Note di teoria dei sistemi

Augusto Ferrante

Indice

1 Modelli di stato 3

1.1 Premessa . . . . 3

1.2 Classi di sistemi . . . . 4

1.3 Costruzione di un modello di stato . . . . 5

1.3.1 Scelta delle variabili di stato . . . . 9

1.4 Punti di equilibrio . . . . 10

1.5 Linearizzazione . . . . 11

2 Analisi dei sistemi lineari e invarianti nel tempo 13 2.1 Evoluzione dello stato e dell’uscita . . . . 13

2.1.1 Teorema di sovrapposizione degli effetti . . . . 14

2.1.2 Evoluzione libera ed evoluzione forzata . . . . 14

2.2 Funzione di trasferimento e risposta impulsiva . . . . 17

2.2.1 Funzione di trasferimento e realizzazione di stato . . . . 18

3 La stabilit`a 21 3.1 Definizioni . . . . 21

3.2 Stabilit`a nei sistemi lineari . . . . 22

3.2.1 Condizioni di stabilit`a per i sistemi lineari . . . . 22

3.2.2 Condizioni di stabilit`a per i punti di equilibrio di sistemi non lineari . . . . . 24

3.3 Stabilit`a BIBO . . . . 24

A Esponenziale di matrici 27 A.1 Definizione . . . . 27

A.2 Propriet`a dell’esponenziale di matrice . . . . 27

A.3 Calcolo dell’esponenziale di una matrice . . . . 29

A.3.1 Caso di matrici diagonalizzabili . . . . 29

A.3.2 Caso di matrici non diagonalizzabili . . . . 32

1

Capitolo 1

Modelli di stato

1.1 Premessa

Una classe molto generale di sistemi `e quella dei cosiddetti modelli di stato in cui il legame fra ingresso u(t) e uscita y(t) `e espresso da una coppia di equazioni del tipo:

( x(t) = f (x(t), u(t), t),˙

y(t) = h(x(t), u(t), t), (1.1.1)

dove il segnale vettoriale x(t) =











 x1(t) x2(t)

... xn(t)













`e detto stato del sistema. Il numero n di componenti

dello stato x(t) `e detto ordine del sistema. Le funzioni f :R^n×R^×R^→R^{n, e h :}R^n×R^×R^→R sono continue con le loro derivate prime.¹

La prima delle (1.1.1), detta equazione dinamica, `e un’equazione differenziale del primo ordine per il vettore x.

Si dice evoluzione dello stato del sistema (1.1.1) corrispondente allo stato iniziale x(t0) = x0 e all’ingresso ¯u(t), t ≥ t₀, la soluzione ¯x(t) della prima delle (1.1.1) con condizione iniziale x(t₀) = x₀ e con u(t) = ¯u(t).² La corrispondente ¯y(t) = h(¯x(t), ¯u(t), t) per t ≥ t₀ si dice evoluzione dell’uscita.

Date due traiettorie di ingresso, stato e uscita

(u⁰(t), x⁰(t), y⁰(t)) e (u⁰⁰(t), x⁰⁰(t), y⁰⁰(t)) (definite, per esempio, su tutto l’asse reale), se

x⁰(t0) = x⁰⁰(t0) e u⁰(t) = u⁰⁰(t) ∀ t ≥ t0,

allora, per l’unicit`a della soluzione dell’equazione differenziale con condizione iniziale fissata, si ha x⁰(t) = x⁰⁰(t) e y⁰(t) = y⁰⁰(t) ∀ t ≥ t0.

Si noti che potrebbe benissimo accadere che, per t < t0, si abbia u⁰(t) 6= u⁰⁰(t), x⁰(t) 6= x⁰⁰(t) e y⁰(t) 6=

y⁰⁰(t). Questo fatto si presta alla seguente importante interpretazione: di tutta l’informazione legata all’andamento delle traiettorie del sistema per t ≤ t0 (andamento passato), la parte necessaria e

1Si indicher`a con fi, i = 1, 2, . . . , n, la i-esima componente di f cosicch´e la prima delle (1.1.1) si pu`o scrivere, componente per componente, nella forma ˙xi(t) = fi(x(t), u(t), t), i = 1, 2, . . . , n.

2Si noti che, con le ipotesi di regolarit`a fatte sulla f , si pu`o dimostrare che la soluzione ¯x(t) esiste ed `e unica almeno in un intorno destro di t0.

3

sufficiente per calcolare l’andamento delle traiettorie di stato e uscita del sistema per t ≥ t₀, nota la traiettoria dell’ingresso per t ≥ t0, `e contenuta nel valore del vettore di stato all’istante t0. In altre parole, nel vettore x(t0) `e riassunta la parte del passato del sistema che serve per calcolarne l’evoluzione futura. Questa propriet`a si dice propriet`a di separazione dello stato.

1.2 Classi di sistemi

Si consideri un sistema del tipo (1.1.1).

Definizione 1.2.1 Il sistema (1.1.1) si dice invariante nel tempo o tempo-invariante se le funzioni f e h non dipendono esplicitamente da t. In caso contrario il sistema si dice variante nel tempo o tempo-variante.

Per esempio, il seguente sistema (il cui stato x(t) `e scalare) `e tempo-invariante:

( x(t) = sin(x(t) + u(t)),˙

y(t) = x(t)²− u(t). (1.2.1)

Al contrario, il sistema

( x(t) = sin(x(t) + u(t)) + t,˙

y(t) = x(t)²− u(t). (1.2.2)

`

e tempo-variante.

Definizione 1.2.2 Il sistema (1.1.1) si dice lineare se f e h sono funzioni lineari di x(t) e u(t).

In caso contrario il sistema si dice non lineare.

Si ricorda che f (x(t), u(t), t) `e funzione lineare di x(t) e u(t) se e solo se esistono una matrice quadrata (di ordine n) A(t) e un vettore colonna (con n elementi) b(t)³ tali che f (x(t), u(t), t) = A(t)x(t) + b(t)u(t). Analogamente dicasi per h(t). Pertanto i sistemi lineari sono tutti e soli quelli rappresentabili con le equazioni

( x(t) = A(t)x(t) + b(t)u(t),˙

y(t) = c(t)x(t) + d(t)u(t), (1.2.3)

dove A(t) `e una matrice quadrata di ordine n, b(t) `e un vettore colonna con n elementi, c(t) `e un vettore riga con n elementi e d(t) `e una funzione scalare di t.

Se A(t), b(t), c(t) e d(t) sono costanti (indipendenti da t), allora il sistema, oltre che lineare, `e pure tempo-invariante. Pertanto i sistemi lineari e tempo-invarianti, noti anche con l’acronimo di sistemi LTI, sono tutti e soli quelli che possono essere rappresentati da una coppia di equazioni del tipo

( x(t) = Ax(t) + bu(t),˙

y(t) = cx(t) + du(t), (1.2.4)

dove A ∈R^{n×n, b ∈}R^{n×1, c ∈}R^{1×n e d ∈}R^.

3Gli elementi di A(t) e b(t) sono funzioni, non necessariamente lineari, di t.

1.3. COSTRUZIONE DI UN MODELLO DI STATO 5

1.3 Costruzione di un modello di stato

Come si `e gi`a detto, la costruzione di un modello matematico a partire da un sistema fisico, `e un processo molto delicato che deve tenere conto delle due esigenze, di solito contrastanti, di avere un modello sia semplice sia accurato.

Se si desidera un modello di stato bisogna fissare, oltre alle variabili che si considerano di ingresso e di uscita, anche un insieme di variabili di stato. Questa scelta in generale non `e immediata e, comunque, non `e mai univoca: da una buona scelta delle variabili di stato pu`o dipendere la semplicit`a, e quindi la trattabilit`a, del modello cui si perviene. Non esistono regole generali per la scelta delle variabili di stato. Tuttavia, nel seguito si illustreranno alcuni esempi da cui si potranno trarre alcune utili indicazioni.

Esempio 1.3.1 Si consideri il circuito elettrico rappresentato in Figura 1.1. Considerando la

b

b

R₂ R₁

+

u(t) y(t)

b

b C2

C1

+

Figura 1.1: Rappresentazione di un doppio bipolo elettrico con due condensatori e due resistori.

tensione u(t) applicata come ingresso, e la tensione y(t) (a morsetti di uscita aperti) come uscita, si vuole descrivere il circuito con un modello di stato. Si scelgano come variabili di stato le tensioni v₁(t) e v₂(t) ai capi dei due condensatori C₁ e C₂: x(t) =

"

x1(t) x₂(t)

#

=

"

v1(t) v₂(t)

#

. Indicando con i_k(t) la corrente nel condensatore di capacit`a C_k, k = 1, 2, si hanno le due relazioni

˙

x_k(t) = 1

C_ki_k(t), k = 1, 2. (1.3.1)

Si osservi anche che

i2(t) = x1(t) − x2(t)

R₂ , i1(t) = u(t) − x1(t)

R₁ − i₂(t). (1.3.2)

Sostituendo queste relazioni nelle (1.3.1) e tenendo conto che y(t) = x2(t), si ottiene il seguente modello di stato.







˙ x(t) =

"

−_R^R1+R2

1R2C1

1 R2C1

1

R2C2 −_R¹

2C2

# x(t) +

" ₁

R1C1

0

# u(t), y(t) = [0 | 1]x(t).

(1.3.3)

Il modello cos`ı ottenuto `e lineare e del secondo ordine. Le matrici corrispondenti sono chiaramente A =

"

−_R^R1+R2

1R2C1

1 R2C1

1

R2C2 −_R¹

2C2

# , b =

" ₁

R1C1

0

#

, c = [0 | 1], d = 0. (1.3.4) Si noti che il modello `e stato ricavato supponendo che i parametri C<sub>k</sub> siano costanti (se non lo fossero il modello cambierebbe). Se anche i parametri R<sub>k</sub>, k = 1, 2, si possono considerare costanti nel tempo allora anche A, b, c, e d lo sono e il sistema `e tempo-invariante; se invece le variazioni nel tempo di R_k(dovute per esempio ad invecchiamento dei componenti) non possono essere trascurate allora il modello (1.3.3) `e tempo-variante.

La scelta delle variabili di stato `e, in questo caso, suggerita da considerazioni sulla fisica del sistema: `e chiaro che la coppia di tensioni ai capi dei due condensatori gode della propriet`a di separazione. D’altro canto, `e pure ovvio che una qualunque coppia di variabili (x⁰₁(t), x⁰₂(t)), legate alla coppia (x₁(t), x₂(t)) da una mappa invertibile, gode della stessa propriet`a. Per esempio si potrebbero benissimo scegliere le variabili x⁰₁(t) = x1(t) + x2(t) = v1(t) + v2(t) e x⁰₂(t) = x1(t) − x2(t) = v1(t)−v2(t) che sono chiaramente legate alla coppia (x1(t), x2(t)) da una mappa invertibile.

Si verifichi che anche in tal caso si ottiene un modello lineare le cui matrici sono A = 1

2

"

−_R¹

1C1

2

R2C2 − _R¹

2C1 −_R¹

PC1

−_R¹

1C1 −_R²

2C2 −_R¹

2C1 − _R¹

PC1

# ,

b =

" ₁

R1C1

1 R1C1

# , c =

1 2 | −1

2



, d = 0, (1.3.5)

dove si `e posto RP = _R^R1R2

1+R2

Una scelta alternativa `e x⁰₁(t) = x³₁(t) e x⁰₂(t) = x³₂(t), infatti le coppie (x⁰₁(t), x⁰₂(t)) e (x1(t), x2(t)) sono chiaramente legate da una mappa invertibile e quindi contengono la stessa informazione. Si verifichi che, con questa scelta e definendo x⁰:=

"

x⁰₁ x⁰₂

#

, il modello risulta











˙ x⁰(t) =





−3_R^R1+R2

1R2C1x⁰₁(t) +_R³

2C1

q3

(x⁰₁(t))²x⁰₂(t) + _R³

1C1

q3

(x⁰₁(t))²u(t)

−_R³

2C2x⁰₂(t) +_R³

2C2

q3

(x⁰₂(t))²x⁰₁(t)





y(t) =^q3 x⁰₂(t).

(1.3.6)

Questo sistema `e chiaramente non lineare ed `e molto pi`u complesso da trattare del modello lineare (1.3.3) che pure rappresenta lo stesso legame tra ingresso e uscita.

Infine si consideri la scelta x⁰₁(t) = (t² + 1)x1(t), x⁰₂(t) = (t² + 1)x2(t). Queste variabili, prive di un’interpretazione fisica immediata, sono pur sempre variabili di stato; si verifichi che il corrispondente modello risulta del tipo (1.2.3) con

A(t) =

" _2t

t²+1 −_R^R1+R2

1R2C1

1 R2C1

1 R2C2

2t t²+1 −_R¹

2C2

#

, (1.3.7)

b(t) =

" _t2+1 R1C1

0

#

, c(t) = [0 | 1

t²+ 1], d(t) = 0. (1.3.8) Con questa scelta delle variabili di stato, si `e ottenuto un sistema tempo-variante pur considerando costanti nel tempo i valori dei parametri Ri e Ci, i = 1, 2.

Sulla scorta degli esempi precedenti non `e difficile scegliere le variabili di stato in modo da ottenere un sistema non lineare e tempo-variante.

Esempio 1.3.2 Si consideri il sistema elettrico rappresentato in Figura 1.2 e si voglia determinarne un modello di stato considerando come ingresso la differenza di potenziale u(t) = v1(t) e come uscita la differenza di potenziale y(t) = v2(t) ai capi della resistenza (a morsetti di uscita aperti).

Si scelga come unica variabile di stato la corrente che circola in L: x(t) = i(t). Si hanno allora le relazioni u(t) = L ˙x(t) + Rx(t) e y(t) = Rx(t) che si possono scrivere nella forma

( x(t) = −˙ ^R_Lx(t) + _L¹u(t),

y(t) = Rx(t). (1.3.9)

1.3. COSTRUZIONE DI UN MODELLO DI STATO 7

a a

a a

  


  

L R

v₁(t) v₂(t)

+ +

Figura 1.2: Rappresentazione di un doppio bipolo elettrico RL.

Il modello cos`ı ottenuto `e lineare e del primo ordine. Tale modello `e stato ottenuto assumendo L come parametro costante. Se anche il parametro R si pu`o considerare costante nel tempo, il sistema

`

e anche tempo-invariante; se invece le variazioni nel tempo di R non possono essere trascurate allora il sistema `e tempo-variante.

Se, come uscita del sistema, invece che la tensione v₂, si considera la potenza dissipata nella resistenza, si ha y(t) = i(t)v₂(t) = Rx(t)². Le equazioni del sistema sono

( x(t) = −˙ ^R_Lx(t) + _L¹u(t),

y(t) = Rx(t)². (1.3.10)

In questo caso il sistema `e non-lineare perch´e tale `e la seconda delle (1.3.10). Tuttavia, l’equazione dinamica (ossia la prima delle (1.3.10)) che `e la pi`u difficile da trattare `e lineare e quindi il modello

`

e ancora sufficientemente semplice.

Esempio 1.3.3 Si consideri ora un forno elettrico schematizzato come in Figura 1.3.

a a

    





L R

v(t) +

Figura 1.3: Rappresentazione di un forno elettrico.

Siano R_T e C_T la resistenza termica delle pareti del forno e la capacit`a termica del forno. Siano inoltre T (t) la temperatura all’interno del forno e T_e la temperatura esterna. Si vuole determinare un modello di stato considerando come ingresso la differenza di potenziale u(t) = v(t) e come uscita la temperatura del forno y(t) = T (t). Si scelgano come variabili di stato la corrente che circola in L e la temperatura all’interno del forno: x(t) =

"

i(t) T (t)

#

. Analogamente a quanto visto nell’esempio precedente, per la variabile x₁(t) si ha la relazione

˙

x₁(t) = −R

Lx₁(t) + 1

Lu(t). (1.3.11)

Per quanto riguarda la variabile x₂, la variazione ∆Q della quantit`a di calore contenuta nel forno

`

e pari a CT∆x2. Pertanto,

˙

x2(t) = 1 C_T

dQ dt = 1

C_T



Rx1(t)²−x2(t) − Te

R_T



(1.3.12) dove si `e tenuto conto del fatto che la potenza termica netta entrante nel forno `e pari alla differenza fra la potenza fornita dalla resistenza Rx₁(t)²e quella dispersa attraverso le pareti del forno ^x2(t)−T_R ^e

T .

In conclusione si ottiene il seguente modello del secondo ordine







˙ x(t) =

"

−^R_Lx1(t) +_L¹u(t)

R

CTx₁(t)²−^x2_R^(t)−Te

TCT

# , y(t) = x2(t).

(1.3.13)

Il modello `e non lineare (e la non linearit`a `e presente nell’equazione dinamica).

Esempio 1.3.4 Si consideri il sistema massa-molla schematizzato come in Figura 1.4.

M F (t)

k

-

Figura 1.4: Sistema massa-molla.

La massa M `e soggetta ad una forza esterna F (t) e alla forza esercitata da una molla di costante elastica k. Sia β il coefficiente di attrito (viscoso) della massa sul piano e y(t) la posizione della massa in un sistema di riferimento in cui y(t) = 0 corrisponde alla posizione di molla scarica (n´e compressa n´e estesa). Assumiamo che i parametri M , k, e β si possano considerare costanti nel tempo.

Si vuole determinare un modello di stato considerando come ingresso la forza u(t) = F (t) e come uscita la posizione y(t).

Si scelgano come variabili di stato la posizione e la velocit`a della massa: x =

"

y

˙ y

#

. `E ovvio che ˙x1(t) = x2(t). Per quanto riguarda la variabile x2, dalla seconda legge della dinamica si ha:

M ˙x₂(t) = F (t) − ky(t) − β ˙y(t) = −kx₁(t) − βx₂(t) + u(t) (1.3.14) Si ottiene cos`ı il seguente modello del secondo ordine







˙ x(t) =

"

0 1

−_M^k −_M^β

# x(t) +

"

0

1 M

# u(t) y(t) = [1 | 0] x(t).

(1.3.15)

Il modello `e lineare e tempo-invariante.

Esempio 1.3.5 Si consideri il pendolo rappresentato in Figura 1.5. Si vuole descrivere il sistema r

A A

A A

A A

A A

A

c(t)

z ϑ

Figura 1.5: Rappresentazione di un pendolo.

con un modello di stato considerando come ingresso la coppia applicata u(t) = c(t), e come uscita

1.3. COSTRUZIONE DI UN MODELLO DI STATO 9 la posizione angolare y(t) = ϑ(t). Sia l la lunghezza dell’asta del pendolo e m la sua massa (che si suppone concentrata all’estremit`a del pendolo). Il momento di inerzia del pendolo (rispetto al centro di rotazione) risulta dunque J = ml². Sia k il coefficiente di attrito viscoso del pendolo.

Poich´e il movimento della massa `e vincolato a giacere lungo una circonferenza risulta conveniente scegliere come variabili di stato la posizione angolare ϑ(t) e la sua derivata (anzich´e la posizione e la velocit`a della massa): x(t) =

"

x₁(t) x2(t)

#

=

"

ϑ(t) ϑ(t)˙

#

. Ricordando che la coppia totale `e pari al momento di inerzia per l’accelerazione angolare, si ottiene facilmente il seguente modello di stato:







˙ x(t) =

"

x2(t)

−^g_l sin(x1(t)) −_ml^k2x2(t) +_ml¹2u(t)

#

y(t) = x1.

(1.3.16)

Si `e ottenuto un modello del secondo ordine non lineare e, se i parametri g, l, k e m si possono ritenere costanti nel tempo, tempo-invariante.

Si noti che se, invece di un modello generale, si desidera fare un modello che descrive il pendolo solo nelle situazioni in cui l’angolo ϑ `e “piccolo” si pu`o considerare l’approssimazione sin(x₁(t)) ' x₁(t) ottenedo cos`ı un modello lineare del tutto simile al modello massa-molla discusso in precedenza.

1.3.1 Scelta delle variabili di stato

Come risulta evidente dall’Esempio 1.3.1 la scelta delle variabili di stato `e cruciale al fine di ottenere un modello semplice e quindi trattabile. Non esistono regole generali per tale scelta. Tuttavia si possono fare alcune considerazioni che si rivelano utili in vari casi particolari ma di rilevante interesse pratico.

In tutti gli esempi precedenti, il modello di stato `e stato ottenuto scegliendo delle variabili legate all’energia accumulata dal sistema: nell’esempio 1.3.1 la tensione ai capi di ciascun condensatore `e legata all’energia accumulata nel condensatore stesso: Ec = ^C₂v²(t). Similmente, nell’Esempio 1.3.2 la corrente scelta come variabile di stato `e legata all’energia accumulata nell’induttore.

Nell’Esempio 1.3.3 la corrente (prima variabile di stato) `e legata all’energia accumulata nell’induttore e la temperatura (seconda variabile di stato) all’energia termica accumulata nel forno. Nell’Esempio 1.3.4, la posizione della massa (prima variabile di stato) `e legata all’energia potenziale elastica e la sua velocit`a (seconda variabile di stato) all’energia cinetica. Analoga `e la situazione dell’Esempio 1.3.5 dove `e risultato conveniente scegliere, come variabili di stato, posizione e velocit`a angolari. Si invita il lettore a costruire il modello corrispondente a scegliere, come variabili di stato, la posizione e la velocit`a della massa o, pi`u precisamente, le loro componenti orizzontali e verticali, giacch´e sia la posizione sia la velocit`a sono vettori nel piano sul quale giace il pendolo.

In generale, si pu`o dire che, quando possibile, conviene scegliere come variabili di stato grandezze legate all’energia accumulata dal sistema. In particolare:

Sistemi elettrici: Una scelta canonica che consente di ottenere modelli lineari di circuiti elettrici RLC consiste nel selezionare come variabili di stato l’insieme di tutte le correnti che attraver- sano le induttanze e di tutte le tensioni ai capi dei condensatori. Se il circuito `e composto di k induttanze e h capacit`a si otterr`a cos`ı un modello lineare di ordine h + k.

Sistemi meccanici: Una scelta canonica che consente di ottenere modelli di stato di sistemi mec- canici consiste nel selezionare come variabili di stato l’insieme di tutte le posizioni e le velocit`a delle masse in gioco o, nel caso di masse vincolate a un moto circolare, le posizioni angolari e le velocit`a angolari.

Sistemi termici: Una scelta canonica che consente di ottenere modelli di stato di sistemi termici consiste nel selezionare come variabili di stato l’insieme di tutte le temperature dei componenti del sistema.

1.4 Punti di equilibrio

Si consideri un sistema tempo invariante

( x(t) = f (x(t), u(t)),˙

y(t) = h(x(t), u(t)), (1.4.1)

e sia u(t) = ¯u un ingresso costante.

Definizione 1.4.1 Il vettore ¯x si dice stato di equilibrio per il sistema (1.4.1) relativamente all’ingresso ¯u se l’evoluzione di stato corrispondente all’ingresso costante u(t) ≡ ¯u, t ≥ 0 e allo stato iniziale x(0) = ¯x, `e la costante x(t) ≡ ¯x, t ≥ 0.

La coppia (¯x, ¯u) `e detta punto di equilibrio del sistema. Dato un punto di equilibrio (¯x, ¯u), la quantit`a ¯y = h(¯x, ¯u) si dice uscita di equilibrio corrispondente a (¯x, ¯u).

In termini meno formali, si pu`o dire che, uno stato ¯x `e di equilibrio relativamente all’ingresso costante u(t) ≡ ¯u se, in corrispondenza a tale ingresso, lo stato del sistema non si discosta dal valore iniziale ¯x.

Risulta immediato verificare che ¯x `e uno stato di equilibrio relativamente a ¯u se e solo se risolve l’equazione

0 = f (¯x, ¯u). (1.4.2)

Pertanto, per determinare l’insieme degli stati di equilibrio corrispondenti a ¯u `e sufficiente risolvere la (1.4.2) che `e un’equazione algebrica (non differenziale). Si noti che, fissato ¯u, la (1.4.2) pu`o non ammettere soluzioni o ammetterne infinite. Per esempio si verifichi che il sistema

( x(t) = sin(x(t)) + u(t),˙

y(t) = h(x(t), u(t)) (1.4.3)

ammette infiniti stati di equilibrio corrispondenti ad un qualunque ingresso costante |¯u| ≤ 1 e nessuno stato di equilibrio in corrispondenza ad un qualunque ingresso costante |¯u| > 1.

Nel caso di sistemi lineari ₍

˙

x(t) = Ax(t) + bu(t),

y(t) = cx(t) + du(t), (1.4.4)

fissato un ingresso costante ¯u, i corrispondenti stati di equilibrio sono tutte e sole le soluzioni della

Ax + b¯u = 0. (1.4.5)

Se la matrice A `e invertibile, la (1.4.5) ammette un’unica soluzione

¯

x = −A⁻¹b¯u.

Se, invece, la matrice A `e singolare, ci sono due possibilit`a:

1. se il vettore b¯u appartiene allo spazio vettoriale generato dalle colonne di A o, in breve, b¯u ∈ imA, la (1.4.5) ammette infinite soluzioni;

2. se b¯u 6∈ imA la (1.4.5) non ammette soluzioni.

1.5. LINEARIZZAZIONE 11 Si noti che nel caso in cui ¯u 6= 0, la condizione b¯u ∈ imA `e equivalente alla b ∈ imA (ossia il vettore b appartiene allo spazio vettoriale generato dalle colonne di A). Se invece ¯u = 0 allora la condizione b¯u = 0 ∈ imA `e sempre verificata e tutte e sole le soluzioni della (1.4.5) sono gli elementi di ker A (lo spazio nullo di A).

In particolare, si pu`o quindi conludere che qualunque sistema lineare ammette il punto di equi- librio (¯x, ¯u) = (0, 0).

Esempio 1.4.1 Si consideri il pendolo dell’Esempio 1.3.5 e il relativo modello (1.3.16). Fissato un ingresso costante u(t) = ¯u, si vogliono calcolare i corrispondenti stati di equilibrio. La (1.4.2) si particolarizza nella

"

x₂

−^g_l sin(x₁) −_ml^k2x₂+_ml¹2u¯

#

=

"

0 0

#

(1.4.6) Questa equazione ammette soluzioni se e solo se

|¯u| ≤ mgl (1.4.7)

e in tal caso le soluzioni, sono

¯ x =

"

arcsin^_mgl^{¯u } 0

#

, x =¯

"

π − arcsin^_mgl^{u¯ } 0

#

, (1.4.8)

(dove ¯x1 `e individuato a meno di multipli di 2 π).

Si verifichi che:

1. se ¯u = 0 i due stati di equilibrio corrispondono al pendolo verticale (verso l’alto e verso il basso), come si poteva facilmente intuire;

2. se ¯u = mgl vi `e un unico stato di equilibrio (a meno di multipli di 2 π) corrispondente al pendolo in posizione orizzontale (a destra del suo asse di rotazione);

3. se ¯u = −mgl vi `e un unico stato di equilibrio (a meno di multipli di 2 π) corrispondente al pendolo in posizione orizzontale (a sinistra del suo asse di rotazione);

4. se |¯u| > mgl non vi sono stati di equilibrio.

1.5 Linearizzazione

Si illustrer`a ora come un sistema non lineare (ma tempo-invariante) pu`o essere approssimato, nell’intorno di un punto di equilibrio, da un modello lineare. Sia dunque dato il sistema (1.4.1) e sia (¯x, ¯u) un suo punto di equilibrio. Si definiscano i segnali

δ_x(t) := x(t) − ¯x, δ_u(t) := u(t) − ¯u, δ_y(t) := y(t) − ¯y. (1.5.1) Le (1.4.1) possono essere quindi riscritte nella forma

( _d(δ

x(t)+¯x)

dt = ˙δ_x(t) = f (¯x + δ_x(t), ¯u + δ_u(t))

δ_y(t) + ¯y = h(¯x + δ_x(t), ¯u + δ_u(t)), (1.5.2) Si indichi con ^∂f_∂x la matrice quadrata di ordine n che ha per elemento di posizione i, j la derivata di fi (la i-esima componente di f ) rispetto alla j-esima variabile di stato xj. Analogamente, si indichi con ^∂f_∂u il vettore colonna che ha per elementi le derivate di fi, i = 1, 2, . . . , n, rispetto a u, e con

∂h

∂x il vettore riga che ha per elementi le derivate di h, rispetto a xi, i = 1, 2, . . . , n. Gli elementi di

∂f

∂x, ^∂f_∂u e ^∂h_∂x sono funzioni di x e u cosicch´e, valutandoli in corrispondenza del punto di equilibrio (¯x, ¯u), si ottengono valori reali. Si ponga dunque

A := ∂f

∂x    ^x=¯x

u= ¯u

∈R^{n×n, b := ∂f}_∂u

   ^x=¯x

u= ¯u

∈R^{n×1, (1.5.3a)}

c := ∂h

∂x    ^x=¯x

u= ¯u

∈R^{1×n, d := ∂h}_∂u

   ^x=¯x

u= ¯u

∈R^{. (1.5.3b)}

Ora, sviluppando le funzioni f e h attorno al punto di equilibrio, le (1.5.2) possono essere riscritte nella forma











δ˙x(t) = f (¯x, ¯u) + ^∂f_∂xx=¯x

u= ¯u

δx(t) + ^∂f_∂ux=¯x

u= ¯u

δu(t) + o(δx, δu), δ_y(t) + ¯y = h(¯x, ¯u) + ^∂h_∂xx=¯x

u= ¯u

δ_x(t) + ^∂h_∂ux=¯x

u= ¯u

δ_u(t) + o(δ_x, δ_u) (1.5.4) Ricordando che f (¯x, ¯u) = 0 e ¯y = h(¯x, ¯u), e tenendo conto delle definizioni (1.5.3), si ha

( δ˙x(t) = A δx(t) + b δu(t) + o(δx, δu),

δ_y(t) = c δ_x(t) + d δ_u(t) + o(δ_x, δ_u) (1.5.5) che descrive la dinamica degli scostamenti δx(t), δu(t) e δy(t).

Se i segnali δ_x(t) e δ_u(t) sono sufficientemente piccoli, i termini o(δ_x, δ_u) possono essere trascurati e la (1.5.5) pu`o essere approssimata dalla

( δ˙_x(t) = Aδ_x(t) + bδ_u(t),

δy(t) = cδx(t) + dδu(t) (1.5.6)

In conclusione, fino a che il sistema si mantiene in un intorno del punto di equilibrio, la di- namica degli scostamenti pu`o essere approssimata da un sistema lineare. Questa possibilit`a `e molto importante perch´e:

1. I sistemi lineari sono molto pi`u agevoli da trattare dei sistemi non lineari.

2. Nella pratica ingegneristica accade di frequente che ingresso e stato di un sistema non lineare rimangano confinati in un intorno di un punto di equilibrio.

Esempio 1.5.1 Si consideri il pendolo dell’Esempio 1.3.5 e il relativo modello (1.3.16). Fissato un punto di equilibrio (¯x, ¯u) con ¯x =

"

arcsin^_mgl^{u¯ } 0

#

(del tutto analogo sarebbe il caso di ¯x =

"

π − arcsin^_mgl^{u¯ } 0

#

), i parametri del sistema lineare (1.5.6) che descrive approssimatamente la dinamica degli scostamenti attorno al punto di equilibrio sono

A := ∂f

∂x    ^x=¯x

u= ¯u

=

"

0 1

−^g_l cos^harcsin^_mgl^{u¯ i} −_ml^k2

#

=





0 1

−^g_l r

1 −^_mgl^{u¯ 2} −_ml^k₂



, (1.5.7a) b := ∂f

∂u    ^x=¯x

u= ¯u

=

"

0

1 m l²

#

, c := ∂h

∂x    ^x=¯x

u= ¯u

= [1 | 0], d := ∂h

∂u    ^x=¯x

u= ¯u

= 0. (1.5.7b)

Capitolo 2

Analisi dei sistemi lineari e invarianti nel tempo

In questo capitolo si analizza il comportamento dei sistemi per i quali il legame fra ingresso u(t) e uscita y(t) `e espresso da una coppia di equazioni lineari del tipo:

( x(t) = Ax(t) + bu(t),˙

y(t) = cx(t) + du(t), (2.0.1)

dove A ∈R^{n×n, b ∈}R^{n×1, c ∈}R^{1×n e d ∈}R^.

2.1 Evoluzione dello stato e dell’uscita

Si consideri un modello del tipo (2.0.1) e si suppongano noti:

• lo stato all’istante (iniziale) t₀: x(t0) = x0 e

• l’andamento futuro dell’ingresso u(t), t ≥ t₀.

Il seguente risultato permette di calcolare l’evoluzione futura di stato e uscita:

Teorema 2.1.1 Fissato lo stato iniziale x(t0) = x0 e l’andamento futuro dell’ingresso u(t), t ≥ t0, l’evoluzione dello stato per t ≥ t0 `e data da

x(t) = e^A(t−t0)x₀+ Z t

t0

e^{A(t−τ )}bu(τ )dτ. (2.1.1)

L’evoluzione dell’uscita per t ≥ t₀ `e data da y(t) = c e^A(t−t0)x0+ c

Z t t0

e^{A(t−τ )}bu(τ )dτ + du(t). (2.1.2)

Dimostrazione. Valutando ambo i membri della (2.1.1) in t = t0 si ottiene

x(t0) = e^A0x0 = x0. (2.1.3)

Derivando ambo i membri della (2.1.1) si ottiene

˙

x(t) = Ae^A(t−t0)x0+ A Z t

t0

e^{A(t−τ )}bu(τ )dτ + e^A0bu(t) = Ax(t) + bu(t). (2.1.4)

13

Quindi x(t) dato dalla (2.1.1) soddisfa l’equazione differenziale (formula (2.1.4)) con le prescritte condizioni iniziali (formula (2.1.3)) e quindi `e la traiettoria dello stato corrispondente a stato iniziale dato da x0 e ad ingresso dato da u(t).

La dimostrazione della (2.1.2) `e immediata: essa si ottiene infatti sostituendo l’espressione (2.1.1) di x(t) nella seconda delle (2.0.1).

Nel seguito, senza perdita di generalit`a, si assumer`a t0 = 0 cosicch´e la (2.1.1) che `e nota come Formula di Lagrange, si scriver`a nella forma

x(t) = e^Atx0+ Z t

0

e^{A(t−τ )}bu(τ )dτ, (2.1.5)

e la (2.1.2) nella forma

y(t) = c e^Atx₀+ c Z t

0

e^{A(t−τ )}bu(τ )dτ + du(t). (2.1.6)

2.1.1 Teorema di sovrapposizione degli effetti

Poich´e sia lo stato iniziale x₀ sia l’andamento dell’ingresso u(t) compaiono linearmente nelle (2.1.5) e (2.1.6) si ha il seguente importante risultato noto come Teorema di sovrapposizione degli effetti:

Teorema 2.1.2 Dato il sistema (2.0.1), siano x⁰(t), t ≥ 0, l’evoluzione dello stato corrispondente allo stato iniziale x⁰₀ e all’ingresso u⁰(t) e x⁰⁰(t), t ≥ 0, l’evoluzione dello stato corrispondente allo stato iniziale x⁰⁰₀ e all’ingresso u⁰⁰(t). Siano, inoltre, y⁰(t) e y⁰⁰(t), t ≥ 0, le evoluzioni delle corrispondenti uscite. Allora, comunque fissate due costanti reali α e β, l’evoluzione dello stato corrispondente allo stato iniziale x0 := αx⁰₀+ βx⁰⁰₀ e all’ingresso u(t) = αu⁰(t) + βu⁰⁰(t), `e data da x(t) = αx<sup>0</sup>(t) + βx<sup>00</sup>(t); l’evoluzione della corrispondente uscita `e data da y(t) = αy⁰(t) + βy⁰⁰(t);

Il precedente risultato si riassume dicendo che l’evoluzione di stato `e funzione lineare della coppia formata da stato iniziale e ingresso e pu`o essere schematizzato come segue:

x⁰₀ u⁰(t)

#

→

"

x⁰(t) y⁰(t) x⁰⁰₀

u⁰⁰(t)

#

→

"

x⁰⁰(t) y⁰⁰(t)















⇒ αx⁰₀+ βx⁰⁰₀ αu⁰(t) + βu⁰⁰(t)

#

→

"

αx⁰(t) + βx⁰⁰(t)

αy⁰(t) + βy⁰⁰(t) (2.1.7)

2.1.2 Evoluzione libera ed evoluzione forzata La (2.1.5), cos`ı come la (2.1.1), pu`o essere scritta nella forma

x(t) = xl(t) + xf(t) (2.1.8)

dove

xl(t) := e^Atx0, (2.1.9a)

x_f(t) :=

Z t 0

e^{A(t−τ )}bu(τ )dτ. (2.1.9b)

Analogamente la (2.1.6), cos`ı come la (2.1.2), pu`o essere scritta nella forma

y(t) = y_l(t) + y_f(t) (2.1.10)

dove

y_l(t) := c e^Atx₀, (2.1.11a)

y_f(t) := c Z t

0

e^{A(t−τ )}bu(τ )dτ + du(t). (2.1.11b)