L’INGEGNERIA CIVILE
L E A R T I I N D U S T R I A L I
EC O S T R U ZIO N I. S T R A D A L I
SUL CALCOLO
DEI MURI DI SOSTEGNO DEI RILEVATI STRADALI.
Nota dell'Ing. C. S. Rivera.
1.
Le norme e le formule in uso per la determinazione dello spessore da assegnarsi ai muri di sostegno delle terre, sup
pongono che il terreno da sostenersi e il relativo carico acci
dentale o sovraccarico, se esiste, siano posteriormente illi
mitati ; o quanto meno si estendano all’indietro del muro per uria larghezza maggioro od eguale a quella del prisma di spinta. >
Se supponiamo clic la superficie superiore del terreno sia j piana ed orizzontale, ed indichiamo con li l’altezza del muro I e con a l’angolo formato colla verticale dalla superficie di j distacco (che, come è noto, 6 in questo caso pure piana) la i larghezza del prisma di spinta sarà : /¿tangjc, qualunque sia il j carico accidentale uniformemente distribuito sul terreno a ! sostenersi, e le note formule, che forniscono lo spessore dei j vari tipi di muro, sono applicabili finché il terrapieno abbia ' posteriormente al muro un’estensione non minore di h tanga.
Accade però frequentemente nei rilevati stradali sostenuti da muri ad ambo i lati, che la larghezza a (vedi fig. 105) del
terrapieno compreso tra le due faccio interne dei muri di so
stegno, risulti minore di li tang a, e in questo caso il prisma di spinta sollecitante uno dei due muri, ad esempio quello di sinistra, non è più l ’intero prisma avente per sezione A B C, ma restringesi, come vedremo, al prisma di sezione trapezia A lì E D, e cosi pure il sovraccarico da porsi a calcolo non si estende più da A in C, ma soltanto da A in D.
Evidentemente la spinta dovuta al prisma ed al sovracca
rico cosi ridotti sarà minore di quella corrispondente al prisma e al sovraccarico completi, e perciò basterà assegnare al muro uno spessore minore di quello che ad esso compe
terebbe ove si prescindesse dalla esistenza del muro posto all’altro lato della strada.
E’ ancora palese che esisterà un’altezza h, (eguale ad a cot a) del rilevato stradale sul terreno circostante, sino alla quale
nulla sarà l ’influenza di un muro sul prisma di spinta solle
citante l ’altro.
Sino a tale altezza /¿, saranno applicabili le formule in uso, ma per altezze maggiori, quelle formule darebbero spessori eccessivi, tanto più che coH’aumentare dello spessore dei muri laterali diminuisce e tende a zero la larghezza del ter
rapieno entrostante.
Determinare la spinta provocata da un prisma ridotto alla sezione trapezia più sopra descritta e dal relativo sovracca
rico; trovare lo spessore da assegnarsi ai muri onde resi
stano colla voluta sicurezza a tale spinta, la quale, si noti bene, è a sua volta funzione dello spessore cercato, essendo fissa la larghezza della strada; vedere se detto spessore tenda ad un limite od abbia un massimo col crescere dell’altezza del rilevato, e in quest’ultimo caso quale sia questo massimo e a quale altezza corrisponda, ecco le questioni che mi pro
pongo di studiare nella presente nota, e che non sono prive d’interesse, presentandosi esse ogni qualvolta per lo condi
zioni locali è indispensabile adottare i muri ad ambo i lati pel sostegno delle strade sia ordinarie che ferrate, ed ogni qualvolta occorre istituire un confronto economico tra i muri eli sostegno e i ponti-viadotti o le corrispondenti scarpate in terra, rivestite o libere.
Avverto che nella seguente trattazione, per le ragioni che verranno esposte più oltre, si supporrà adottato il tipo di muro a pareti piane e faccia interna verticale, e nello studio
| delle spinte si applicherà la teoria del Rankine (detta del masso illimitato') siccome quella che più rigorosamente risolve
\ la questione, senza ricorrere alle ipotesi non sempre accetta-
; bili, della vecchia teoria circa la direzione della spinta, j E qui giova osservare che la teoria del masso illimitato è
appunto applicabile nel caso speciale da noi studiato, dap
poiché, come è noto, se la parete interna del muro è verti
cale, essa teoria è sempre applicabile quando il profilo supe
riore del terreno sia compreso tra l ’orizzontale e la scarpa
; naturale delle terre.
Premetterò inoltre che nello studio della stabilità del muro
| si terrà il metodo di eguagliare un momento fittizio wp*° di I quello reale dovuto alla spinta, rispetto allo spigolo esterno i della base del muro, al momento del peso del muro, rispetto
| allo stesso spigolo, nel qual modo viene assicurata la stabilità j del muro al rovesciamento.
Tale metodo è il più usato ed il più pratico per un calcolo j diretto, essendoché il pretendere che la curva delle pressioni i non esca in alcun giunto orizzontale dal nocciolo centrale di
| inerzia, vale a dire sia compresa nel terzo medio della se-
! zione verticale, porta ad assegnare al muro dimensioni in : generale esuberanti rispetto allo schiacciamento e allo scor-
| rimento, mentre poi non è nel nostro caso indispensabile, I come lo è nei muri di sostegno delle acque, che siano elimi-
; nati in modo assoluto gli sforzi di tensione nelle murature.
| Supporremo ancora che il terreno su cui deve erigersi il I rilevato sia pressoché orizzontale, nel senso trasversale alla i strada, giacché è appunto in tal caso che in generale si ha S bisogno di progettare i muri di sostegno ad ambi i lati della
| strada.
| Del resto, ove il terreno sottostante fosse trasversalmente alquanto inclinato, potrebbero ancora applicarsi i risultati
| che seguono, ritenendo coinè altezza dei muri l’altezza media del rilevato, per la determinazione della larghezza del prisma di terra, salvo a calcolare poi esattamente, in base a tale larghezza ed alla effettiva altezza di ognuno dei muri, il loro spessore.
P E R I O D I C O T E C N I C O B I M E N S I L E
Si discorre in fine del Fascicolo delle opere e degli opuscoli spediti franchi alla Direzione dai loro Autori cd Editori.
Prescinderemo, infine, operando a favore della stabilità, dall’influenza benefica esercitata dai parapetti in muratura, nonché da quella del sovraccarico che eventualmente potesse sovraincombere al muro di sostegno, essendo ipotesi più sfa
vorevole il supporre che il carico accidentale graviti soltanto sul terreno retrostante.
II.
Richiamiamo innanzi tutto (*) l ’espressione della spinta prodotta contro una parete verticale da un masso di terra, priva di coesione, posteriormente illimitato, a profilo supe
riore orizzontale e sovraccaricato uniformemente di p kg.
per mq.
Consideriamo un tratto di terrapieno lungo un metro. Sia x l’altezza della parete sollecitata ed hr quella di uno strato di terra avente lo stesso peso del sovraccarico.
Se yt è il peso specifico delle terre, sarà:
hr = P ' t
Sì = 7, ^ lnnS2 ( 45°— “f e posto :
: 45° —
conda è - si ha :
Mi = - (t- yt x3 tang2 a , Mp = - yt hr x2 tang2 a.
La spinta risultante sarà :
S = Sì -f SP = y. tang2 a 1
hr X La pressione unitaria complessiva alla profondità x :
dS , . , , .
~dV = 7t tang2 « ( * + hr ).
È noto che il piano di distacco sarà inclinato sulla verti
cale dell’angolo 45°---essendo <pl ’inclinazione all’oriz
zonte della scarpa naturale delle terre, e che il valore della spinta, dovuta al prisma di terra che ha tendenza a distac
carsi, sarà :
Si = 7t & tai)g2 «•
Questa spinta, giusta la teoria del Rankine, è nel nostro caso orizzontale ed applicata all’altezza-^— della parete.CO
O La spinta dovuta al sovraccarico è, come si sa:
S, = yt hr x tang'2 a.
E pure orizzontale, ma applicata a ll’altezza
x
. Derivando rispetto ad x le espressioni di Sì ed S^ si ottiene :
dSt , .
—— = y x tang' a,
d x 1
d Sp 2
— = tal g-a.
Le quali derivate rappresentano le pressioni u n itarie alla profondità x , dovute rispettivamente alle terre e al carico accidentale.
Infine prendendo i momenti M* e Mp delle due forze Sì e Sp rispetto a un punto qualunque dell’orizzontale situata alla profondità x , e ricordando che ambedue le Sì e Sp sono oriz- zontali e che quindi il braccio della prima è — — e della se-cc
(*) Cfr. Gu i d i, Scienza delle costruzioni, Parte quinta. — Torino, 1894.
Il momento totale :
M 2 y tang2 a( \ 3 - hr X2 ( 0 Ne segue che il punto di applicazione della risultante si troverà all’altezza :
M I T
— X 4- hr
3 x
Dall’esame delle espressioni di d S
d x S e M risulta che, col variare della profondità x:
1° la pressione unitaria varia linearmente e, arrestan
doci ad una profondità
11
, può graficamente essere rappresentata dalle ordinate di un trapezio avente le basi:
dS ' hr r tan«- a. i superiore :
ed inferiore:
\d x d S
d x ( h 4 hr ) tang2 a ;
lico cubico avente la base li' tang2 a (le tnngenti i n I- 2° la spinta risultante varia in ragione composta, lineare (sovraccarico) c parabolica quadratica (terra) e può essere rappresentala dalla somma delle ordinate di un triangolo ret
tilineo avente la base yt hr h tang2 a e di un triangolo para
bolico quadratico avente la base - — y h2 tang2 a (la parabola ha la tangente iniziale verticale) ;
3° il momento totale, rispetto all’orizzontale di profon
dità x , varia in ragione composta parabolica quadratica (so
vraccarico) e parabolica cubica (terra) e può rappresentarsi mediante la somma di un triangolo parabolico quadratico avente la base ~r— y lir h2tang2 a e di un triangolo parabo-
! 6
/1
ziali delle due parabole sono verticali).
Donde i diagrammi riportati alla fig. 100, in cui le ascisse, rappresentanti la profondità, sono portate verticalmente in basso, e le ordinate orizzontali.
Vediamo ora che cosa avviene quando il terreno spingente anziché essere illimitato é posteriormente limitato (vedi fi
gura 107) da una parete verticale 1 K situata ad una certa distanza a, che supporrò nota, dalla parete sollecitata A P, essendo a < h tang a.
Intanto finché x a cot a, ossia finché la profondità non è tale che il prisma di spinta venga posteriormente mozzalo, nulla si ha a variare nelle formule surriportate e nei dia
grammi corrispondenti.
Questa profondità-limite che indicherò con h, si ottiene graficamente conducendo pel punto I una parallela alla P N (scarpa di naturai declivio), il punto Q in cui essa incontra la parete A P è situato alla profondità /*,. Condotta per Q una orizzontale, i diagrammi delle pressioni unitarie, delle spinte e dei momenti, superiormente a detta orizzontale si costruiscono come precedentemente fu detto.
Studiamo ora la spinta che sollecita la parete A B di al
tezza x > h r
Si noli innanzi tutto che la superficie di distacco BC sarà
&
ancora inclinata dell’angolo a = 45° sulla verticale.
Infatti, sia B C la superficie di distacco, di cui per ora non si conosca l ’inclinazione. Condotta l’orizzontale C C' è noto che attraverso alla sezione di traccia CC' non si trasmettono che azioni verticali provocate dal peso del prisma di terra di sezione rettangolare A IC C ' e dal carico accidentale.
Il prisma A I C C' non opera adunque che come un sem
plice carico accidentale, il cui effetto si somma con quello del vero carico accidentale A I P G.
Ora, essendo la posizione della superficie di scorrimento, indipendente dalla entità del carico accidentale, detta super
ficie riescirà ancora parallela alla Q 1.
J D7-/rrrTcx «¿1 J/Dinfcc / ‘r d J S c o m ‘ f ■'/ f ? ’ ¿ ’l j f l f o f r z , € n f c
Fig. 106.
",w7rri.cz- dz*?.om Sv -f^ -e s s ?.* u m f . r't'e
Fig. 107.
La spinta sollecitante la parete A B sarà adunque prodotta, \ donde :
anziché dal prisma completo A I ìB e relativo sovraccarico ì \ \
A I) E G, dal prisma ridotto A B G I e dal carico accidentale ; S
"t
= ~x-y. oc?
tang2a
— y a x tang a + —y
a2.A I F G. 1 - 1
BC' G' A
Occupiamoci dapprima della spinta S j dovuta alle terre:
vedremo in seguito quella S*p dovuta al sovraccarico.
La spinta chesi esercita contro la parete A B risulterà j . > R .
■ l i i • /w> t i • « • , i i l • tt/Z Z c l o l i i U U I llU 13 ■
eguale alla differenza tra la spinta esercitata dal prisma com- j r pleto A B D contro la stessa parete e quella che solleciterebbe
la parete C I se questa sostenesse il prisma soppresso I C D.
Più precisamente, per tener conto anche della linea di azione delle forze, potremo dire che la spinta S"t cercata è la risultante della spinta S'i relativa al prisma completo e quella S"t dovuta al prisma soppresso, presa quest’ultima in senso negativo.
Ora la spinta esercitata contro la parete A B dal prisma
•completo è espressa, per quanto si disse, da : S’t — 1 Yjx2 tang2 a
Essa sarebbe applicata ad — dell’altezza G I ossia a ll’al- O
a cot a + a cot a ( 2 a cot « -f- x ' +
La risultante di S'« e - S*; = S'i - S"t
3 1 3
S"/, ambedue orizzontali, sarà:
h
a x tang a -- —a
2
' t
1 \
éd è applicata ad — dell’altezza BA ossia all’altezza -¡r-x
O O
sopra il punto B.
La spinta che eserciterebbe il prisma IC D contro la pa
rete I G è :
1
ed essendo : I C si avrà :
S", — yt I G” tang2 a ,
: A C' = A B — C' B = a; — a cot a, S"< — —-- 1 y (xì a2 cot2 a — 2 a x cot a) tang'2 a ,
da cui, derivando rispetto ad x:
—:-- = dS't y, a tang a .
d x 1 °
A quale altezza sarà applicata la S*« ?
II momento, rispetto a un punto qualunque della orizzon
tale passante per B, della S'i sarà, per quanto si disse : M't = — x . S'< = 4 - y. x3 tang2 a .
ó 0 ‘
Il momento, rispetto alla stessa orizzontale, della S"<, sarà : 2 a cot a -j- a?
i't
t
= ---n
3---- Ot —
2 a cot a 4 - x | 1
3 — yt (x — a cot a)3 tang2 aj = -f- yt (x + - a cot a) (x — « cot a)2 tang2 a .
M*ì = M't - M"< = tang2 a
6 e riducendo :
■xi (x-f- 2 a cot a) (x — a cot a ) 2 ,
X +■ llr---— 2 a cot a
ivi « cot a 3
s*
X 4- l l r1 Cl cot a 1
T 7*«2 (3 x — 2 a cota).
E perciò il punto di applicazione della S** si troverà si
tuato all’altezza :
M*ì 1 3 x — 2 a cot a S*ì 3 2 s ta n g a — a Vediamo la spinta dovuta al carico accidentale.
Come si fece per la spinta delle terre, potremo riguardare la spinta del carico accidentale come risultante della spinta S p contro la parete A B dovuta all’intero carico A D E G e di quella S”p che eserciterebbe il carico accidentale I D E F contro la parete C I, presa quest’ultima in senso negativo.
Avremo :
Sp = yt hr x tang2 a ,
S"P ~ 7 hr I C . tang2 a = / hr x tang2 a — y{ hr a tang a . La Sp sarà applicata all’altezza, sopra B, ~ ; la OC S"p al
punto di mezzo di C I ossia all’altezza, su B : X — « cot a X 4- a cot a a cot a 4 --- --- — ---- —---- .
1 1
La risultante S*p è quindi:
S*p = S p — S’ p = yt hr a tang a , da cui, derivando rispetto ad x:
A S *p
Agli stessi risultati si perverrebbe considerando come prisma spingente la sola parte B G C e come carico acciden
tale la parte C C 'IA cui deve aggiungersi il vero sovraccarico A I F G.
Dette S e S'"p le spinte rispettivamente dovute al prisma B C C' e al carico C' C F G, M"'* e M"'p i rispettivi momenti rispetto a B, si avrebbe:
ed essendo :
S'"‘ = T 7 t » G' tang2 a ,
B G' = A Q = a cot a S ’"t
2 ‘ t
la quale sarebbe applicata ad 1|3 di B C' ossia all’ altezza a cot a
sopra B = 3 Quindi :
d x 0 .
a cot a 0,„ 1
M < = „— S i = — y, « cota.
o o c
Inoltre :
S"'p = yt { h r + A C') B C' tang2 a , S"'p = 7 ( h r 4 - x — a cot a) a tang a ,
la quale sarebbe applicata al punto di mezzo di B G' ossia al
ai cot a
"altezza — Q- sopra B . Quindi :
li momento rispetto all’orizzontale passante per B della
S» è: M"'p = S'", a cot a
■) M'„ = — yt hr x2 tang2 a .
11 momento analogo per S"p : x 4 - a cot a 1
---^ ---- S p = "T \x ' — « cot2 a) tang2 a.
Wr, =
— 1 yt (hr -f x — a cot a) a2.
Sommando le spinte e i momenti si avrà infine :
s* = S"'i -f S'"p = - c, ~1 yt «24-yt ( h r + x - acot«)«tangaz
1 \ ■
= y. « ! h r x--- — a cot a ) tang a ,
* • 1 /
M
Il momento della risultante S*p è:
1
M* = M"'i + M' 1
yt a3 cot a 4-
p — .h p
ossia :
M'o — M"p = — 7 hr 'Æ2 — (o¿L — a2 cot2 a)! tang2
2 ‘ I t
M*p hr a2 .
1 1 2
H
—^-yt ( h r4
x- acoU)a-=-^-yt a?(hr -\-x---^-acota), come avevamo trovato per altra via.Esaminiamo le espressioni di : Il punto di applicazione della spinta dovuta al carico acci
dentale è quindi situato all’altezza su B :
M*o h ‘ h’-a2 1
d S*i d S*p
j S ¡ j S p 5 M ; 5 M p ,
S* h r a tana; a : C) a cot a .
d x ’ d x
che per comodità trascriverò di fronte alle corrispondenti espressioni delle analoghe quantità che si sono trovate per le profondità minori di ht , come segue :
La spinta totale sollecitante la parete AB sarà adunque:
S* = S*i + S*p — -Q-yt1 a (2 stanga — a) + yf hr «tanga =
/ a
— yt a ' x -\-hr--C}- cot a : tang a .
Il momento di detta spinta rispetto all’orizzontale passante per B :
M* = M'i 4 M*p = 4r~7t a2 (3 x — 2 a cot a) 4- J
1 1 2 (2)
4 - “2~7t hr — ^ 7 t a2 O + h' — -3- a cot a) . ^
Per x < Aj :
= 7 . x tang2 a
hr tana:2 a dSt
d x d Sp
!T x ~ 7‘ ,lr lu,'s Si = yt x2 tang'2 a Sp = yt hr x tang2 a
Mi = 4 - 7, x3 tang2 a 0 f
1
] l p ~
Mo = — 7/ hr x2 tang2 a
Per x h. : d S*i
d x ‘ l 0
7 a tang a d S*p
d x
S*i = yt a ( x tang a — — S*p = yt hr a tang a M*ì = 7 . «2(3x— 2«cota)
u 1 M*p = -0- 1 yt hr «2
Cominciando dallo sollecitazioni dovute alle terre, emerge da queste formole :
1° Che la pressione unitaria sotto la profondità h t rimane costante, quale era alla profondità li, :
d Si ___ d S*<
d X ) x ^ a cot a d X
2° La spinta S‘< cresce linearmente, secondo una retta la quale è tangente nel punto di profondità h, alla parabola che rappresenta S t ■ Infatti come già si vide :
d S ' t / d S i
d x d X ] x — acot a
3° Il momento rispetto a ll’orizzontale passante pel punto infimo del prisma, della S‘t cresce linearmente secondo una retta la quale è tangente nel punto di profondità h i alla pa
rabola cubica rappresentante M t ■ Infatti : d Mt \ _ d M j
d X J x = acot a d X
Riguardo al carico accidentale, risulta pure dall’ispezione delle sovrascritte formule:
1° Che, sempre per le profondità maggiori di A„ la pres
sione unitaria si annulla : d S*p
d x - 0 ;
2ictaua;3 Il braccio di P è x tang 8 -\— — , quello di P' è Il momento resistente totale sarà adunque :
* 2 ta n g j5
M, = 7 s x I x tang fi +•
Mi = 71 ' ìi -f- s x tang fi +
3 ai2 tang2 J3
3
2° La spinta S',, rimane costante ed eguale al valore che aveva la Sj, alla profondità li, :
S p ~ (Sp ) x — a cot a j
3 ’ Analogamente rimane costante il momento M*p ed eguate al valore che aveva Mp alla profondità h l :
M p = (Mp )jf — a cot a •
In base a questi risultati si sono costrutti i diagrammi rap
presentati dalla figura 107, nei quali chiaramente si palesa l ’influenza della limitazione del prisma di spinta e del re
lativo carico accidentale.
Le aree che si punteggiarono sono quelle che vengono an
nullate, in confronto dei diagrammi completi, in causa della suddetta riduzione del prisma.
liisulta ora evidente come non si possa prescindere dalla condizione di cose creata dalla coesistenza dei due muri late
rali alla strada, tanto più che, come vedremo in seguito, la profondità h , a cui comincia a farsi sentire l’influenza di un muro sulla spinta che sollecita l ’altro, non è in generale molto grande ed è spesso raggiunta nella pratica.
III.
Possiamo ora passare al calcolo dei muri di sostegno.
Indicheremo con ym il peso specifico della muratura di cui è composto il muro, con x la sua altezza, con s lo spessore in sommità, con j3 l ’inclinazione della faccia esterna sulla verti
cale (la parete interna si suppone, come si disse, verticale) e considereremo un tratto di muro lungo un metro.
11 momento resistente del muro al rovesciamento attorno allo spigolo esterno della base (vedi fig. 108) può considerarsi composto :
1° Del momento, rispetto a detto spigolo di traccia A, del peso P della parte di muro di sezione rettangolare D C D E ;
2° Del momento, rispetto allo stesso spigolo del peso P ’ della parte di muro a sezione triangolare A B E.
Si ha :
P — x s y m ; P' = — - x2 tang j8 . ym.
(3)
Il diagramma di M, in funzione di «sarà quindi una curva del terzo grado.
Le sue ordinate M, (vedi fig. 109) possono ottenersi assai facilmente come prodotto delle corrispondenti ordinate delle tre rette 0 Y', 0' Y", 0' Y"' aventi per equazioni :
1
— 9^ 7m X>
y " = s + X
1
+r j + X
V - V
r )
f)
tang fi,
tang fi.
Infatti risulta M, = y’ y" i j ”.
L’equazione di stabilità del muro, detto n il coefficiente di stabilità di cui si è più sopra parlato, si otterrà eguagliando il momento resistente ad un momento Mpl° di quello reale dovuto alla spinta.
Se pertanto il prisma di spinta è completo, avremo, tenute le notazioni precedenti:
M, = #M,
dalla (1 ) si otterrà :
-f s x tang j3 +
— — tang fi -f-
+
V -
tang2 ! + n- l + _ J L _ 2 3(
6)
-cota
da cui:
s2 -f- 2 s x tang fi -{- + 2 a;2 tang2
fi
tang2 a \ X
2
h r Xc posto x = h\
+ -g- tang2
li h , ,
■n-- tang- a ym
J _ 1 A
3 /« = 0.
Risolvo rispetto ad —7—, osservando che del doppio segno
¡immesso dalla soluzione dell’equazione di secondo grado, sol
tanto il segno positivo soddisfa al problema, non avendo senso uno spessore negativo :
S — — tang fi +
h
+ tan§2 i3 + « —
(4)
La quale naturalmente si identifica colla (4) se per « si pone h tang a.
La (6) ci servirebbe per determinare lo spessore s quando si conoscesse la distanza a cui trovasi dal muro la parete che limita posteriormente il prisma di spinta.
Ora ciò in generale non avviene, e nel caso da noi studiato tale distanza è alla sua volta funzione dello spessore s dei muri che sostengono lateralmente il rilevato stradale.
Detta l la larghezza della strada tra le faccie esterne dei parapetti, se i due muri sono ugualmente alti (terreno sot
tostante pressoché orizzontale), essi avranno uguale spessore e si avrà evidentemente :
a + 2s = /. (7)
Dal sistema delle due equazioni (5) e (7), le quali non contengono che le incognite s ed a, si potranno ricavare le incognite stesse.
Dalla (7) ho :
a — l — 2 s , valore che sostituito nella (5) offre :
s2 + 2 s k tang fi -f —— /¿2 tang2 2 fi —
La quale è la formula usualmente adottata per la determi
nazione dello spessore dei muri del tipo in questione.
Per hr = 0 , n-- - = 0,9 , tang « — 0,50, si ottiene :7
• m
|^/ 1 -)- 0,225 cot2 fi j
7,
( l .
( hr
2
sy
1 4- —3
3 (/ — 2 s) cot ¡X )
= 0
s
~h tan? 8
Da cui per tang fi ~ 0 si ottiene
» tang fi — 0,05 »
» tang fi = 0,10 »
» tang fi 0,20 » 3 s
~h s X
s
~h s
~h
= 0,27,
= 0,23,
0,18,
0
,10
./ h ,
• W 1
la quale è del terzo grado in s.
In generale, per la determinazione di s, anziché risolvere quest’ultima equazione che, come si disse, è del terzo grado, converrà usare le due equazioni (6) e (7), le quali si prestano a detta ricerca col metodo delle successive approssimazioni.
Per semplificare le formule sarà opportuno esprimere tulle le lunghezze che compaiono in dette equazioni me
diamela larghezza l della strada, presa come unità di misura.
Posto :
c * u ^ ® i tr
S = ~ ; H = - p ; A = — ed II, = — , le (6) e (1) prenderanno la forma :
S — — H tang fi 4-
2 Acote
4-
La formula (4), come già si disse, vale finché il prisma di spinta è completo.
Supponiamo invece che il prisma di spinta e il relativo carico accidentale siano posteriormente limitati da una pa
rete verticale posta alla distanza a, che per ora supporrò nota, dalla faccia interna del muro di sostegno.
L ’equazione di stabilità sarà : Mj = n ftl*.
Sostituisco ad M, e ad M* le loro espressioni date dalle formule (3) e (2), ponendo x — h :
/t2 tang2 fi \
-Il2tang'2j3
4
-«-(
8)
-A2 1 —
II
4 - s li tang fi 4 - h = hr — a cot a ,
A = l — 2 S . (9)
Prima di studiare la funzione S di II, risultante dall’in
sieme delle formule (8) e (9), cerchiamo quale sia la profon
dità II, alla quale devesi abbandonare la (4) per le (8) e (9), incominciando ad avvenire la riduzione del prisma di spinta.
Indicando con A, ed S, i valori di A e di S che corrispon
dono alla profondità cercata I I , , avremo:
A, = II, tang a, e sostituendo nella (9) :
S, = -y- (1 — II, tang a),1
valore che introdotto nella (8), offre, dopo alcune semplifi
cazioni : —
La quale è del 2” grado in II, e quindi agevolmente risolvibile.
Posto, ad es., tang « = 0,6 (ossia <j> = 28° w ) ; tang fi —
— 0,05 ; Ur = 0,30; = 0,9, si otterrebbe II,=0,662.
Ciò vuol dire che, supposte verificate le suddette ipotesi riguardo alla natura del terreno, al carico accidentale, alla forma dei muri, per una strada della larghezza, ad esempio, di 6m,00 ed alta sul piano di campagna più di m. 6,00 X X 0,662 = 3,972, occorrerà calcolare lo spessore dei muri laterali colle nuove formule, essendoché a tale altezza il prisma di spinta comincia ad essere posteriormente limitato dal muro retrostante.
Come è noto, e come del resto emerge dalla semplice ispe
zione della (4), quando il terreno a sostenersi è posterior
mente illimitato, lo spessore del muro, qualunque sia la scarpa della parete esterna, cresce indefinitamente col cre
scere della profondità.
E ’ ora interessante investigare se, nel caso del rilevato sostenuto da muri ad ambo i lati, lo spessore S in sommità dei muri stessi, col crescere dell’altezza H oltre il valore II,, cresca indefinitamente o tenda ad un limite.
Riduco la (4) in modo analogo a quanto si fece per le (5) e (7), ponendo:
s = t • " = - r > H' = - r - Avrò :
S = II -, — tang
fi
+ ■ tang2 ß -f « - tang2 a IL
H
(4')
la quale naturalmente è valida sinché H < Hj.
Per mezzo delia (4') per le altezze < II, e mediante le (8) e (9) per le altezze > II, si sono costrutti i diagrammi dello spessore S (ordinate) in funzione della profondità II (ascisse), rappresentati alle figure 110 e 111.
Il diagrammadellafig.llO corrisponde alle ipotesi 4 = 3 7 °;
tang fi — 0 ; IIr = 0,05 ; n 7t
=0,9; quello della figurai 11
alle ipotesi tang fi -.0,10; IL — 0,10; = 0,9.
Dall’esame del diagramma rappresentato alla figura 110, e meglio ancora da quanto si dirà in appresso, risulta che, quando i muri di sostegno sono privi di scarpa esterna, lo spessore S, il quale cresce molto rapidamente per le profon
dità minori di II,, per II > H, continua a crescere, ma meno rapidamente, e col tendere di II ad oc, tende ad un limite fi
nito (la curva è assintotica alla retta N' N" parallela all’asse delle H).
Nel diagramma della figura 111, invece (muri a scarpa esterna) S, per profondità H > H, cresce sino ad un certo valore per poi diminuire, ossia si ha un massimo che indi
cherò con S2 in corrispondenza di un valore finito di H, che distinguerò con 1I2.
Per ambedue le figure la linea 0 P Q L sarebbe il dia
gramma dello spessore S in funzione di II quando non si tenesse conto della limitazione del prisma di spinta (alla pro
fondità pari all’ascissa del punto Q il terrapieno entrostante ai muri sarebbe ridotto a zero, e il rilevato sarebbe formato interamente di muratura, ciò che è evidentemente assurdo).
La linea 0 P N invece è il diagramma che s’ottiene quando, coinè è razionale, si tenga conto della riduzione del prisma prodotta dalla coesistenza dei due muri.
Nella figura 111, al ramo K T della cubica P KT, che sus
segue al punto di ordinata massima K, devesi naturalmente sostituire la tangente (orizzontale) nel punto K, perchè ove per una profondità maggiore dell’ascissa II2 di K, si adottasse lo spessore S che per tale profondità è dato dalle (8) e (9), e che risulta minore dell’ordinata S2 di K, il muro, mentre
Fig. 110.
Pig. 111.
presenterebbe la voluta stabilità rispetto alla sezione di base, sarebbe deficiente rispètto alle sezioni di profondità minori e specialmente rispetto a quella posta alla profondità II2.
In certi casi può avvenire che lo spessore massimo S2 for
nito dalle (8) e (9) corrisponda ad un’altezza II2 minore di II, ed allora naturalmente le suddette formule non dovranno usarsi, e per tutte le profondità maggiori di IIt bisognerà adottare lo spessore S, dato dalla (4') per l ’altezza II,.
Determiniamo ora la profondità H2 in corrispondenza della quale le (8) e (9) forniscono per S il valore massimo S2.
Derivo la (8) rispetto ad A, che suppongo per ora indipen
dente da S :
d S
7t \ n-- A
^ni
1 A cot
H d A
-H2tang2j3-f-ft-- A2 \ 1
Acota — Hr H Ora essendo per II > H ,, A
A cot a
II tang a, sarà :
H < 1 onde risulterà d S
d A > 0 ,
Dunque, la funzione S espressa dalla (8) è crescente ri
spetto alla variabile A, come era facilmente prevedibile.
lore A2 che corrisponde alla profondità II2 è minore, ma non differisce molto dal valore A ,, corrispondente alla pro
fondità II j .
Ne segue clic se nella (8) poniamo al posto di A il va
lore A ,, che come è noto vale H, tang a, otterremo per S un valore approssimato per eccesso :
S = — II tang j3 +
+ ï II2 tang2 J34 n - — II2, tang2 a l l 3
e posto :
7m
II, - IL
II
adottare per tutte le altezze maggiori di IIj il valore St , che dalla (4') è fornito per II = I I , .
Dicemmo più sopra che quando tang fi-=0 risulta Hs=oo . Possiamo ora dimostrarlo.
In questo caso speciale la (8') diviene:
S — H, tang
1
11,- I L IIDa cui derivando rispetto ad II si ottiene:
2 : 11 —
7
7t / tang a tang
fi
l i2,S = tang fi ]
»
■I f
-f p 1 — JII (8')11 valore II2 di H, che rende massimo S, annullerà la sua derivata :
— H + J - 3 1 II2 ìf ,
= = = tang fi.
d S
7h II, tang a 7, 3 -11,-11,
II, - IL li
11 valore Il2, che rende massimo S, dovrà annullare la sua derivata; avremo adunque:
II, — IL
IL
■ — 0,
d II
Avremo adunque :
II2
3 P
1 i r j
7pq
da cui :
9
? H,
la quale è appunto soddisfatta per Il2 = oc .
Conoscendo I I , , il corrispondente valore S, potrebbe rica
varsi dalla (4r). Più brevemente potrà ottenersi osservando che :
It( —- A, cot a = (I — 2 S,) cot a onde :
n% 4- c, p H ‘2 — b p fi h :,2 8
S, = -g— (1 — H, tang x).
(
1 2)
Si ha cosi per la determinazione di 112 un’equazione del Quanto ad S2, se tang 8 > 0 (muri a scarpa esterna), oc
correrà calcolarlo colle (8j e (9), ponendo al posto di li il 6» grado, che per ogni caso speciale potrà risolversi numeri- va]ore H determinato mediante la ( l i ) 0 la ( lì') , camente coi soliti metodi di approssimazione. Ne, ca20 invece di muri a ti amh'educ verticali,Io spes-
Piu speditamente si può ottenere un valoie sufficientemente ■ gore S2 si ottiene subito ponendo nella (8) tang 8 = 0 con approssimato di H2 ne! modo seguente. ì che si ottiene:
Dall ultima scritta si ha:
9 -Q~ P9 II3
A i H! i
q p ■6 ■
r.
1 -•A2 3
II
II2 ,
ed osservando che generalmente è trascurabile di fronte 9 V
a — —, potremo scrivere:
Dalla quale, posto H = 3c e A = 1 — 2 S, si ricava : S2 = i
2 +
I (13)IL 0,628 pq / 1
4 È notevole come questo valore di S, per fi = 0 sia indi- 1,32
la quale si presta comodamente al calcolo di II, con succes
sive approssimazioni (generalmente bastano due tentativi).
Riepilogando, calcolato II, colla (10) e II2 colla (11) 0 colla ( II') , e supposto che risulti :
oc > II2 > II, ,
pendente da 6 e da IL .
Per n-- = 0,9 (valore medio) risulta S2= 0,3277t
Ciò vuol dire che, nell’ipotesi che si abbia
11
0,9,! se si adottano i muri senza scarpa, il loro spessore non potrà
i . 327
mai raggiungere 1 della larghezza della strada, co- il valore di S sarà dato dalla (4') per tutti i valori di II mi- ° 1000
no ri 0 eguali ad II, e dalle (8) e (9) pei valori di II compresi munque grande sia l ’altezza del rilevato da sostenersi, nell’intervallo da Hj ad II2. Per le altezze II > II2 si adot
terà, come si disse, lo spessore S2 che, in virtù delle (8) e (9), compete ad II2.
(Continua)
Gio v a n n i Sa c h e r i, Direttore. Tip. e Lit. Ca m i l l a e Be r t o l e r o di Na t a l e Be r t o l e r o, Editore. Pa o l o Ma r i a n o, Gerente.
