Esercitazione 1 di Matematica Applicata 29 novembre 2011
1. Calcolare il numero di condizionamento in norma 1, 2 ∞ della matrice A =1 3
4 2
Soluzione: Per calcolare il numero di condizionamento della matrice A bisogna calcolare la sua norma in base alle formule:
kAk∞ = max
i=1,...,n n
X
j=1
|aij|
kAk1 = max
i=j,...,n n
X
i=1
|aij| (kAk2 =pρ(ATA) in generale
kAk2 = ρ(A) se A `e simmetrica Per la matrice A si ha:
A = 1 3 4 2
→ 4
→ 6
↓ ↓ 5 5 Quindi
kAk∞= max{4, 6} = 6 kAk1 = max{5, 5} = 5.
Per calcolare la norma kAk2 occorre calcolare ATA:
ATA =1 4 3 2
1 3 4 2
=17 11 11 13
e calcolare i suoi autovalori:
det (ATA − λI) =17 − λ 11 11 13 − λ
=
= (17 − λ)(13 − λ) − 11 · 11 =
= 221 − 13λ − 17λ + λ2− 121 =
= λ2− 30λ + 100 = 0 le cui radici sono
λ1 = 5(3 −√ 5) λ2 = 5(3 +√
5).
Perci`o ρ(ATA) = 5(3 +√
5) e kAk2 =pρ(ATA) = q
5(3 +√ 5).
In generale il numero di condizionamento di una matrice `e dato da k(A) = kAk · kA−1k
ma nel caso della norma-2 abbiamo due formule pi`u “comode”:
k2(A) =
qλmax(ATA)
λmin(ATA) in generale k2(A) = |λ|λmax(A)|
min(A)| se A `e simmetrica
Dato che abbiamo gi`a calcolato gli autovalori di ATA conosciamo i valori di λmax(ATA) e di λmin(ATA) che sono dati da
λmax(ATA) = 5(3 +√ 5) λmin(ATA) = 5(3 −√
5).
Quindi
k2(A) = s
λmax(ATA) λmin(ATA) =
s
5(3 + √ 5) 5(3 − √
5) = s
3 +√ 5 3 −√
5
Per calcolare gli altri due numeri di condizionamento, in norma 1 e in norma infinito, invece ci occorre l’inversa di A:
cof(A) = 2 −4
−3 1
e det (A) = −10 quindi
A−1 = 1
det (A) · [cof(A)]T= − 1
10· 2 −3
−4 1
=−1/5 3/10 2/5 −1/10
.
Si ha quindi
A−1 = −1/5 3/10 2/5 −1/10
→ 1/2
→ 1/2
↓ ↓
3/5 2/5 Quindi
kA−1k∞ = max{1/2, 1/2} = 1/2 kA−1k1 = max{3/5, 2/5} = 3/5.
Perci`o
k∞(A) = kAk∞· kA−1k∞= 6 · 1 2 = 3 k1(A) = kAk1· kA−1k1 = 5 · 3
5 = 3.
2. Calcolare il numero di condizionamento in norma 1, 2 ∞ della matrice
A =
1 2 0 2 1 0 0 0 1
Soluzione: La matrice A `e simmetrica quindi
kAk∞= kAk1 e kAk2 = ρ(A).
Si ha:
A =
1 2 0 2 1 0 0 0 1
→ 3
→ 3
→ 1 Da cui kAk∞ = kAk1 = 3.
Cerchiamo gli autovalori di A:
det (A − λI) =
1 − λ 2 0
2 1 − λ 0
0 0 1 − λ
=
= (1 − λ) · [(1 − λ)2] − 2 · [2 · (1 − λ)] =
= (1 − λ) · [(1 − λ)2− 4] =
= (1 − λ) · [1 + λ2− 2λ − 4] =
= (1 − λ)(λ2− 2λ − 3) = 0 le cui radici sono
λ1 = 1 λ2 = −1
λ3 = 3.
Perci`o kAk2 = ρ(A) = 3.
Per una matrice simmetrica vale k2(A) = |λ|λmax(A)|
min(A)| e quindi, in questo caso:
k2(A) = |3|
|1| = 3.
Per calcolare gli altri due numeri di condizionamento, in norma 1 e in norma infinito, invece ci occorre l’inversa di A:
cof(A) =
1 −2 0
−2 1 0
0 0 −3
e det (A) = −3 quindi
A−1= 1
det (A) · [cof(A)]T = −1 3·
1 −2 0
−2 1 0
0 0 −3
=
−1/3 2/3 0 2/3 −1/3 0
0 0 1
. Si ha quindi
A−1 =
−1/3 2/3 0 2/3 −1/3 0
0 0 1
→ 1
→ 1
→ 1
↓ ↓ ↓
1 1 1
Quindi
kA−1k∞ = max{1, 1, 1} = 1 kA−1k1 = max{1, 1, 1} = 1.
Perci`o
k∞(A) = kAk∞· kA−1k∞= 3 · 1 = 3 k1(A) = kAk1· kA−1k1 = 3 · 1 = 3.
3. Calcolare il numero di condizionamento in norma 1, 2 ∞ della matrice
A =
1 0 1 1 1 0 0 1 1
Soluzione: La matrice A non `e simmetrica quindi
kAk∞ = max
i=1,...,n n
X
j=1
|aij|
kAk1 = max
i=j,...,n n
X
i=1
|aij|
kAk2 =p
ρ(ATA).
Si ha:
A =
1 0 1 1 1 0 0 1 1
→ 2
→ 2
→ 2
↓ ↓ ↓ 2 2 2 Da cui kAk∞ = 2 e kAk1 = 2.
Calcoliamo ATA e i suoi autovalori:
ATA =
1 1 0 0 1 1 1 0 1
1 0 1 1 1 0 0 1 1
=
2 1 1 1 2 1 1 1 2
det (ATA − λI) =
2 − λ 1 1
1 2 − λ 1
1 1 2 − λ
=
= (2 − λ) ·(2 − λ)2− 1 − 1 · (2 − λ) − 1 + 1 · 1 − (2 − λ) =
= (2 − λ) ·((2 − λ) − 1)((2 − λ) + 1) − 1 · (2 − λ) − 1 − 1 · (2 − λ) − 1 =
= (2 − λ) ·(1 − λ)(3 − λ] − 1 · 1 − λ − 1 · 1 − λ =
= (1 − λ) ·(2 − λ)(3 − λ) − 1 − 1 =
= (1 − λ)(6 − 3λ − 2λ + λ2− 2) =
= (1 − λ)(λ2− 5λ + 4) = 0 le cui radici sono
λ1 = 1 λ2 = 1 λ3 = 4.
Perci`o kAk2 =pρ(ATA) =√ 4 = 2.
Dato che k2(A) =
qλmax(ATA) λmin(ATA) si ha:
k2(A) = r4
1 = 2.
Per calcolare gli altri due numeri di condizionamento, in norma 1 e in norma infinito, invece ci occorre l’inversa di A:
cof(A) =
1 −1 1
1 1 −1
−1 1 1
e det (A) = 2 quindi
A−1 = 1
det (A) · [cof(A)]T = 1 2 ·
1 1 −1
−1 1 1
1 −1 1
=
1/2 1/2 −1/2
−1/2 1/2 1/2 1/2 −1/2 1/2
. Si ha quindi
A−1 =
1/2 1/2 −1/2
−1/2 1/2 1/2 1/2 −1/2 1/2
→ 3/2
→ 3/2
→ 3/2
↓ ↓ ↓
3/2 3/2 3/2 Quindi
kA−1k∞= max{3/2, 3/2, 3/2} = 3 2
kA−1k1 = max{3/2, 3/2, 3/2} = 3 2. Perci`o
k∞(A) = kAk∞· kA−1k∞= 2 · 3 2 = 3 k1(A) = kAk1· kA−1k1 = 2 · 3
2 = 3.
4. Determinare i valori del paramentro α che rendono la matrice
Q =
α 1/2 −1/2
0 α α
−α 1/2 −1/2
ortogonale e per uno di essi risolvere il sistema Qx = b dove
b =
1 1/2
−1/2
.
Soluzione: Una matrice Q `e ortogonale se QTQ = QQT = I. Quindi dobbiamo imporre:
QTQ =
α 0 −α
1/2 α 1/2
−1/2 α −1/2
α 1/2 −1/2
0 α α
−α 1/2 −1/2
=
=
α2+ α2 12α − 21α −12α + 12α
1
2α − 12α 14 + α2+14 −14 + α2− 14
−12α + 12α −14 + α2− 14 14 + α2+14
=
1 0 0 0 1 0 0 0 1
che `e verificata quando α = ±√1
2 = ±
√2 2 . Consideriamo il valore α = +
√2
2 . La matrice Q prende la forma:
Q =
√ 2
2 1/2 −1/2 0
√2 2
√2 2
−
√ 2
2 1/2 −1/2
Il modo pi`u conveniente per risolvere il sistema sta nel sfruttare la propriet`a che l’inversa di una matrice ortogonale `e uguale alla sua trasposta Q−1 = QT. Si ha:
Qx = b ⇐⇒ x = Q−1b = QTb =
=
√ 2
2 0 −
√ 2 2
1/2
√2
2 1/2
−1/2
√ 2
2 −1/2
1 1/2
−1/2
=
3√ 2 4 1+√
2 4
√ 2−1
4
