Analisi Matematica 1

Prove scritte di

Analisi Matematica 1

Ingegneria Meccanica e Gestionale a.a. 2006–2007

x y

f

g 0

1

La funzione seno e la funzione esponenziale

Raccolta delle tracce di “Analisi Matematica 1 ” per Ingegneria Meccanica e Gestionale, Facolt`a di Ingegneria, Universit`a degli Studi di Lecce

4 dicembre 2006, traccia A

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = x e

.

2. Studiare il carattere della seguente serie

∑

n

( π

2 − arctan n )

.

3. Studiare il seguente integrale definito

∫

π/4

tan x

cos

x dx .

Soluzione del 4 dicembre 2006, traccia A

1. La funzione ` e definita in tutto R ed `e dispari. Inoltre `e positiva per x ≥ 0 e negativa per x ≤ 0; vi `e una sola intersezione con gli assi nell’origine. La funzione ` e continua ed essendo definita in tutto R non potr` a avere asintoti verticali; inoltre

x→±∞

lim f (x) = 0

e quindi la retta di equazione y = 0 ` e un asintoto orizzontale a destra e a sinistra per f .

La funzione ` e derivabile e, per ogni x ∈ R, si ha f

(x) = (1 − 2x

)e

. Pertanto la derivata prima ` e positiva in [ − √

2/2, √

2/2] e negativa in ] − ∞, − √

2/2] ∪ [ √

2/2, + ∞[; quindi f `e strettamente crescente in [− √

2/2, √

2/2] e strettamente decrescente in ] − ∞, − √

2/2] e in [ √

2/2, + ∞[. Il punto − √

2/2 ` e di minimo relativo proprio per f e si ha f ( − √

2/2) = − √

2e/2 mentre il punto √

2/2 ` e di massimo relati- vo proprio per f e si ha f ( √

2/2) = √

2e/2. Confrontando tali valori con l’asintoto orizzontale, si deduce che i punti − √

2/2 e √

2/2 sono rispettivamente di minimo e di massimo assoluto per f .

Infine, f ` e derivabile due volte e per ogni x ∈ R si ha

f

(x) = ( −4x − 2x + 4x

) e

= 2x(2x

− 3) e

. Quindi la derivata seconda ` e positiva in [ − √

3/2, 0] ∪ [ √

3/2, + ∞[ e negativa in ] − ∞, − √

3/2] ∪ [0, √

3/2]; si deduce che f ` e strettamen- te convessa in [ − √

3/2, 0] e in [ √

3/2, + ∞[ e strettamente concava in ] − ∞, − √

3/2] e in [0, √

3/2]. I punti ± √

3/2 sono di flesso proprio ascendente per f mentre 0 ` e un punto di flesso proprio discendente per f .

Il grafico della funzione ` e rappresentato approssimativamente nella Figura 1.

2. Si tratta di una serie a termini positivi e utilizzando il criterio della radice

n→+∞

lim

n

√ n

( π

2 − arctan n )

= lim

n→+∞

n

( π

2 − arctan n )

= lim

n→+∞

e

( π

2 − arctan n )

= 1 · 0 = 0 .

Quindi la serie ` e convergente.

x y

Figura 1: Grafico della funzione del 4 dicembre 2006, traccia A.

3. Si ha ∫

π/4

tan x cos

x dx =

∫

π/4

sin x cos

x dx e posto t = cos x, da cui dt = − sin x dx, si ottiene

−

∫

√2/2

1 t

dt =

[ 1 3t

]

√2/2

= 8 − 2 √ 2

3 .

4 dicembre 2006, traccia B

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = x

e

.

2. Studiare il carattere della seguente serie

∑

n

(

e

− 1 )

.

3. Studiare il seguente integrale definito

∫

π/6

cot x

sin x dx .

Soluzione del 4 dicembre 2006, traccia B

1. La funzione ` e definita in tutto R e non verifica propriet`a di simmetria n´ e di periodicit` a. Inoltre ` e sempre positiva e si annulla solamente in 0; pertanto si deduce subito che il minimo assoluto di f ` e 0 e viene assunto solamente in 0. La funzione ` e continua ed essendo definita in tutto R non potr`a avere asintoti verticali; inoltre

x→+∞

lim f (x) = 0

e quindi la retta di equazione y = 0 ` e un asintoto orizzontale a destra per f . Poich´ e

x→−∞

lim f (x) = + ∞ , lim

x→−∞

f (x)

x = + ∞ ,

non potranno esistere asintoti orizzontali e neanche obliqui a sinistra per f .

La funzione ` e derivabile e, per ogni x ∈ R, si ha f

(x) = (2x − x

)e

= x(2 − x)e

.

Pertanto la derivata prima ` e positiva in [0, 2] e negativa in ] − ∞, 0] ∪ [2, + ∞[; quindi f `e strettamente crescente in [0, 2] e strettamente de- crescente in ] − ∞, 0] e in [2, +∞[. Il punto 0 `e di minimo relativo proprio per f (anzi si ` e gi` a visto che ` e un punto di minimo assoluto) mentre il punto 2 ` e di massimo relativo proprio per f e si ha f (2) = 4/e.

Poich´ e la funzione tende a + ∞ in −∞, essa non `e dotata di massimo assoluto.

Infine, f ` e derivabile due volte e per ogni x ∈ R si ha

f

(x) = (2 − 2x − 2x + x

) e

= (x

− 4x + 2) e

. Quindi la derivata seconda ` e positiva in ] − ∞, 2 − √

2] ∪ [2 + √ 2, + ∞[

e negativa in [2 − √

2, 2 + √

2]; si deduce che f ` e strettamente convessa in ] − ∞, 2 − √

2] e in [2 + √

2, + ∞[ e strettamente concava in [2 −

√ 2, 2 + √

2]. Il punto 2 − √

2 ` e di flesso proprio discendente per f mentre 2 + √

2 ` e un punto di flesso proprio ascendente per f .

Il grafico della funzione ` e rappresentato approssimativamente nella Figura 2.

2. Si tratta di una serie a termini positivi e utilizzando il criterio della radice

n→+∞

lim

n

√ n

(

e

− 1 )

= lim

n→+∞

n

(

e

− 1 )

= lim

n→+∞

e

(

e

− 1 )

= 1 · 0 = 0 .

x y

Figura 2: Grafico della funzione del 4 dicembre 2006, traccia B.

Quindi la serie ` e convergente.

3. Si ha ∫

π/6

cot x sin x dx =

∫

π/6

cos x sin

x dx e posto t = sin x, da cui dt = cos x dx, si ottiene

∫

1/2

1

t

dt = − [ 1

t ]

1/2

= − 2 √

3

3 + 2 .

10 gennaio 2007, traccia A

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = x + log x + 1 x − 1 . 2. Studiare il carattere della seguente serie

∑

( −1)

( 1

n − sin 1 n

)

.

3. Calcolare le radici terze del numero complesso z = (i + 1)

i .

Soluzione del 10 gennaio 2007, traccia A 1. La funzione ` e definita imponendo le condizioni

 

 x + 1 x − 1 > 0 , x − 1 ̸= 0 ,

e quindi in X

=] −∞, −1[∪]1, +∞[. La funzione non verifica propriet`a di simmetria n´ e di periodicit` a.

Se x > 1 si ha (x + 1)/(x − 1) > 1 e quindi log(x + 1)/(x − 1) > 0, per cui f (x) > 0; se invece x < −1 si ha 0 < (x + 1)/(x − 1) < 1 e quindi log(x + 1)/(x − 1) < 0, per cui anche f(x) < 0; in particolare non vi sono intersezioni con gli assi.

La funzione ` e continua e quindi vi possono essere asintoti verticale solamente nei punti −1 e 1; poich´e

lim

x→−1⁻

f (x) = −∞ , lim

x→1⁺

f (x) = + ∞ ,

la retta di equazione x = −1 `e un asintoto verticale in basso a sinistra per f mentre la retta di equazione x = 1 ` e un asintoto verticale in alto a destra per f .

Inoltre

x→±∞

lim f (x) = ±∞ , lim

x→±∞

f (x)

x = 1 , lim

x→±∞

(f (x) − x) = 0 , e quindi la retta di equazione y = x ` e un asintoto obliquo sia a sinistra che a destra per f .

La funzione ` e derivabile e, per ogni x ∈ X

, risulta f

(x) = 1 + x − 1

x + 1

x − 1 − x − 1

(x − 1)

= x

− 3 x

− 1 . Quindi la derivata prima di f ` e positiva in ] − ∞, − √

3] ∪ [ √

3, + ∞[ e negativa in [− √

3, −1[∪]1, √

3]; quindi la funzione ` e strettamente cre- scente negli intervalli ] − ∞, − √

3] e [ √

3, + ∞[ e strettamente decre- scente negli intervalli [ − √

3, −1[ e ]1, √

3]. I punti − √ 3 e √

3 sono rispettivamente di massimo e di minimo relativo proprio per f e in tali punti la funzione assume i valori

f ( − √

3) = − √ 3 + log

√ 3 − 1

√ 3 + 1 , f ( √ 3) = √

3 − log

√ 3 − 1

√ 3 + 1 .

Non esistono massimi e minimi assoluti a causa della presenza dell’a-

sintoto obliquo sia a destra che a sinistra che comporta che la funzione

non ` e limitata n´ e inferiormente n´ e superiormente).

Per quanto riguarda la derivata seconda, la funzione ` e derivabile due volte e, per ogni x ∈ X

, risulta

f

(x) = 4x (x

− 1)

.

Il segno della derivata seconda ` e strettamente positivo per x > 1 e strettamente negativo per x < −1; quindi f `e strettamente convessa in ]1, + ∞[ e strettamente concava in ] − ∞, −1[. Non vi sono punti di flesso per f .

Il grafico della funzione ` e rappresentato approssimativamente nella Figura 3.

x y

Figura 3: Grafico della funzione del 10 gennaio 2007, traccia A.

2. Si osserva che sin x < x per 0 < x < π/2 e quindi, tenendo presente che 0 < 1/n < π/2 per ogni n ≥ 1, si ha 1/n − sin 1/n > 0; pertanto la serie ` e a segni alterni. Inoltre

x

lim

x − sin x x

= lim

x→0

1 − cos x 3x

= 1

6 ;

da cui segue che ( 1

n − sin 1 n

)

∼ ( 1

6n

)

= 1

√

6 n e quindi la serie non ` e assolutamente convergente.

Inoltre la funzione x − sin x `e strettamente crescente in quanto la sua derivata 1 − cos x `e sempre positiva; quindi, per ogni n ≥ 1, da 1/(n + 1) ≤ 1/n segue

1

n + 1 − sin 1 n + 1 < 1

n − sin 1 n

e poich` e la funzione radice terza ` e strettamente crescente

( 1

n + 1 − sin 1 n + 1

)

<

( 1

n − sin 1 n

)

. Quindi la successione

(( 1

n − sin 1 n

)

)

n≥1

` e strettamente decrescente ed ` e infinitesima; dal criterio di Leibnitz segue che la serie ` e semplicemente convergente.

3. In forma trigonometrica risulta i = cos π

2 + i sin π

2 , 1 + i = √ 2

( cos π

4 + i sin π 4

)

; pertanto

(1 + i)

= 4 (cos π + i sin π) e conseguentemente

z = 4 (

cos π

2 + i sin π 2 )

(= 4i) . Le radici quarte di z sono pertanto date dalla formula

w

= √

4

(

cos π/2 + 2kπ

4 + i sin π/2 + 2kπ 4

)

, k = 0, 1, 2, 3 , ed esplicitamente si ha

w

= √ 2

( cos π

8 + i sin π 8 )

, w

= √

2 (

cos 5π

8 + i sin 5π 8

) , w

= √

2 (

cos 9π

8 + i sin 9π 8

) , w

= √

2 (

cos 13π

8 + i sin 13π 8

)

.

10 gennaio 2007, traccia B

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = log x x

− 1 . 2. Studiare il carattere della seguente serie

∑

( −1)

( 1

n − log (

1 + 1 n

))

.

3. Calcolare le radici terze del numero complesso

z = i

( √

3 + i)

.

Soluzione del 10 gennaio 2007, traccia B 1. La funzione ` e definita imponendo le condizioni

{ x

x

− 1 > 0 , x

− 1 ̸= 0 ,

e quindi in X

=] − 1, 0[∪]1, +∞[. La funzione non verifica propriet`a di simmetria n´ e di periodicit` a.

Per quanto riguarda il segno della funzione, si osserva che f (x) ≥ 0 per x/(x

−1) ≥ 0 e quindi per (x−x

+1)/(x

−1) ≥ 0; poich`e x−x

+1 ≥ 0 in [1/2 − √

5/2, 1/2+ √

5/2] e x

−1 ≥ 0 in ]−∞, −1]∪[1, +∞[, tenendo presente l’insieme di definizione della funzione si ricava che f ` e positiva nell’insieme ]

−1, 1 2 −

√ 5 2

]

∪ ]

1, 1 2 +

√ 5 2

]

ed ` e negativa in [

1 2 −

√ 5 2 , 0

[

∪ [

1 2 +

√ 5 2 , + ∞

] . Le intersezioni con l’asse x sono date dai punti

( 1 2 −

√ 5 2 , 0

) ,

( 1 2 +

√ 5 2 , 0

) ,

mentre non vi sono intersezioni con l’asse y in quanto 0 / ∈ X

.

La funzione ` e continua e quindi vi possono essere asintoti verticale solamente nei punti −1, 0 e 1; poich´e

lim

x→−1⁺

f (x) = + ∞ , lim

x→0⁻

f (x) = −∞ , lim

x→1⁺

f (x) = + ∞ , si conclude che le rette di equazione x = −1 e x = 1 sono asintoti verticali in alto a destra per f mentre la retta di equazione x = 0 ` e un asintoto verticale in basso a sinistra per f .

Inoltre

x→+∞

lim f (x) = −∞ , lim

x→+∞

f (x) x = 0 ,

per cui non esistono asintoti orizzontali n´ e obliqui a destra per f . La funzione ` e derivabile e, per ogni x ∈ X

, risulta

f

(x) = x

− 1 x

x

− 1 − 2x

(x

− 1)

= − x

+ 1

x(x

− 1) .

Si riconosce facilmente che la derivata prima di f ` e sempre stretta- mente positiva e quindi la funzione ` e strettamente decrescente negli intervalli ] − 1, 0[ e ]1, +∞[. Non esistono massimi e minimi relativi (e neanche assoluti in quanto, a causa della presenza di asintoti verti- cali in alto e in basso, la funzione non ` e limitata n´ e superiormente n´ e inferiormente).

Per quanto riguarda la derivata seconda, la funzione ` e derivabile due volte e, per ogni x ∈ X

, risulta

f

(x) = x

+ 4x

− 1 x

(x

− 1)

.

Il segno della derivata seconda dipende solo dal numeratore che ri- sulta positiva per x

≤ −2 − √

5 e per x

≥ −2 + √

5; la prima disequazione non ammette soluzioni mentre la seconda ` e soddisfat- ta per x ≤ − √

−2 + √

5 e per x ≥ √

−2 + √

5; tenendo presente l’insieme di definizione della funzione, si deduce che f ` e strettamen- te convessa in ] − 1, − √

−2 + √

5] e in [1, + ∞[ e strettamente con- cava in [ − √

−2 + √

5, 0[. Il punto − √

−2 + √

5 ` e di flesso proprio (discendente) per f .

Il grafico della funzione ` e rappresentato approssimativamente nella Figura 4.

x y

Figura 4: Grafico della funzione del 10 gennaio 2007, traccia B.

2. Si osserva che x − log(1 + x) ∼ x

/2 per x → 0 in quanto, applicando la regola di L’Hˆ opital,

x

lim

x − log(1 + x) x

/2 = lim

x→0

1 −

x = 1 ; pertanto

( 1 n − log

( 1 + 1

n ))

∼ ( 1

2n

)

=

√ 2 2

1 n e quindi la serie non ` e assolutamente convergente.

Tuttavia, la serie ` e a segni alterni in quanto ( 1

n − log (

1 + 1 n

))

> 0 .

Inoltre la funzione x − log(1 + x) `e strettamente crescente per x ≥ 0 (infatti la sua derivata x/(1 + x) ` e positiva e si annulla solo in 0) e quindi, per ogni n ≥ 1, da 1/(n + 1) ≤ 1/n segue

1

n + 1 − log (

1 + 1 n + 1

)

< 1 n − log

( 1 + 1

n )

e poich` e la funzione radice ` e strettamente crescente

( 1

n + 1 − log (

1 + 1 n + 1

))

<

( 1 n − log

( 1 + 1

n ))

. Quindi la successione

(( 1 n − log

( 1 + 1

n

))

)

n≥1

` e strettamente decrescente ed ` e infinitesima (per quanto dimostra- to nella prima parte); dal criterio di Leibnitz segue che la serie ` e semplicemente convergente.

3. In forma trigonometrica risulta i = cos π

2 + i sin π

2 , √

3 + i = 2 (

cos π

6 + i sin π 6

)

; pertanto

(√ 3 + i )

= 8 (

cos π

2 + i sin π 2

)

e conseguentemente z = 1

8 (cos 0 + i sin 0) (= 1 8 ) . Le radici terze di z sono pertanto date dalla formula

w

=

√ 1 8

(

cos 0 + 2kπ

3 + i sin 0 + 2kπ 3

)

, k = 0, 1, 2 , ed esplicitamente si ha

w

= 1

2 (cos 0 + i sin 0) = 1 2 , w

= 1

2 (

cos 2π

3 + i sin 2π 3

)

= 1 2

(

− 1 2 + i

√ 3 2

)

= − 1 4 + i

√ 3 4 , w

= 1

2 (

cos 4π

3 + i sin 4π 3

)

= 1 2

(

− 1 2 − i

√ 3 2

)

= − 1 4 + i

√ 3

4 .

19 marzo 2007

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = sin (

2x − π 2

) cos x .

2. Studiare il seguente limite

x

lim

cos x − cos

(3

− 1)

x

.

3. Calcolare il seguente integrale definito

∫

π/6

arctan 1/ √

√ x

x dx .

Soluzione del 19 marzo 2007

1. La funzione ` e definita in tutto R. Utilizzando le formule sin(x−π/2) =

− cos x e cos 2x = 2 cos

−1, per ogni x ∈ R si ha f (x) = cos x(1 − 2 cos

x) .

Da tale espressione deriva subito che la funzione ` e pari oltre ad essere 2π-periodica. Pertanto ci si limiter` a a studiare la funzione nell’inter- vallo [0, π]. In tale intervallo si ha cos x ≥ 0 in [0, π/2] e 1−2 cos

x ≥ 0 in [π/4, 3π/4]. Da ci` o si deduce che f ` e positiva in [π/4, π/2] ∪[3π/4, π]

e negativa in [0, π/4] ∪[π/2, 3π/4]; le intersezioni con l’asse x si trovano nei punti 0, π/4, π/2, 3π/4, π e quella con l’asse y nell’origine.

La funzione ` e continua e periodica non costante per cui non pu` o avere asintoti. Essa ` e inoltre derivabile e, per ogni x ∈ [0, π], si ha

f

(x) = − sin x(1 − 2 cos

x) + 4 cos

x sin x = sin x(6 cos

x − 1) . Tenendo presente che nell’intervallo [0, π] la funzione seno ` e positiva, si ricava facilmente che f

(x) ≥ 0 per x ∈ [x

, π − x

], dove x

= arccos 1/ √

6 e f

(x) ≤ 0 per x ∈ [0, x

] ∪ [π − x

, π]. Quindi f ` e strettamente crescente in [x

, π − x

] e strettamente decrescente in ciascuno degli intervalli [0, x

] e [π − x

, π]. I punti x

e π sono di massimo relativo per f mentre i punti 0 e π − x

sono di minimo relativo per f . In tali punti risulta

f (0) = −1 , f(π) = 1 , f(x

) = 1

√ 6 cos (

2 arccos 1

√ 6 )

,

f (π − x

) = 1

√ 6 cos (

2 (

π − arccos 1

√ 6 ))

,

e quindi il punto 0 ` e di minimo assoluto per f mentre il punto π ` e di massimo assoluto per f .

Infine, f ` e derivabile due volte in [0, π] e si ha, per ogni x ∈ [0, π], f

(x) = cos x(18 cos

x − 13) .

Dallo studio del segno della derivata seconda si ricava che f ` e stret- tamente convessa negli intervalli [0, x

] e [π/2, π − x

], dove x

= arccos √

13/18 e strettamente concava negli intervalli [x

, π/2] e [π −

x

, π]; i punti 0, x

, π/2, π − x

, π sono tutti di flesso proprio per f .

Il grafico della funzione ` e rappresentato approssimativamente nella

Figura 5.

-Π Π

x y

Figura 5: Grafico della funzione del 19 marzo 2007.

2. Si ha

x

lim

cos x − cos

(3

− 1) x

= lim

x→0

( cos x − 1

x

+ 1 − cos

(3

− 1) x

)

= − 1 2 + lim

x→0

sin

(3

− 1) (3

− 1)

(3

− 1)

x

= − 1

2 + log

3 .

3. Integrando per parti si ha

∫

π/6

arctan 1/ √

√ x

x dx

= [

2 √

x arctan 1

√ x ]

π/6

−

∫

π/6

2 √

x 1

1 + 1/x (

− 1 2

) 1 x

dx

= 2 (√ π

3 arctan

√ 3 π −

√ π

6 arctan

√ 6 π

) +

∫

π/6

1 x + 1 dx

= 2 (√ π

3 arctan

√ 3 π −

√ π

6 arctan

√ 6 π

)

+ [log(1 + x)]

= 2 (√ π

3 arctan

√ 3 π −

√ π

6 arctan

√ 6 π

)

+ log 6 + 2π

6 + π .

4 aprile 2007

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = sin(2x) + cos x .

2. Studiare il seguente limite

x

lim

(cos x)

.

3. Calcolare le radici seste del seguente numero complesso

z = 4 (√

3 + i )

(1 − i)

.

Soluzione del 4 aprile 2007

1. La funzione ` e definita in tutto R ed `e 2π-periodica; pertanto verr`a studiata nell’intervallo [ −π, π]. Per ogni x ∈ R si ha

f (x) = cos x(1 + 2 sin x) .

Da tale espressione si ricava facilmente lo studio del segno di f ; infatti da 1 + 2 sin x ≥ 0 si ottiene sin x ≥ −1/2 che `e soddisfatta per x ∈ [ −π, −5π/6]∪[−π/6, π] e, poich´e cos x ≥ 0 in [−π/2, π/2], si deduce che f ` e positiva in [ −5π/6, −π/2]∪[−π/6, π/2] e negativa in [−π, −5π/6]∪

[ −π/2, −π/6] ∪ [π/2, π]; le intersezioni con l’asse x si trovano nei punti

−5π/6, −π/2, −π/6 e π/2 e quella con l’asse y in (0, 1).

La funzione ` e continua e periodica non costante per cui non pu` o avere asintoti. Essa ` e inoltre derivabile e, per ogni x ∈ [−π, π], si ha

f

(x) = −2 cos(2x) − sin x = −4 sin

x − sin x + 2 . Pertanto, posto x

= arcsin( −1/8 − √

33/8) e x

= arcsin( −1/8 −

√ 33/8), si ha f

(x) ≥ 0 per −1/8 − √

33/8 ≤ sin x ≤ −1/8 + √ 33/8 e quindi, posto x

= arcsin( −1/8− √

33/8) e x

= arcsin( −1/8− √ 33/8), si ha f

(x) ≥ 0 in [−π, −π − x

] ∪ [x

, x

] ∪ [π − x

, π] e f

(x) ≤ 0 in [ −π − x

, x

] ∪ [x

, π − x

]. Quindi f ` e strettamente crescente negli intervalli [ −π, −π −x

], [x

, x

] e [π −x

, π] e strettamente decrescente in [ −π − x

, x

] e in [x

, π − x

].

I punti −π − x

e x

sono di massimo relativo per f mentre i punti x

e π − x

sono di minimo relativo per f . Confrontando i valori della funzione nei punti di massimo e minimo relativo e tenendo presente che f ` e continua e 2π-periodica si deduce che il punto x

` e di massimo assoluto per f mentre il punto π − x

` e di minimo assoluto per f . Infine, f ` e derivabile due volte in [ −π, π] e si ha, per ogni x ∈ [−π, π],

f

(x) = − cos x(8 sin x + 1) .

Dallo studio del segno della derivata seconda si ricava che f ` e stretta- mente convessa negli intervalli [ −π − x

, −π/2] e [x

, π/2], dove x

= arcsin( −1/8) e strettamente concava negli intervalli [−π, −π − x

], [ −π/2, x

] e [π/2, π]; i punti −π − x

, −π/2, x

, π/2 sono tutti di flesso proprio per f .

Il grafico della funzione ` e rappresentato approssimativamente nella Figura 6.

2. Si ha innanzitutto

x

lim

(cos x)

= lim

x→0

e

.

-Π Π

x y

Figura 6: Grafico della funzione del 4 aprile 2007.

Poich´ e log cos x ` e un infinitesimo di ordine 2 in 0 (infatti

x

lim

log cos x x

= lim

x→0

log(1 + (cos x − 1) cos x − 1

cos x − 1 x

= − 1

2 ), mentre log x ` e un infinito di ordine arbitrariamente piccolo in 0, si ha lim

log

x log cos x = 0 e conseguentemente il limite assegnato ` e uguale ad 1.

3. In forma trigonometrica risulta

√ 3 + i = 2 (

cos π

6 + i sin π 6

)

, 1 − i = √ 2

( cos − π

4 + i sin − π 4

)

; pertanto

(√ 3 + i )

= 8 (

cos π

2 + i sin π 2

)

(1 − i)

= 2 (

cos − π

2 + i sin − π 2

)

e conseguentemente

z = 16 (cos π + i sin π) (= −16) . Le radici seste di z sono pertanto date dalla formula

w

= √

16

(

cos π + 2kπ

6 + i sin π + 2kπ 6

)

, k = 0, . . . , 5 ,

ed esplicitamente si ha

w

= √

4

( cos π

6 + i sin π 6

)

= √

4

(√ 3 2 + 1

2 i )

, w

= √

4 (

cos π

2 + i sin π 2

)

= √

4 i , w

= √

4 (

cos 5π

6 + i sin 5π 6

)

= √

4

(

−

√ 3 2 + 1

2 i )

,

w

= √

4

( cos 7π

6 + i sin 7π 6

)

= − √

4

(√ 3 2 + 1

2 i )

,

w

= √

4

( cos 3π

2 + i sin 3π 2

)

= − √

4 i ,

w

= √

4

(

cos 11π

6 + i sin 11π 6

)

= √

4

(√ 3 2 − 1

2 i )

.

2 luglio 2007

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = |2 cos

x − 3 sin x| .

2. Studiare la convergenza della seguente serie

+∞

∑

n=0

n arctan

n

2

.

3. Calcolare il seguente integrale indefinito

∫ 1

1 + e

dx .

Soluzione del 2 luglio 2007

1. La funzione ` e definita in tutto R e non verifica propriet`a di simmetria ma ` e periodica di periodo 2π. Pertanto verr` a studiata nell’intervallo Y = [ −π, π]. La funzione `e sempre positiva e si annulla per 2 cos

x − 3 sin x = 0 cio` e per 2 − 2 sin

x − 3 sin x = 0 che `e verificata per sin x = −2 (che non ha soluzioni) e sin x = 1/2 che nell’intervallo Y ha come soluzioni x = π/6 e x = 5π/6. L’intersezione con l’asse y si ha nel punto (0, 2). La funzione inoltre ` e continua e quindi non pu` o avere asintoti verticali; essendo anche periodica non costante non potr` a ammettere asintoti orizzontali n´ e obliqui. Nell’intervallo Y la funzione ` e derivabile sicuramente per x ≤ π/6, 5π/6 e, per ogni x ∈ Y \ {π/6, 5π/6} risulta

f

(x) = − |2 cos

x − 3 sin x|

2 cos

x − 3 sin x cos x (4 sin x + 3) .

Tenendo presente che 2 cos

x − 3 sin x ≥ 0 in [−π, π/6] ∪ [5π/6, π], nei punti π/6 e 5π/6 risulta

lim

x→π/6⁻

f

(x) = − cos π 6

( 4 sin π

6 + 3 )

= − 5 √ 3

2 , lim

x→π/6⁺

f

(x) = 5 √ 3 2 , lim

x→5π/6⁻

f

(x) = − 5 √ 3

2 , lim

x→5π/6⁺

f

(x) = 5 √ 3 2 , e quindi tali punti sono angolosi per f .

Infine, tenendo presente che in Y si ha cos x ≥ 0 in [−π/2, π/2] men- tre 4 sin x + 3 ≥ 0 in [−π, −π + arcsin 3/4] ∪ [− arcsin 3/4, π], si con- clude che f

(x) ≥ 0 in [−π, −π + arcsin 3/4] ∪ [−π/2, − arcsin 3/4] ∪ [π/6, π/2] ∪ [5π/6, π] mentre f

(x) ≤ 0 in [−π + arcsin 3/4, −π/2] ∪ [ − arcsin 3/4, π/6] ∪ [π/2, 5π/6]. Quindi f `e strettamente crescente in ciascuno degli intervalli [ −π, −π + arcsin 3/4], [−π/2, − arcsin 3/4], [π/6, π/2], [5π/6, π] ed ` e strettamente decrescente in ciascuno degli in- tervalli [ −π + arcsin 3/4, −π/2], [− arcsin 3/4, π/6], [π/2, 5π/6]. I pun- ti −π + arcsin 3/4, − arcsin 3/4 e π/2 sono punti di massimo relativo proprio per f mentre i punti −π/2, π/6 e 5π/6 sono punti di minimo relativo proprio per f ; in tali punti si ha

f (

−π + arcsin 3 4

)

= f (

− arcsin 3 4

)

= 25 8 , f

( π 2

)

= 3 ,

f ( − π

2 )

= 3 , f ( π

6 )

= f ( 5π

6 )

= 0 .

Da ci` o si deduce anche che il massimo assoluto della funzione ` e 25/8 e

viene assunto nei punti −π+arcsin 3/4 e − arcsin 3/4 mentre il minimo

assoluto della funzione ` e 0 e viene assunto nei punti π/6 e 5π/6.

La funzione ` e derivabile due volte in Y \ {π/6, 5π/6} e per ogni x ∈ Y \ {π/6, 5π/6} risulta

f

(x) = |2 cos

x − 3 sin x|

2 cos

x − 3 sin x (8 sin

x + 3 sin x − 4) .

Per brevit` a viene omesso lo studio del segno della derivata seconda.

Il grafico della funzione ` e rappresentato approssimativamente nella Figura 7.

x y

Figura 7: Grafico della funzione del 2 luglio 2007.

2. La serie ` e a termini positivi; tenendo presente che

n→+∞

lim

√

n = lim

n→+∞

n

= lim

n→+∞

e

= 1 , utilizzando il criterio della radice si ha

n→+∞

lim

n

√ n arctan

n

2

= lim

n→+∞

arctan n

2 = π

4 < 1 . Pertanto la serie ` e convergente.

3. Posto t = e

(da cui dx = dt/t) si ha

∫ 1

1 + e

dx =

∫ 1

t(1 + t) dt =

∫ ( 1 t − 1

1 + t )

dt

= log |t| − log |1 + t| + c = x − log(1 + e

) + c , c ∈ R .

16 luglio 2007

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = arctan (

− x

x

− 1

) .

2. Studiare la convergenza della seguente serie

+∞

∑

n=0

(

n

e

√

| sin n| ) .

3. Calcolare il seguente integrale definito

∫

1

log

x − 1

x dx .

Soluzione del 16 luglio 2007

1. La funzione arcotangente ` e definita in tutto R e quindi l’insieme di definizione X

viene ottenuto imponendo la condizione x

− 1 ̸= 0 da cui X

= R\{−1, 1}. Inoltre la funzione `e pari e non verifica propriet`a di periodicit` a. Pertanto essa pu` o essere studiata nell’intervallo Y = [0, + ∞[. Per quanto riguarda il segno della funzione si ha f(x) ≥ 0 se e solo se x

/(x

− 1) ≤ 0 e quindi, tenendo presente che x

` e sempre positivo mentre x

− 1 ≥ 0 in ] − ∞, −1] ∪ [1, +∞[, si conclude che f

` e positiva in ] − 1, 1[ e negativa in ] − ∞, −1[∪]1, +∞[; vi `e una sola intersezione con l’asse x nell’origine. La funzione inoltre ` e continua e quindi pu` o avere asintoti verticali solamente in ±1; tuttavia, poich´e

lim

x→−1^±

f (x) = ± π

2 , lim

x→1^±

f (x) = ∓ π 2 , non esistono asintoti verticali. D’altra parte

x→±∞

lim f (x) = arctan −1 = − π 4 ,

e quindi la retta di equazione y = −π/4 `e un asintoto orizzontale sia a sinistra che a destra per f .

La funzione ` e derivabile e per ogni x ∈ X

risulta f

(x) = 1

1 +

( −

)

(

− 2x(x

− 1) − 2x

(x

− 1)

)

= 2x

2x

− 2x

+ 1 .

Tenendo presente che 2x

− 2x

+ 1 ` e sempre strettamente positivo, si ricava che f

(x) ≥ 0 in [0, 1[∪]1, ∞[ mentre f

(x) ≤ 0 in ] −∞, −1[∪] − 1, 0]. Pertanto f ` e strettamente crescente in ciascuno degli intervalli [0, 1[ e ]1, ∞[ ed `e strettamente decrescente in ciascuno degli intervalli ] −∞, −1[ e ]−1, 0]. Il punto 0 `e di minimo relativo per f; dallo studio degli asintoti verticali ed orizzontali si deduce inoltre che f ` e limitata ma non ` e dotata di massimo assoluto n´ e di minimo assoluto.

Infine, la funzione ` e derivabile due volte e per ogni x ∈ X

risulta f

(x) = −2 6x

− 2x

− 1

(2x

− 2x

− 1)

.

Dallo studio del segno della derivata seconda si deduce che f

(x) ≥ 0

in 

−

√ 1 + √

7

6 ,

√ 1 + √

7 6





ed in tale intervallo la funzione ` e strettamente convessa. Inoltre la funzione ` e strettamente concava in ognuno degli intervalli

] − ∞, −1[ ,



−1, −

√ 1 + √

7 6



 ,





√ 1 + √

7 6 , 1



 , ]1, +∞[ .

I punti ± √ (1 + √

7)/6 sono di flesso proprio per f .

Il grafico della funzione ` e rappresentato approssimativamente nella Figura 8.

x y

Figura 8: Grafico della funzione del 16 luglio 2007.

2. La serie ` e a termini positivi; tenendo presente che la funzione √

| sin n|

` e limitata (compresa tra 0 e 1), che n

` e un infinito di ordine 3 mentre e

` e un infinitesimo di ordine arbitrariamente grande, si conclude che il termine generale della serie ` e un infinitesimo di ordine arbitra- riamente grande e quindi, per il criterio sull’ordine di infinitesimo, la serie ` e convergente.

3. Posto t = log x (da cui dx/x = dt) e tenendo presente che log 1 = 0 e log e = 1 si ha

∫

1

log

x − 1

x dx =

∫

0

(t

− 1) dt = [ t

3 − t ]

0

= 1

3 − 1 = − 2

3 .

3 settembre 2007

1. Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = log (

1 + √

1 − x

) .

2. Studiare il seguente limite

x

lim

cos(e

− 1) − cos x log cos x .

3. Calcolare le tre radici terze del numero complesso (1 + i)

(√ 3 + i )

.

4. Applicare il criterio della radice alla seguente serie numerica

+∞

∑

n=0

(e

+ 1)

.

Soluzione del 3 settembre 2007

1. Per quanto riguarda l’insieme di definizione bisogna imporre solamente la condizione 1 − x

≥ 0 e quindi l’insieme di definizione `e dato da X

= [ −1, 1]. La funzione `e pari e inoltre `e sempre positiva e si annulla solamente nei punti ±1, che di conseguenza risultano essere punti di minimo. L’intersezione con l’asse y ` e nel punto (0, log 2). La funzione ` e continua ed ` e definita in un insieme chiuso e limitato per cui non possono esistere asintoti. La funzione ` e derivabile in ] − 1, 1[ e per ogni x ∈] − 1, 1[ si ha

f

(x) = 1 1 + √

1 − x

−2x 2 √

1 − x

= − x

√ 1 − x

( 1 + √

1 − x

) . In ±1 si ha lim

f

(x) = ∓∞ e quindi f `e solamente dotata di derivata ma non derivabile in tali punti e si ha f

(±1) = ∓∞. Il segno della derivata prima ` e positivo in ] − 1, 0] e negativo in [0, +∞[. Si deduce che f ` e strettamente crescente in [ −1, 0] e strettamente decre- scente in [0, 1]. Il punto 0 ` e di massimo assoluto per f (e tale massimo

` e uguale a log 2) mentre i punti ±1 sono di minimo assoluto per f e tale minimo vale 0. Infine, per quanto riguarda la derivata la deri- vata seconda, la funzione ` e derivabile due volte in ] − 1, 1[ e per ogni x ∈] − 1, 1[, si ha

f

(x) = − 1 + (1 + x

) √ 1 − x

(1 − x

) √

1 − x

( 1 + √

1 − x

) .

Poich` e la derivata seconda ` e sempre negativa, si deduce che la funzione

` e strettamente concava.

Studiare la seguente funzione e tracciarne approssimativamente il gra- fico

f (x) = log (

1 + √

1 − x

) .

Il grafico della funzione ` e rappresentato approssimativamente nella

Figura 9.

x y

Figura 9: Grafico della funzione del 3 settembre 2007.

2. Utilizzando i limiti notevoli, si ha

x→0

lim

cos(e

− 1) − cos x log cos x

= lim

x→0

cos(e

− 1) − cos x x

cos x − 1 log (1 + (cos x − 1))

x

cos x − 1

= −2 lim

x→0

( cos(e

− 1) − 1

x

+ 1 − cos x x

)

= −2 lim

x→0

(

cos(e

− 1) − 1 (e

− 1)

( e

− 1 x

)

+ 1 − cos x x

)

= −2 (

− 1 2 + 1

2 )

= 0.

3. Si ha

1 + i = √ 2

( cos π

4 + i sin π 4

)

da cui

(1 + i)

= 2 √ 2

( cos 3π

4 + i sin 3π 4

)

e analogamente √

3 + i = 2 (

cos π

6 + i sin π 6

)

da cui (√

3 + i )

= 8 (

cos π

2 + i sin π 2 )

. Pertanto

(1 + i)

(√ 3 + i )

=

√ 2 4

( cos π

4 + i sin π 4

)

e conseguentemente le radici terze sono date dalla formula

w

=

√√ 2 4

(

cos π/4 + 2kπ

3 + i sin π/4 + 2kπ 3

)

, k = 0, 1, 2 .

Pi` u esplicitamente, w

=

√

2

√

4 (

cos π

12 + i sin π 12

) , w

=

√

2

√

4 (

cos 3π

4 + i sin 3π 4

) , w

=

√

2

√

4 (

cos 17π

12 + i sin 17π 12

) .

Si osservi che si poteva dedurre subito che una delle radici ` e proprio (1 + i)/( √

3 + i) e le altre due potevano essere determinate in base alle propriet` a geometriche (devono formare i vertici di un triangolo equi- latero inscritto in una circonferenza con centro nell’origine). Questa osservazione avrebbe consentito anche di ottenere in maniera semplice le radici terze in forma algebrica.

4. Bisogna considerare il limite

n→+∞

lim

n

√

(e

+ 1)

= lim

n→+∞

(e

+ 1)

= lim

n→+∞

e

. Poich´ e lim

arctan(n/2) = π/2 e

n→+∞

lim

log (e

+ 1)

n = 1

(si riconosce facilmente applicando la regola di l’Hˆ opital), si conclude

che il limite considerato ` e uguale a e

> 1 e quindi la serie assegnata

non converge.