Generalità e note di teoria

C C a a p p i i t t o o l l o o 1 1

Generalità e note di teoria

In questo capitolo sono riportate alcune note delle teorie utilizzate, riguardanti:

• Verifiche di resistenza.

• Dati del problema e convenzioni.

• Ipotesi fondamentali.

• Stati di deformazione limite ultimi della sezione.

• Legami costitutivi dei materiali.

• Dominio di rottura nello spazio.

• Studio delle risorse ultime della sezione.

• Coefficiente di sicurezza.

Generalità e note di teoria

Generalità

Il programma PRO_VLIM, e' una applicazione Windows 95/NT/ 98 per l' analisi delle sezioni in c.a. soggette a presso-tensoflessione deviata.

Caratteristica del programma e' quella di unire un alto livello di interattività ad un sofisticato algoritmo di calcolo, realizzando uno strumento potente, affidabile, semplice e produttivo.

Le possibilità del programma comprendono:

¾ Lo studio del dominio di rottura della sezione (superficie Mxu, Myu, Nu) rappresentato per una più facile interpretazione con curve a sforzo normale o rapporto tra i momenti costante;

¾ Lo studio del percorso ( accrescimento delle sollecitazioni ) per pervenire ad uno stato limite per la sezione secondo le usuali modalita' proporzionale, a regime flettente definito ed a regime assiale definito;

¾ Lo studio della resistenza della sezione con le Tensioni Ammissibili;

La caratterizzazione geometrica e meccanica della sezione e l' impostazione del calcolo sono guidate da menu e finestre di dialogo di facile utilizzo e conformi allo standard delle applicazioni Windows 95/NT/ 98.

I risultati delle analisi effettuate (sollecitazioni e deformazioni) sono agevolmente controllabili con l' ausilio grafico e riportati in una chiara ed esaustiva relazione di calcolo redatta ai sensi delle CNR 10024/86 “Analisi di strutture mediante elaboratore: impostazione e redazione delle relazioni di calcolo”.

Le modalità operative sono state ideate ed integrate nel sistema secondo una logica intuitiva e di facile apprendimento; particolare attenzione e' stata dedicata alle funzioni di modifica e correzione consentendo così la realizzazione dello strumento ideale per la progettazione di sezioni in c.a.

Note di teoria

Verifiche di resistenza

Si ammette che una struttura abbia raggiunto uno stato limite quando essa (o uno dei suoi elementi costitutivi) non può più svolgere le funzioni, o non soddisfa più le condizioni per le quali è stata realizzata.

Nel caso degli stati limite ultimi ciò corrisponde al raggiungimento del valore estremo della capacità portante.

Sollecitazione composta di flessione e sforzo normale allo stato limite ultimo Dati del problema e convenzioni

La geometria della sezione è descritta mediante una poligonale nel piano X, Y, che racchiude la sezione; nel caso di sezioni circolari piene (o cave), la geometria è definita univocamente dal raggio (o raggi).

Le armature sono puntiformi, descritte da un’area Afi e da una coppia di coordinate Xfi, Yfi.

Le componenti del momento sono definite attorno agli assi X e Y, rispettivamente Mx positivo orario per chi osserva dal verso positivo dell’asse e My positivo antiorario per chi osserva dal verso positivo dell’asse;

l’azione assiale è positiva se di compressione. Il sistema di forze si suppone ridotto nel baricentro geometrico della sezione di calcestruzzo.

Ipotesi fondamentali

Le ipotesi assunte relativamente ai criteri di calcolo per la valutazione delle sollecitazioni limite ultime, di un’assegnata sezione in c.a., sono le seguenti:

¾ Deformazione delle fibre proporzionale alla distanza dall’asse neutro della sezione (conservazione delle sezioni piane);

¾ Aderenza perfetta fra acciaio e calcestruzzo fino alla dilatazione limite dell’acciaio del 10 ‰;

¾ Resistenza a trazione del calcestruzzo trascurabile;

Nel caso di flessione composta retta l’asse neutro è definito da un solo parametro, ad es. la sua distanza x dal baricentro della sezione. Nel caso di flessione composta deviata l’asse neutro è definito da due parametri, ad es. la sua inclinazione β e la sua distanza x dal baricentro della sezione, i cui domini di variabilità sono:

β = (0, 2π); x = (-∞, +∞).

Per quanto riguarda la curvatura Γ essa potrà variare in (0, Γmax) dove Γmax è dipendente dalle caratteristiche del materiale.

Qualora ci si limiti a considerare gli stati di rottura, la posizione dell’asse neutro e la curvatura sono legate tra loro, per cui il problema da tridimensionale (incognite β, x, Γ) diventa bidimensionale per la flessione composta deviata (incognite β, x) e da bidimensionale (incognite x, Γ) a monodimensionale per la flessione composta retta (incognita x).

Stati di deformazione limite ultimi della sezione

Data una generica sezione S, si possono considerare due piani caratteristici, il piano della sezione stessa P ed il piano E della sezione deformata. L’intersezione tra P ed E, genera l’asse neutro; l’angolo tra P ed E è la curvatura Γ.

Le posizioni che può assumere il piano E, considerando stati di rottura, dipendono dalle limitazioni sulle deformazioni del calcestruzzo e

dell’acciaio (punti A e B di figura), fissate dalle normative.

Le configurazioni ammissibili del piano E si ottengono per rotazione attorno ai tre punti A, B, C di figura.

Il segmento a rappresenta lo stato di deformazione limite ultimo della sezione per puro sforzo normale di trazione, la dilatazione limite dell’acciaio in questa condizione è pari al 10‰.

Ruotando il piano E attorno al punto A (allungamento massimo dell’acciaio), questo arriva a toccare il punto B, accorciamento massimo del

calcestruzzo pari al 3.5‰. In questa configurazione (segmento b) è sfruttata interamente la resistenza del calcestruzzo.

Ruotando il piano E attorno al punto B, si raggiunge la configurazione del segmento c nella quale si ha la sezione interamente reagente.

Infine si ruota ancora in senso antiorario attorno al punto C, identificato dall’intersezione del piano B-D con il piano che definisce l’accorciamento uniforme nel caso di compressione centrata.

La rotazione attorno al punto A individua gli stati di rottura provocati dalla crisi dell’acciaio; la rotazione attorno ai punti B e C individua invece gli stati di rottura da attribuire al calcestruzzo. In figura sono riportate con tratto marcato le posizioni limite che può raggiungere il piano E.

Legami costitutivi dei materiali Calcestruzzo:

si adotta il diagramma parabola-rettangolo suggerito dalla normativa, rappresentato in figura, definito da un arco di parabola di secondo grado passante per l’origine, avente asse parallelo a quello delle tensioni, e da un segmento di retta parallelo all’asse delle deformazioni tangente alla parabola nel punto di sommità.

Il diagramma è espresso dalla seguente equazione:

σ =

× [2 × (ε / εο) − (ε / εο)2] 0 ≤ ε ≤ εο

σ =

εο ≤ ε ≤ εr

dove: fcd = massima tensione di compressione di progetto;

εr = accorciamento massimo del cls;

εo = accorciamento massimo per compressione centrata;

La normativa (D.M. 09/01/1996) fissa i valori di fcd, εr, εo pari a:

fcd = 0.83 x Rck / γm εr = 3.5 ‰

εo = 2 ‰

La rottura sopraggiunge, secondo lo schema adottato, quando la deformazione, con σc = 0.85 fcd, attinge il valore limite (convenzionale) εr = 3.5 ‰.

Acciaio:

Si adotta per l’acciaio ordinario un diagramma σ - ε di tipo elastico perfettamente plastico, con rami

rappresentato in figura, dove i parametri fyd, εr sono fissati dalla normativa:

fyd = fyk/γf εr = 10 ‰ dove:

fyk = resistenza caratteristica di snervamento

γf = coefficiente di riduzione della resistenza dell’acciaio

Al solito il diagramma di calcolo si ottiene da quello caratteristico mediante una affinità parallela alla tangente iniziale con il coefficiente definito dalle normative.

Dominio di rottura nello spazio

Il numero dei possibili stati di rottura, Pru = (Nru, Mxru, Myru) è ∞² (duplice infinità), dipendendo dai due parametri dell’asse neutro β, x.

Al variare di β ed x nel loro insieme di definizione il punto Pru descrive una superficie detta dominio di rottura, che delimita gli stati di sollecitazione ammissibili (interni al dominio) da quelli non ammissibili (esterni al dominio) vedi figura seguente. La definizione analitica del dominio di rottura richiede il calcolo delle seguenti funzioni:

N = N(β, x)

Pu = Mx = Mx(β, x) x(-∞, +∞) b(0, 2π) My = My(β, x)

che in generale può essere eseguito solo per via numerica.

Si consideri la sezione generica della figura seguente. Siano X, Y due generici assi ortogonali passanti per il baricentro geometrico della sezione. Fissata la posizione

dell’asse neutro n, e quindi β ed x è nota la parte di calcestruzzo reagente. Per quanto detto si è in grado di valutare le deformazioni e di calcolare le risultanti N, Mx, My.

Si ha:

N = ∫_B σc dA + ∑Afi × σf

Mx = ∫B σc × y dA + ∑Afi × σf × y My = ∫B sc × x dA + ∑Afi × σf × x

Dal punto di vista operativo si calcolano gli integrali rispetto ad un riferimento con origine in G e con l’asse X’ parallelo all’asse neutro; le azioni così trovate si trasformano nel riferimento X, Y:

Mx = Mx’ × cos(β) - My’ × sen(β) My = Mx’ × sen(β) + My’ × cos(β) Studio delle risorse ultime della sezione

Nel paragrafo precedente si è visto come si possa ottenere un punto Pru = Pru(β, x) del dominio di rottura.

Per una descrizione completa degli stati ultimi di una sezione ne occorrerebbero ∞ ².

Da un punto di vista operativo è possibile valutare le risorse ultime di una sezione determinando una combinazione di sollecitazioni che genera un punto appartenente alla superficie limite del dominio, oppure un insieme di punti che generano curve appartenenti alla superficie limite del dominio.

Nel primo caso il punto viene ottenuto per accrescimento delle sollecitazioni secondo le seguenti modalità:

° incremento proporzionale delle sollecitazioni N, Mx, My;

° incremento di N con Mxu e Myu assegnati;

° incremento di Mx, My con Nu e Mx/My assegnato;

Nel secondo caso si rappresenta il dominio di rottura con sezioni piane, siano esse curve meridiane o curve di livello con N = cost.

Si hanno così le curve d’interazione:

° curve parallele con N = cost; Mx, My variabili

Si opera la ricerca del dominio di rottura della sezione, superficie Mx, My, N, sezionando quest’ultima con un piano a Nu costante; in questo modo si ottiene una curva (ad N = Nu costante) che definisce un dominio di rottura piano.

La frontiera di questo dominio individua tutte le condizioni di rottura della sezione con sforzo normale assegnato.

° curve meridiane con Mx/My = cost; N variabile

Si opera la ricerca del dominio di rottura della sezione, superficie Mx, My, N, sezionando quest’ultima con un piano avente il valore del rapporto Mx/My costante; in questo modo si ottiene una curva N, Mx/My che definisce un dominio di rottura piano.

La frontiera di questo dominio individua tutte le condizioni di rottura della sezione con assegnato rapporto Mx/My.

Coefficiente di sicurezza

Il coefficiente di sicurezza permette di valutare se il punto generato dal vettore sollecitazione di componenti N, Mx, My, applicato ad una sezione è interno o esterno al dominio di rottura della sezione stessa.

Ad esempio considerando il caso generale di flessione composta:

il vettore sollecitazione abbia componenti No, Mxo, Myo; per controllare la sua ammissibilità basterà verificare che:

γ = OP / OPo≥ 1

dove O è l’origine dello spazio N, Mx, My cui è riferito il dominio e P è l’intersezione della retta OPo con il dominio stesso.

Il coefficiente γ definito, rappresenta il cosiddetto coefficiente di sicurezza proporzionale ossia valutato nell’ipotesi di accrescimento proporzionale delle azioni applicate sino a rottura.

Nel caso l’accrescimento delle sollecitazioni venga effettuato mantenendo N = cost. oppure M = cost., si valutano rispettivamente i coefficienti di sicurezza ad azione assiale costante (momento flettente variabile) e ad azione flettente costante (azione assiale variabile).

Il percorso da adottare per ottenere il coefficiente di sicurezza di interesse, dipende dalla natura delle sollecitazioni applicate alla sezione e dalla loro correlazione.