula di Gerber. Carica i dati di input, prepara i dati d’ingresso per il modello simulink e

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III gestisce i risultati realizzando i grafici e generando oggetti nel workspace

SimulinkZcost – Modello simulink per la soluzione dell’equazione differenziale che regola la dinamica del modella a parametri concentrati nel caso di smorzamento costante

SimulinkZvar – Modello simulink per la soluzione dell’equazione differenziale che regola la dinamica del modella a parametri concentrati nel caso di smorzamento variabile calcolato con la formula di Gerber

I dati è possibile inserirli prima o durante l’esecuzione del programma.

A.2 Esecuzione del programma

La Current Directory deve essere posizionata all’indirizzo dove è memorizzato il programma. Per eseguire il programma si deve:

1._{Digitare nella Command Window}

ExtDyn

e premere invio 2._{Apparirà :}

se vuoi Z costante digita 1 e premi invio, se vuoi Z variabile digita 2 e premi invio.

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IV Z è il fattore di smorzamento. Se si vuole analizzare utilizzando un valore costante imposto dall’utente digitare 1 e premere invio, se si vuole svolgere l’analisi con il valore variabile calcolato utilizzando la formula di Gerber, digitare 2 e premere invio.

3._Apparirà:

vuoi cambiare i dati di TE, tl e delta teta? [S/N]

sono i dati necessari ottenuti con le analisi statiche tramite HELICAL 3D. Se si vogliono cambiare, digitare S e premere invio, altrimenti digitare N e premere invio e, in questo caso, passerà direttamente al punto 5.

4._Apparirà:

cambia i dati nel programma CalcoloTE_tl_Dteta appena aperto, salva e chiudi.

Quando hai fatto premi invio.

È stato aperto il programma CalcoloTE_tl_Dteta. Cambiare i dati come verrà spiegato successivamente, salvare e chiudere. Premere invio nella Command Window per continuare.

5._{Se al punto 2 si è digitato 1 apparirà:}

vuoi cambiare i dati dello smorzamento, geometrici e di carico dell’ingranaggio? [S/N]

(5)

V

vuoi cambiare i dati del lubrificante, geometrici e di carico dell’ingranaggio? [S/N]

se si vogliono cambiare, digitare S e premere invio, altrimenti digitare N e premere invio e, in questo caso, passerà direttamente al punto 7.

6. Se al punto 2 si è digitato 1 apparirà:

cambia i dati nel programma inserimento_datiZcost appena aperto, salva e chiudi.

Se al punto 2 si è digitato 2 apparirà:

cambia i dati nel programma inserimento_datiZcost appena aperto, salva e chiudi.

È stato aperto il programma inserimento_datiZcost o il programma

inserimento_datiZvar a seconda della scelta al punto 2.

Cambiare i dati come verrà spiegato successivamente, salvare e chiudere.

Premere invio nelle Command Window per continuare. 7. Apparirà:

(6)

VI Se si vuole che i momenti d’inerzia siano calcolati dal programma digitare S e premere invio, altrimenti, se si sono dati come input, digitare N e premere invio.

8._Apparirà:

Inserire l’ampiezza dei salti di velocità desiderata [RPM] ATTENZIONE: LA RPM_MAX E LE RPM_OUTPUT SCELTE

PRECEDENTEMENTE

DEVONO ESSERE MULTIPLE DI QUESTO VALORE

Digitare l’ampiezza desiderata e premere invio.

Il programma ExtDynZcost, o il programma ExtDynZvar a seconda della scelta fatta al punto 2, svolgerà i calcoli supportato automaticamente, per la risoluzione dell’equazione differenziale, dal relativo modello SIMULINK necessario.

Come algoritmo di risoluzione numerica si impiega il metodo di Runge-Kutta del quarto ordine con ampiezza di step variabile, con tolleranza relativa di 10-4 e refine factor impostato dall’utente tramite il file d’inserimento dati.

I dati geometrici e quelli importati da HELICAL 3D possono essere anche impostati separatamente dall’esecuzione del programma come si vedrà nei paragrafi successivi.

(7)

VII

A.3 Inserire i dati

I dati necessari che devono essere inseriti per l’analisi sono, come già detto, quelli relativi all’ingranaggio e alla simulazione e quelli importati dal calcolo di HELICAL 3D.

A.3.1 Dati dell’ingranaggio e della simulazione

I dati dell’ingranaggio e della simulazione si inseriscono in uno dei programmi inserimento_datiZcost e inserimento_datiZvar, a seconda che si voglia svolgere l’analisi considerando lo smorzamento costante come dato di input o variabile calcolato con la formula di Gerber.

Ogni input è preceduto da linee di commento che spiegano in cosa consiste ed indicano, tra parentesi quadre, le unità di misura da utilizzare.

Si riportano, nelle pagine successive, i listati dei due programmi con dei dati inseriti correttamente.

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VIII %%% inserimento_datiZcost %%%

%%% PER ExtDyn vers 0.2 - 10.02.08 %%%

% 0.2 Scritto da Stefano Gianferotti % 0.1 Scritto da M.A. Moncada

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% FILE DI INSERIMENTO DATI %%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%% DATI DELLO SMORZAMENTO, GEOMETRICI E DI CARICO DELL'INGRANAGGIO %%% % fattore di smorzamento

Zeta=0.025;

% raggio di base ruota 1 [m] r1=49.2/1000;;

% raggio di base ruota 2 [m] r2=50.45/1000;;

% numero denti ruota 1 Z1=42;

% raggio primitivo ruota 1 [m] rp1=53.3/1000;

% raggio primitivo ruota 2 [m] rp2=56.41/1000;

% raggio interno ruota 1 [m] r_inn1=37/1000;

% raggio interno ruota 2 [m] r_inn2=37/1000;

% spessore medio ruota 1 [m] spess1=15/1000;

% backlash [m] b=0.5/1000;

(9)

IX % densità della ruota 1 [kg/m^3]

dens1=9000;

% densità della ruota 2 [kg/m^3] dens2=9000;

% momento d'inerzia ruota 1 [Kg*m^2] % Inserire questo valore se si ha da input % e non si vuole calcolare con il programma I1=2.10262;

% coppia applicata alla ruota 1 [N*m] T1=50;

% coppia per la quale è stato calcolato Delta teta con Helical [N*m] T0=49.5;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% DATI DELLA SIMULAZIONE %%%

% Massimo valore di velocità analizzato relativo alla ruota 1 % Deve essere multiplo dell'ampiezza dei salti di veloità [rpm] rpm_max=9000;

% Velocità a cui vengono realizzati i grafici del DTF e del DTE in output % I valori devono essere multipli dell'ampiezza dei salti di velocità % e inferiori a rpm_max [rpm]

rpm_output=[]; % refine factor ref_fact=2;

% switch ramp-down (porre 0 disattiva ramp down) rampdown_switch=1;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% DATI FILE DI INPUT %%%

% Numero di cicli di ingranamento rappresentati nei files di input N_ing=2;

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X %%% inserimento_datiZvar %%%

%%% PER ExtDyn vers 0.2 - 10.02.08 %%%

% 0.2 Scritto da Stefano Gianferotti % 0.1 Scritto da M.A. Moncada (GDT)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% FILE DI INSERIMENTO DATI %%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%% DATI DEL LUBRIFICANTE, GEOMETRICI E DI CARICO DELL'INGRANAGGIO %%% % viscosità del lubrificante [mPa*s]

eta=55;

% raggio di base ruota 1 [m] r1=515.083037039223/2000; % raggio di base ruota 2 [m] r2=91.2391454586447/2000; % numero denti ruota 1 Z1=118;

% raggio primitivo ruota 1 [m]

rp1=Z1/(0.223213929528439*2000);; % raggio primitivo ruota 2 [m]

rp2=Z2/(0.223213929528439*2000);; % raggio interno ruota 1 [m]

r_inn1=489.022681486289/2000; % raggio interno ruota 2 [m] r_inn2=66.0861200090184/2000; % spessore medio ruota 2 [m] spess1=47/1000;

% backlash [m] b=0.1/1000;

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XI % densità della ruota 1 [kg/m^3]

dens1=9000;

% densità della ruota 2 [kg/m^3] dens2=9000;

% coppia applicata alla ruota 1 [N*m] T1=0.001;

% coppia per la quale è stato calcolato Delta teta con Helical [N*m] T0=0.5*T1;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% DATI DELLA SIMULAZIONE %%%

% Massimo valore di velocità analizzato relativo alla ruota 1 % Deve essere multiplo dell'ampiezza dei salti di veloità [rpm] rpm_max=1000;

% Velocità cui vengono realizzati i grafici del DTF e del DTE in output % I valori devono essere multipli dell'ampiezza dei salti di velocità % e inferiori a rpm_max [rpm]

rpm_output=[]; % refine factor ref_fact=3;

% switch ramp-down (porre 0 disattiva ramp down) rampdown_switch=1;

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% DATI FILE DI INPUT %%%

% Numero di cicli di ingranamento rappresentati nei files di input N_ing=1;

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XII A completamento delle brevi note presenti nel listato si aggiungono le seguenti considerazioni:

• Fattore di smorzamento [adimensionale] –

ζ (

Zeta)

È dato dalla costante di smorzamento del sistema diviso la costante di smorzamento critica equivalente

ζ

2

Dove Km è il valor medio della rigidezza d’ingranamento e Me è la

massa equivalente del sistema.

Imponendo il valore di ζ si calcolerà la costante c:

ζ

· 2

che sarà costante nel caso di analisi con fattore di smorzamento costante dato in input o variabile nel caso dell’analisi con fattore di smorzamento calcolato tramite la formula di Gerber.

• Viscosità dal lubrificante [mPa·s] – η (eta)

È la viscosità dinamica del lubrificante e serve per calcolare il fattore di smorzamento variabile con la formula di Gerber [Modello a parametri concentrati].

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XIII • Backlash – b

È il valore di backlash, il cui significato è spiegato ne capitolo del Modello a parametri concentrati. Si è assunto di calcolare b con la formula seguente:

2

• Momento d’inerzia – I

Si possono inserire i valori dei momenti d’inerzia delle due ruote (I1, I2). I momenti d’inerzia calcolati tramite il programma sono una buona approssimazione soltanto per ruote con diametri non troppo elevati ed in condizioni di prova con interfacce tali da isolare l’ingranaggio. In condizioni d’uso i momenti d’inerzia in genere sono diversi ed è suggerito imporre quelli reali.

• Coppia per calcolare ∆θ – T0

Si deve inserire il valore della coppia che è stata scelta per calcolare, con HELICAL 3D, la variazione dell’errore di trasmissione.

• Massimo valore di velocità relativo alla ruota 1 [rpm] – rpm_max È il massimo valore di velocità [rpm] che si intende analizzare per realizzare i grafici di DF, DFmf e del PPTE. Deve essere multiplo

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XIV dell’ampiezza dei salti di velocità che si desidera imporre nell’analisi, perché il ramp-up ed il ramp-down vengono analizzati con quegli step di velocità fino al raggiungimento di rpm_max.

• Velocità a cui vengono realizzati i grafici del DTF e del DTE

[rpm] – rpm_output

È un vettore che indica le velocità [rpm] alle quali si intende realizzere i grafici del carico dinamico sul dente e dell’errore di trasmissione dinamico confrontati con i corrispettivi nel caso statico. Devono essere multiple dell’ampiezza dei salti di velocità e inferiori ad rpm_max per gli stessi motivi del punto precedente. L’input va formato come segue: tra parentesi quadra i valori delle velocità separati da una virgola o da uno spazio.

Se non si desidera nessun grafico di questo tipo si lasciano le parentesi quadre con nessun valore all’interno che MATLAB legge cone un vettore privo di elementi.

• Refine factor – ref_fact

È un fattore di SIMULINK che determina l’infittimento della soluzione. Aumentare tale valore comporta un aumento della precisione e della definizione dei risultati, ma allo stesso tempo, sono necessari tempi di calcolo maggiore. È consigliato porre un valore pari a due se non si devono analizzare nel dettaglio i grafici in output, pari a tre per avere una buona definizione.

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XV • Switch ramp_down – rampdown_switch

Porre zero questo input impone di fare solo un’analisi ramp-up, porre un qualsiasi altro valore numerico comporta anche l’analisi di ramp_down con, inevitabilmente, un raddoppio dei tempi di calcolo.

• Numero dei cicli di ingranamento – N_ing

È il numero dei cicli d’ingranamento rappresentati nei files di input importati da Helical3D.

A.3.2 Dati importati da HELICAL 3D

I dati calcolati con HELICAL 3D si importano nel file

CalcoloTE_tl_Dteta. Si ricorda che i dati calcolati con Helical3D sono:

1._{Errore di trasmissione statico in radianti} 2._{Andamento del carico sul dente}

3._{Variazione dell’errore di trasmissione in radianti tra la coppia} nominale, T1, e la coppia scelta per determinare tale valore.

Ogni input è preceduto da linee di commento che spiegano in cosa consiste.

Di seguito si riporta il listato del programma con dei dati inseriti correttamente:

(16)

XVI %%% CalcoloTE_tl_Dteta %%%

%%% PER ExtDyn vers 0.2 - 10.02.08 %%%

% file scritto da Stefano Gianferotti

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% FILE PER IL CALCOLO DI TE, tl e Delta teta %%% % Inserire il vettore del TE in radianti, output di Helical 3D % T=[-0.000921941 -0.000988098 -0.00100973 -0.000992782 -0.00088689 -0.000855706 -0.000840588 -0.000837776 -0.000840084 -0.000863523 -0.000921941 -0.000988098 -0.00100973 -0.000992782 -0.00088689 -0.000855706 -0.000840588 -0.000837776 -0.000840084 -0.000863523];

% Calcolo del TE (I termini del vettore precedente, in valore % assoluto, vengono moltiplicati per il raggio base della ruota

% 1. Se viene inserita la matrice di due colonne (istanti temporali e TE) porre % TE(:,1)=abs(T(:,2)*r1;

TE(:,1)=abs(T(:,1))*r1;

% Inserire il vettore del TL, output Helical 3D % t=[0 68.5723 262.941 388.468 515.227 639.7 742.352 833.721 932.056 1014.61

(17)

XVII 1014.61 945.678 752.547 627.818 501.487 377.074 274.262 182.512 83.8004 0];

% Calcolo del tl (il vettore precedente).

% Se viene inserita la matrice di due colonne (istanti temporali % e TL) porre

% tl(:,1)=t(:,2); tl(:,1)=t(:,1);

% Inserire il vettore Delta teta di output Helical 3D ; Dt=[7.47E-02 9.51E-02 9.73E-02 8.31E-02 6.66E-02 6.67E-02 6.80E-02 6.89E-02 6.91E-02 6.99E-02 7.47E-02 9.51E-02 9.73E-02 8.31E-02 6.66E-02 6.67E-02 6.80E-02 6.89E-02 6.91E-02 6.99E-02];

% Calcolo del Delta teta (I termini del vettore precedente in % valore assoluto).

% se viene inserita la matrice di due colonne (istanti temporali % e Delta teta) porre

% Dteta(:,1)=abs(Dt(:,2)); Dteta(:,1)=abs(Dt(:,1)); clear T t Dt

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XVIII Ciascun dato deve contenere i valori in istanti temporali equispaziati, relativamente ad un numero intero di ingranamenti specificato tramite la variabile N_ing in uno dei files inserimento_dati trattati precedentemente. Il codice è realizzato in modo da poter accettare qualsiasi numero di istanti temporali cui sono riferiti i valori importati. Deve essere usato il punto per separare i decimali e, per la notazione esponenziale, mettere il termine e seguito dal numero opportuno, ad esempio e-005 equivale a moltiplicare per 10-5.

I dati importati possono essere costituiti da una o più colonne (ad esempio una colonna contenente i vari istanti temporali e l’altra con i corrispondenti valori del dato).

Modificare in modo opportuno l’istruzione successiva ad ogni dato importato, per assumere la colonna appropriata nel calcolo, in modo analogo a quanto indicato nelle righe di commento che precedono tali istruzioni.

A.4 Risultati

Il programma fornisce immediatamente, al termine dell’esecuzione, i grafici realizzati con MATLAB relativamente a DF, DFmf, PPTE in

funzione della velocità [rpm] della ruota 1 nel range di velocità stabilito dall’utente come già visto nel capitolo 5.

Se sono state impostate delle velocità alla voce rpm_output nel programma di inserimento dati vengono realizzati anche i grafici di DTF e DTE confrontati con i relativi statici. I grafici vengono realizzati per ramp up e, se si è impostato di fare anche l’analisi per la decelerazione ponendo un valore diverso da zero alla voce del rampdown switch, anche per il ramp down.

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XIX I dati di output sono contenuti nel Workspace di MATLAB, possono essere esportati agevolmente su altri programmi mediante semplici operazioni di copia e incolla e sono i segenti:

1._{DF – è la riga che indica i valori dl Dynamic Factor di tooth force} nel caso di ramp up ai vari step di velocità analizzati (DF=DTF/STFmax)

2. DF_rd – è la riga che indica i valori del Dynamic Factor di tooth

force nel caso di ramp down ai vari step di velocità analizzati

(DF_rd=DTF_rd/STFmax)

3._{DFmf – è la riga che indica i valori dl Dynamic Factor di mesh}

force nel caso di ramp up ai vari step di velocità analizzati (DFmf

=DMF/SMF)

4._{DFmf_rd – è la riga che indica i valori dl Dynamic Factor di mesh}

force nel caso di ramp down ai vari step di velocità analizzati

(DFmf_rd =DMF_rd/SMF)

5._{DTE_output – è la matrice contenente i valori dell’errore di} trasmissione dinamico nel caso di ramp up alle varie velocità imposte in input (rpm_output). Ogni colonna corrisponde ad una velocità (dalla prima)

6._{DTF_output – è la matrice contenente i valori del carico dinamico} sul dente nel caso di ramp up alle varie velocità imposte in input (rpm_output) diviso il massimo valore del carico sul dente nelle condizioni statiche importato da HELICAL 3D. Ogni colonna corrisponde ad una velocità (dalla prima)

7. DTF_output_rd – è la matrice contenente i valori del carico dinamico sul dente nel caso di ramp down alle varie velocità imposte in input (rpm_output) diviso il massimo valore del carico

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XX sul dente nelle condizioni statiche importato da HELICAL 3D. Ogni colonna corrisponde ad una velocità (dalla prima)

8. Dtett_med – è il valore medio della variazione dell’errore di trasmissione statico data in input.

9._{F – è la forza equivalente calcolata}

10._{I1, I2 – è il momenti d’inerzia, rispettivamente della ruota 1 e} della ruota 2. Se sono calcolati dal programma sono quelli di cilindri equivalenti dello stesso materiale delle ruote, con:

Raggio interno = raggio interno della ruota Raggio esterno = raggio primitivo della ruota Altezza = spessore medio della ruota

Si usano le equazioni:

4· · · 2_ ! 2_ !" #

8 · 2_ ! 2_ !" 11._{Me – è il valore della massa equivalente calcolato}

12. PPSTE – è il peak to peak static transmission error, cioè la massima variazione dell’errore di trasmissione nel caso statico. 13._{PPTE – è il peak to peak transmission error riscontrato nel caso}

dinamico in ramp up per ogni step di velocità.

14._{PPTE_rd – è il peak to peak transmission error riscontrato nel} caso dinamico in ramp down per ogni step di velocità.

15. SMF – è la forza statica dell’ingranamento (SMF=T1/r1) 16._{STF_max – è il massimo valore del carico statico sul dente}

(21)

XXI 17._{T2 – è il valore calcolato della coppia applicata alla ruota 2}

(T2=T1·r2/r1)

18. TE – è la colonna dei valori dell’errore di trasmissione statico interpolati da quelli dati in input.

19._{VelRPM – è la colonna dei valori delle velocità [rpm] analizzate.} 20._{VettoreDF – è la colonna dei valori del DF}

21. VettoreDF_rd – è la colonna dei valori del DF_rd

22. c – è il valore del coefficiente di smorzamento costante (per la risoluzione con Z costante)

23._{cSmorz – è la riga dei valori della costante di smorzamento alle} diverse velocità (per la risoluzione con Z variabile)

24. d_rpm – è il valore dell’ampiezza dei salti di velocità selezionato 25. km – è il valore medio della rigidezza dell’ingranamento

26._{tl – è la colona dei valori del carico statico sul dente interpolati da} quelli dati in input

A.5 Possibili problemi

Si sono riscontrati dei problemi durante l’utilizzo del programma che indichiamo di seguito con una spiegazione dle significato e i metodi per risolverli.

Se appare un messaggio di errore di OUT of memory, ciò significa che è stata richiesta un’analisi in troppi intervalli di velocità. In tal caso si dovrà rieseguire il programma e diminuire rpm_max oppure aumentare l’ampiezza dei salti di velocità oppure entrambe.

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XXII Se un valore di uno o più termini graficati è eccessivamente elevato, è possibile eventualmente ridurlo manualmente e ridisegnare il grafico per renderlo più comprensibile. Ad esempio, se si è ridotto qualche valore del DF si può srivere nella Command Window:

figure(1)

plot(VelRPM,DF,’r’),grid on

xlabel(‘Velocity [rpm]’);ylabel(‘Dynamic factor’) title(‘Dynamic factor (tooth force)’)

if rampdown_switch~=0 hold on

plot(VelRPM,DF_rd,’b’) legend(‘Ramp up’,’Ramp down’)

end

e, così, poter analizzare meglio il grafico.

Se compare il messaggio d’errore all’accesso tipo

Attempt to access Zeta(10.2)

o simile, controllare di aver messo rpm_max multiplo del valore di intervalli di velocità desiderato.