1. Risolvi i seguenti sistemi di tre e equazioni in tre incognite, usando il metodo di Cramer: (a)

1. Risolvi i seguenti sistemi di tre e equazioni in tre incognite, usando il metodo di Cramer:

(a)



 

 

x − y + 3z = −2 2x − 5y − 4z = 0 6x − 4y + 3z = 7 (b)



 

 

8x + 2y + 3z = 25 4x − 7y − 5z = 4

−6x − 5y + 4z = 34 (c)



 

 

2x − y + z = 2

−3x + 5y − 4z = 7

−x + 4y − 3z = 5

Quale interpretazione geometrica puoi dare? Quali sono le posizioni reciproche dei tre piani?

2. Dati i piani di equazioni a

x + b

y + c

z = d

e ax

+ by

+ cz

= d

, trova quali condizioni devono sussistere su parametri affinché i due piani siano:

(a) paralleli e coincidenti;

(b) paralleli ma distinti.

3. Dati i tre punti A(0, 1, 0), B(2, 1, 1), C(0, −1, 2), dimostra che non sono allineati e determina l’equazione del piano che li contiene. Trova poi le misure degli angoli interni del triangolo ABC e la sua area.

4. Trova le equazioni dei piani che sezionano il cubo della figura nei punti E, D, B e H, F e G. Che cosa osservi?

5. In riferimento al cubo dell’esercizio precedente, verifica che i punti medi dei segmenti AB, BF, FG, GH, HD, AD sono tutti

complanari. Che figura formano?