Capitolo 4
Modellazione del rilascio termico
Nel seguente capitolo si tracceranno le equazioni che correlano il flusso di calore prodotto dalla fiamma a seguito di una perturbazione di pressione incidente.
Tale modello è in grado di predire così la fase fra la velocità di oscillazione del flusso di massa e le risultanti fluttuazioni di rilascio termico, in funzione delle condizioni operative (il valor medio del rapporto di equivalenza, la velocità media del flusso di massa)
4.1- Definizione delle equazioni di base per il
rilascio termico
Il processo di combustione vero e proprio regola il rilascio energetico presente in camera.
Le reazioni chimiche che avvengo a seguito di questo processo sono delle reazioni chimiche a catena, di seguito sono riportate le principali:
steps oxidation H C ) . CO , . CO , . CO ( system oxidation CO ) . H . H ( system O H oxidation final H CO OH CO formation ermediate int ethane H C CH CH g propagatin chain M CO H M HCO g propagatin / branching chain XH HCO X CO H g propagatin chain M H CO H M O CH branching chain O O CH O CH g propagatin / branching chain XH CH X CH initiation chain M H CH M CH 2 2 2 6 2 3 3 2 2 3 3 2 3 3 4 3 4 7 3 1 20 1 + + − − + + → + − → + + + → + + → + + + → + + → + + → + + + → +
Il modello che verrà tracciato di seguito si basa sulle seguenti assunzioni:
- l’intensità della perturbazione è elevata
- le velocità di mescolamento sono sufficientemente elevate. - la zona di combustione è comunque considerata omogenea
- le reazioni che avvengono sono semplificate utilizzando una cinetica ad un passo (ossia è come se ci fosse una singola reazione che a partire dai
reagenti produce i prodotti, quindi: 4 2 2 2
2 3 CO O H O → + + CH )
- la perdita di calore è trascurata - la pressione media è costante
In base a tali assunzioni, la fiamma è modellabile come well-stirred reactor, assumendo che le condizioni in uscita dal reattore siano uguali a quelle presenti all’interno (ipotesi consistente con l’assunzione che la velocità di miscelazione è molto più veloce della reazione chimica), si ha che:
entalpia h massa di flusso m k specie della sparizione di velocità W chimica e reazion alla dovuta termico rilascio di velocità Q combustore nel k specie della totale massa M combustore nel totale energia E combustore nel totale massa M : dove ) . ( specie della one conservazi di equazione W Y m Y m dt dM ) . ( energia ' dell bilancio di equazione Q h m h m dt dE ) . ( massa di bilancio di equazione m m dt dM k r k k k i, k i k r i i i = = = = = = = − − = + − = − = & & & & & & & & & & & 3 4 2 4 1 4 ingresso di grandezze alle riferito i pedice massa di frazione Y = =
L’equazione (4.3) deve essere scritta per ogni specie chimica presente ( ), e così nel caso di cinetica ad un passo, una sola equazione differenziale è sufficiente e le frazioni di massa delle altre specie sono legate da rapporti stechiometrici
K , O H , CO , O , H Cn n 2 2 2
Le equazioni (4.1) e (4.2), possono essere semplificate come segue, considerando però , , V costanti: p c cv pressione p a temperatur T specifico calore c composto del volume V composto del densità : dove ) . ( Q ) T T ( c m dt dp V dt dT Vc p r i p i p = = = = = + − = − ρ ρ & & 44 Il termine dt dp
V può essere espresso come funzione di T utilizzando le condizioni all’ingresso e all’uscita, e la legge dei gas perfetti.
Assumendo che le oscillazioni di pressione siano leggere, il termine energetico di pressione risulta essere trascurabile e l’equazione (4.4) diventa:
dt mc (T T) Q ( . ) dT
Vcp = &i p i − + &r 45
ρ
utilizzando ora l’equazione (1), l’equazione (3) può essere così ridotta:
m
(
Y Y)
W ( . ) dt dY V k i ki, k &k 46 & − − = ρOra, i termini Q relativi al carburante, possono essere rappresentati come funzione di
k r, &W &
Y e T utilizzando il meccanismo di cinematica ad un passo: A V( Y ) ( Y ) eT ( . ) a T o n O f n f f f 2 2 0 47 − = ρ ρ & W
gas dei te tan cos R e attivazion di energia E R E T ) le combustibi del massa di unità per misurata ( reazione della entalpia h freequenza di fattore A dove ) . ( W h Q a a a r f f r r = = = = ∆ = ∆ = & 48 &
Per un fissato φ,YO2,Yf il rapporta di massa stechiometrico ψs è pari a:
Y Y Yf ( . ) s O f s O 49 1 1 2 2 − + = ψ ψ Y
Vicino alle condizioni stechiometriche f s O ψ Y
1
2 =
const
Y , mentre lontano da queste, per una miscela di combustibile, YO2 ≅
Sempre in una miscela di combustibile, può essere considerato costante intorno al punto di equilibrio a causa della forte dipendenza della velocità di reazione dalla temperatura (decrescita esponenziale)
f n
ρ
Perciò le equazioni (4.7) , (4.8) possono essere così semplificate: Q A hV Y eT ( . ) a T n n r f r 0 410 − ∆ ′ = ρ &
dove vicino alle condizioni stechiometriche, Y =Yf ,n=nf +nO2e n=nf sotto
l’ipotesi di miscela di combustibile.
Mentre la dinamica del reattore può essere analizzata integrando l’equazione non lineare (4.10) in modo diretto, la sua linearizzazione può permettere di esaminare le sue proprietà (limite di spegnimento, relazione di guadagno e fase fra velocità di
Il modello linearizzato del rilascio termico può essere ricavato dalle equazioni (4.5), (4.6), (4.10), assumendo la presenza di piccole perturbazioni intorno al punto di equilibrio.
Si rappresenteranno le variabiliT,Y,ρ,mi usando un termine stazionario ed un
termine di perturbazione (ad esempio Y =Y +Y′): ) . ( T T ) . ( T e T T Y e Y Y n e Y n V h A Q o o T a T a n n T a T n n T a T n n r f r 12 4 11 4 2 1 1 ′ − = ′ ′ + ′ + ′ ∆ ′ = ′ − − − − − ρ ρ ρ ρ ρ ρ &
Utilizzando (4.11) e (4.12) è ora possibile linearizzare (4.5) e (4.6):
Dato che il rapporto M ( ) m m T T a i i 1 − = ′ ′ γ &
& , per bassi numeri di Mach, si può trascurare
nell’equazione (4.13). i
T ′
Utilizzando la trasformata di Laplace delle equazioni (4.11), (4.13), (4.14) si può ottenere il seguente modello lineare per il rilascio termico:
(
) (
)
(
)
(
) (
)
(
)
( . ) Y Y Y n T T T T T T T n e Y h A ) . ( Y Y Y n T T T T T T T n V m dove ) . ( m s m ) s ( J Q i a i i T a T n n r f i a i i r 17 4 16 4 1 15 4 0 1 − + − − − ∆ ′ = − + − − − + = ′ + = ′ = ′ − − ρ β ρ α α β & & & & Si noti come:• J(s) sia del primo ordine
• α (frequenza di taglio) e β ( guadagno statico) sono funzioni del rapporto di equivalenza e delle temperatura in ingresso e del tempo medio di permanenza
Si possono ora esaminare due diverse situazioni:
• Nel caso in cui il rapporto di equivalenza sia fisso,
se il tempo di permanenza è molto più grande del tempo di reazione chimica, quasi tutto il combustibile viene bruciato, Y ≈0, così, α e β sono molto più grandi della frequenza acustica (a seguito del fatto che Y ≈0 si trova al denominatore delle equazioni (4.16) e (4.17) ) e il rilascio termico risponde istantaneamente alle perturbazioni acustiche.
Come il tempo di permanenza inizia a decrescere, il combustibile incombusto Y aumenta, così il valore di α e β decresce. Inoltre, il cambiamento del tempo di permanenza influisce sulla temperatura di equilibrio T . Se il tempo di permanenza continua ancora a diminuire, α e β possono cambiare di segno e da positivi passare a negativi a causa del termine
(
)
ao i o T T T T 2 − −
Quando α diventa negativo il modello del rilascio termico diventa instabile e la perturbazione cresce
esponenzialmente (instabilità sulla dinamica della fiamma) Quando β diventa negativo, si introduce uno sfasamento di 180° fra m′& e Q , così se la dinamica del rilascio del calore è accoppiata con quella acustica, questo
cambiamento di fase può causare instabilità termoacustica
r′
&
Le due instabilità sono diverse.
• Nel caso in cui il tempo di permanenza sia fisso,
Un cambiamento nel rapporto di equivalenza può anch’esso cambiare l’equilibrio della temperatura T e quindi creare effetti su α e β
Il modello lineare di rilascio termico è stato ottenuto mediante linearizzazione intorno ad un punto di lavoro fisso :
) s ( J
• Il punto di lavoro è determinato da φ, &mi,Ti, così mentre la struttura
lineare diJ(s) non varia al variare del punto di lavoro, variano invece α e β ( infatti la loro dipendenza dal punto di lavoro è esplicitata dalle equazioni (4.15) e (4.16) )
• Supponendo fissata T (ad esempio T =600K) e i i φ , la variazione di α e
o Per valori di V m&i
<700Kg/m3s, la frequenza di cutoff α è circa
3kHz, in questa regione il modello del rilascio termico
risponde ad una perturbazione acustica di frequenza dell’ordine dei 100 Hz istantaneamente
) s ( J
• Supponendo fissata T (ad esempio T =600K) e i i m& , la variazione di α i
e β a seguito di una variazione di φ può essere così caratterizzata:
4.2 - Modelli del rilascio termico
Riassumendo quanto detto nel paragrafo precedente, si ha che: Modello non lineare completo per il rilascio termico
4 4 4 3 4 4 4 2 1 & &r Q Ta T n n r f i p i p mc (T T) A hV Y e dt dT Vc 0 − ∆ ′ + − = ρ ρ
(
)
( )
( )
4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4 2 1 & &k W RTa E f n f O n O f k i, k i k m Y Y A V Y Y e dt dY V − ′ − − = ρ ρ ρ 2 2Modello linearizzato per il rilascio termico
m s m ) s ( J Qr ′ + = ′ = ′ & & & α β
Modello non lineare semplificato del rilascio termico: Modello che vede la serie di una non linearità generica con il modello linearizzato precedente.
m s m ) s ( J Qr ′ + = ′ = ′ & & & α β
