Capitolo 11 Dimensionamento del pannello dorsale

Capitolo 11

Dimensionamento del pannello dorsale

11.1 Introduzione

In questo capitolo viene effettuato un dimensionamento a carico ultimo del pannello dorsale, soggetto a compressione.

Finora il cassone è stato grossolanamente rappresentato con un modello a parametri distribuiti, idealizzato con una geometria rettangolare cava; in questo capitolo invece il pannello dorsale viene invece preso nella sua forma reale, cioè costituito da correnti e rivestimento.

Si è deciso di utilizzare i correnti a Z con un rapporto tra lunghezza della flangia e altezza pari a 0,3, poiché per tale geometria sono disponibili i dati sui parametri di instabilità.

Il procedimento seguito comporta due tipi di dimensionamento: dimensionamento a massima efficienza strutturale; dimensionamento a passo costante.

Il dimensionamento di massima efficienza strutturale è effettuato per la sezione al 50%, e consiste nel determinare il minimo peso strutturale del cassone soggetto ad un data sezione; al termine della procedura si ottiene il valore di ottimo del passo tra i correnti. Questo valore del passo viene utilizzato per le altre sezioni, in cui viene invece effettuato un dimensionamento a passo costante. Questo modo di procedere, è dettato da ragioni produttive; infatti l'ala vine di solito realizzata con passo costante tra i correnti, e si variano invece le dimensioni del corrente.

Per questo motivo si preferisce abbandonare il dimensionamento di massima efficienza strutturale per tutta l'ala. Le sezioni in cui viene effettuato il dimensionamento a passo costante, sono quelle al 20%,40%,60%,80% dell'apertura alare. Il programma calcola la larghezza e l'altezza del cassone per le sezioni esaminate, interpolando i valori noti del root e del tip.

Il dimensionamento è effettuato con le seguenti assunzioni:

il rivestimento e i correnti sono soggetti esclusivamente a tensioni normali, derivanti dal momento flettente My locale, distribuito lungo l'apertura alare;

la sezione resistente ha larghezza bW pari alla larghezza del cassone, per la sezione

considerata, e altezza h pari a 0,85 volte lo spessore massimo del profilo nella sezione; il vincolo tra le centine è di semplice appoggio.

Al termine della procedura sarà possibile determinare non solo le principali dimensioni del corrente e del rivestimento dell'unità ripetitiva di ogni sezione, ma anche il nuovo peso del cassone alare.

11.2 Il dimensionamento a minimo peso del pannello dorsale

Per dimensionare il pannello è necessario realizzare una struttura di minimo peso, cioè minimizzare lo spessore a parità di carico, senza che la struttura si instabilizzi. A tal fine si utilizza la teoria di Gerard, secondo cui la condizione di minimo peso si realizza quando tutte le forme di instabilità si verificano contemporaneamente; nella pratica si eguagliano tra di loro le tensioni dovute alle varie forme di instabilità: σ_A=σ_L=σ_E dove: σ_A=N ̄t Tensione di collasso σ_E=π 2 cvincE ηE L/ρ

Tensione di instabilità globale o eureliana

σL=ηLk  E(t

b)

2 _{Tensione di instabilità locale}

Nei seguenti paragrafi si descrive nel dettaglio il significato delle tensioni e dei termini presenti nella tabella 11.1.

11.2.1 Tensione di collasso σA

L'indice di carico N agente sul pannello è definito dalla seguente relazione:

N= M

b_Wh dove: M=Mlimite

in cui:

11.2.2 Tensione di instabilità globale σE

La tensione di instabilità globale rappresenta la tensione di instabilità eureliana del pannello. Il significato dei parametri che compaiono nella relazione, riportati nella tabella 11.1 sono i seguenti:

L è la distanza tra due centine;

cvinc è il coefficiente di vincolo che determina la lunghezza libera di inflessione, che si

suppone cautelativamente unitario; ρ=

√

JCG

A raggio di inerzia della sezione di irrigidimento + lamiera collaborante. E è il modulo di elasticità normale del materiale;

η_E=ES

E è un parametro adimensionale, in cui ES è il modulo secante. M_limite è il momento flettente limite rispetto all'asse y locale;

b_W è la larghezza del cassone per la sezione considerata; h è l'altezza del cassone per la sezione considerata.

11.2.3 Tensione di instabilità locale σL

La tensione di instabilità locale è una forma di instabilità nodale, in cui i vari elementi come le anime e le flange, ruotano attorno ai nodi. Il significato dei simboli presenti nella tabella 11.1 è il seguente:

• ηL=Et/E è un parametro adimensionale, in cui Et è il modulo tangente;

• K è il coefficiente di instabilità locale dipendente dalla geometria e dal vincolo, dato dalla seguente relazione: K=K0(

K K₀)

K0 = 3,62 è il coefficiente di instabilità della piastra semplicemente appoggiata su tutti e 4 i

lati;

Il rapporto tra i coefficienti di instabilità è funzione dalle seguenti grandezze geometriche: K

K0

=f (tS t ,

h

b) in cui il rapporto h/b per i correnti a Z è pari a: h b= A_S/b t ts t (1+ 2 d h )

Nelle formule As rappresenta l'area del corrente, mentre gli altri simboli sono illustrati in figura.

dove:

11.2.4 Risultati della teoria di Gerard

Sostituendo le grandezze descritte nei paragrafi precedenti, nella formula dalla teoria di Gerard si ottiene la seguente relazione:

σ_opt4 =σ2σ_Eσ_L→ σ_opt=α 

√

N  E ̄τ L

α=√πk0.25

√

ρ t

b ̄t è l'efficienza ponderale del pannello irrigidito

̄τ=√ηE ηL=(

E_S E )

√

E_t

E_S è il fattore di plasticizzazione del materiale

̄t=t+AS

b è lo spessore medio generalizzato

Questa teoria considera il materiale in campo elasto-plastico, per questo compare il termine legato alla plasticizzazione del materiale.

Poiché il parametro α dipende solo dalla geometria del pannello, è possibile massimizzarne il valore trovando una geometria per cui il pannello lavora con la massima tensione.

11.3 Il ciclo di dimensionamento di massima efficienza strutturale

Per impostare il dimensionamento del pannello a massima efficienza strutturale, è necessario ricorrere ad un procedimento di calcolo iterativo, che dopo essere arrivato a convergenza fornisca il valore di della tensione di ottimo σopt. La τ è funzione della σ, e quindi il problema non può essere

risolto in forma chiusa.

Oltre al ciclo di convergenza sulla σ è necessario formulare un ciclo di convergenza sull'indice di carico N, perché questo non è fisso, ma dipende dalla larghezza del pannello bW, che dipende a sua

volta dalla geometria del pannello.

Come accennato precedentemente si è scelto di effettuare tale dimensionamento per la sezione al 50% dell'apertura alare.

Lo schema di figura 11.2 riassume il ciclo di dimensionamento utilizzato dal programma. Per rendere più intuitiva la comprensione del ciclo si è preferito evidenziare con due riquadri colorati i due cicli utilizzati:

• nel riquadro verde si racchiude il ciclo sull'indice di carico;

• nel riquadro blu è racchiuso il ciclo di correzione plastica sulla tensione di ottimo, incluso in quello sull'indice di carico;

Il coefficiente di Farrar e i parametri geometrici per i correnti a Z, in condizioni di massima efficienza strutturale, sono ricavabili dal grafico α_max=f ( AS

b  t, t_S

t ) , e sono raggruppati nella tabella. Corrente a Z αmax = 0,95 t_S t =1,05 A_S b  t Tab. 11.2

fine bw 0 =h−2  ZCG N0= M w bw 0 σ_opt0 =α_max

√

N i E L τi=τi(σopt i

) σ_opti+1=α_max

√

N

i E  τi L

_∣

_σ opt i+1 −σopt i

_∣

<tol ̄ti = N i σ_opti ti= ̄t i 1+ AS b t tS=( t_S t )t i b= t i (t b) i= ti

√

σ_opti kiE ηL i Ni+1= M bwi w bw i =hi−ZCG i ZCG ' =1 2h i  AS b  t 1+ AS b t hi =(h b) i bi

∣

Ni+1−Ni

∣

<tol

SI

NO

Fig. 11.2

SI

NO

11.4 Dimensionamento a passo costante

Dopo aver trovato il valore del passo in condizioni di massima efficienza strutturale per la sezione al 50%, con tale valore viene effettuato il dimensionamento a passo costante, per le sezioni al 20%,40%,60%,80% dell'apertura alare. Fissato il passo b, il problema è adesso quello di determinare i parametri ts, t, h, d, in cui si abbia massima efficienza strutturale.

Anche in questo caso viene utilizzato un procedimento iterativo; oltre al ciclo esterno sull'indice di carico, e al ciclo interno sulla tensione, e presente un ulteriore ciclo di αb, per il quale dato il valore

dell'indice di carico, si abbia αdi maggiore efficienza per tali condizioni di carico. Per costruire tale ciclo iterativo si utilizza la seguente procedura:

1) si considera un vettore di valori di tS/t, che dipende dal tipo di irrigidimento adottato. Per i

correnti a Z con d/h=0,3 è consuetudine utilizzare il seguente intervallo di valori: t_S

t =[0,6 :0,05:1,6 ]

2) per ciascuno di questi valori, si esegue un ciclo iterativo di ricerca dei valori di AS

b  t , che forniscono il valore imposto di αb;

3) si esegue il ciclo interno di correzione di plasticità sulla σ, da cui si ricavano i valori di τ ed ηE, mediante i quali è possibile ricavare il nuovo valore di αb;

4) attraverso i valori di α,

A_S b  t ,

t_S

t , t, forniti dal ciclo precedente, e in particolare da ZCG, si calcola in nuovo valore dell'indice di carico, che viene confrontato con quello iniziale. Si descrive ora in dettaglio i vari cicli di cui si compone il dimensionamento a passo costante.

11.4.1 Ciclo interno per il calcolo di AS

b  t Dopo aver definito il vettore di tS

t , si ricava il valore di A_S

b  t corrispondente; tuttavia dalla relazione che definisce αb, si vede che

A_S

b  t dipende dall'efficienza strutturale α. E' quindi necessario calcolare AS

[(tS t ) i ,( AS b  t) 0 ] (h b) i+1 =( AS b  t) i ( t t_S) i  1 1+2 d /h αb i ki+1=F((h b) i+1 ,(tS t ) i ) αi+1=√πK 0,25(i+1)

√

(ρ i+1 ti+1 b  ̄ti+1 ) ρi+1, ti+1, ti+1

( AS b  t) i +1 =(

√

K i+1 αi+1α3 / 2_b −1) ( AS b  t) i +1 =(

√

K i+1 αi+1α3 / 2_b −1) ( AS b  t) i +1 −( AS b t) i <tol

Dalla figura 11.3 si vede che con questo procedimento di calcolo, si ottengono i valori di AS/bt e α

dopo aver assegnato il valore di αb e definito un vettore tS/t.

SI NO

fine

11.4.2 Ciclo interno sulla tensione σ

Il valore di αb dipende dall'indice di carico, che a sua volta dipende dai parametri della plasticità. E'

quindi necessario definire un nuovo ciclo interno sul fattore di correzione plastica, che confronti il valore di αb del ciclo precedente, con il nuovo αb ottenuto da tale ciclo.

Si sceglie quindi la combinazione ( AS b  t,

t_S

t ) a cui corrisponde αdi maggiore efficienza per tale geometria, successivamente si calcola la tensione σ nel ciclo di correzione plastica, da cui si ricavano τ ed η, mediante i quali è possibile calcolare il nuovo valore di αb.

Il tutto è schematizzato nella figura 11.4.

α_b0= b

√

NiL3 E σ0=α 

√

N i E L α_bi = b (N i L3(ηi)2 E ( ̄τi)3 ) 1 /4 αb i −αb i−1 <tol CICLO INTERNO SU A_S/bt A_S/bt t_S/t α Ricerca α → (A_S/bt, t_S/t) CICLO INTERNO CORREZIONE DI PLASTICITA' (τi _{, η}i₎ fine SI NO Fig. 11.4

11.4.3 Ciclo sull'indice di carico N

Viene ora schematizzato il ciclo di dimensionamento sul fattore di carico, che è di fatto il ciclo che racchiude gli altri due precedentemente illustrati.

Tale ciclo è schematizzato in figura 11.5:

Ni+1= M w  b_w N i+1 −Ni<tol N0 CICLO INTERNO SU α_b αi , , (AS/bt)i, (t_S/t)i _{, Z}i CG bi w = hb - 2·ZiCG fine SI NO Fig. 11.5