(1)Lezione IL RANGO DI UNA MATRICE Sia A = (aij)j=1,...,ni=1,...,m

(1)

Lezione 4 16/10/09

IL RANGO DI UNA MATRICE Sia

A = (aij)^j=1,...,n_i=1,...,m=







a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n

. . . .

am1 am2 . . . amn







∈ M (m, n).

Siano ri= (ai1, a12, . . . , a1n) ∈ Rⁿ, i = 1, . . . , m i vettori riga di A e cj= (a1j1, a2j, . . . , amj) ∈ R^m, j = 1, . . . , n i vettori colonna di A. Indichiamo con RA e CA i rispettivi sottospazi generati. Il rango di A ∈ M (m, n) è la dimensione dello spazio delle righe (o colonne) di A. Evidentemente una matrice A e la sua trasposta A^T hanno lo stesso rango. A meno che A non sia la matrice nulla O, è sempre 1 ≤ r(A) ≤ min(m, n). La definizione di rango di una matrice è strettamente collegata alla nozione di lineare dipendenza ed indipendenza di vettori vista nella precedente lezione. Considerato infatti uno spazio vettoriale V di dimensione n e fissata una sua base B = {v1, . . . , vn}, ad ogni insieme di vettori S = {w₁, . . . , w_m} possiamo associare la matrice A la cui i-esima riga è data dalle coordinate del vettore w_irispetto alla base B. Vale la seguente

Proposizione 1. Dato l’insieme S = {w₁, . . . , w_m}, esistono al massimo p vettori linearmente indipendenti in S se e solo se la matrice delle coordinate degli m vettori ha rango uguale a p.

IL METODO DI RIDUZIONE DI GAUSS

Siano A, B ∈ M (m, n). Diremo che A e B sono equivalenti per righe se B `e ottenibile da A mediante un numero finito di operazioni sulle righe del seguente tipo:

1) scambio di due righe,

2) moltiplicazione di una riga per un numero reale λ 6= 0, 3) sostituzione di una riga con la somma di essa e di un’altra.

Tali operazioni sono dette operazioni elementari sulle righe. La relazione ora introdotta è una relazione di equivalenza, cioè soddisfa le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Il seguente risultato è di notevole utilità nelle applicazioni.

Teorema 1. Matrici equivalenti per righe hanno lo stesso rango.

Una matrice A ∈ M (m, n) si dice matrice a scalini se `e la matrice nulla oppure se soddisfa le propriet`a:

1) se gli elementi di una riga sono tutti nulli, allora sono tutti nulli gli elementi delle righe successive,

2) nella riga i-esima, i > 1, il primo elemento non nullo si trova in una delle colonne successive alla colonna corrispondente al primo elemento non nullo della riga precedente.

Il rango di una matrice a scalini A⁰ `e uguale al numero di veottori riga non nulli di A.

(2)

Teorema 2. Il rango di una matrice A ∈ M (m, n) `e uguale al rango di una matrice a scalini A⁰ equivalente per righe ad A, ovvero il rango di A `e il numero delle righe non nulle di A⁰.

A partire da una matrice A ∈ M (m, n) possiamo considerare in A delle sottomatrici Ai1i2...ip,j1j2...jq ∈ M (p, q). In particolar possiamo considerare sottomatrici quadrate, ovvero quelle con p = q. Il determinante di una tale sottomatrice `e detto minore di ordine p di A. Indicheremo i minori di ordine p di A ∈ M (m, n) con a_i₁_i₂_...i_p_,j₁_j₂_...j_p, ovvero mettendo in evidenza le righe e le colonne della matrice A che lo definiscono. In particolare, se A `e una matrice quadrata di ordine n, ogni minore di ordine p individua un minore di ordine n−p, che chiamaremo minore complementare.

Tale minore moltiplicato per il fattore (−1)ⁱ¹⁺ⁱ²^+···+i^p^+j¹^+j²^+···+j^p `e detto complemento algebrico o aggiunto del minore ai₁i₂...i_p,j₁j₂...j_p, e verr`a indicato con a⁰i₁i₂...i_p,j₁j₂...j_p.

In particolare, dicesi complemento algebrico dell’elemento aij di una matrice A di ordine n, il determinante di ordine n − 1, che si indica con a⁰ij, ottenuto da A sopprimendo la i-esima riga e la j-esima colonna e moltiplicato per (−1)^i+j.

Per il calcolo effettivo del determinante di una matrice quadrata A di ordine n possiamo utilizzare il seguente

Teorema 3 (di Laplace). Il valore del determinante di una matrice quadrata A `e uguale alla somma dei prodotti degli elementi di una riga per i rispettivi complementi algebrici.

I concetti ora introdotti permettono di dare una nuova (equivalente) definizione di rango di una matrice A ∈ M (m, n). Precisamente, la dimensione dello spazio delle righe, ovvero il rango di una matrice A ∈ M (m, n) coincide con l’ordine massimo dei minori non nulli di A. Il legame tra determinanti e lineare indipendenza di vettori `e descritto dal seguente

Teorema 4. Condizione necessaria e sufficiente affinch`e un determinante sia nullo `e che una riga sia combinazione lineare di altre righe.

In particolare

Teorema 5. Condizione necessaria e sufficiente affinch`e n vettori di uno spazio vettoriale V di dimensione n costituiscano una base `e che il determinante della matrice A(n, n) delle coordinate dei vettori sia diverso da zero.

Di particolare importanza per la determinazione del rango di una matrice A ∈ M (m, n) è il teorema degli orlati. Se A ∈ M (m, n) e α è un minore di ordine p di A, un minore orlato di α è un minore di ordine p + 1 di A ottenuto partendo da α con l’aggiunta di un’altra riga e di un’altra colonna di A diverse da quelle che individuano α.

Teorema 6 (degli orlati). Il rango di una matrice A ∈ M (m, n) `e p se e solo se sono nulli tutti i minori orlati di un minore α di A di ordine p diverso da zero.

Esercizio 1. Nello spazio vettoriale V = R≤2[x] dei polinomi nella indeterminata x di grado minore o uguale di 2, si considerino i seguenti vettori:

p1(x) = 2 + x, p2(x) = x − x², p3(x) = −2 − x², p4(x) = 4 + 3x − x².

Determinare la dimensione e una base del sottospazio W di V generato dai vettori p1, p2, p3, p4. Stabilire se il vettore q(x) = 1−x+³₂x²appartenga o meno a W ed in caso affermativo determinare le sue coordinate rispetto alla base di W scelta.

(3)

Soluzione dell’esercizio 1. La dimensione del sottospazio W `e uguale al rango della matrice delle coordinate dei vettori assegnati rispetto a una base di V . Coniderando la base canonica B = {1, x, x²} i vettori assegnati hanno rispettivamente coordinate:

[p1]_B= (2, 1, 0), [p2]_B= (0, 1, −1), [p3]_B= (−2, 0, −1), [p4]_B= (4, 3, −1).

Dobbiamo allora determinare il rango della matrice:

A =







2 1 0

0 1 −1

−2 0 −1

4 3 −1





 .

Riduciamo la matrice A a scalini tramite le operazioni elementari:

A =







2 1 0

0 1 −1

−2 0 −1

4 3 −1







r₃→r3+r₁

−→







2 1 0

0 1 −1 0 1 −1 4 3 −1







r₄→r4−2r1

−→







2 1 0

0 1 −1 0 1 −1 0 1 −1







r3→r3−r2

−→







2 1 0

0 1 −1

0 0 0

0 1 −1







r4→r4−r2

−→







2 1 0

0 1 −1

0 0 0







= A⁰.

La matrice A `e equivalente alla matrice a scalini A⁰. Di conseguenza rg(A) = rg(A⁰) = 2 = dim W . Una base per il sottospazio W `e:

BW = {p1(x) = 2 + x, p2(x) = x − x²}.

Osserviamo che ovviamente una base per W non è ad esempio B_W = {(2, 1, 0), (0, 1, −1)}. Infatti W è un sottospazio dello spazio vettoriale dei polinomi nella indeterminata x di grado al più 2, non è un sottospazio vettoriale di R³.

Per stabilire se q(x) appartenga o meno a W possiamo studiare il rango della matrice delle coordinate dei vettori p1(x), p2(x), q rispetto alla base canonica di V :

B =





2 1 0

0 1 −1

1 −1 3/2



.

Se rg(B) = 3 allora q(x) 6∈ W , altrimenti (se rg(B) = 2) avremo q ∈ W . Dato che B `e una matrice quadrata di ordine 3, avremo rg(B) = 3 se e soltanto se det B 6= 0. Calcoliamo il determinante di B sviluppando secondo gli elementi della prima riga:

det B =

2 1 0

0 1 −1

1 −1 3/2

= 2 ·

1 −1

−1 3/2

− 1 ·

0 −1 1 3/2

+ 0 ·

0 1

1 −1

= 2 ·1

2 − 1 · 1 = 1 − 1 = 0.

Per quanto precedentemente osservato possiamo concludere che quindi q(x) ∈ W . Per determinare le sue coordinate rispetto alla base da noi scelta consideriamo l’equazione vettoriale:

q(x) = ap1(x) + bp2(x),

(4)

ovvero:

1 − x +3

2x²= a(2 + x) + b(x − x²) = 2a + (a + b)x − bx².

Per il principio di identit`a dei polinomi la precedente equazione `e equivalente al sistema lineare:







2a = 1

a +b = −1

−b =³₂ ,

che ammette l’unica soluzione ¹₂, −³₂. Queste sono le coordinate del vettore q(x) rispetto alla base da noi fissata per il sottospazio W .

Esercizio 2. Sia V = M2(R) lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine 2 a coefficienti in R. Siano assegnati i vettori:

A =1 −1

1 0

, B =1 1 0 −1

, C =2 −3

1 1

, D =−1 0

1 0

.

Determinare la dimensione e una base del sottospazio W di V generato dai vettori A, B, C, D.

Soluzione dell’esercizio 2. Fissata la base canonica di V , B =

E₁₁=1 0 0 0

, E₁₂=0 1 0 0

, E₂₁=0 0 1 0

, E₂₂=0 0 0 1

,

, i vettori assegnati hanno rispettivamente coordinate:

[A]_B= (1, −1, 1, 0), [B]_B= (1, 1, 0, −1), [C]_B= (2, −3, 1, 1), [D]_B= (−1, 0, 1, 0).

La dimensione del sottospazio generato `e uguale al rango della matrice:

S =







1 −1 1 0

1 1 0 −1

2 −3 1 1

−1 0 1 0





 .

Dato che la matrice S `e una matrice quadrata, avremo rg(S) = 4 se e soltanto se det S 6= 0.

Calcoliamo il determinante di S sviluppando secondo gli elementi della quarta riga:

det S =

1 −1 1 0

1 1 0 −1

2 −3 1 1

−1 0 1 0

=

−1 1 0

1 0 −1

−3 1 1

−

1 −1 0

1 1 −1

2 −3 1

=

= −

0 −1

1 1

−

1 −1

−3 1

−

1 −1

−3 1

−

1 −1

2 1

= −1 + 2 + 2 − 3 = 0.

Di conseguenza abbiamo rg(S) < 4. Il rango di S sar`a 3 se esiste almeno un minore del terzo ordine di S non nullo. Poich`e

S124,234=

−1 1 0

1 0 −1

0 1 0

= −

−1 0

1 −1

= −1 6= 0,

(5)

possiamo affermare che rg(S) = 3 = dim W . Una base per il sottospazio W `e data da:

BW =

A =1 −1

1 0

, B =1 1 0 −1

, D =−1 0

1 0

. Non `e invece corretto dire che una base di W sia data da

BW = {(1, −1, 1, 0), (1, 0, 1, 1), (−1, 0, 1, 0)}, in quanto W non `e un sottospazio vettoriale di R⁴.

Esercizio 3. Sia V = R⁵ e siano assegnati i vettori

v₁= (1, 0, −1, 0, 0), v₂= (1, 0, 0, 1, 1), v₃= (1, h, −2, 0, 1), v₄= (0, 4, 2, 0, h).

Determinare al variare del parametro h ∈ R la dimensione e una base del sottospazio W = L(v1, v2, v3, v4).

Soluzione dell’esercizio 3. Si tratta di determinare al variare del parametro h ∈ R il rango della matrice

A =







1 0 −1 0 0

1 0 0 1 1

1 h −2 0 1

0 4 2 0 h





 .

Abbiamo 1 ≤ rg(A) ≤ 4. Osserviamo che il minore del terzo ordine di A

A123,345=

−1 0 0

0 1 1

−2 0 1

= −1 6= 0, ∀h ∈ R.

Di conseguenza abbiamo 3 ≤ rg(A) ≤ 4. Per il teorema degli orlati avremo rg(A) = 3 se e soltanto se i due orlati di A123,345 in A sono contemporaneamente nulli. I due orlati sono rispettivamente:

A1234,1345=

1 −1 0 0

1 0 1 1

1 −2 0 1

0 2 0 h

, A1234,2345 =

0 −1 0 0

0 0 1 1

h −2 0 1

4 2 0 h

.

Il primo minore vale:

A_1234,1345= −

1 −1 0 1 −2 1

0 2 h

= −

−2 1

2 h

+

1 1 0 h

= −(−2h − 2 + h) = h + 2.

Il secondo minore vale:

A1234,2345 =

0 1 1

h 0 1

4 0 h

= −

h 1 4 h

= −h²+ 4.

Dato che A1234,1345= 0 se e soltanto se h = −2 e A1234,2345 = 0 se e soltanto se h = ±2, l’unico valore di h che annulla contemporaneamente i due minori `e h = −2. Possiamo concludere che per h 6= −2 risulta rg(A) = 4 = dim W . In questo caso una base di W `e chiaramente:

BW = {v1= (1, 0, −1, 0, 0), v2= (1, 0, 0, 1, 1), v3= (1, h, −2, 0, 1), v4= (0, 4, 2, 0, h)}.

(6)

Per h = −2 risulta rg(A) = 3 = dim W . Una base per W `e allora:

BW = {v1= (1, 0, −1, 0, 0), v2= (1, 0, 0, 1, 1), v3= (1, −2, −2, 0, 1)}.

Osserviamo che per h = −2 risulta

2v1− 2v3= (2, 0, −2, 0, 0) + (−2, 4, 4, 0, −2) = (0, 4, 2, 0, −2) = v4.

Esercizio 4. Sia V = R≤3[x] lo spazio vettoriale dei polinomi nella indeterminata x di grado minore o uguale di 3. Al variare dei parametri h, k ∈ R determinare la dimensione del sottospazio W generato dai seguenti vettori:

p₁(x) = 1 + kx²− hx³, p₂(x) = −2 + x + kx³, p₃(x) = 1 + kx − 2x³.

Soluzione dell’esercizio 4. Possiamo associare al sistema di vettori assegnato la matrice delle loro coordinate rispetto alla base canonica B = {1, x, x², x³} di V . Otteniamo la matrice:

A =





1 0 k −h

−2 1 0 k

1 k 0 −2



.

La dimensione dello spazio W `e uguale al rango della matrice A. Il minore del secondo ordine di A:

A_12,12 =

1 0

−2 1

= 1 6= 0, ∀ h, k ∈ R.

Per determinare il rango di A possiamo allora applicare il teorema degli orlati. I due orlati in A del minore a noi scelto sono:

A123,123=

1 0 k

−2 1 0

1 k 0

, A123,124=

1 0 −h

−2 1 k

1 k −2

.

Il primo minore vale (sviluppiamo secondo la terza colonna):

A123,123= k ·

−2 1

1 k

= −2k²− k = −k(2k + 1).

Chiaramente A123,123 = 0 se e soltanto se k1 = −¹₂, k2 = 0. Per k 6= −¹₂, 0 esiste quindi un minore del terzo ordine non nullo e abbiamo rg(A) = 3 = dim W . Una base per W `e in questo caso cotituita dai vettori p1, p2, p3.

Per k1= −¹₂ il minore A123,124 vale:

1 0 −h

−2 1 −1/2

1 −1/2 −2

=

1 −1/2

−1/2 −2

− h

−2 1

1 −1/2

= −9

4 6= 0, ∀h ∈ R.

Di conseguenza anche per k₁= −¹₂ risulta rg(A) = 3 = dim W . Per k₂= 0 il minore A_123,124 vale:

1 0 −h

−2 1 0

1 0 −2

=

1 −h 1 −2

= −2 + h.

(7)

Tale minore è nullo se e soltanto se h2= 2. Per k = 0 ma h 6= 2 è ancora rg(A) = 3 = dim W . Per k2= 0, h2= 2 abbiamo invece rg(A) = 2 = dim W . Una base per W è in questo caso:

BW = {p₁(x) = 1 − 2x³, p₂(x) = −2 + x}.

Osserviamo che per la coppia di valori (k₂, h₂) abbiamo p₁(x) = p₃(x).