SULLI DETERMINAZIONE DEI COEFFICIENTI DI CONDUTTIVITA TERMICA MEDIANTE IL RAFFREDDAMENTO DI SFERE.
F R A N C E S C O V E R C E L L I .
PARTE 1. a - - T e o r i a .
1 . - II presente lavoro ~ eollegato ad alcuni miei studi
di fisica terrestre~ basati sulla teoria della conduttivitg del ealore.
Negli stadi relativi alia t e m p e r a t u r a i n t e r n a dei monti i) appare dl grande interesse la conoseenza esatta dei coemcienti di conduttivitg termica dei materiali costituenti le masse mon- tuose; e hello studio del raffreddamento della t e r r a e dei pia- neti~ considerati come masse sferichc 2)~ si presentano due for- mole, che dgnno rispettivamente la t e m p e r a t u r a i n t e r n a e il gradiente termieo superfieiale di una sfera che si raffreddi in date condizioni~ e che possono utilmente servire per stabilire un metodo di misura dei coeflieienti di conduttivits
Comincier5 col ricordare tall formole; esporr5 in seguito il metodo che se ne deduce e lo porrb in confi'onto con quelli che sono stati finora usati quando il corpo da studiare g ri- dotto a forma sferica.
2. - - U n a sfera omogenea di raggio R, inizialmente a t e m p e r a t u r a uniforme V o in t u t t a la massa, si raffreddi per
i) C. Somigliana e F. Vercelli: 9 Sulla previsione m a t e m a t i c a delle t e m p e r a t u r e nei g r a n d i trafori alpini ,. 3lem. R. Ace. Sc. Torino, Ser. II, Tom. L X I I I , 1912, pug. 327. - - F. Vercelli: (( Sulla previsione delle ten>
p e r a t u r e neile gallerie alpine ,. Giornale di Geologla pratica. 1913. VoL XI, fasc, II. - - F. Vercelli: (< Considerazioni complementari alla memoria Sulla previsione e t c . - ~). Attl Acc. Torino, 1912-13, Vol. 48, pag. 836. - - F. Vereelli: ,( L e t e m p e r a t u r e nel p r o g e t t a t o traforo dello Spluga ,. Mere.
Ist. Lombardo, 1914.
') F. Vercelli: ~ Sul g r a d i e n t e termieo superficiale e sulla tempera- t u r a i n t e r n a dei pianeti ~). Atti Ace. Scienze di Torino, 1913-14, Vol. 49.
Se~.. VI. Vol. VI 29
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un tempo t in un ambiente a temperatura costante (the as- sumiamo come temperatura zero); supponiamo, inoltre, e h e l a conducibilit's superfieiale sla grandissima, e la differenza di temperatura fra la sfera e l'ambiente abbastanza piccola, in guisa e h e l a temperatura superficiale si possa ritenere, in ogni istante, uguale a quella dell'ambiente. In tali ipotesi valgono le due relazioni seguenti (dimostrate nella nota eitata):
(I) V c --- V o [I -- I,'k' ~3 (0, q )]
(2) ~ = v~ [ ~ (o, ~) - ~1
R -
ove ~ ~ il gradiente termico sul)e~ciale e V e la temNeratu~'a interna all'istante t / e
,1~. ~ a ~
(3) q = e R~
K C D
indicando, eom'6 uso, con K, C, D il coe.~ciente di cond~tti- vit~t termica, il calore sl)ecifico e la densith.
Inoltre &3, k'~ q hanno il signifieato comune nella teoria delle .ftenzioni ellittiche (notazioni di Jacobi).
Dalla (1) sl deduce
(5) I//," ~
(0, q ) ~ V o - - V ~ 9Dull' esperlenza si rleava il valore del secondo membro di questa relazione eolla lettura di due temperature: quella ini- ziale, uaiforme in tutta la massa Vo; e quella V c che si ha al centro do2o u n teml)o t.
Usando tavole di f u n z i o n i ellittiche si ottiene subito il valore del modulo q ehe verifica la relazione (5); dalla (3) poi si deduce
71; 2 a ~
log q ~ - - -R~- t
C O E F F I C I E R T [ D[ CONDUTTIVITA T E R ~ I C A d ~ cui
e per la (4)
R ~ a '~ --" ~ - - log ~/
~;o t
C D R ~
(6) K - ~ =~t log ~/-~.
429
Questa formola ds il coe/ficiente d i c o n d u t t l v i t h t e r m i c a K
in s di quantit~ gig note o di facile determinazione.
Con questo metodo otteniamo m i s u r e a s s o l u t e dei coeffi- cienti K.
3 . - Ma possiamo pure, pi~t semplicemente, eseguire, con
~ualogo proeedimento, m i s u r e r e l a t i v e .
Abbiansi due sfere di sostaaze qualsiansi. Portiamole ad eguale temperatura iniziale Vo, uniforme in tutta la massa.
Laseiamole poi raffreddare rispettivameate per intervalli di tempo t , , t2~ tall, che, alla fine di essi, le due st'ere abbiano una stessa temperatura eentrale V c .
Denotiamo cogli indici 1, 2 le cluantits relative alla prima e alia seeonda sfera.
P e r la (5), essendo eguali le differenze V o - - V c ~ consegue la eguaglianza dei moduli q eorrispoudenti. P e r la (3), quindi,
(7) a, ~t, ~___ ~a~ t~
e, tenendo presente la (4),
K, t+ C, D, R, ~ ($) K~ - - t i C~ D~ t ~ ~
Se, inoltre, R l = R , la (7) assume la s pifi semplice
+(9) K_, __ t A C, D,
K ~ - - t ~ C.~D~ "
Questo risultato si pub cosl enuneiare: Due sfere di so- ztanze qualunque, ma di egual raggi% ehe si raffreddino
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da una stessa t e m p e r a t u r a inizlale Vo sino a raggiungere pure- una medesima temperatura V c ai centr% hanno coefllcienti di conduttivit~ che sono proporzionali, direttamente alle densits ed ai calori specii~ei, ed inversamente ai tempi impiegati nel raffreddamento.
Se vogliamo solo misure relative dei coefficienti a, il c h e b sumeiente in talune ricercbe, dalla (7) si ha (se ~ ~ R.2)
V _
(10) al __ t,
O~ tt
cio~: i coeffieienti a di conduttivitk delle temperature stanno.
ira loro come le radici quadrate del rapporto inverso dei tempi impiegati a raggiungere, nel centr% u n a stessa data temperatura arbitrariamente scelta.
L'esperienza ~ quindi limitata alla misura del temTo d i r a f f r e d d a m e n t o e a l l a verifiea che le temperature, al centro della sfera, siano eguali, senza che occorra~ t u t t a v i a , m i s u r a r e effet- t i v a m e n t e tall t e m p e r a t u r e .
4. - - Le forme date dagli sperimentatori ai materiali stu- diati possono ridursi a questi tipi: t)
o
A s t e e f i l l - Metodi di: Forbes, Neumann, A n g s t r S m , Schultze, Lorenz, Lodge, Despretz, L a n g b e r g 7 W i e d e m a n n e Fl'anz~ e t c .
C i l i n d r i e discM. - - Metodi di: P4elet, Berget, H. F.
~Veber, Hersehell, Christiansen, Voigt, Niven, eec.
Ce~bl. - - Kirchhoff e ttansemann, L o r d Kelvin e M u r r a y , Neumann~ Stadler, ece.
Esaminlamo in modo specialc i metodi usati psi materiali ridotti a quest'ultima forma.
Gi~ il Dulong determinava i coeffieienti K tenendo conto della quantitk di ghiaceio che in un tempo t si fonde nel-
1) La bibliografia relativa ai metodi citati ~ riferlta nei grandi trat- tati di fisica del Winkelmann, del Chwolson, ecc.
l ' i n t e r n o di una sfera cava, immersa in aequa a 100 ~ Ma tale metodo diede sempre risu]tati incerti.
Nel 1871 Donald hi' F a r l a n e nella nota << E x p e r i m e n t s made to d e t e r m i n e surface conductivity for heat in absolute measure ))')~ studia l ' i r r a g g i a m e n t o d ' u n a sfera, levigata od annerit% in un ambiente di aria umida 7 e giunge ad esprimere .il potere r a d i a n t e con una funzione di secondo grade del tempo.
Non si occupa per5 della conduttivitk interna.
Nel 1863, F. N. Neumann~ in u n a b r e v e nora :), riferisee i risultati di esperienze su sostanze poco conduttive, fatte ope- r a n d o con s f e r e e con c u b i e usando formole e proeedimenti a n a l o g h i a quelli, ben noti, che lo stesso N e u m a n n a v e v a pro- posto nel case di aste. L a sfera~ inizialmente ad una tempe- r a t u r a u n i f o r m e Vo~ si raffreddtt hell'aria m a n t e n u t a a tem- p e r a t u r a eostante. II raffreddamento ~ supposto a v v e n i r e dalta superfieie verso l ' e s t e r n o , conforme alla cosl detta legge di Newton. :Le temperature, al centre della sfera e in superficie~
sono misurate per mezzo di coppie termoelettriche. L a tempe- r a t u r a ~ espvessa da una serie di funzioni esponenziali, con esponente negative funzlone llneare del tempo t, e si suppone che, dope un certo tempo t~ tutti i termini siano trascurabili in confronto al primo. I calcoli occorrenti~ anche con tale sem- plificazione, sono per5 assai laboriosi.
I1 metodo di N e u m a n n pus essere considerate come il primo, in ordine cronologico, chc p e r m e t t a la misura dei coef- ficienti di conduttivit~ t e r m i c a mediante il raffreddamento di sfere, e a d esso si collegano i lavori di pareeehi degli a u t o r i .che sono in seguito citati.
W . E A y r t o n e J. Perry3), nel 1878~ fanno use del me- todo di Neumann, facendo per5 a v v e n i r e il raffreddamento della sfera in acqua corrente m a n t e n u t a a t e m p e r a t u r a costant%
e sostituendo alia legge di Newton u n ' a l t r a legge di raffred-
~ Phil. Mug., (4), XI.III, pug. 392-396. Prec. Roy. Soc. XX (1871)
~pag. 90 93.
~) Annales de Chimie et Phys. (3), LXVI, pug. 183.
") Philos. Mug., (5), V, 1878; pug. 241-269. Be,bl~itter der Ann. der
~Physilc, 1879 ;pag. 416.
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damento. I1 ealeolo riesee analogo a quello di N e u m a n n ; la t e m p e r a t u r a b supposta rappresentabile col primo t e r m i n e dell(r sviluppo in serie, ed g del tipo
*'V ~ N . ( ~ ~ t
ove m 6 funzione della distanza r dal eentro e di K , e N 6 funzione di u n a quantit~ ~ t h e deve verifieare l ' e q u a z i o n e
K tg
eve E rappresenta il potere r a d i a n t e della superficie.
Dal metodo di N e u m a n n si seosta invece quello usato da K e n j i r o Y a m a g a w a t) nel 1888. Questi amlnette che una sfera di materiale che non sia molto conduttivo, immersa in aequa, ne assuma in superficie la stessa t e m p e r a t u r a dopo un b r e v e tempo. L a sfera, dopo immersa in un bagno a t e m p e r a t u r a costante per un certo tempo, viene r a p i d a m e n t e tolta e im- mersa in altro bagno, con ultra t e m p e r a t u r a , m a n t e n u t a p u r e costante, e per uno stesso intervallo di tempo; poi di n u o v o nel primo bagno e cosl di seguito. Dopo un certo n m n e r o di eieli Ia t e m p e r a t u r a di ogni punto, n e l l ' i n t e r n o della sfera, sark soggetta ad un'oseillazione stazionaria attorno ad un va- lore medio. L a d e t e r m i n a z i o n e della eonduttivit~ termica della~
sostanza pub essere fatta osservando la variazione d[ tem- p e r a t u r a in un tale punto, che pub essere, per semplieit'~, il centro.
U n a coppia ferro-niehel 6 usata per misurare la tempe- r a t u r a al centro: i fili sono dispostl entro un tubo di 4,2 ram.
di dlametro e colle estremitb~ sono immersi in una goceia di mereurio posta nel centro della sfera. I1 metodo di K. u g a w a 6 quindi una diretta ~pplieazione alla sfera, del metodo
usato gig da ~_ngstrSm nel 1861 nel easo di aste. Non mi eonsta ehe tale metodo sia poi stato usato da altri sperimen- tatori.
~) Journal of the Ac. of the Ira1). Univ. Japan, II, p. -063 (1888).
I1 metodo di N e u m a n n venne usato da R. W e b e r ~) in alcune serie di esperienze su minerali poco conduttivi, e in particolare su aleune roece tolte dal traforo del S. Gottardo.
In uno studio pifi recente~ fatto pure usando il metodo di Neu- man% H. H e c h t ~) dice che le misure di R. W e b e r non pos- sono a v e r e alcun c a r a t t e r e di precisione, perch~ nelle esperienze non v e n n e r o evitate parecchie cause di errore, e prima t r a esse la p e r t u r b a z i o n e prodotta dai moti convettivi dell'aria amblente. Pereib H. H e c h t ritiene nccessario, perch~ si verifiehi la legge di Newton, che il r a ~ e d d a m e n t o della sfert~ avve~,ga in ambiente vuoto dl a r i a : e cosl fa nelle sue accurate espe- rienze, usando un apparecchio appositamente costruito.
Nell' ultimo lavoro citato di R. ~Veber si sostituisee, alla ipotesi del libero irraggiamento nell'aria circostante, la con- dizione limite che la t e m p e r a t u r a superficiale sia costante ed eguale a quella d e l l ' a c q u a con cui la sfera ~ i r r o r a t a mediante getto continuo. Lo stesso procedimento era gi'~ stato applicato dallo Stadler 3) ri4ueendo perb i materiali a forma di cubi.
L'artificio di calcolo che viene usato ~ perb sempre quello di N e u m a u n , di limitare la serie, chc rappresenta la tempe- r a t u r a , al solo primo termine. Affinchh p o i l a quantith che si trascura sia piecolissima si misura la t e m p e r a t u r ~ in un punto lontano dal centro, per escmpio a distanza R o ~ R se si t r a t t a 3
1 3
di sfere, 2 o ~ 1 se si t r a t t a di eubi di spigolo 1.
H. Heeht, dopo a v e r e studiato, nel modo dett% il materialc stesso di Neumann, fa pure uso della semplificazione proposta da Stadler e Weber~ e dopo esposti i risultati della sue espe- rienze cosl conclude: (( W a s d u t c h die kttrze tier Zeit, in wel-
i) Vierteljahrss~hrlft der Nat~rf. gesell, in Zitrich, 1878-79; pag. 209.
Bulletin de la Soci4td des Sciences ,u de Neuch~tel, 1878-79, XI[, pa- gina 394; ibid. pug. 687; 189~-95, XX[II, pug. 17.
") F E. Neumanns Methode zur Bestimmung der V~trmeleitungsfii- higkeit schlecht leitender KSrper in Kegel und W~'irfelforln und ihre durch fiihrung an Marmor, ecc. ),. Dissertation; Koenigsberg, 1 9 0 4 . - Ann. der Physik, 1904.
8) Inaug. dissert., Bern, 1889. BeibF~ieter, XIV, pug. 170.
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cher eine B e o b a c h t u n g nach Stadler vor sich ging, gewonnen wurde, das biisste die 1Kethode d u t c h die b e d e a t e n d grSssere der Unslcherheit der l~esultate vSllig wieder ein ~>.
5 . - - L a ragione di questa conc|usione va ricercata nel fatto che I-I. t-Ieeht ritiene che il raffreddamento d ' u n corpo anche se immerso nell'aequa, segua una legge che si approssima a qaella di Newton e non si possa quindi ritenere la tempe- r a t u r a superfieiale eguale a quella dell'aequa stessa~ ipotesi che 6 inveee supposta nei metod[ di P6clet, Berget~ Kirehhoff e H a n s e m a n n , F. A. Schultze, A. F. W e b e r , L o r d K e l v i n e M u r r a y , Voigt, ecc. Gis il Grtineisen nel 1900 e il Sehau- felberger nel 1902, avevano fatte apposite esperienze per m i s u r a r e il salto di t e m p e r a t u r a fi'a la superficie del corpo e l ' a c q u a , salto dovuto allo strato d'aequa, ehe, malgrado l'a- gitazione che si pub provocare, resta p u r sempre aderente alla superficie. H e e h t conferma le osservazioni di questi au- tori.
P e r b le differenze, piccole r e l a t i v a m e n t e alla diversltg di risu|tati ottenuti sinora helle misure dei coefficienti di con- duttivitk, che H e e h t ottenne usando il metodo originale di N e u m a n n ed il metodo semplifieato ') fanno ritenere che la eonclusione di H e e h t sopra riferita sin alquanto esagerata.
Io penso, ad ognl modo, ehe l'ipotesl di a v e r e in super- ficie la t e m p e r a t u r a stessa d e l i ' a m b i e n t e pub essere verificata con g r a n d e approssimazione, usando ]e a v v e r t e n z e segaenti:
1). L a t e m p e r a t u r a iniziale V o della sfera sia superiore a quella del mezzo in cui deve a v v e n i r e il raffreddamento, solo di una decf~a di g r a d i ; il che 6 sufflciente, specialmente se la sfera ha un raggio di quatche centimetro ed 6 di sostanza poeo c o n d u t t i v a ; generalmente invece si 6 usato stabilire una differenza da 600 a 900 C.
~) Pel marmo: a ~ ~0.0085 (Met. Neumann).
a ~ __--0.0103 (Met. Stadler.
Pcl vetro: a 'a~0.0050 (Met. Neumann . a "~ ~ 0.0055 (Met. Stadler).
2). Se dope fatte esperienze preventiv% si trova che il salto di t e m p e r a t u r a ~ a n c o r a sensibile, si pub tentare di far use come mezzo raffreddante, di un liquido maggiormente con- duttivo dell'aequa, come sarebbe il mereurio. Cib non produce ineonvenienti se la sfera non ~ sostanza che possa venire al- terata. In ogni case il bagno deve essere tenuto agitate, po- tendo servire a tale scope la sfera stessa, o meglio angora facendo r u o t a r e il recipiente che lo eontiene attorno ad un asse verticale.
6. - - L a difficoltS~ di misurure la t e m p e r a t u r a nell'interno di un eorpo solido 6 generalmente superata e011'uso di pinze t e r m o e l e t t r i c h e ; cosi ~ state fatto nei metodi era rieordati. L a necessit5 di isolare i fill tra lore e dal materiale con cui sono a contatto ha obbligato sinora a rinehiudcrli entre un fine tube di vetro. Oggidi tale preeauzione h superflua, poieh6 si hanno gis in commereio dei fill sottilissimi ricoperti di smalto e ehe possono quindi essere utilmente usati in queste esperienz%
senza t h e oceorra altro rivestimento. I1 fore destinato .~ con- tenerli pub anehe essere ridotto a minore diametro di quanto sia state sinora fatto. Anche con tall precauzioni la perturba- zione prodotta dal fore e dai fili dev'essere notevole in pros- simit~ della superfieie e minima al centre. D e v e essere pre- feribile quindi il metodo ehe abbiamo dedotto dalla formzla (1), a quello, in tutto analogo, che d e r i v e r e b b e dalla (2), polch~
con quest'ultimo oeeorrerebbe d e t e r m i n a r e il gradiente ~ e quindi m i s u r a r e t e m p e r a t u r e assai prossime alia superfieie.
Inconveniente questo ehe si presenta in quasi tutte le esperienze degli autori citati.
7 . - Concludendo, il metodo era esposto per ]a mlsura dei coefilcienti K, presenta sugli analoghi il vantaggio di una maggiore semplieiti~ nelle misure e nei caleoli. In questi, 2 e r la p r i m a ~'olla, credo, si f a use di formole ~'igorose, invec~
che di serie limitate al solo primo termine. L ' u s o di tavole delle s ellittiche rende assai agevole il caleolo.
:Notevoli sopratutto sono le relazioni espresse dalle for- mole (9) e (10)~ enunciate anche in mode esplieito nel n. 3.
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L e diffieolts sperimentali che si incontrano nella misura delle t e m p e r a t u r e interne e nel p r o d u r r e il raffreddamento in modo conforme alle ipotesi enunciate nel n. 2 , sono pure dif- ficolt~ comuni ai metodi analoghi, e possono essere faeilmente superate tenendo presenti le a v v e r t e n z e dei n. 5 e 6.
I confi'onti fatti nel n. 4 7 se non autorizzano a chiamare
n z t o v o il metodo ora proposto, perch6 l'idea di esso 6 chiara-
mente posta sopratutto nei metodi dedotti da quello di Neu- mann da A y r t o n e P e r r y e da Stadler e W e b e r , t u t t a v i a mostrano che esso 6 n u o v o per la t r a t t a z i o n e analit~ca del problema e per la maggiore semplieit'~ che deriva nello spe- r i m e n t a r e .
Tengo infine a dichiarare ehe l'ispirazione di questo, e di preeedenti miei lavori, g dovuta alle lezioni professate dal Chiar. Prof. C. Somigliana nell'Universit~ di Torino.
R. Politeenico di Torino, gennaio 1914.
