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I principi fondamentali per la costruzione delle funi metalliche sono: l uguaglianza dell inclinazione di avvolgimento ad elica dei fili; assenza di

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(1)

Funi Le funi possono essere vegetali e metalliche. Le prime si fabbricano con fibre vegetali

quali canapa, cotone e manilla ; le seconde sono fabbricate con fili di acciaio dolce. Per tutelare le funi vegetali contro l’umidità atmosferica, si spalmano con olio

di lino o si incatramano, anche se con quest’ul?mo intevento tecnico si ha un

aumento del 12 % del peso e se ne riduce la resistenza, in egual misura.

Le funi vegetali sono realizzate di 3 trefoli ( trefolo, complesso formato da più fili vegetali avvol? ad elica aGorno a un asse); per grandi diametri, si possono realizzare in 4 trefoli, o in 3 cordoni, ciascuno dei quali risulta di 3 trefoli, che si definiscono gherlini, ( gherlino, cavo tor?ccio di canapa, simile alla gomena, ma meno grosso, u?lizzato per il tonneggio, il rimorchio e per l’ormeggio d’ancoroGo: tuGe manovre e procedure per la movimentazione delle navi, in ambito portuale). Come sezione resistente, si considerano i 3/4 della sezione del circolo circosriGo, per le funi

formate da 3 trefoli, ed i 9/16 per i gherlini.

Anche se non si può considerare l’individuazione di un carico di sicurezza vero e proprio, le funi di canapa si proporzionano, fissando il carico di trazione, in kg , uguale al quadrato del diametro espresso in mm. Ciò, corrisponde ad un carico di

sicurezza di 1,7 kg/mm2 rela?vo alla sezione come sopra definita.

La resistenza unitaria delle funi vegetali decresce con il crescere del diametro, non potendo assicurare, per difficoltà, nelle grandi funi, una razionale ripar?zione dello

sforzo.

Le funi metalliche sono fabbricate con fili di acciaio al crogiuolo (acciaio di qualità,

oGenuto per fusione al crogiuolo), acciaio lucido o zincato.

Quelle di acciaio lucido servono per le trasmissioni e vengono spalma? con grasso denso neutro, per diminuire la perdita di lavoro (energia) provocato dai moviman?

rela?vi dei fili, nelle con?nue alternazioni di incurvamen? e di raddrizzamen?.

La zincatura ha lo scopo di proteggere il filo dalla ruggine e gli conferisce anche una

leggera ricoGura rela?va all’acciaio di cui è cos?tuito.

La stagnatura, effeGuata per i cavi ad al?ssima resistenza, protegge i fili, e si adopera in quanto la temperatura necessaria all’operazione (in luogo della zincatura) è meno elevata, così, le caraGeris?che, specialmente meccaniche, dell’acciaio non subiscono alterazioni. La resistenza alla roGura per trazione dei fili di acciaio è eleva?ssima. Da 130 Kg/mm2, per i fili di grosso diametro, sale ad oltre 200 Kg/mm2 per i fili di pochi decimi di mm. Un cavo deve presentare una resistenza uguale a 9/10 , almeno, della somma delle

resistenze dei fili che lo cos?tuiscono.

(2)

I principi fondamentali per la costruzione delle funi metalliche sono: l’uguaglianza dell’inclinazione di avvolgimento ad elica dei fili; assenza di torsione,

nell’avvolgimento degli stessi, aGorno ad un medesimo asse. Il primo principio ha lo scopo di assicurare una uguale ripar?zione dello sforzo applicato al cavo, su tu] i fili.

Infa], l’allungamento dei fili cos?tuen? un cavo semplice, è proporzionale al quadrato del coseno dell’angolo di inclinazione e lo sforzo deve gravare in egual misura sui fili; inoltre, se nel nucleo del cavo ci fossero fili diri] ( non avvol? ad elica), sarebbero soGopos? a maggiore sforzo; per cui si dovrebbero realizzare con acciaio più dolce. La condizione dell’uguaglianza dell’inclinazione costante degli stra?

esclude che il passo sia costante; i fili esterni hanno passo maggiore e non si possono alloggiare nelle scannellature dello strato interno ed immediatamente soGostante, ma devono varcarle come pon?celli, ciò che assicura la struGura liscia ed uniforme

agli stra? successivi.

Il secondo principio ha lo scopo di assicurare che il cavo non si disfaccia, per reazione. Infa], la torsione del filo provocherebbe una reazione elas?ca, capace,

appunto, di far ruotare il capo libero del cavo, nel senso di svolgerlo.

I cavi possono essere a semplice, a doppio, a triplo avvolgimento.

Il primo è cosituito da fili avvol? ad elica intorno al medesimo asse, cos?tuen?, così,

un solo trefolo: la fune viene deGa spiroidale.

I cavi piani (avvolgimento doppio) si oGengono dall’avvolgimento di più trefoli, oGenu? con fili avvol? nello stesso senso o in senso contrario, tra di loro:

avvolgimen? equiversi, de] paralleli, o crocia?,rispe]vamente. I cavi crocia? danno luogo a logoramen? più gravi, perchè i fili si incontrano soGo un angolo più grande.

L’avvolgimento parallelo ovvia ai succita? logoramen? ed è idoneo per cavi manovra? con successivi piegamen? e raddrizzamen?; è però, meno stabile alla conservazione della struGura, tanto da non poter essere adoGato come fune per montacarichi, se il carico è non guidato, mentre è preferibile nei casi di carico

guidato (ascensori), essendone, in tal caso, impedito lo svolgimento.

I cavi crocia? vengono designa? anche con il nome di an?girevoli.

L’inclinazione dell’avvolgimento ha uno streGo rapporto con le proprietà del cavo e varia da 10° a 21°; quella di 17° viene considerata normale, anche se, in effe], ne

venga adoGata una inferiore.

Il senso di avvolgimento, comunemente, adoGato, per i cavi piani crocia?, è quello

sinistro, per i fili, e destro per i trefoli.

I cavi tor?cci sono oGenu? da un triplice avvolgimento di fili, di trefoli, di cavi piani e presentano il più alto grado di flessibilità, impiega? per tonneggio, ormeggio e

rimorchio. Un cavo si indica:

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1) con lo sviluppo della circonferenza circoscriGa, espressa in cm, che si dice numero del cavo, e si misura, dopo averlo messo in tensione con uno sforzo uguale ad 1/10 circa del carico di collaudo. La misura si effeGua: con un calibro a corsoio e nonio, applicato esaGamente in un piano trasversale, e streGo contro la fune, mentre lo si fa girare intorno ad essa; avvolgendo intorno alla fune, almeno 10 volte, un filo di rame, so]le e ben flessibile, e misurandone, in seguito, la lunghezza, per dedurre lo

sviluppo della circonferenza;

2) dando il diametro dei fili di cui è cos?tuito, il numero di essi e la loro formazione

che si fonda sui seguen? criteri.

Un cavo semplice oppure il trefolo di un cavo piano o tor?ccio, è cos?tuito di uno o

più stra? concentrici di fili, ciascunu dei quali (stra?) ha 6 fili più di quello interno, e tu] sono avvol? intorno ad un nucleo centrale che cos?tuisce l’anima.

Si usano formazioni di uno dei 3 ?pi seguen?:

1) sopra 6 fili, cos?tuen? un primo strato, avvolto intorno ad un filo centrale, che può anche mancare, e, se c’è, deve essere di ferro ricoGo; si hanno in questo primo

?po, trefoli ad 1 strato con 6 fili, oppure 2 stra? con 6 + 12 = 18 fili od, infine, 3 stra?

con 6 +12+18 = 36 fili, ecc.

Fra il diametro del trefolo e quello ∂ del filo esistono le seguen? relazioni : 2) sopra 4 fili, cos?tuen?, nominalmente, il nucleo del trefolo,ma sos?tui?, di faGo,

da 6 fili di diametro ∂1= 0,82 δ minore del diametro ∂ di tu] gli altri.

Ques? trefoli hanno uno strato centrale cos?tuito da 6 fili so]li, equivalen? a 4

normali. Lo strato successivo avrà 4+6= 10 fili normali e così via.

Si possono avere, in questo 2° ?po, trefoli a 2 stra? con 4+10 = 14 fili, oppure trefoli a 3 stra? con 4+10+16 = 30 fili, ecc. Ques? numeri sono nominali, ed ,in effe], si hanno 16 , 32 , 54 fili, rispe]vamente; ma i 6 fili di nocciolo sono più piccoli, ed

equivalgono, approssimavente, , anche per l’area, a 4 di grossazza normale;

3) sopre 3 fili, cos?tuen? nominalmente, il nucleo del trefolo ma sos?tui?, di faGo, da 6 fili più piccoli, il cui diametro dev’essere ∂2 = 0,71 ∂.

Si possono avere in questo 3° ?po : trefoli a 2 stra? con 3 + 9 = 12 fili ; trefoli a tre stra? con 3 + 9 + 15 = 27 fili : trefoli a 4 stra? con 3 + 9 +15 + 21 = 48 fili,

nominalmente, ma, di faGo, sono 15 , 30 , 51 ,dei quali 6 più so]li, equivalen? a 3.

La formazione sopra 6 fili che permeGe l’uso di fili tu] dello stesso diametro , è considerata però come la normale e la più sicura.

Formazioni flessibili Sono formazioni flessibili quelle in cui l’anima di canapa sos?tuisce uno o più stra?.

Cresce con l’importanza dell’anima di canapa catramata, contenuta entro gli stra?

metallici.

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In pra?ca, non si fanno cavi flessibili semplici, ma si ricorre all’avvolgimento doppio ( cavi piani ) e, per aumentare la flessibilità a quello triplo ( cavo tor?ccio ).

I cavi piani si fabbricano, di regola, con 6 od anche con 8 e 9 trefoli, avvol? intorno

ad un’anima di canapa catramata.

I cavi tor?cci vengono realizza? con cavi piani forma? di 6 trefoli.

Il peso, in Kg per m, di un cavo si calcola, mediamente, con la formula p = 0,0093 F, ove F è la sezione resistente metallica in mm2 , che si assume, convenzionalmente,

uguale alla somma delle sezioni reGe dei fili.

In pra?ca, si può ritenere il peso espresso in Kg per m, rappresentato dal centesimo

del numero che ne dà la sezione in mm2. Infa], il volume di acciaio contenuto in uno spezzone di cavo lungo 1 m è dato, in

dm3, da 10· F/1002 = 0,001·F, naturalmente, se la lunghezza dei fili sia uguale a quella

dello spezzone; in effe], la lunghezza dei fili è maggiore, nel rapporto 1/cosα

ove α è l’inclinazione di avvolgimento.

Considerato che il peso specifico dell’acciaio è pari a 7,8 Kg/dm3, mol?plicato per 1/

cos α ed incrementato del peso della canapa catramata, il peso raggiunge circa 10, si

deduce la suddeGa regola.

Si hanno formazioni speciali di cavi, per par?colari esigenze, come i cavi lisci o chiusi che cosituiscono le rotaie di guida dei carrelli, negli impian? teleferici (funi portan?), grazie alla loro compaGezza e la regolarità della superficie esterna.

In Italia, tali cavi venivano o vengono costrui? ancora dalla DiGa Radaelli.

Per le teleferiche con servizio di viaggiatori, si impiegano i cavi chiusi, oppure le funi

con elevato numero di trefoli, dispos? in 2 stra? concentrici: l’uno di 6, l’altro di 12.

La stabilità dell’avvolgimento del cavo in funzione della sua formazione.

Lo scioglimento del cavo tende ad iniziarsi al capo libero che consiste in una testa fusa, oppure in un traGo solidalmente legato con fili di rame; tale capo si può

considerare come un sistema rigido, soggeGo alle azioni che gli trameGono i singoli

fili. Tali azioni, se i fili fossero avvol? con torsioni, sarebbero momen? Mt (veGori) dire] secondo le tangen? finali degli assi fili, inclina?, rispeGo all’asse del cavo, dell’angolo α d’inclinazione di avvolgimento.

Mt si può scomporre nelle componen?:

Mt sen α nel piano trasversale;

Mt cos α parallela all’asse del cavo.

Le prime si equilibrano tra di loro, mentre le seconde si sommano dando un unico momento di rotazione interno all’asse del cavo e cioè: M = z Mt cos α , essendo z il

numero dei fili, ed applicato al capo libero, capace di produrre la rotazione del cavo.

Sos?tuendo ad Mt il suo valore, deGo θ l’angolo di torsione per unità di lunghezza, si

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ha : M = z· ( π/32 · G ∂4 · θ ) · cos α , ove G è il modulo di elas?cità trasversale del

materiale cos?tuente i fili.

Invece, avvolgendo i fili senza torsione, la reazione elas?ca al capo libero consiste in un momento fleGente M rappresentante la coppia di flessione che giace nel piano

osculatore all’asse filo, ossia nel piano che con?ene la tangente all’elica e il raggio del cilindro di avvolgimento. Il momento M (veGore) è normale a tale piano e tangente al cilindro che con?ene l’asse filo, e normale a questo; questo è inclinato, sull’asse,

dell’angolo π/2 – α . M si scompone nelle componen? M cos α nel piano trasversale, e M sen α parallelo

all’asse del cavo. Le prime si equilibrano, tra di loro, le seconde si sommano in un

unico momento, anch’esso di rotazione, intorno all’asse del cavo: M’ = z M senα, di grandezza non rilevante, per valori di α piccoli, come in realtà si adoGano.

Quanto sopra esprime che la componente efficace nel caso

dellatorsioneequilibratamentre l’altra componente è a]va.

Il raggio di curvatura di un’elica cilindrica di inclinazione α rispeGo all’asse del

cilindro di raggio r, è : ρ = r/sen2 α; dalla teoria della flessione si ha:

1/ρ = 64 M/E, essendo E il modulo di elas?cità normale. M’ =(π/64 E ∂4 sen3 α /r ) · z. Questo momento che tende allo svolgimento del cavo, non risulta in grado a scomporre la fune,in quanto una parte della deformazione subita dai fili, nella formazione del cavo, rimane in essi allo stato permanente, potenziale. La rotazione parziale di un breve traGo del cavo libero, nel senso di svolgerlo, basta a

neutralizzare il momento stesso. Nei cavi piani con avvolgimento crociato, ogni azione di questo genere viene neutralizzata. Lo stesso dicasi per i cavi semplici, avvolgendo i fili con una leggera torsione di verso opposto alle eliche, tale da compensare il momento M’ generato dalla flessione.

Determinazione del modulo di elas?cità a trazione delle funi metalliche.

Si dimostra che il modulo di elas?cità lineare E del cavo è sensibilmente inferiore a

quello E0 dei fili che lo cos?tuiscono : E = E0 cos3 α.

Inoltre, deGo β l’obliquità di avvolgimento dei trefoli ed E’ il modulo di elas?cità del cavo piano, si ha : E’ = E cos3 β = E0 cos3α · cos3 β ; in un cavo tor?ccio, se γ è

l’obliquità del 3° avvolgimento, il modulo di ela?cità è : E” = E’ cos3 γ = E0 cos3 β · cos 3 γ · cos3 α. Nella leGeratura tecnica, sono disponibili due tabelle, l’una rela?va ai

cavi semplici per i valori di E/E0 , l’altra rela?va ai cavi piani per i valori di E’/E0.

L’autocerchiaura L’avvolgimento elicoidale dei fili e la tensione a cui sono soGopos? provocano una

pressione interna della compagine della fune. Il filo soggeGo alla trazione t preme sui fili adiacen? dello stesso strato o soGostan?, a seconda ove avvenga il contaGo

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serrato con una forza normale, per unità di lunghezza: n = t · sen2α /r, ove α è l’inclinazione di avvolgimento del filo rispeGo all’asse del cilindro ed r è il raggio dello

stesso.

Se Z è il numero dei fili dello strato ed N è la forza con cui i fili adiacen? o soGostan?

succita? equilibrano la n, si dimostra che l’azione di autocerchiatura della fune è data da : Z N= Z t tang2α /∂ , ove ∂ è il diametro della sezione reGa di un filo,

quando lo sforzo cui la stessa sia soGoposta sia definito dalla trazione totale : T = Z t · cos α.

Si evidenzia che la sezione normale di un trefolo taglia i fili obliquamente, secondo ellissi di asse maggiore ∂/cos α disteso sulla circonferenza luogo dei centri dei fili di un medesimo strato ; si può allora scrivere 2 π r = z ∂ /cos α.

Per un cavo semplice, cos?tuito cioè da un solo trefolo, ovvero per un cavo piano,

cioè cos?tuito di più trefoli, gli stra? sono cos?tui? ciascuno da 6 fili più di quello, immediatamente, interno, per cui si può scrivere : 2π∂ = 6 ∂/cos α, a condizione che

il contaGo tra filo e filo sussista come per lo strato interno. Da ciò si ricava che cos α = 6/2π e cioè α = 17°, angolo di inclinazione dell’avvolgimento dei fili aGorno

al cilindro di raggio r ; deGo angolo è definito “normale”.

Con un’inclinazione maggiore di 17°, il contaGo periferico è più serrato di quello

radiale.

Si dimostra che anche nel caso di tramissione radiale della pressione, come nei casi

intermedi, la somma delle pressioni interne, per unità di lunghezza è uguale a quella sopra riportata.

In par?colare, nella tramissione radiale, i fili non si premono per tuGa la lunghezza, ma soltanto nei pun? di incrocio con quelli dello strato interno, con la frequenza di 6

fili per ogni spira.

Quando la trasmissione periferica intervenga tra i trefoli, insorge una pressione H

tra gli stessi, calcolabile con la formula H = T tang2 β /d , ove d è il diametro che inviluppa lo strato esterno del trefolo. Ma la pressione si localizza nei fili che

prendono contaGo tra di loro e che si incrociano con angoli diversi, a seconda che

l’avvolgimento del cavo sia parallelo o crociato.

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Alcune definizioni.

Piano osculatore di una curva in un punto: è quello che con?ene la tangente e la

normale principale alla curva, nel punto considerato.

La normale principale ad una curva in un punto suo P è quella appartenente al piano

osculatore in P e perpendicolare alla tangente alla curva in P.

Le sezioni principali di curvatura di una superficie in un suo punto P sono due, perpendicolari tra di loro, in cui i raggi di curvatura sono massimo, in una, e minimo

nell’ altra, che sono de] raggi principali di curvatura, (curvature principali).

Tangente principale ad una superficie in un suo punto P è quella appartenente ad

una delle due sezioni principali della superficie in P.

Si evidenzia che, data una superficie, presi un punto P della stessa ed un arco

piccolissimo passante per P, il limite cui tendono gli estremi dell’arco, si iden?fica con

l’arco di un opportuno circolo deGo circolo osculatore della curva in P, in cui il raggio ed il centro sono de], rispe]vamente, raggio e centro di curvatura.

La curvatura di una superficie, in un suo punto, è il limite a cui tende la curvatura media aritme?ca delle facce di un suo arco, ϒ = 1/2 ·( 1/R + 1/R’ ), quando gli estremi

dell’arco si avvicinino indefinitamente al punto considerato.

In un intorno infinitamente piccolo di un punto,l’arco si iden?fica con un arco di un opporuno circolo deGo circolo osculatore di curvatura della curva della superficie,

nel punto considerato.

Si dimostra che in un cavo,per es., piano, il contaGo tra i trefoli, nell’esercizio della

fune, induce, per i fili, nell’incrocio, angoli diversi, secondochè il loro avvolgimento sia crociato o parallelo. Si dimostra che l’avvolgimento parallelo delle funi soggeGe a

con?nue alternazioni di piegamen? e raddrizzamen? è da preferirsi in quanto gli sliGamen? interni producono logoramen? meno accentua? dei fili, rispeGo agli

avvolgimen? crocia? per i quali si hanno grandi valori di ψc. Nel caso di una fune con 6 trefoli ed angoli di avvolgimento α = β = 17° , si ha :

π/6 = 30°, ε = 8° 25’ , ψc = 50° 50’ , ψp = - 17° 10’ ( nega?vo perchè α ˃ ε ).

2ε è l’angolo al centro di curvatura che soGende l’arco di elica ortogonale agli assi fili, avente inclinazione π/2 –α e raggio di curvatura r/cos 2α ; arco occupato da un filo;

ψc = 2 ( ε + α ) è l’angolo dei trefoli nell’incrocio, nell’avvolgimento crociato;

ψp = 2 ( ε – α ) è l’angolo dei trefoli nell’incrocio, nell’avvolgimento parallelo.

Dalla fig.10 del testo di Meccanica Applicata alle Macchine del prof.Modesto Pane]

si ha l’esempio di un cavo metallico con n.6 trefoli ad avvolgimento crociato ( destro

per i fili, sinistro per i trefoli).

Dal triangolo k1(M)M ( o dal suo simmetrico k2(M)M), si ricava il valore dell’angolo ε

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[ formato dalle generatrici (τA) e (τB) ] dei due cilindri obliqui A e B presi in esame, applicando il Teorema dei Seni in trigonometria, che stalilisce la costanza del

rapporto tra la misura di ciascun lato ed il seno del corrispondente angolo opposto.

Nel suddeGo triangolo, gli angoli sono: ε (lato opposto k1M) ; (π-π/n) [ lato opposto k1(M) ] ; (π/2-β) [ lato opposto M(M) ]. Considerando che Mk1 = (M) · sen β , si ha : sen ε = sen π/n · senβ, ove n = 6 e β = 17°; calcolando e sviluppando, si o]ene, per

ε, il valore di 8° 25’.

Si ipo?zza che nel passaggio di un tronco di cavo dalla posizione re]linea a quella torica, i fili che lo cos?tuiscono subiscano dei piccoli spostamen? rela?vi e tendono

a comportarsi come resisten? alla flessione, ciascuno indipendentemente dagli altri.

A de] spostamen? si oppongono gli aGri? interni provoca? dalla pressione di

autocerchiatura del cavo, che si comporta con i caraGeri della flessione semplice dei corpi elas?ci, con uno strato neutro e con dilatazioni unitarie, in direzione

longitudinale, uguali al rapporto fra la distanza y dell’elemento considerato dallo strato neutro e il raggio R. Si dimostra che lo sliGamento rela?vo fra due fili del

medesimo strato cresce con la distanza y dall’asse neutro.

Gli spostamen? sudde] sono contrasta? dall’aGrito, cosicchè solo una parte di essi

può aver luogo, i fili sono soGopos? a flessione, subendo tensioni nella regione degli allungamen? e compressioni nella regione degli accorciamen? ; le sollecitazioni si

sommano algebricamente con la tensione di lavoro della fune t0. Le suddeGe tensioni e compressioni suddeGe vengono indicate con Δt e deGe

tensioni di curvatura.

Dalla teoria della elas?cità si ha che le Δt non possono esistere senza la presenza di tensioni tangenziali V ( distribuite su strisce di larghezza ∂ e lunghezza ∂ ) ; per

l’equilibrio interno dev’essere V/∂ ≤ f N , ( N è riferito all’unità di lunghezza del filo

ed essendo V/∂ l’azione tangenziale per unità di lunghezza).

Si dimostra che V + Δt tang α = costante; in corrispondenza dello strato neutro, Δt=0 e gli sliGamen? che provocano le azioni tangenziali, sono nulli, si ha che è nulla la

costante, per cui V = -Δt tang α.

La flessione indipendente dei fili viene deGa coppia limite di reazione elas?ca ed indicata con la leGera M; essa si deduce dallo studio della variazione di curvatura dei

singoli fili, conseguenza del passaggio della fune alla forma torica.

Tale passaggio induce, per es. , in due pun?, uno di gola A un altro di dorso B, per un filo, una variazione di curvatura che, mediamente e con sufficiente approssimazione, si può sos?tuire con quella subita dall’asse geometrico del cavo mol?plicata per il quadrato del coseno dell’angolo di avvolgimento α dei fili e cioè: Δ ( 1/ρ ) = =cos2α/

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R, ove R è il raggio di curvatura del succitato asse.

A deGa variazione corrisponde, secondo la sta?ca dei sistemi ela?ci, un momento fleGente : m = E0 J · cos 2α / R , ove J è il momento diametrale d’inerzia del singolo filo. Si dimostra che i momen? (mi e me per i due fili passan? per i pun? succita? A e B, diametralmente oppos?, formano, ciascuno, con il piano, AB, della sezione reGa

della fune, un angolo uguale ad α.

Si dimostra, altresì, che, estendendo il ragionamento a tuGe le altre coppie di pun?,

si o]ene l’espressione del momento della reazione elas?ca della fune e cioè : Μfune = 1/R ( E0 cos 3α ) Z J , supposto la fune cos?tuita di Z fili, tu] uguali, o,

almeno, di uguale momento d’inerzia J.

Alla curvatura 1/R corrisponde l’aiuto che l’aGrito dà alla rigidezza elas?ca, per

mezzo della coppia di aGrito.

Si dimostra che alla coppia di reazione elas?ca che infleGe i singoli fili tramite i

momen? m, vi corrisponde la tensione unitaria massima : σ” = ( E0 cos 2α )/2R · ∂, calcolabile con il modulo di elas?cità E0 cos 2α per i cavi

semplici; deGo modulo è intermedio tra E0 del filo e E della fune e, per i casi

semplici, uguale, appunto, ad E0 cos2α.

Nella LeGeratura Tecnica, è stata elaborata una tabella, per i moduli di elas?cità del

filo nei cavi : semplice, piano, tor?ccio e per gli angoli α = β = γ di 12°,15°,18°,21°.

La sollecitazione a flessione dei fili σ” dipende dal rapporto ∂/2R e può essere

rilevante. Per R = 500 ∂, in cavi semplici e con angolo di inclinazione di avvolgimento α = 17° , risulta σ” = 20 kg/mm2 , sollecitazione gravosa per il materiale, in relazione alla frequenza di esercizio, dovuto agli incurvamen? ed ai raddrizzamen?.

L’asse geometrico delle funi portan?, per effeGo della rigidezza, non coincide con la curva funicolare dei carichi. Se i carichi sono tu] ver?cali e quindi la tensione orizzontale H è costante, il momento fleGente è Mf = H η, ove η è l’ordinata

rappresentata dal segmento, parallela alla direzione dei carichi, compresa fra l’asse

della fune e la funicolare. Se 0 è l’origine, di un sistema di assi cartesiani x,y, posta in corrispondenza del punto di applicazione dell’unico carico P nel punto di mezzo di

una tesata orizzontale, si ha : H η = E J · d 2y/d x 2 + T w, ove si è sos?tuita la curvatura 1/R dell’asse della fune con l’espressione approssimata d2y/dx2 della Teoria delle travi inflesse, essendo T w la coppia di aGrito ( prodoGo dello sforzo di

trazione totale T, dovuta all’azione di autocerchiatura della fune, per la lunghezza w deGa raggio di aGrito della fune ).

La fune portante è equivalente, per analogia, ad una trave orizzontale di uguale luce.

La fune ha il peso per unità di lunghezza uguale a q e rivolge, in 0 punto di

applicazione del carico P, la concavità verso l’alto; sulla ver?cale per 0, la funicolere

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presenta un punto angoloso N soGo il punto 0 di un segmento u tale che: H u = M0f momento fleGente soGo il carico P.

Pos? gli assi cartesiani, x tangente nell’origine 0 , y ad essa perpendicolare, deGa β l’inclinazione della funicolare in N, l’ordinata di un suo punto F sull’orizzontale per N

è: x tang β +( q / 2H ) x2 , avendo la funicolare un andamento parabolico.

Considerato un punto A della fune, soGoposto al carico P, si ha, per la condizione di

equilibrio dell’elemento di fune ad esso rela?vo, si ha : P/ 2H = tang β.

Inoltre, l’ordinata corrispondente dell’asse della fune è data da u+y, rispeGo

all’orizzontale per N; pertanto, u+y = x tang β + η e l’asse della fune ha per equazione differenziale EJ d2y/dx2 = η – w = y-x tg β +u-w.

Si dimostra che il momento fleGente soGo il carico concentrato è: M0f = H u =

= coppia di aGrito + P/2 · √ ( EJ/H ) ; come raggio di curvatura soGo il carico si ha : R0 = 2/P · √(HEJ); se risul? maggiore del raggio della ruota trasmitente il carico P , la rigidezza della fune ne limita la curvatura. Infa], 1/R0 è inversamente proporzionale

al reciproco della radice quadrata di EJ.

Il cimento σ”, dovuto alla flessione del cavo semplice con fili di diametro ∂, si

dimostra essere uguale a : √(E0 cos α / HF) , ove F è la sezione resistente metallica in mm2 del cavo, che si assume , convenzionalmente, uguale alla somma delle sezioni

reGe dei fili.

Infa], E = E0 cos3 α · J = F ( ∂/4 )2. Inoltre, il vantaggio creato dalla obliquità di avvolgimento sul cimento σ” viene, in buona parte, neutralizzato dal faGo che,

diminuendo E, cresce la curvatura 1/R0, e quindi la sollecitazione a flessione del filo.

L’argomentazione suddeGa non ha tenuto conto della crescita lineare delle tensioni della porzione di sezione reagente della fune, che crescono linearmente con la

distanza y dall’asse nentro, e che hanno permesso il calcolo della coppia di aGrito

che è indipendente dalla curvatura della fune.

Di conseguenza, nel calcolo di R0 e di σ”, bisogna introdurre un coefficiente corre]vo φ ˂ 1 da aGribuire al carico P, scrivendo R0 = 2/Pφ · √(HEJ) e σ” =

= P φ √(E0 cos α)/HF.

Il suddeGo coefficiente viene determinato proporzionalmente ad H3/P2, ipo?zzando che il comportamento della fune, all’avvicinarsi del carico passi istantaneamente

dalla solidarietà dei fili cui corrisponde il momento d’inerzia J1 = J + ∑( i · y2 ), allo

sliGamento di tu] i fili, coinvolgendo il momento d’inerzia J.

A seguito di misure sperimentali della curvatura di una fune tesa soGo carico, ha

condoGo ad oGenere il valore per φ = 2 /√(HEJ) /P·R0. Si cita la fune portante della funivia di Montecassino, curata dal Prof.DoG. Ferre], cos?tuita da 6+12 trefoli di 7 fili ciascuno , oltre ad un trefolo centrale, per

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complessivi 133 fili, di24/10 di diametro, somman? ad una sezione di 680 mm2, soggeGa ad H = 21900 Kg di trazione, corrisponden? ad una tensione unitaria nominale di 36,5 Kg/mm2. Il raggio di curvatura, misurato soGo la ruota di un

carrello, caricata da P = 87,5 Kg, risultò R0 = 32,3 m.

TraGandosi di un cavo piano per il quale si può assumere E = 0,75 · 21000 = 15750 Kg/mm2,ed essendo, nella ipotesi dei fili indipnden?, J = 216 mm4, si deduce φ = = =

= 0,20. La misura di R0 è sempre incerta, quindi è prudenza apprezzare la fa?ca a

flessione dei fili con la formula σ” = E0 cos2α · P· ∂ / ( 4 · √HEJ ) = √ ( E0cos α /HF).

Cenni sulla fune portante nei traspor? funicolari.

Comprendono una fune portante ed una traente. Nel caso di trasporto di persone, non è consen?to il sistema di agganciamento e sganciamento dei carrelli dalla

traente, per ragioni di sicurezza.

Il sistema funziona come va e vieni, cioè la portante è percorsa, alterna?vamente, dai carrelli. La fune traente allaccia il carrello salente a quello discendente,

invertendo, ad ogni corsa, il senso del suo movimento.

La traente viene installata ad anello chiuso. Fra i carrelli, viene installata una seconda fune di collegamento che li allacci, passando su di una puleggia di rinvio nella

stazione inferiore ( l’impianto motore viene realizzato nella stazione superiore).

A quest’ul?ma fune si dà il nome di fune zavorra. Negli impian? più perfe] di

teleferiche per trasporto di pesone, si intalla un’altra fune con il compito par?colare di assorbire su di sè, le azioni di frenamento e di soccorso, nel caso di guas? alla traente, rispeGo alla quale si può considerare quale duplicato: essa prende il nome di fune-freno. Le funi portan? vengono realizzate con cavi spiroidali o cavi chiusi, aven? scarsa flessibilità. Nell’esercizio, esse subiscono piccole curvature delle loro configurazioni di equilibrio, per cui si fa astrazione dalla loro rigidezza, ritenendo, inoltre, che l’asse geometrico delle stesse coincida con la curva funicolare dei carichi incomben? e del peso proprio. Si considera, a tal proposito, che sussista una

importante analogia, fra il problema della figura di equilibrio della fune portante e quella della sollecitazione a flessione di una trave di uguale luce, soGoposta agli stessi carichi, che si ri?ene equivalente. Nello studio, si fa frequente riferimento alla citata analogia, per determinere e misurare l’ordinata della curva di equilibrio di una

fune portante, a par?re dalla congiungente gli appoggi.

Se la fune è sollecitata solo dal peso proprio q (Kg/m), la sua configurazione di

equilibrio è rappresentata dalla catenaria omogenea di parametro q/2H.

Se, inoltre, la freccia e la differenza di livello fra gli appoggi fossero piccole, rispeGo alla distanza orizzontale l degli appoggi, si potrebbe sos?tuire alla catenaria, la parabola di equazione y = ( q/2H )· x2 , riferita al punto in cui la curva ha tangente

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orizzontale.

Si evidenzia che la differenza di tensione fra due pun? della fune è uguale al peso

che grava su di un traGo di fune lungo quanto la differenza di livello fra i pun? stessi.

In un punto qualsiasi della catenaria di ordinata y, rispeGo al ver?ce individuato dalla reGa orizzontale tangente per esso (punto più basso della curva con y = 0), la

tensione sarà : T = H + q y.

Con riferimento alle considerazioni preceden?, si ha il valore della freccia pari a : f0 = 1/8 ( q l02/H0), in analogia con il problema della trave, essendo H0 · f0 il

momento fleGente nella sezione di mezzo della trave uniformemente caricata.

La suddeGa formula è applicabile anche nel caso di appoggi a livelli diversi, purchè per f0 si intenda la freccia misurata, ver?calmente, a par?re dalla corda che

congiunge gli appoggi della trave.

In tal caso, f0 è la freccia misurata dalla corda, rela?va alla mezzeria della trave

stessa, e § = l0 c /8 f0, l’ascissa di un punto M, individuato dall’intersezione della fune

con la ver?cale abbassata dalla mezzeria della trave . La lunghezza della fune, si calcola con l’espressione s = x · [ 1 + 2/3 (y/x)2 ] , valida

per un arco di linea, tangente nell’origine dell’asse delle x ; esprime la lunghezza dell’arco compreso fra l’origine ed un punto di ordinata y, piccolo rispeGo al

corrispondente valore dell’acissa.

Nel caso degli appoggi a livello, la misura della lunghezza della fune fra gli appoggi stessi è data da : s = l0 [ 1 + 2/3 ( 2 f0/l0)2]; l0 e f0 sono, rispe]vamente, la tesata e la

freccia della fune scarica.

La fune portante deve subire una verifica sta?ca, calcolandola a trazione semplice, per la tensione massima alla quale è soGoposta, e verificandola all’aGacco superiore.

I fili che la cos?tuiscono hanno carichi di roGura 100-200 Kg/mm2; quelli dei cavi

chiusi 95-110 Kg/mm2. I fili rotondi esterni dei cavi spiroidali, di grande diametro, hanno carichi di roGura compresi fra 120 e 150 Kg/mm2. I fili so]li rotondi cos?tuen? il nucleo interno del

cavo toccano i 180-200 Kg/mm2. La resistenza a trazione della fune dev’essere uguale almeno a 9/10 della somma

delle resistenze dei fili, cioè mediamente compresa fra i 150 ed i 170 Kg/mm2. Il rapporto di sicurezza, per le funi portan?, secondo il Regolamento Italiano, è pari a

3,5. Il carico di roGura a trazione della fune dovrà essere almeno 3,5 volte la

tensione massima di esercizio.

Mediamente, il calcolo a trazione si fa per un carico di sicurezza uguale a : ( 0,9 ·160 ) / 3,50 = 40 Kg /mm2. Inoltre, la fune si verifica a flessione:

sugli appoggi, per i quali si adoGa un raggio di curvatura R = 3000 ∂, essendo ∂ il

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diametro dei fili più grossi, con i quali la fune è fabbricata, σ” = (E0 cos2α · ∂)/2R ; la sollecitazione unitaria, per α = 17°, è : σ” = ( 21000 · 0,9/2 ) ·1/3000 = 3,3 Kg /mm2. Ove per mo?vi vari, si dovessero adoGare curvature minori, si rende necessario

diminuire la sollecitazione a trazione di quanto quella a flessione ecceda il limite citato.

SoGo il carrello, si rende necessario effeGuare la verifica a flessione, applicando la formula : σ” = P · φ √ (E0 cos α /HF) , ove per H si deve introdurre la tensione minima, cioè quella a cui è soggeGa la fune portante, nelle tesate inferiori e durante

l’aumento della temperatura, che obbliga la fune a strisciare sugli appoggi scorrendo verso i basso. TraGandosi di funivia per trasporto di persone, si rende necessario dare al carrello un numero di ruote tale che P non superi H/100 (Regolamento

Italiano). Essendo H/F = 40, per φ = 1 (ipotesi largamente prudenziale), si ha : σ” = H/100 ( √20000· 40/H 2) = 9 Kg/mm2. Il suddeGo valore è l’ordine di grandezza del maggiore cimento tollerabile, per

flessione, soGo i carrelli. Esso è assai più grande del valore della flessione sugli appoggi, sui quali lo sfregamento provoca danni non conteggia? nel calcolo

suddeGo, per la σ” = 3,3 Kg/ mm2. Un carrello ?pico è formato da 8 ruote, pesante fino a Kg 3000, e cos?tuito di una

balestra principale H che si scarica su due balestre secondarie A e B, sorreGe,

ciascuna, da due bicicli; allo stesso corrisponde una tensione H uguale a 12,5 volte il peso totale del carrello; essendo il peso proprio della fune, in Kg /m, 1/100 · ( H/40);

per il carrello a metà tesata, si ha : H·f = 1/8· (H/4000)· l2 + 1/4 · ( H/12,5 )· l , essendo f la freccia risultante dalle azioni concomitan? del carico ripar?to, (peso

proprio) e di quello concentrato.

Con i da? sudde], si ha f = 1/50 · l + 1/32000 · l2.

Bibliografia.

Testo universitario di Meccanica Applicata alle macchine-Parte Terza.

Politecnico di Torino, del doG. ing. prof. emerito, luminare delle Scienze Aeronau?che, Modesto PANETTI.

Dicembre, 2020. (Nicole]).

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