Facolt`a di Scienze Statistiche, Algebra Lineare 1 A, G.Parmeggiani LEZIONE 16
Trasformazioni lineari.
Def. 1. Siano V e W due spazi vettoriali su R (oppure entrambi su C). Una funzione
f : V → W
si dice una trasformazione lineare se soddisfa le due seguenti condizioni:
1 f(u + v) = f(u) + f(v) per ogni u, v∈ V ; 2 f(αv) = αf(v) per ogni v∈ V ed ogni α ∈ K.
V si chiama il dominio di f, W si chiama il codominio di f.
Esempio 1. Fissata una base ordinataB di V , la mappa delle coordinate CB : V → Kn`e una trsformazione lineare (per le propriet`a 1 e 2 della mappa delle coordinate enunciate nella lezione precedente).
Esempio 2. Se V =R2 e W =R3,
f : R2 → R3
a b
7→
2a− b a + 3b
b
`e una trasformazione lineare, mentre
g : R2 → R3
a b
7→
2a− b a + 3b + 2
b
non `e una trasformazione lineare.
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2
Infatti:
f verifica la condizione 1 :
Per ogni u, v∈ 2esistono a1, b1, a2, b2∈ tali che u =
a1
b1
e v =
a2
b2
. Si ha:
f (u + v) = f (
a1
b1
+
a2
b2
) = f (
a1+ a2
b1+ b2
)
def. di f
=↓
2(a1+ a2)− (b1+ b2) (a1+ a2) + 3(b1+ b2)
b1+ b2
=
=
2a1− b1
a1+ 3b1
b1
+
2a2− b2
a2+ 3b2
b2
=↑ def. di f
f (
a1
b1 ) + f (
a2
b2 ) = f (u) + f (v)
f verifica la condizione 2 :
Sia α∈ . Per ogni v ∈ 2esistono a, b∈ tali che v =
a
b . Si ha:
f (αv) = f (α
a b ) = f (
αa αb )
def. di f
=↓
2(αa)− (αb) αa + 3(αb)
αb
=
= α
2a− b a + 3b
b
=↑ def. di f
αf (
a
b ) = αf (v)
g non verifica n`e la condizione 1 , n`e la condizione 2 . Perch`e ?
N.B. Se f : V → W `e una trasformazione lineare, allora f(0) + f(0) =
↑
1
f(0 + 0) = f(0) =⇒ f(0) = 0
Proposizione 1. Siano V e W due spazi vettoriali su K (K ∈ {R, C}) ed f : V → W una funzione. Allora f `e una trasformazione lineare se e solo se
f(αu + βv) = αf(u) + βf(v), per ogni u, v∈ V ed ogni α, β∈ K.
Def. 2. Una trasformazione lineare f : V → W si dice iniettiva se u6= v
in V =⇒ f(u)6= f(v) in W , equivalentemente
f(u) = f(v)
in W =⇒ u = v
in V
3
Def. 3. Una trasformazione lineare f : V → W si dice suriettiva se per ogni w ∈ W esiste v∈ V tale che f(v) = w.
Def. 4. Una trasformazione lineare iniettiva e suriettiva si dice un isomorfismo.
Esempio 3. Fissata una base ordinata B di V , la mappa delle coordinate CB: V → Kn`e un isomorfismo (`e iniettiva per la propriet`a 3 , ed `e suriettiva la propriet`a 4 ).
Sia f : V → W una trasformazione lineare.
Si definiscano i due seguenti sottoinsiemi di W e V rispettivamente:
Im(f) ={w ∈ W | esiste v ∈ V per cui f(v) = w}
N (f) ={v ∈ V |f(v) = 0}
Im(f) `e un sottospazio di W , e si chiama lo spazio immagine della trasformazione lineare f, N (f) `e un sottospazio di V , e si chiama lo spazio nullo della trasformazione lineare f.
Im(f )≤ W :
1. w1, w2∈ Im(f ) =?⇒ w1+ w2∈ Im(f )
w1∈ Im(f ) =⇒ esiste v1∈ V |w1= f (v1)
w2∈ Im(f ) =⇒ esiste v2∈ V |w2= f (v2) =⇒ w1+ w2= f (v1) + f (v2) 1
= f (v↓ 1+ v2),
quindi esiste v∈ V tale che f (v) = w1+ w2(si prenda ad esempio v = v1+ v2).
2. w∈ Im(f ), α∈ K =?⇒ αw∈ Im(f )
w∈ Im(f ) =⇒ esiste v ∈ V |w = f (v) =⇒ αw = αf (v) =
↑
2 f (αv),
quindi esiste ˜v∈ V tale che f (˜v) = αw (si prenda ad esempio ˜v = αv).
N (f )≤ V :
1. v1, v2∈ N (f ) =?⇒ v1+ v2∈ N (f )
v1, v2∈ N (f ) =⇒ v1, v2∈ V =⇒ v1+ v2∈ V f (v1+ v2) =
↑
1
f (v1) + f (v2) =
v1,v2∈N(f)↑
0 + 0 = 0
=⇒ v1+ v2∈ N (f )
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4
2. v∈ N (f ), α∈ K =?⇒ αv∈ N (f )
v∈ N (f ) =⇒ v ∈ V =⇒ αv ∈ V f (αv) =
↑
2
αf (v) =
v∈N(f)↑
α0 = 0
=⇒ αv ∈ N (f )
Proposizione 2. Sia f : V → W una trasformazione lineare. Allora
f `e iniettiva ⇐⇒ N (f) ={0}.
Dimostrazione. Sia f una trasformazione lineare iniettiva. Vogliamo provare che N (f ) ={0}, ossia che se v∈ N (f ) allora v = 0.
Sia dunque v∈ N (f ), cio`e, per definizione di N (f ), v `e un elemento di V tale che f (v) = 0.
Poich`e f `e una trasformazione lineare, per il N.B. di questa lezione si ha che f (0) = 0.
Dunque f (v) = f (0). Da ci´o segue, essendo f iniettiva, che v = 0.
Viceversa, supponiamo ora che f sia una trasformazione lineare con N (f ) ={0} e proviamo che f `e iniettiva, ossia che
u, v∈ V
f (u) = f (v) =⇒ u = v.
Da f (u) = f (v) segue che f (u)− f (v) = 0, e poich`e f `e una trasformazione lineare, si ha che f (u)− f (v) = f (u − v). Dunque f (u − v) = 0, e quindi, essendo u − v ∈ V , otteniamo che u − v ∈ N (f ).
Poich`e stiamo supponendo che N (f ) ={0}, allora u − v = 0, ossia u = v.
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