Piani nello spazio

Esercizi di Algebra Lineare Piani nello spazio reale

Anna M. Bigatti 8 ottobre 2012

Piani nello spazio

in R³ Forma cartesiana Forma parametrica

piano

ax + by + cz + d = 0







x = at + a⁰s + x0

y = bt + b⁰s + y0

z = ct + c⁰s + z0

⊥ v = (a, b, c) k v = (a, b, c) e k v⁰= (a⁰, b⁰, c⁰) passante per P (x0, y0, z0) passante per P (x0, y0, z0) ((x, y, z) − P ) · v = 0 ((x, y, z) − P ) = t · v + s · v⁰

Esercizio 1. (*) Scrivere una rappresentazione in forma cartesiana e una in forma parametrica del piano passante per A(1, 0, 0) , B(0, 1, 2) , C(1, −2, −1)

Esercizio 2. (*) I punti A(1, 1, 0) , B(−1, −1, 2) , C(1, 1, 3) , D(2, 2, 0) sono complanari? Se s`ı, determinare un’equazione del piano che li contiene.

Esercizio 3. Trovare due rette distinte per A(2, −1, 1/2) e giacenti nel piano x + 2y = 0 . Esercizio 4. Dato il punto P (0, 1, 2) nello spazio reale, determinare

(a) il piano passante per P e ortogonale alla retta x = y = z − 2 ; (b) un piano passante per P e parallelo alla retta x = y = z − 2 ; (c) il piano passante per P e parallelo al piano x − 3y + z = 0 ; (d) un piano passante per P e ortogonale al piano x − 3y + z = 0 ;

Esercizio 5. Siano dati il piano π : −x + y + z + 6 = 0 e la retta r : x = 1 − y + z = −1 + 2x . Il punto P (−1, 0, 4) sta sul piano? sulla retta? Determinare π ∩ r .

Esercizio 6. Dato il piano π : 2x − y + z = 0 determinare

(a) una retta r su π e un punto P ∈ π non appartenente alla retta r . (b) una retta r⁰ passante per P e parallela a r .

Esercizio 7. Dare una rappresentazione parametrica e una cartesiana per (a) l’asse x , y , z ;

(b) la retta parallela all’asse x passante per A(1, 2, 3) ; (c) una generica retta parallela all’asse y ;

1

(d) una generica retta passante per l’origine;

(e) il piano xy , il piano yz , il piano xz ; (f) un generico piano parallelo al piano yz ;

(g) il piano passante per l’asse z e il punto B(5, 6, 7) ; (h) un generico piano passante per l’asse z ;

(i) un generico piano passante per l’origine.

Esercizio 8.

r :

 x + 2y − z = 2 2x + z = −1 s :

 2x + y − z = 0

x + y + z + 2 = 0 r⁰ :







x = t + 1 y = 2 − t z = t

s⁰ :







x = 2 + t y = t z = 3t (a) per ogni coppia dire se le rette sono perpendicolari o parallele, e poi se sono complanari

o sghembe (cio`e non parallele e non incidenti).

(b) Trovare l’intersezione di r e s , di r e r⁰, di r⁰ e s⁰.

Esercizio 9. Dati il punto P (2, −1, 3) , il piano π : 3x + y − z + 9 = 0 e la retta r : y = 1 − x + z = −1 + 2x . Determinare, se esiste, la retta passante per P , parallela a π e a r . Esercizio 10. Siano dati il punto P (0, −2, 3) , il piano π = (s − t, 2s, s + t) s, t ∈ R e la retta r : y − x + z = 1 + x − z = 0 .

(a) Determinare il piano π⁰ passante per P e parallelo a π . (b) Calcolare π⁰∩ r .

Esercizio 11. Dati il piano π = (s − t, 2s, s + t) s, t ∈ R e il piano π⁰: y − x + z − 1 = 0 . (a) Rappresentare in forma parametrica la retta r = π ∩ π⁰.

(b) Trovare la retta parallela a r e passante per l’origine.

Esercizio 12. Dati il piano π = (s + t, 2s, s − t) s, t ∈ R e la retta r = (2s, 2s, 0) s ∈ R : (a) `E vero che r ⊂ π ?

(b) Trovare il piano π⁰ contenente r e perpendicolare a π .

Esercizio 13. Siano dati il piano π : x + y + z + 5 = 0 e la retta r :

 x = 1 − y z = −1 + 2x . Determinare, se esiste, il piano contenente r e parallelo a π .

Esercizio 14. (*) Determinare, se esiste, un piano che contiene le due rette (a) r : (2t, 3t − 1, −t) e s : (t + 1, t, t + 3)

(b) r1 : (2t, 3t − 1, −t + 2) e s : (t + 1, t, t + 3)

Soluzioni di alcuni esercizi

Esercizio 1: Soluzione

Forma parametrica: un’equazione del piano parallelo a (B − A) = (−1, 1, 2) e (C − A) = (0, −2, −1) e passante per A(1, 0, 0) `e (x, y, z) = t(−1, 1, 2) + s(0, −2, −1) + (1, 0, 0) , cio`e







x = −t + 1 y = t − 2s z = 2t − s

t, s ∈ R

Forma cartesiana: so che v = (B − A) × (C − A) `e ⊥ (B − A) e ⊥ (C − A) . Allora il piano cercato `e il piano perpendicolare a v = (−1, 1, 2) × (0, −2, −1) = (3, −1, 2) e passante per A(1, 0, 0) , cio`e (x − 1, y, z) · (3, −1, 2) = 0 , quindi 3x − y + 2z − 3 = 0 . ut

2

Esercizio 2: Soluzione

I punti A(1, 1, 0) , B(−1, −1, 2) , C(1, 1, 3) , D(2, 2, 0) sono complanari?

Calcolo il piano per A , B , C in forma cartesiana: vettore perpendicolare a (A−B) e (C −B) : v = (A − B) × (C − B) = (2, 2, −2) × (2, 2, 1) = (6, −6, 0) = 6(1, −1, 0) . Il piano cercato `e il piano ⊥ v e passante per A cio`e π : ((x, y, z) − A) · (1, −1, 0) = 0 , quindi π : x − y = 0 (Verifica: passa per A , B , C (...)).

Verifica: D ∈ π ? x_D− y_D= 2 − 2 = 0 vero!

Conclusione: A , B , C , D sono complanari e stanno tutti sul piano π : x − y = 0 . ut Esercizio 14: Soluzione

Vediamo due possibili approcci al problema:

Due rette sono complanari se sono parallele o incidenti.

(a) Il vettore direzionale di r `e v<sub>r</sub>= (2, 3, −1) , e il vettore direzionale di s `e v_s= (1, 1, 1) . Non sono proporzionali, quindi le due rette non sono parallele.

Per vericare se sono incidenti scrivo s in forma parametrica: da y = t ricavo

 x = y + 1 z = y + 3 e sostituisco il punto generico di r

 2t = (3t − 1) + 1

−t = (3t − 1) + 3 −→

 t = 0

0 = 2 che non ha soluzione. Quindi le due rette non hanno punti in comune.

Conclusione: le due rette non sono complanari.

(b) Il vettore direzionale di r⁰ `e vr<sup>0</sup> = (2, 3, −1) , e il vettore direzionale di s `e vs= (1, 1, 1) . Non sono proporzionali, quindi le due rette non sono parallele.

Sostituisco il punto generico di r⁰ e ottengo

 2t = (3t − 1) + 1

−t + 2 = (3t − 1) + 3 −→

 t = 0 2 = 2 che ha soluzione t = 0 . Sostituisco nel punto generico di r⁰ e trovo il punto di intersezione:

(0, −1, 2) .

Allora il piano π : t · v_r⁰ + a · v_s+ (0, −1, 2) contiene r⁰ (per a = 0 ) e contiene s (per t = 0 e b = a + 1 ).

Conclusione: le due rette sono complanari e il piano che le contiene `e π :







x = 2t + a y = 3t + a − 1 z = −t + a + 2 Vediamo uno svolgimento alternativo con CoCoA:

Use QQ[x,y,z, t];

-- (a)

r := [2*t, 3*t-1, -t];

s := [t+1, t, t+3];

-- cerco due punti su r e due punti su s per vedere se sono complanari A := subst(r, [[t,0]]); A; -- [0, -1, 0]

B := subst(r, [[t,1]]); B; -- [2, 2, -1]

C := subst(s, [[t,0]]); C; -- [1, 0, 3]

D := subst(s, [[t,1]]); D; -- [2, 1, 4]

u := A-B; u; -- [-2, -3, 1]

v := A-C; v; -- [-1, -1, -3]

w := A-D; w; -- [-2, -2, -4]

-- i 4 punti sono complanari se il prodotto misto e’ uguale a 0:

3

ScalarProduct(u, wedge(v,w));

-- -2

-- Conclusione: le due rette non sono complanari -- (b)

r1 := [2*t, 3*t-1, -t+2];

s := [t+1, t, t+3];

-- cerco due punti su r’

A := subst(r1, [[t,0]]); A; -- [0, -1, 2]

B := subst(r1, [[t,1]]); B; -- [2, 2, 1]

u := A-B; u; -- [-2, -3, 1]

v := A-C; v; -- [-1, -1, -1]

w := A-D; w; -- [-2, -2, -2]

-- i 4 punti sono complanari se il prodotto misto e’ uguale a 0 ScalarProduct(u, wedge(v,w));

-- 0 ==> quindi le due rette sono complanari -- cerco il piano che contiene i punti A, B, C:

w := A-[x,y,z]; w;

ScalarProduct(u, wedge(v,w));

-- -4*x +3*y +z +1 = 0 -- Verifico:

subst(-4*x +3*y +z +1, [[x,2*t], [y,3*t-1], [z,-t+2]]); --> 0 ==> contiene r1 subst(-4*x +3*y +z +1, [[x,t+1], [y,t], [z,t+3]]); --> 0 ==> contiene s

-- Conclusione: le rette r’ e s cono contenute nel piano pi: -4*x +3*y +z +1 = 0 u t

4