CAPITOLO: NUMERI 3ATT. 09. Le equazioni

(1)

In matematica, un'equazione (dal latino “equo”, rendere uguale) è un uguaglianza tra due espressioni algebriche contenenti una o più variabili, dette incognite.

Esempio: 5x – 2 = x + 12

In un'equazione distinguiamo :

- l'incognita (nell'esempio . . . ) - l'espressione di sinistra (nell'esempio . . . ) - l'espressione di destra (nell'esempio . . . )

Cosa significa allora risolvere un'equazione?

Il problema posto da un'equazione consiste nel trovare i valori numerici, che sostituiti all'incognita (o alle incognite) rendono vera l'uguaglianza.

Ciascuno di questi valori si dice soluzione dell'equazione.

Di ogni equazione è importante conoscere l'insieme di definizione al quale deve appartenere ogni soluzione.

L'equazione in N ha come soluzione ,

La stessa equazione in Z ha come soluzioni e .

2=1

x x=1

2=1

x x=1 x=-1

(2)

Definizioni

Si dice equazione l'uguaglianza fra due espressioni algebriche vera solo per alcuni valori delle lettere che compaiono nelle espressioni.

Es: 2x² + 3 = 3xy – 5y

Un'equazione si dice di primo grado se il grado massimo con cui compaiono le lettere è 1.

Es: 2x + 3 = 3x – 5z

Un'equazione si dice ad una incognita se nell'espressione algebrica compare una sola lettera; essa prende appunto il nome di INCOGNITA.

Es: 2z + 3 = 3 – 5z

Risolvere un'equazione vuol dire trovare il valore, o i valori, che sostituiti all'incognita rendono vera l'uguaglianza. Questo valore prende il nome di soluzione dell'equazione.

Es: 3x – 5 = 2x + 1

x = 6 è la soluzione dell'equazione infatti:

3 • 6 – 5 = 2 • 6 + 1 18 – 5 = 12 + 1

13 = 13

(3)

Verifica di un'equazione

La verifica di un'equazione si effettua sostituendo alla incognita la soluzione trovata;

risolvendo separatamente le espressioni a sinistra ed a destra dell'uguaglianza e confrontando i risultati.

Se i calcoli delle espressioni sono corretti allora il confronto dei risultati ci garantisce della correttezza o meno della soluzione trovata.

Ecco alcune equazioni già risolte. Alcune sono state risolte in modo errato. Trova quali.

Equazione Verifica

3x + 3 = 27 (…)

x = 24

15 - 9 = 4a + 90 (…)

a = -21 1 - 8x = 1 - 5x (…)

x = -1

(4)

Risoluzione di un'equazione

Per risolvere un'equazione si tenta di trasformarla in una più semplice ma con la stessa soluzione, della quale conosciamo già il risultato o lo possiamo conoscere facilmente.

Per far ciò utilizziamo i due principi di equivalenza delle equazioni seguenti :

Sommando o sottraendo una medesima quantità ad entrambi i membri di una equazione, si ottiene un'equazione equivalente.

Es. 2x – 5 = x + 4

2x – 5 – x + 5 = x + 4 – x + 5 2x – x = +4 + 5

x = 9

Moltiplicando o dividendo per una medesima quantità (escluso lo 0) entrambi i membri di una equazione, si ottiene un'equazione equivalente

Es. 6𝑥 = 18

𝟏

𝟔∙ 6𝑥 = 18 ∙𝟏 𝟔 x = 3

(5)

Altri esempi:

a) x + a = b x + 6 = 4 –4 = –10 + x

x + a – a = b – a x + 6 – 6 = 4 – 6 –4 + 10 = –10 + 10 + x

x = b – a x = -2 6 = x

b) a • x = b 3 • x = –5

1

a∙ a ∙x = b ∙ ¹

a ¹₃∙ 3 ∙ x = -5 ∙¹

3 x = ^b_a x = - ⁵

3

Esempi: Risolvi allo stesso modo:

x + 3 = 5 x – 6 = 5

x + 3 – 3 = 5 – 3 x = 5 – 3 x = 2

3x – 4 = 2 2x + 4 = –6

3x – 4 + 4 = 2 + 4 3x = 2x + 4 3x = 6 ^!_" ∙ 3𝑥 = 6 ∙^!_"

x = 2

(6)

2x + 2 = 5 - x 3x - 5 = x -9 2x + 2 -2 + x = 5 – x – 2 + x

2x + x = 5 - 2 3x = 3 ^!_" ∙ 3𝑥 = 3 ∙^!_"

x = 1

(7)

EQUAZIONI DETERMINATE, IMPOSSIBILI ED INDETERMINATE

Risolvi le seguenti equazioni e verifica il risultato:

Il risultato dell’equazione è ………., quindi l’equazione é………

x x 15 5 3 7 + =- -

1 3 4

3

5 + = +

x x

(8)

……….………., quindi l’equazione é………

(

5 2x

)

3

(

4x 1

)

2x 7× - =- × - -

(

⁷ ⁵

)

¹⁰ ⁵

(

⁵ ¹

)

⁶ ²⁰

3× x- + x= × x+ + x-

(9)

ESERCIZIO

Risolvi le seguenti equazioni su di un foglio a parte. Verifica la soluzione trovata,

(10)

Data l’equazione , completa la seguente tabella, generalizzando i casi trovati:

Soluzione Tipo d’equazione

1. caso

2. caso

3. caso

4. caso

Adesso un po’ d’esercizio……..

b ax =

b ax= 0 ,b ¹ a

=0 ax

0 ,

0 =

¹ b a

b x= 0

0 ,

0 ¹

= b a

0 0x=

0 ,

0 =

= b a

2 2 3 5

2 1 2

2 11 6 5 3 7 3 1 2 1

7 2 2

4 12 3 9

9 3 7

8

x x

x

x x

x x x

= + - +

-

= + +

+ -

= -

+ -

= -

+

= - +

(11)

Adesso un po’ più difficile:

( )

( ) ( )

4 2 1 2 5 2

5 4

1 3

10 1 3 12 5 7 54

3 1 2

1 3

2

3 2 5 3

2 2 2

3 2

x x x x

x x

x x x

x x

x

- + + - =

- +

- - +

= - -

÷ø ç ö è -æ + - =

= - + + ×

-

(12)

LE EQUAZIONI IN Q

Quanto visto riguardo alle equazioni in Z vale analogamente per le equazioni in Q, tenendo ovviamente presente le caratteristiche delle operazioni con le frazioni.

Ricordiamo inoltre che:

Un’equazione si dice determinata quando ………..

Ad esempio:

………

Un’equazione si dice impossibile quando ………

Ad esempio:

………

12 11 3 2 4

1x- =

x x

x 12

5 7 6 3 1 5 3 4

3 - = + +

(13)

Un’equazione si dice indeterminata quando ………...

Ad esempio:

………

Come è possibile risolvere l’equazione ?

………

Ad esempio:

………...

x x

x 7

9 6 11 2

1 7 2 3

4- + = + -

c b x a =

3 21 7 =x

34 8x=

(14)

La proprietà distributiva ci ricorda che ………

Quindi: ………

………

ESERCIZIO: risolvi le seguenti equazioni in Q:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

(

⁺

)

⁼

× 3

7 2 x

(

^-

)

⁼

×

- 1 2x

4 3

÷= ø ç ö

è

æ +

- 7

1 9 4x

9 2x=

5

12y= 1 1

27 =x

4 1 8

3 =

- m 60

17x=-51 x-2=9-x

3 5

x

x 3

1 4 12 1

7 + = +

4 7 3 8

1+z = z-

3 2 1

2

3 1÷+ = -

ø ç ö èæ +

× x x

(15)

(16)

(17)

MESSA IN EQUAZIONE DI PROBLEMI

Si tratta di tradurre il problema in un' equazione che, una volta risolta, ci permette di trovare il valore di x, cioè l' elemento incognito del problema.

Esempio 1: Cerca un numero, il cui doppio aumentato di 13 sia uguale al numero stesso aumentato di 28.

Linguaggio comune Linguaggio algebrico

Cerca un numero ………

il cui doppio ………

aumentato di 13 ………

sia uguale ………

al numero stesso ………

aumentato di 28 ………

Il problema viene "tradotto" nell' equazione: ………

Risolvendola si troverà il valore del numero cercato:

Conclusione: ____________________________

Verifica:

(18)

Esempio 2: Due segmenti sono congruenti e un terzo ha la lunghezza pari a 4/7 di ciascuno dei precedenti.

Calcola la lunghezza dei tre segmenti, sapendo che la loro somma misura 90 cm.

Linguaggio comune Linguaggio algebrico

Uno dei due segmenti congr. ………

il terzo segmento ………

la somma dei tre ………

è uguale ………

a 90. ………

Riassumendo: se x = ...

Avremo l' equazione: ………

Risolvendola otteniamo: ………

Conclusione: ………

Verifica: ………

Uno dei due segmenti congruenti: ………….

il terzo segmento: ………….

la loro somma: ………….

i segmenti misurano: ………….

(19)

Esempio 3: In un triangolo rettangolo un cateto è dell'altro e la somma delle loro lunghezze misura 35 cm. Calcola perimetro ed area del triangolo.

Un cateto:

l'altro cateto:

la loro somma:

Avremo:

Conclusione: ____________________________

Verifica: c1 = c2= c1 + c2 =

A = ………..

Ipotenusa = ……….

P = ………..

Rappresenta il triangolo rettangolo:

4 3

(20)

Esempio 4: In un pollaio ci sono 44 animali: un po' sono conigli, gli altri galline; in totale ci sono 124zampe. Quanti sono i conigli e quante sono le galline ?

Sia x ……….

Sarà: ……….

……….

Avremo l' equazione:

Da cui:

Conclusione: ...

...

Verifica del problema:

Conigli ; teste ; zampe Galline ; teste ; zampe ________________________________

Totale: Animali ; teste ; zampe

(21)

Messa in equazione di problemi - Esercizi 1

1) Trova un numero che addizionato alla sua metà ed alla sua terza parte dia 55.

2) Trova un numero sapendo che la somma dei suoi 2/3 con il numero 4 è uguale ai 5/6 del numero stesso.

3) Trova 2 numeri consecutivi sapendo che la loro somma è 21.

4) In un rettangolo il perimetro misura 60 cm e la base è doppia della altezza. Determina la sua area.

5) In un triangolo rettangolo la metà di un cateto è uguale ai 2/3 altro. Sapendo che la somma dei cateti è 14 m, determina area e perimetro del triangolo.

6) In un trapezio rettangolo la diagonale minore è perpendicolare al lato obliquo, lungo 20 cm. La base maggiore supera di 10 cm la diagonale minore. Determina la lunghezza del perimetro.

7) La somma delle età di due fratelli è 31 anni; fra 7 anni l' età del maggiore sarà i 5/4 di quella del minore. Determina le età attuali dei due fratelli.

8) Scomponi il numero 80 in due parti tali che i 2/5 di una superino di 16 i 2/3 dell'altra.

(22)

9) In un cortile ci sono maiali e galli. In totale ci sono 25 teste ed il numero delle zampe dei galli è di 10 maggiore di 1/3 delle zampe dei maiali. Quanti maiali e quanti galli ci sono?

10) Per affrancare la corrispondenza ho acquistato 32 francobolli, alcuni da 50 cts, altri da 30 cts.

Se ho speso complessivamente 13 Fr, quanti sono i francobolli di ogni qualità ?

11) Ad una gita ci sono stati 64 partecipanti. Gli adulti pagavano 36 Fr, mentre i bambini Fr. 24 ciascuno. L' incasso totale è stato di 1956 Fr. Quanti sono stati i partecipanti adulti e quanti i bambini?

(23)

Messa in equazione di problemi - Esercizi 2

1) Una madre ed un figlio hanno insieme 30 anni. La madre ha 20 anni più del figlio. Trova l' età della madre e quella del figlio.

2) Con 75 monete, alcune da 2 Fr, altre da 5 Fr, si è formata la somma di 252 Fr. Quante sono le monete da 5 Fr e quante quelle da 2 Fr ?

3) Due numeri differiscono di 15; se si aggiunge 18 ai 3/7 del numero minore, si ottengono i 3/4 dell' altro. Quali sono i due numeri?

4) Determina due frazioni sapendo che:

a) hanno lo stesso numeratore ed i denominatori uguali rispettivamente a 3 ed a 5.

b) il loro prodotto è uguale al prodotto della prima frazione aumentata di 1/6 per la seconda d iminuita di 4/45.

5) Nell' arco di due anni ho acquistato un' enciclopedia in 12 volumi spendendo

complessivamente 385euro. Sapendo che il prezzo di ciascuno degi ultimi 5 volumi ha subito un aumento di 5 euro rispetto a quello dei precedenti, calcola il prezzo di uno dei primi 7 volumi e di uno dei rimanenti.

6) Dopo aver letto i 3/7 delle pagine di un libro, mi accorgo di dover leggere altre 48 pagine per arrivare a metà libro. Quante pagine ha quel libro?

7) Durante un giro turistico ho scattato 94 fotografie, parte a colori, parte in bianco e nero;

calcola quante sono le fotografie a colori, sapendo che, se fossero 6 in più, il loro numero uguaglierebbe i 3/7 del numero delle fotografie in bianco e nero.

8) Un ragazzo dice: "Ho 28 anni meno di mio padre, tra 8 anni la mia età sarà i 3/7 della sua.

Quanti anni ha il ragazzo?

(24)

Messa in equazione di problemi - Esercizi 3 _

1) Un rappresentante impiega 2 ore per recarsi in automobile da un cliente. Se aumentasse la velocità media di 23 km all' ora, in 3 ore potrebbe fare sia il viaggio di andata che quello di ritorno. A quale velocità media viaggia? Quanti km deve percorrere per visitare quel cliente?

2) In un triangolo ABC le misure degli angoli A e B superano quella di C rispettivamente di 34° e 47° ; calcola l' ampiezza di ciascuno degli angoli del triangolo.

3) Un triangolo isoscele ha il perimetro di 144 cm; calcola la sua area sapendo che la misura di un lato supera di 1 cm i 3/4 della misura di ciascuno dei due lati congruenti.

4) In un rettangolo l' altezza è i 3/4 della base. Aumentando la misura della base di 3 cm e diminuendo quella dell' altezza di 2 cm, si ottiene un rettangolo equivalente a quello dato.

Trova le dimensioni del primo rettangolo.

5) In un triangolo rettangolo le misure dei cateti hanno come somma 62dm ed una di esse supera di 13 dm i 5/2 dell' altra. Calcola area e perimetro del triangolo.

6) Un tale ha 42 anni ed i suoi figli rispettivamente 14, 12 e 8 anni. Fra quanti anni l' età del padre sarà uguale alla somma delle età che avranno i figli?

7) Trova un numero che aumentato della sua metà e della sua terza parte dia 88.

8) Da una botte si spilla una prima volta 1/3 del suo contenuto, poi i 3/9 del vino rimasto. Trova quanti litri conteneva inizialmente la botte, sapendo che dopo i due prelievi rimangono

ancora nella botte 40 litri.