SISTEMA DI POSIZIONAMENTO e (NAVIGAZIONE SATELLITARE)

MATEMATICA & REALTA’

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SISTEMA DI POSIZIONAMENTO e

(NAVIGAZIONE SATELLITARE)

Primo Brandi – Anna Salvadori

Dipartimento di Matematica e Informatica Università degli Studi di Perugia

email: mateas@unipg.it

Laboratori di innovazione didattica

INDICE

Fasi del percorso 3

Introduzione 5

1 Sistema di posizionamento satellitare 5

Una prima descrizione sommaria 7

2 Indirizzi e coordinate di riferimento 8

2.1 Coordinate di riferimento caso uni-dimensionale 8 2.2 Coordinate di riferimento caso bi-dimensionale 8 2.3 Coordinate di riferimento caso tri-dimensionale 10

2.4 Trasformazione di coordinate 11

2.5 Coordinate cilindriche 12

2.6 Coordinate sferiche o coordinate polari nello spazio 13 2.7 Coordinate geografiche, latitudine e longitudine 14 2.8 Localizzazione di un punto attraverso punti noti 16

3 Il sistema di localizzazione GPS 18

3.1 Un primo modello teorico 18

3.2 Un modello rettificato 25

3.3 Note supplementari sul sistema GPS 30

Fasi del percorso

I) Sistema di posizionamento globale satellitare

Il problema nel suo contesto. Esigenze che conducono alla nascita di un sistema di posizionamento globale (GPS Global positioning system). Il primo sistema e sue evoluzioni.

Applicazioni di tipo civile [navigazione per terra, cielo e mare; rilievi topografici anche di alta precisione; rilievi cinematici (posizione e velocità) di alta precisione;

tele-sorveglianza; monitoraggio delle deformazioni della crosta terrestre, etc.]

Il sistema GPS: una prima descrizione dei tre segmenti del sistema [segmento spaziale, segmento di controllo, segmento utente]

II) Il problema del posizionamento

Posizionamento assoluto e posizionamento relativo. Sistema cartesiano 2D a partire da tre punti non allineati. Sistema 3D a partire da 4 punti non complanari. Il poligono di tiro. Il problema del posizionamento sulla retta, nel piano e nello spazio.

Applicazioni alla topografia. Coordinate geografiche, sferiche e cartesiane.

III) Il principio di funzionamento del sistema GPS

Contributo di uno, due, tre satelliti ai fini della localizzazione. Localizzazione del ricevitore come intersezione di tre sfere ovvero come soluzione di un sistema di tre equazioni non lineari in tre incognite. Il tempo come misura indiretta della distanza.

Le misure astronomiche. Il telemetro a ultrasuoni o laser.

IV) Il problema della misura simultanea delle distanze satelliti-ricevitore

Precisione richiesta nelle misure. Gli orologi atomici. Offset degli orologi. L’aggiunta di una quarta incognita. Il sistema di quattro equazioni non lineari in quattro

incognite.

V) Soluzione del problema GPS

Esistenza della soluzione. La soluzione terrestre e la soluzione spaziale. Il problema di Apollonio nel piano e nello spazio. Soluzione del problema piano e spaziale di Apollonio da parte di Newton e Férmat, rispettivamente. Il problema GPS come problema di Apollonio. Soluzione per via geometrica del problema GPS.

Calcolo della soluzione GPS per via algebrica.

Algoritmo iterativo per il calcolo approssimato della soluzione terrestre.

VI) Il segmento spaziale e il segmento di controllo

Disposizione dei satelliti. Piani orbitali e loro inclinazione. Orbite e periodo di rotazione. Strumenti a bordo. Orologi a bordo, loro accuratezza e loro sincronismo. Il segnale emesso dai satelliti. Stazioni di monitoraggio.

Stazione principale di controllo. Posizione accurata dei satelliti e descrizione dell’orbita. Flusso dati verso i satelliti.

VII) Ancora sul segmento spaziale

Moto ideale dei satelliti [orbita ellittica; posizione predicibile nel tempo grazie alla leggi di Keplero]. Moto reale dei satelliti [fluttuazioni periodiche e degradazione delle orbite; effetti gravitazionali dovuti alla disomogeneità della terra e alla presenza della luna e del sole; disturbo atmosferico (ionosferico e troposferico)]. Descrizione locale dell’orbita.

Effetti sul segnale [effetto multipath; rumore elettronico di misura, etc.]

VIII) Il segmento utente

Apparecchio ricevente delle dimensioni di un cellulare per la elaborazione in

tempo reale della posizione. Navigatore 3D. Sistema di acquisizione dati mediante una rete di punti riceventi.

IX) Il problema della navigazione

Rilevamento dinamico della propria posizione in tempo reale su una mappa digitale. Cammino di minima lunghezza (shortest) e cammino di minimo tempo (quickest) su un grafo. Algoritmi per il calcolo.

Approfondimenti opzionali

X) La misura del tempo

Gli strumenti di misura del tempo nel corso dei secoli. L’unità di misura del tempo nel S.I. Il secondo atomico e gli orologi atomici. Alcuni sistemi di riferimento. Tempo siderale, tempo solare, tempo civile, tempo universale. Il Master Clock USA.

XI) Curve geodetiche o cammini di minima lunghezza

Curve geodetiche nel piano, su un cubo, su una sfera, su un ellissoide, su un cilindro, su un cono.

Curve geodetiche su una griglia. Percorso ottimale di un SMS o di un

messaggio e-mail.

Introduzione

1. Sistema di posizionamento satellitare

Nel depliant pubblicitario di un’auto berlina di recente produzione si legge:

Il sistema di navigazione satellitare adotta una grafica innovativa 3D per mostrare strade e percorsi in maniera più chiara e definita; inoltre è previsto un disco ausiliario che contiene le mappe di ben 10 paesi europei, con più di 500 punti di interesse e tutti i distributori di carburante dislocati sul territorio.

Si tratta di una illustrazione dell’innovativo sistema di navigazione G PS (Global Positioning System) istallato sulla vettura.

Il GPS è un metodo di posizionamento basato sulla ricezione di segnali provenienti da satelliti artificiali. Realizzato per esigenze militari dagli Stati Uniti d’America intorno agli anni settanta, solo in un secondo momento è stato concesso per applicazioni di tipo civile

¹

. Una rete di satelliti artificiali - in rotazione attorno alla terra – emette segnali contenenti una serie di dati che acquisisti ed opportunamente elaborati da uno strumento ricevente permettono il posizionamento del ricevente in un riferimento cartesiano ortogonale geocentrico 3D oppure in coordinate geografiche (latitudine, longitudine, altitudine sul livello del mare).

1Un analogo sistema - il GLONASS (GLObalnaya NAviagatsinnaya Sputnikovaya Sistema - è stato realizzato dalla Unione Sovietica negli stessi anni.

Utilizzi civili del

GPS

Il sistema GPS consente vari utilizzi civili fra i quali:

1.

navigazione in terra, mare e cielo

2.

monitoraggio delle deformazioni della crosta terrestre

3.

rilievi topografici anche di alta precisione

4.

rilievi cinematici (posizione e velocità) di alta precisione

5.

tele-sorveglianza a scopo antifurto

Posizionamento

assoluto

I dati acquisiti dal ricevitore vengono elaborati in modo autonomo per determinare la posizione del ricevitore stesso.

Il metodo può essere applicato in tempo reale e consente una precisione di qualche decimetro per i ricevitori militari e di 10-12 metri per quelli disponibili in commercio per l’utenza civile.

In particolare, i ricevitori GPS istallati su autoveicoli sono in grado di mostrare la propria posizione su una cartina geografica che può essere via via ingrandita fino a diventare una carta topografica in cui sono evidenziate le strade principali (vedi figura).

Posizionamento relativo

Per aumentare il grado di precisione si crea una rete di ricevitori interconnessi tra loro di cui uno funge da punto di riferimento (di cui è nota l’esatta posizione).

L’elaborazione dei dati acquisiti dai ricevitori, molto più complessa di quella del caso precedente, consente precisioni dell’ordine del centimetro o addirittura del millimetro per sistemi ad altissima precisione, quali il monitoraggio delle deformazioni della crosta terrestre.

Ci limitiamo ad illustrare il funzionamento del GPS per sistemi di navigazione.

Un sistema GPS si compone di tre segmenti:



segmento spaziale



segmento di controllo a terra



segmento utente

segmento utente

Una prima descrizione sommaria

Segmento

spaziale

Il segmento spaziale si compone di 24 satelliti artificiali, con un orbita quasi circolare, raggio

²

di 26.000 km e periodo di circa 12 ore.

Segmento

controllo a terra

Il sistema è progettato in modo da garantire in ciascun punto della terra la visibilità di almeno quattro satelliti.

Ciascun satellite è provvisto di pannelli solari per l’approvvigionamento energetico e di retrorazzi per eventuali manovre correttive dell’orbita.

Inoltre è munito di misuratori di tempo

³

ad altissima precisione.

Sei stazioni di monitoraggio distribuite lungo la fascia equatoriale garantiscono un accurato monitoraggio dei satelliti (traiettoria, sincronismo degli orologi, correttezza del segnale, etc…). I dati raccolti dalle stazioni di monitoraggio sono trasmessi ad una stazione principale a Falcon (Colorado) che li elabora ed eventualmente invia le opportune correzioni direttamente ai satelliti. In particolare, gli orologi sono sincronizzati ad ogni giro con il tempo di Colorado Spring (tempo GPS).

Segmento utente

Un apparecchio ricevente delle dimensioni di un cellulare, munito di antenna

⁴

, capta i segnali (ad alta frequenza) trasmessi verso terra dai satelliti. I dati acquisiti vengono ela- borati in tempo reale dall’apparecchio stesso.

Nell’arco di qualche minuto appaiono sul display sia la posizione dell’apparecchio ricevente GPS, segnata su una cartina topogra- fica, sia le sue coordinate geografiche

⁵

.

2I satelliti, che hanno una massa di circa 8 tonnellate, non sono geo-stazionari e viaggiano a circa 4 km/s ad un’altitudine media di 22.000 km.

3 Costituito da quattro oscillatori (due al cesio e due al rubidio)

4 Le antenne dei ricevitori GPS devono poter vedere il cielo libero su di sé per ricevere il segnale satellitare;

così non funzionano in galleria o nei garage sotterranei.

5 Latitudine e longitudine nei sistemi di navigazione per terra e mare, mentre è aggiunta l’altitudine in quelli di navigazione aerea.

2. Indirizzi e coordinate di riferimento

Quotidianamente facciamo uso di diversi indirizzari e sistemi di riferimento quali elenco telefonico, carte stradali e geografiche, mappe topografiche, GPS (global positioning system).

Il sistema di riferimento cartesiano è un modello generale ed astratto che unifica varie strutture di indirizzo e posizionamento. Ne proponiamo una introduzione nell’ottica del nostro percorso.

2.1 Coordinate di riferimento - Caso uni-dimensionale

Coppia di

riferimento

Due punti (distinti) A, B di una retta individuano un sistema di riferimento cartesiano sulla retta stessa.

Assunto infatti un punto (per esempio, A) come origine O del sistema e scelto il segmento AB come unità di misura, resta univocamente individuato un orientamento, o verso di percorrenza, della retta .

Corrispondenza

biunivoca

A ogni punto P della retta si associa un numero reale x, detto ascissa del punto P, ottenuto come misura del segmento orientato OP rispetto all’unità di misura OU (ove si è posto U = B):

OP xOU

Tale corrispondenza (tra i punti della retta e i numeri reali) è biunivoca.

Riferimento

cartesiano

In seguito indicheremo con OxU un sistema di riferimento cartesiano di ascissa x e unità di misura OU su una retta.

2.2 Coordinate di riferimento - Caso bi-dimensionale

Terna o triangolo

di riferimento

Un triangolo ABC (non degenere) individua un sistema di riferimento cartesiano nel piano.

Assunto infatti un vertice (per esempio, A) come origine del sistema, e scelti gli altri due (B e C) come punti unità degli assi, restano individuati l’origine del sistema di riferimento, l’asse delle ascisse (AB), l’asse delle ordinate (AC) e il loro orientamento.

1

0 x

P

A ogni punto P del piano è associata una coppia ordinata (x, y) di numeri reali. La corrispondenza fra punti del piano e coppie (x, y) è biunivoca.

Preferibilmente si ricorre, per la loro semplicità, a sistemi di riferimento cartesiani ortogonali.

Sistemi

monometrici

I sistemi di riferimento cartesiani ove i due assi coordinati hanno la stessa unità di misura sono detti monometrici. Questi sistemi sono utilizzati preferibilmente per la rappresentazione di grandezze adimensionali.

Sistemi dimetrici

In numerose applicazioni, le grandezze riportate sugli assi sono dimensionalmente non omogenee, come tempo e spazio, tempo e volume, pressione e volume, età e peso ecc. In questo caso si utilizza un sistema di riferimento dimetrico, cioè che adotta unità di misura diverse negli assi coordinati.

Inoltre, anche se le grandezze sono omogenee, per ottenere una rappresentazione efficace, spesso si rende necessario (o quanto meno è opportuno), utilizzare un sistema di metrico..

Naturalmente, se si utilizzano segmenti di lunghezza diversa per rappresentare le unità di misura sugli assi, la forma di una figura può cambiare radicalmente, come è messo in luce nel § 4.3.2 di [BS 2004].

Notazioni

semplificate

In seguito indicheremo con OxyUV (o più semplicemente Oxy) un sistema di riferimento cartesiano con origine nel punto O e avente come unità di misura degli assi x ed y, rispettivamente i segmenti OU ed OV.

I sistemi monometrici saranno indicati semplicemente con OxyU.

2.3 Coordinate di riferimento - Caso tri-dimensionale

Quaterna o tetraedro di riferimento

Un tetraedro ABCD (non degenere) individua un sistema di riferimento cartesiano nello spazio.

Assunto infatti un vertice (per esempio, A) come origine del sistema, e scelti gli altri tre (B, C, D) come punti unità degli assi, restano individuati l’origine del sistema di riferimento, l’asse delle ascisse (AB), l’asse delle ordinate (AC), l’asse delle quote (AD) e il loro orientamento.

B

A

C D

A ogni punto P dello spazio è associata una terna ordinata (x, y,z) di numeri reali. La corrispondenza fra punti dello spazio e terne (x, y,z) è biunivoca.

Preferibilmente si ricorre, per la loro semplicità, a sistemi di riferimento cartesiani ortogonali.

Sistemi

monometrici

I sistemi di riferimento cartesiani ove i tre assi coordinati hanno la stessa unità di misura sono detti monometrici. Questi sistemi sono utilizzati preferibilmente per la rappresentazione di grandezze adimensionali.

Sistemi dimetrici

Anche in 3D i sistemi di riferimento cartesiani che adottano unità di misura diverse negli assi coordinati sono detti sistemi dimetrici.

Notazioni

semplificate

In seguito indicheremo con OxyUVW (o più semplicemente Oxyz) un

sistema di riferimento cartesiano con origine nel punto O e avente come

unità di misura degli assi x, y e z, rispettivamente i segmenti OU, OV,

OW. I sistemi monometrici saranno indicati semplicemente con OxyU.

2.4 Trasformazione di Coordinate

Coordinate polari

nel piano

Assegnato un sistema cartesiano ortogonale Oxy nel piano, un punto )

, ( x y

P  può essere individuato anche assegnando le coordinate polari (  ,  ) ove

  x

²

 y

²

rappresenta la distanza del punto P dall’origine e  è l’angolo formato tra il segmento OP e il semiasse positivo delle ascisse (cfr.

figura). Se P coincide con l’origine assumeremo l’angolo  =0 .





x y

o

P

Da coordinate polari a coordinate cartesiane

L’equazione della trasformazione da coordinate polari a coordinate cartesiane è dunque

 













 sin cos y

x

ove   [ 0 ,  [,   R

2.4.1 Approfondimento

Scrivere l’equazione della trasformazione inversa, da coordinate cartesiane a coordinate polari.

2.4.2 Approfondimento

Scrivere l’equazione in coordinate polari di una circonferenza con centro nell’origine.

2.4.3 Approfondimento

Scrivere l’equazione di un segmento AB giacente sugli assi coordinati.

2.5 Coordinate cilindriche

Coordinate cilindriche nello spazio

Per rappresentare insiemi che abbiano qualche simmetria rispetto all’asse z sono utili le coordinate cilindriche ( , , )

 

t ove

cos sin x

y z t

  

   

 



ove

^{  }

^{[0, [}  ^{0, 2}

^

 ^t

^

^R

x

y z

t

P

 

2.6 Coordinate sferiche o coordinate polari nello spazio

Coordinate polari nello spazio

Assegnato un sistema cartesiano ortogonale Oxyz nello spazio, un punto )

, , ( x y z

P  può essere individuato anche assegnando le coordinate polari (  ,  ,  ) ove

 è detto raggio vettore (distanza PO)

 è detta distanza zenitale o co-latitudine

(angolo formato da PO con l'asse z, dove O è l'origine degli assi)

 si chiama azimut o longitudine

(angolo formato da OH con l'asse x dove H è la proiezione ortogonale del punto P sul piano xy)

Da coordinate polari a coordinate cartesiane

L’equazione della trasformazione da coordinate polari a coordinate cartesiane è dunque

(2.6.1)

sin cos sin cos sin x

y z

  

  

 

 

  

   ove

[0, [ [0, 2 ] [0, ]

     

2.6.1 Approfondimento

Scrivere l’equazione di una circonferenza con centro nell’origine e giacente su un piano parallelo al piano xy.

2.6.2 Approfondimento

Scrivere l’equazione di una sfera con centro nell’origine.

2.7 Coordinate geografiche, latitudine e longitudine

Si suppone che la superficie terrestre sia, in prima approssimazione, di forma sferica (  =costante).

Nel sistema di coordinate terrestri geocentrico si sceglie come piano xy (detto

piano fondamentale) quello dell'equatore, mentre la direzione dell’asse z (direzione fondamentale) è l'asse di rotazione della Terra.

Un qualunque piano che contenga l'asse terrestre (piano meridiano), determina sulla superficie terrestre un cerchio massimo passante per i poli detto circolo meridiano. Per meridiano geografico si intende una semicirconferenza compresa tra i due poli ed ogni meridiano ha un suo antimeridiano che completa il circolo meridiano, dalla parte opposta.

I meridiani sono tutti uguali fra loro.

Coordinate polari nello spazio

I paralleli invece sono i circoli formati dall'intersezione tra qualunque piano parallelo all'equatore con la superficie terrestre. I paralleli sono tanto più piccoli quanto maggiore è la loro distanza dall'equatore.

Paralleli e meridiani formano una rete sulla superficie (reticolato geografico), che ci

permette di identificare la posizione assoluta di un punto. Per far questo basta indicare il

parallelo e il meridiano che passano per tale punto (parallelo del luogo e meridiano del

luogo). Allo scopo di indicare un preciso parallelo o meridiano, si definiscono le

coordinate geografiche.

Viene fissato convenzionalmente un meridiano fondamentale, passante per l'Osservatorio astronomico di Greenwich, nei pressi di Londra. Tale meridiano è chiamato anche

meridiano zero, meridiano origine, primo meridiano, meridiano iniziale, o meridiano di Greenwich. e rappresenta il riferimento per la suddivisione convenzionale in

fusi orari e per il tempo universale.

La longitudine geografica (  ) è la distanza angolare di un punto dal meridiano fondamentale, misurata sull'arco di parallelo che passa per quel punto. Essa corrisponde all'angolo compreso tra il piano del meridiano del punto e il piano del meridiano fondamentale.

Nel disegno seguente, si tratta dell'angolo PAO dove A è un punto sull'asse terrestre appartenente al piano del parallelo di P.

La longitudine può essere EST o OVEST a seconda che il punto si trovi a oriente o a occidente del meridiano fondamentale.

Essa varia numericamente da 0° (per i punti che si trovano lungo il meridiano fondamentale) a 180°, in senso positivo verso OVEST e negativo verso EST.

La latitudine geografica (  ) è la distanza angolare di un punto dall'equatore misurata lungo il meridiano che passa per quel punto.

Essa corrisponde all'angolo compreso tra la verticale del luogo e il piano dell'equatore.

Nel disegno si tratta dell'angolo PCP' dove C è il centro della Terra. Essa varia da +90°

(polo nord) a -90° (polo sud). I punti lungo l'equatore hanno latitudine 0°.

Sia la longitudine che la latitudine geografiche vengono espresse in gradi e frazioni di grado.

I paralleli si possono considerare insiemi di punti sulla superficie terrestre che hanno

uguale latitudine e i meridiani insiemi di punti con uguale longitudine. Meridiani e

paralleli sono infiniti, ma spesso si usa prendere in considerazioni quelli che distano di un

grado l'uno dall'altro.

Essi sono detti meridiani di grado e paralleli di grado. Esistono 360 meridiani di grado e 178 paralleli di grado (escludendo i due paralleli ai poli, che sono ridotti ad un punto).

La parola meridiano deriva dal latino meridies, perché un meridiano unisce tutti i punti che hanno il mezzogiorno nello stesso momento.

Dati terrestri

Raggio Equatoriale 6378,1 km

2.7.1 Approfondimento Determinare

1) la lunghezza di un meridiano

2) la distanza all’equatore fra due meridiani

3) la distanza sulla superficie terreste fra il 42° e il 43° parallelo 4) un procedimento per tracciare i paralleli su un mappamondo 5) le distanze fra i piani che individuano i paralleli

6) le coordinate geografiche del Liceo da Procida di Salerno 7) a latitudine zero (all’equatore) quanto distano due punti che

differiscono di un grado di longitudine oppure di un primo di grado

Suggerimento: essendo nota la lunghezza della circonferenza equatoriale (il raggio della terra è ripor-ato in questa dispensa) con un semplice proporzione si calcola la lunghezza dell’arco corrispondente ad un grado, ad un primo di grado o a qualunque angolo al centro]

L'angolo λ della latitudine 8) a latitudine



quanto distano due punti che differiscono di un grado di longitudine

oppure di un primo di grado

[Suggerimento:

Il problema è ricondotto al caso 7) una volta calcolata la lunghezza della circonferenza del parallelo che individua la latitudine.

In forza della formula (2.6.1)



 





 









  

 sin

cos sin

cos sin

z y x

e della figura a lato il raggio della circonferenza cercata è KP ossia

KP   cos 

Così, ad esempio, a 30 gradi di latitudine la lunghezza di detta circonferenza misura

30 cos 2 cos 2 )

(      

c

ove



è il raggio terrestre]

9) Tenuto conto dei 24 fusi orari (ogni fuso orario corrisponde a 15 gradi di longitudine) un grado di longitudine corrisponde ad 1/15 di ora ovvero 4 minuti.

Viceversa l’errore di un secondo nella misura del tempo a quale distanza corrisponde all’equatore? (esprimere la distanza in miglia nautiche)

l’errore di un secondo nella misura del tempo a quale distanza corrisponde alla latitudine



? (esprimere la distanza in miglia nautiche)

10) Illustrare l’importanza assunta dalle coordinate geografiche nel corso dei secoli per la navigazione terrestre, marittima e aerea.

11) Condurre una ricerca sugli strumenti usati, nel corso dei secoli, per misurare la latitudine, discutendo grado di precisione via via raggiunto.

In particolare descrivere lo gnomone con foro gnomonico.

Indagare le fasi e i costi da sostenere per la realizzazione di tale strumento; e successivamente realizzare lo strumento stesso.

12) Condurre una ricerca sul problema della misura della longitudine, che metta in evidenza le difficoltà incontrate, nel corso dei secoli, per rilevarla con un certo grado di precisione. Sintetizzare le vicende del Concorso Longitudine Act.

2.8 Localizzazione di un punto attraverso punti noti

Problema del topografo. Il geometra Renato Bianchi è stato interpellato dal Signor Paolo Rossi per apporre i termini di confine su alcuni terreni di sua proprietà.

Una mattina il tecnico, munito di una mappa catastale della zona, si reca sul posto per un sopraluogo. Sulla mappa sono segnati alcuni punti di riferimento (di coordinate note), facilmente visibili. Questi punti (indicati con S) sono spesso dislocati in cima ai campanili o alle montagne oppure nella parte terminale di antenne, etc.

Mediante un telemetro professionale, il geometra può misurare la distanza fra la propria posizione R e i vari punti S di riferimento (visibili) della mappa.

Per localizzare i confini del terreno, Bianchi misura con l’aiuto dello strumento le inter- distanze fra la propria posizione e i punti S, ripetendo le misure da diverse posizioni.

[Per una maggiore affidabilità, mediante un teodolite (strumento di misura di angoli) esegue anche alcune triangolazioni].

Una volta acquisiti il set di dati, dopo una breve elaborazione il tecnico è in grado di allocare i termini di confine segnati sulla mappa.

Il seguente quesito è connesso al problema del topografo.

Quesito (2.8.1): Qual è il numero minimo di punti di riferimento necessari per localizzare sulla mappa la propria posizione ovvero per determinare le coordinate cartesiane del punto R ?

Rispondiamo per gradi.

a) Caso uni-dimensionale

Sia OxU un sistema di riferimento sulla retta. Indichiamo con S

₁

un punto di riferimento sulla retta la cui coordinata x

₁

sia nota.

Consideriamo un osservatore posizionato in un punto R di ascissa x. Misurando la distanza d

₁

fra i punti R e S

₁

, si perviene all’equazione

1 1

| x  x |  d o equivalentemente

(2.8.1) ( x  x

₁

)

²

 d

₁²

L’equazione (2.8.1) individua il luogo dei punti della retta a distanza d

₁

dal punto S

₁

ovvero la circonferenza di centro S

₁

e raggio d

₁

. Tale luogo è costituito da due soli punti, precisamente

1 1

x   x d

b) Caso bi-dimensionale

Sia OxyU un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico nel piano.

Indichiamo con S

₁

 ( , x y

_{1 1}

) un punto di riferimento nel piano le cui coordinate siano note. Consideriamo un osservatore posizionato in un punto R=(x,y). Misurando la distanza d

₁

fra i punti R e S

₁

, si perviene all’equazione

ovvero il punto incognito R appartiene alla circonferenza di centro S

₁

e raggio d

₁

. Ovviamente sono infinite le possibili scelte di coordinate del punto R.

Introduciamo un altro punto di riferimento che indichiamo con S

₂

 ( , x y

_{2 2}

).

Misurando la distanza d

₂

fra i punti R e S

₂

, si perviene alla ulteriore equazione

2 2 2

2 2 2

( x  x )  ( y  y )  d

ovvero il punto incognito R deve appartenere anche alla circonferenza di centro S

₂

e raggio d

₂

.

In conclusione per determinare la posizione dell’osservatore dobbiamo discutere il sistema

(2.8.2)

2 2 2

1 1 1

2 2 2

2 2 2

( ) ( )

( ) ( )

x x y y d

x x y y d

    

 

   



Le soluzioni (reali) del sistema sono le coordinate ( , ) x y dei punti di intersezione delle due circonferenze. Indicata con d la distanza S S

_{1 2}

, il sistema ammette soluzioni se e solo se

1 2

...    d d d

Riportiamo le due soluzioni generali del sistema (2.8.2), calcolate con l’aiuto di un CAS.

x 1/(2 x1-2 x2)(-d1

²

+d2

²

+x1

²

-y2

²

+(4 d1

²

x2

²

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)-(4 d2

²

x2

²

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)-(4 x1

²

x2

²

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)+(8 x1 x2

³

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)-(8 x2

⁴

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)-(8 d1

²

x2 y2)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)+(8 d2

²

x2 y2)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)+(8 x2

³

y2)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)+(4 d1

²

y2

²

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)-(4 d2

²

y2

²

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)+(4 x1

²

y2

²

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)-(8 x1 x2 y2

²

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)+(4 x2

²

y2

²

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)-(8 x2

S S

R

1 2

d

₁

d

²

y2

³

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)+(4 y2

⁴

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)+(x2 \[Sqrt]((4 d1^2 x2-4 d2^2 x2-4 x1^2 x2+8 x1 x2^2-8 x2^3-4 d1^2 y2+4 d2^2 y2-4 x1^2 y2+8 x1 x2 y2+4 x2 y2^2-4 y2^3)

²

-4 (4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

) (d1

⁴

-2 d1

²

d2

²

+d2

⁴

-2 d1

²

x1

²

-2 d2

²

x1

²

+x1

⁴

+4 d1

²

x1 x2+4 d2

²

x1 x2-4 x1

³

x2-4 d1

²

x2

²

+8 x1

²

x2

²

-8 x1 x2

³

+4 x2

⁴

+2 d1

²

y2

²

-2 d2

²

y2

²

+2 x1

²

y2

²

-4 x1 x2 y2

²

+y2

⁴

)))/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)-(y2 \[Sqrt]((4 d1^2 x2-4 d2^2 x2-4 x1^2 x2+8 x1 x2^2-8 x2^3-4 d1^2 y2+4 d2^2 y2-4 x1^2 y2+8 x1 x2 y2+4 x2 y2^2-4 y2^3)

²

-4 (4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

) (d1

⁴

-2 d1

²

d2

²

+d2

⁴

-2 d1

²

x1

²

-2 d2

²

x1

²

+x1

⁴

+4 d1

²

x1 x2+4 d2

²

x1 x2-4 x1

³

x2-4 d1

²

x2

²

+8 x1

²

x2

²

-8 x1 x2

³

+4 x2

⁴

+2 d1

²

y2

²

-2 d2

²

y2

²

+2 x1

²

y2

²

-4 x1 x2 y2

²

+y2

⁴

)))/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

))

y (-4 d1

²

x2+4 d2

²

x2+4 x1

²

x2-8 x1 x2

²

+8 x2

³

+4 d1

²

y2-4 d2

²

y2+4 x1

²

y2-8 x1 x2 y2-4 x2 y2

²

+4 y2

³

-\[Sqrt]((4 d1^2 x2-4 d2^2 x2-4 x1^2 x2+8 x1 x2^2-8 x2^3-4 d1^2 y2+4 d2^2 y2-4 x1^2 y2+8 x1 x2 y2+4 x2 y2^2-4 y2^3)

²

-4 (4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

- 8 x2 y2+4 y2

²

) (d1

⁴

-2 d1

²

d2

²

+d2

⁴

-2 d1

²

x1

²

-2 d2

²

x1

²

+x1

⁴

+4 d1

²

x1 x2+4 d2

²

x1 x2-4 x1

³

x2-4 d1

²

x2

²

+8 x1

²

x2

²

-8 x1 x2

³

+4 x2

⁴

+2 d1

²

y2

²

-2 d2

²

y2

²

+2 x1

²

y2

²

-4 x1 x2 y2

²

+y2

⁴

)))/(2 (4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

))}

x 1/(2 x1-2 x2)(-d1

²

+d2

²

+x1

²

-y2

²

+(4 d1

²

x2

²

)/(4 x1

²

-8 x1

x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)-(4 d2

²

x2

²

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2

y2+4 y2

²

)-(4 x1

²

x2

²

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)+(8

x1 x2

³

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)-(8 x2

⁴

)/(4 x1

²

-8

x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)-(8 d1

²

x2 y2)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8

x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)+(8 d2

²

x2 y2)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2

y2+4 y2

²

)+(8 x2

³

y2)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)+(4

d1

²

y2

²

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)-(4 d2

²

y2

²

)/(4

x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)+(4 x1

²

y2

²

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8

x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)-(8 x1 x2 y2

²

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2

y2+4 y2

²

)+(4 x2

²

y2

²

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)-(8

x2 y2

³

)/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)+(4 y2

⁴

)/(4 x1

²

-8

x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)-(x2 \[Sqrt]((4 d1^2 x2-4 d2^2 x2-

4 x1^2 x2+8 x1 x2^2-8 x2^3-4 d1^2 y2+4 d2^2 y2-4 x1^2 y2+8

x1 x2 y2+4 x2 y2^2-4 y2^3)

²

-4 (4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4

y2

²

) (d1

⁴

-2 d1

²

d2

²

+d2

⁴

-2 d1

²

x1

²

-2 d2

²

x1

²

+x1

⁴

+4 d1

²

x1 x2+4

d2

²

x1 x2-4 x1

³

x2-4 d1

²

x2

²

+8 x1

²

x2

²

-8 x1 x2

³

+4 x2

⁴

+2 d1

²

y2

²

-2 d2

²

y2

²

+2 x1

²

y2

²

-4 x1 x2 y2

²

+y2

⁴

)))/(4 x1

²

-8 x1 x2+8

x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

)+(y2 \[Sqrt]((4 d1^2 x2-4 d2^2 x2-4 x1^2

x2+8 x1 x2^2-8 x2^3-4 d1^2 y2+4 d2^2 y2-4 x1^2 y2+8 x1 x2

y2+4 x2 y2^2-4 y2^3)

²

-4 (4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

) (d1

⁴

-2 d1

²

d2

²

+d2

⁴

-2 d1

²

x1

²

-2 d2

²

x1

²

+x1

⁴

+4 d1

²

x1 x2+4 d2

²

x1 x2-4 x1

³

x2-4 d1

²

x2

²

+8 x1

²

x2

²

-8 x1 x2

³

+4 x2

⁴

+2 d1

²

y2

²

-2 d2

²

y2

²

+2 x1

²

y2

²

-4 x1 x2 y2

²

+y2

⁴

)))/(4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

))

y (-4 d1

²

x2+4 d2

²

x2+4 x1

²

x2-8 x1 x2

²

+8 x2

³

+4 d1

²

y2-4 d2

²

y2+4 x1

²

y2-8 x1 x2 y2-4 x2 y2

²

+4 y2

³

+\[Sqrt]((4 d1^2 x2-4 d2^2 x2-4 x1^2 x2+8 x1 x2^2-8 x2^3-4 d1^2 y2+4 d2^2 y2-4 x1^2 y2+8 x1 x2 y2+4 x2 y2^2-4 y2^3)

²

-4 (4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

- 8 x2 y2+4 y2

²

) (d1

⁴

-2 d1

²

d2

²

+d2

⁴

-2 d1

²

x1

²

-2 d2

²

x1

²

+x1

⁴

+4 d1

²

x1 x2+4 d2

²

x1 x2-4 x1

³

x2-4 d1

²

x2

²

+8 x1

²

x2

²

-8 x1 x2

³

+4 x2

⁴

+2 d1

²

y2

²

-2 d2

²

y2

²

+2 x1

²

y2

²

-4 x1 x2 y2

²

+y2

⁴

)))/(2 (4 x1

²

-8 x1 x2+8 x2

²

-8 x2 y2+4 y2

²

))}}

Naturalmente queste due espressioni non hanno alcun interesse pratico.

Possiamo agire su due fronti.

Una prima possibilità è quella di semplificare il sistema, operando scelte opportune del sistema di riferimento; una seconda possibilità è il ricorso ad algoritmi che forniscono soluzioni approssimate.

Proviamo a semplificare ricorrendo alla prima possibilità.

Fissiamo l’origine del sistema nel punto S

₁

e l’asse delle ascisse passante per il segmento S S

_{1 2}

. Con tale scelta il sistema (2.8.2) diventa

2 2 2

1

2 2 2

2 2

( 0) ( 0)

( ) ( 0)

x y d

x x y d

    

 

   



2 2 2

1

2 2 2

( )

2

x y d

x d y d

  

 

  



Osserviamo innanzi tutto che, affinché l’intersezione non sia vuota occorre che



_{1 2}



_{1 2}

max d d ,

 

d d



d [oppure max   r r

₁

,

₂ 

min   r r

₁

,

₂   

d r

₁

r

₂

???]



²



²2 ¹²2 2 ²

 

² 1² 2^{2 12 22 2}

2

2

x y d d d d

x x d d d x

x d y d d

    

       

   



e quindi si ha

S S

R

1 2

d

₁

d

²

2 2 2

1 2

2 2 2

2 1 2

1

2

2

d d d

x d

d d d

y d

d

   



 

   



Facendo ricorso ad un CAS, si ottiene la risposta seguente (ovviamente il risultato è identico a quello “fatto a mano”):

{y -

d1

²

d

²

d1

²

d2

^{2 2}

4 d

²

,x (d

²

+d1

²

-d2

²

)/(2 d)},

{y 

d1

²

d

²

d1

²

d2

^{2 2}

4 d

²

,x (d

²

+d1

²

-d2

²

)/(2 d)}}

c) Caso tri-dimensionale

Sia OxyzU un sistema di riferimento cartesiano ortogonale monometrico nello spazio. Indichiamo con S

₁

 ( , x y z

_{1 1}

, )

₁

un punto di riferimento nel piano le cui coordinate siano note.

Consideriamo un osservatore posizionato in un punto R=(x,y,z). Misurando la distanza d

₁

fra i punti R e S

₁

, si perviene all’equazione

2 2 2 2

1 1 1 1

( x  x )  ( y  y )   ( z z )  d

ovvero il punto incognito R appartiene alla sfera di centro S

₁

e raggio d

₁

. Ovviamente sono infinite le possibili scelte di

coordinate del punto R.

Introduciamo un altro punto di riferimento che indichiamo con S

₂

 ( , x y

_{2 2}

).

Misurando la distanza d

₂

fra i punti R e S

₂

, si perviene alla ulteriore equazione

2 2 2 2

2 2 2 2

( x  x )  ( y  y )   ( z z )  d

ovvero il punto incognito R deve appartenere anche alla sfera di centro S

₂

e raggio d

₂

. In generale l’intersezione di due sfere è una circonferenza.

Introduciamo allora un altro punto di riferimento che indichiamo con S

₃

 ( , x y

_{3 3}

).

Il punto incognito R deve appartenere anche alla sfera di centro S

₃

e raggio d

₃

(distanza fra il punto R e S

₃

).

In generale l’intersezione di tre sfere è costituita da due punti, in quanto le sfere a due a due individuano una circonferenza e, come abbiamo visto nel caso due-dimensionale, l’intersezione di due circonferenze è costituita, in generale, da due punti.

In conclusione per determinare la posizione dell’osservatore dobbiamo discutere il sistema

(2.8.3)

2 2 2 2

1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

3 3 3 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

x x y y z z d

x x y y z z d

x x y y z z d

      

      

       



La discussione di tale sistema si presenta alquanto complessa.

La tralasciamo qui, in quanto più oltre studieremo un sistema analogo di quattro equazioni in quattro incognite, discutendone la risoluzione.

Forniamo, a conclusione del paragrafo, la risposta al quesito (2.8.1).

Quesito (2.8.1): Qual è il numero minimo di punti di riferimento necessari per localizzare sulla mappa la propria posizione ovvero per determinare le coordinale cartesiane del punto R ? Risposta:



uno nel caso uni-dimensionale



due nel caso del piano



tre nel caso dello spazio

3. Il sistema di localizzazione GPS 3.1 Un primo modello teorico

Come abbiamo visto nel paragrafo 2.8, lettera c), la misura simultanea della distanza fra il ricevitore e tre satelliti non allineati fornisce sufficienti informazioni per determinare la posizione del ricevitore stesso.

La necessità di eseguire la misura delle distanze in modo simultaneo (in quanto i satelliti non sono punti fissi, ma viaggiano a circa 4 km al secondo) impone un adeguamento del modello.

Osserviamo innanzi tutto che le distanze ricevitore – satellite variano fra 22.000 e 25.000 km e devono essere stimate con un errore di qualche metro.

Naturalmente le misure non possono che essere indirette.

In astronomia le distanze sono misurate attraverso il tempo che la luce impiega a coprirle

⁶

.

Supponiamo allora di utilizzare un segnale emesso da uno dei satelliti visibili dal ricevitore per calcolare la distanza satellite-ricevitore.

Poiché il segnale viaggia alla velocità della luce (circa 300.000 km/s), la scala delle distanze espresse in metri si ottiene semplicemente moltiplicando i valori sulla scala dei tempi per il fattore

⁷ c 3 10⁹

.

Conoscendo l’ordine di grandezza delle distanze da misurare e la precisione delle misure (inferiore a 10 m) possiamo determinare le grandezze corrispondenti sulla scala dei tempi.

Così il segnale

⁸

impiega meno di un decimo di secondo a percorrere gli oltre 20.000 km della distanza satellite – ricevitore, mentre un errore sulle distanze dell’ordine di 10 m corrisponde sulla scala dei tempi a circa

3 10 ^8

s  30 ns (nanosecondi).

Alla semplicità del sistema (2.8.3), da cui ricavare le coordinate di R, si contrappongono le difficoltà tecniche sulla scala dei tempi per apprezzare una unità di tempo così piccola (il nanosecondo).

6L’unità di misura è l’anno luce, cioè la distanza che la luce percorre in un anno, pari a 299792458 (m/s) 365,25 (giorni) 86400 (s/giorno)=9,461 10 (m)   ¹⁵ poco meno di diecimila miliardi di chilometri.

7 Velocità della luce nel vuoto

c

299792458 (m/s). Il segnale in realtà viene perturbato dalla ionosfera, come accenneremo più oltre.

8

3

5

spazio tempo=

velocità

20 10 7 3 10 100

1

 

10

 



< (in secondi).

I progressi della tecnologia hanno superato queste difficoltà a partire dagli anni sessanta, grazie agli orologi atomici.

3.2 Un modello “rettificato”

Gli orologi atomici al cesio apprezzano unità di tempo dell’ordine di 10

^12

s , con un’accuratezza di 2 ns nell’arco delle 24 h.

Supponiamo che un segnale ad alta frequenza venga emesso da un satellite visibile dal ricevitore all’istante t

0

, tempo misurato sull’orologio del satellite. Il ricevitore registra l’arrivo del segnale al tempo t

1

, misurato sul suo orologio. Se i due orologi fossero sincronizzati, il tempo impiegato dal segnale a coprire la distanza satellite – ricevitore sarebbe t

1

-t

0

.

Non è però realistico assumere che l’orologio del ricevitore GPS sia sincronizzato con quello del satellite. Infatti quest’ultimo orologio è estremamente preciso, sincronizzato

⁹

con il tempo USNO Master Clock (United States Naval Observatory) che viene aggiornato ogni 100 s, mentre l’orologio del ricevitore è generalmente un normale orologio al quarzo.

Di conseguenza la misura (sulla scala dei tempi) della distanza satellite – ricevitore è affetta da un errore, detto offset dell’orologio del ricevitore

¹⁰

.

Pertanto oltre alla coordinate x, y, z del ricevitore è incognito anche l’offset  t

_off

dell’orologio del ricevente rispetto al tempo

¹¹

GPS.

Abbiamo così quattro incognite da determinare.

Il sistema (2.8.3) deve essere rettificato con l’introduzione di una incognita e completato con l’aggiunta di una equazione ottenuta attraverso la distanza d

₄

del ricevitore da un quarto satellite S

₄

.

9Per semplicità si è assunto che gli orologi dei satelliti fossero sincronizzati fra loro. In realtà si assume come riferimento il tempo GPS. L’off-set di ogni satellite è noto e viene trasmesso al ricevente attraverso il segnale emesso dal satellite.

10Tale distanza è perciò detta pseudo-distanza (pseudo range).

11 L’offset può essere una quantità sia positiva che negativa. Trascurando un offset di 1 ms s’incorrerebbe in un errore di circa 300 km nella stima della posizione del ricevitore.

(3.2.1)

2 2 2

1 1 1 1

2 2 2

2 2 2 2

2 2 2

3 3 3 3

2 2 2

4 4 4 4

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

off

off

off

off

x x y y z z d c t

x x y y z z d c t

x x y y z z d c t

x x y y z z d c t

        

         

 

       

 

        



Tetraedri adiacenti formati da quattro satelliti e dal ricevitore Le coordinate x y z

_i

,

_i

,

_i

di posizione del satellite S

_i

e la distanza d

_i

del ricevitore dal satellite S

_i

sono termini noti in quanto acquisiti dal ricevitore attraverso il segnale emesso dai satelliti.

Limitiamoci al caso piano ovvero eliminiamo la quota z. Cioè consideriamo solo la navigazione terrestre o quella in mare.

Il sistema (3.2.1) si riduce a tre equazioni nelle tre incognite , , x y



t

_off

     

     

     

2 2 2

1 1 1

2 2 2

2 2 2

2 2 2

3 3 3

off

off

off

x x y y d c t

x x y y d c t

x x y y d c t

      

      



      



Posto r

 

c t abbiamo

     

     

     

2 2 2

1 1 1

2 2 2

2 2 2

2 2 2

3 3 3

x x y y r d

x x y y r d

x x y y r d

     

     



    



Sviluppando e confrontando la prima e la seconda equazione risulta

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 3 3 3 3 3

2 2 2 0

2 2 2 0

2 2 2 0

x x x x y y y y r d rd

x x x x y y y y r d rd

x x x x y y y y r d rd

         

         

         



     

2 2 2 2 2 2

1 2

2

2 1 1 2

2

2 1 1 2

2

2 1

0

x



x



x



x x



y



y



y



y y



d



d



d



d r



0

A x



B y



C r

 

D