Prof. Daniele Zaccaria

(1)

MECCANICA DEI SOLIDI

Prof. Daniele Zaccaria

Dipartimento di Ingegneria Civile Universit`a di Trieste

Piazzale Europa 1, Trieste

P ARTE T ERZA

Sistemi di travi

Corsi di Laurea specialistici in

Ingegneria delle Infrastrutture e dei sistemi di trasporto Strutture ed opere dell’ingegneria civile

Ingegneria edile

Corso di Laurea triennale in Ingegneria Navale

Trieste, 31 agosto 2007

(2)

(3)

Indice

1 Analisi statica e cinematica dei sistemi di travi rigide 3

1.1 Cinematica dei sistemi rigidi piani . . . 3

1.1.1 Centri assoluti di rotazione . . . 3

1.1.2 Centri relativi di rotazione . . . 4

1.1.3 Allineamento dei centri relativi di tre corpi in moto . 8 1.1.4 Vincoli e centri di rotazione . . . 9

1.1.5 Esempio 1 . . . 10

1.1.6 Esempio 2 . . . 12

1.2 Il principio dei lavori virtuali per il corpo rigido libero . . . 13

1.2.1 Esempio . . . 14

1.3 Labilit`a infinitesima . . . 15

1.4 Problema cinematico per i sistemi spaziali di travi rigide . . 20

1.4.1 Matrice cinematica . . . 21

1.4.2 Condizione di non labilit`a di un sistema di travi . . . 23

1.5 Problema statico per i sistemi spaziali di travi rigide . . . . 24

1.5.1 Matrice statica . . . 25

1.5.2 Condizione di equilibrio di un sistema di travi . . . . 26

1.6 Dualit`a statico cinematica . . . 27

1.7 Il principio dei lavori virtuali per i sistemi rigidi di travi vincolate . . . 29

1.8 Esempio sull’analisi statica e cinematica . . . 31

2 Travi elastiche lineari 35 2.1 Equazioni della teoria tecnica delle travi . . . 35

2.2 Trave di Timoshenko . . . 38

2.3 Trave piana inflessa . . . 42

2.4 Sovrapposizione degli effetti . . . 48

2.5 Integrazione dell’equazione della linea elastica . . . 51

2.5.1 Esempio: Trave incastro-appoggio . . . 51

2.5.2 Travi caricate solo alle estremit`a . . . 53

3.1.1 Esempio: sistema di travi iperstatico spaziale . . . 59

3.2 Un esempio di calcolo di spostamenti col metodo cinematico: mensola di sezione a C . . . 63

4 Soluzione dei sistemi iperstatici col metodo degli spostamenti 67 4.1 Esempi . . . 67

4.1.1 Trave appoggiata soggetta ad un carico assiale . . . . 67

4.1.2 Sistema di pendoli paralleli . . . 71

4.1.3 Trave continua . . . 72

4.1.4 Analisi qualitativa basata sulle rigidezze . . . 73

4.1.5 Telaio soggetto ad una coppia concentrata . . . 75

4.2 Schema fondamentale dei telai a nodi fissi . . . 77

4.3 Schema fondamentale dei telai a nodi spostabili . . . 79

4.3.1 Rigidezze taglianti . . . 81

4.3.1.1 Rigidezza tagliante della trave appoggio- doppio pendolo . . . 81

4.3.1.2 Rigidezza tagliante della trave incastro- doppio pendolo . . . 81

4.3.2 esempi di telai con traversi rigidi . . . 82

4.3.2.1 Portale con traverso rigido . . . 82

4.3.2.2 Telaio con traverso rigido e tre ritti . . . 83

4.3.2.3 Telaio simmetrico con traverso rigido e tre ritti . . . 86

4.4 Sistema di pendoli connessi in un nodo . . . 88

5 Analisi del metodo delle forze per la soluzione dei sistemi iperstatici 91 5.1 Struttura delle equazioni di congruenza . . . 91

5.2 Scrittura delle equazioni di congruenza . . . 93

5.3 Indeformabilit`a assiale . . . 95

5.4 Esempio: telaio a un nodo spostabile . . . 96

5.5 Esempio: Struttura reticolare . . . 101

6 Analisi del metodo degli spostamenti per la soluzione dei sistemi iperstatici 107 6.1 Struttura delle equazioni risolventi . . . 107

6.2 Scrittura delle equazioni di equilibrio . . . 110

MdS Parte III — 31 agosto 2007 1

(4)

2

Indice MdS Parte III — 31 agosto 2007 Prof.Daniele Zaccaria

6.3 Esempio di un telaio a un nodo spostabile risolto col metodo degli spostamenti . . . 112 6.4 Costruzione della matrice di rigidezza per assemblaggio

delle matrici delle singole travi: un esempio . . . 115 6.4.1 Matrice di rigidezza di una trave inflessa con tutti i

movimenti di nodo vincolati . . . 115 6.4.2 Matrice di rigidezza di una trave inflessa nella quale

una rotazione di nodo non `e vincolata . . . 116 6.4.3 Matrici di rigidezza delle singole travi e loro

assemblaggio . . . 117 6.5 Metodo iterativo di Cross: un esempio . . . 118 6.6 Esercizi . . . 121 6.6.1 Telaio simmetrico soggetto ad un carico concentrato 121 6.6.2 Struttura reticolare iperstatica simmetrica . . . 123

(5)

Analisi statica e cinematica dei sistemi di travi rigide

1.1 Cinematica dei sistemi rigidi piani

1.1.1 Centri assoluti di rotazione

MdS Parte III — 31 agosto 2007

3

(6)

1.1.2 Centri relativi di rotazione

4

Capitolo 1. Sistemi di travi rigide MdS Parte III — 31 agosto 2007 Prof.Daniele Zaccaria

(7)

(8)

6

(9)

(10)

1.1.3 Allineamento dei centri relativi di tre corpi in moto

8

(11)

1.1.4 Vincoli e centri di rotazione

(12)

1.1.5 Esempio 1

10

(13)

(14)

1.1.6 Esempio 2

12

(15)

1.2 Il principio dei lavori virtuali per il corpo

rigido libero

(16)

1.2.1 Esempio

14

(17)

1.3 Labilit` a infinitesima

(18)

16

(19)

(20)

18

(21)

(22)

1.4 Problema cinematico per i sistemi spaziali di travi rigide

20

(23)

1.4.1 Matrice cinematica

(24)

22

(25)

1.4.2 Condizione di non labilit` a di un sistema di travi

(26)

1.5 Problema statico per i sistemi spaziali di travi rigide

24

(27)

1.5.1 Matrice statica

(28)

1.5.2 Condizione di equilibrio di un sistema di travi

26

(29)

1.6 Dualit` a statico cinematica

(30)

28

(31)

1.7 Il principio dei lavori virtuali per i

sistemi rigidi di travi vincolate

(32)

30

(33)

1.8 Esempio sull’analisi statica e cinematica

(34)

32

(35)

(36)

34

(37)

Travi elastiche lineari

2.1 Equazioni della teoria tecnica delle travi

35

(38)

36

Capitolo 2. Travi elastiche lineari MdS Parte III — 31 agosto 2007 Prof.Daniele Zaccaria

(39)

(40)

2.2 Trave di Timoshenko

38

(41)

(42)

40

(43)

(44)

2.3 Trave piana inflessa

42

(45)

(46)

44

(47)

(48)

46

(49)

(50)

2.4 Sovrapposizione degli effetti

48

(51)

(52)

50

(53)

2.5 Integrazione dell’equazione della linea elastica

2.5.1 Esempio: Trave incastro-appoggio

(54)

52

(55)

2.5.2 Travi caricate solo alle estremit` a

(56)

54

(57)

Calcolo di spostamenti

3.1 Calcolo di spostamenti in sistemi isostatici con il principio dei lavori virtuali

55

(58)

56

Capitolo 3. Calcolo di spostamenti MdS Parte III — 31 agosto 2007 Prof.Daniele Zaccaria

(59)

(60)

58

(61)

3.1.1 Esempio: sistema di travi iperstatico spaziale

(62)

60

(63)

(64)

62

(65)

3.2 Un esempio di calcolo di spostamenti col

metodo cinematico: mensola di sezione

a C

(66)

64

(67)

(68)

66

(69)

Soluzione dei sistemi iperstatici col metodo degli spostamenti

4.1 Esempi

4.1.1 Trave appoggiata soggetta ad un carico assiale

67

(70)

68

Capitolo 4. Metodo degli spostamenti MdS Parte III — 31 agosto 2007 Prof.Daniele Zaccaria

(71)

(72)

70

(73)

4.1.2 Sistema di pendoli paralleli

(74)

4.1.3 Trave continua

72

(75)

4.1.4 Analisi qualitativa basata sulle rigidezze

(76)

74

(77)

4.1.5 Telaio soggetto ad una coppia concentrata

(78)

76

(79)

4.2 Schema fondamentale dei telai a nodi fissi

(80)

78

(81)

4.3 Schema fondamentale dei telai a nodi

spostabili

(82)

80

(83)

4.3.1 Rigidezze taglianti

4.3.1.1 Rigidezza tagliante della trave appoggio-doppio pendolo

4.3.1.2 Rigidezza tagliante della trave incastro-doppio pendolo

(84)

4.3.2 esempi di telai con traversi rigidi

4.3.2.1 Portale con traverso rigido

82

(85)

4.3.2.2 Telaio con traverso rigido e tre ritti

(86)

84

(87)

(88)

4.3.2.3 Telaio simmetrico con traverso rigido e tre ritti

86

(89)

(90)

4.4 Sistema di pendoli connessi in un nodo

88

(91)

(92)

90

(93)

Analisi del metodo delle forze per la soluzione dei sistemi iperstatici

5.1 Struttura delle equazioni di congruenza

91

(94)

92

Capitolo 5. Analisi del metodo delle forze MdS Parte III — 31 agosto 2007 Prof.Daniele Zaccaria

(95)

5.2 Scrittura delle equazioni di congruenza

(96)

94

(97)

5.3 Indeformabilit` a assiale

(98)

5.4 Esempio: telaio a un nodo spostabile

96

(99)

(100)

98

(101)

(102)

100

(103)

5.5 Esempio: Struttura reticolare

(104)

102

(105)

(106)

104

(107)

(108)

106

(109)

Analisi del metodo degli spostamenti per la soluzione dei sistemi iperstatici

6.1 Struttura delle equazioni risolventi

107

(110)

108

Capitolo 6. Analisi del metodo degli spostamenti MdS Parte III — 31 agosto 2007 Prof.Daniele Zaccaria

(111)

(112)

6.2 Scrittura delle equazioni di equilibrio

110

(113)

(114)

6.3 Esempio di un telaio a un nodo spostabile risolto col metodo degli spostamenti

112

(115)

(116)

114

(117)

6.4 Costruzione della matrice di rigidezza per assemblaggio delle matrici delle singole travi: un esempio

6.4.1 Matrice di rigidezza di una trave inflessa con

tutti i movimenti di nodo vincolati

(118)

6.4.2 Matrice di rigidezza di una trave inflessa nella

quale una rotazione di nodo non ` e vincolata

116

(119)

6.4.3 Matrici di rigidezza delle singole travi e loro

assemblaggio

(120)

6.5 Metodo iterativo di Cross: un esempio

118

(121)

(122)

120

(123)

6.6 Esercizi

6.6.1 Telaio simmetrico soggetto ad un carico

concentrato

(124)

122

(125)

6.6.2 Struttura reticolare iperstatica simmetrica

(126)

124

(127)