Dopodich´e, si determina- no i valori dei componenti della parte elettrica del sistema e come il circuito equivalente si modifica in base alla loro configurazione

Capitolo 2

Progetto del dispositivo

Questo capitolo si occupa di determinare delle espressioni per il progetto di un dispositivo MEMS energy scavenger vibrazionale di tipo magnetico, da pro- durre mediante il processo BCD6s della STMicroelectronics. La quantit`a di rilievo per questa tipologia di dispositivi `e ovviamente la potenza d’uscita che si riesce a recuperare. Le azioni intraprese nel capitolo saranno quindi vol- te alla massimizzazione di questa quantit`a. In particolare, viene per prima discussa la struttura del dispositivo ed il principio su cui si basa il suo funzio- namento. In seguito si mostrer`a il circuito elettrico equivalente e come esso viene ricavato. Quindi, si passa all’esame di ogni componente del circuito per individuarne un semplice modello di comportamento. Particolare interesse `e rivolto all’accoppiamento tra parte elettrica e meccanica, perch´e caratteristi- ca fondamentale per la potenza recuperata dal dispositivo. A tale proposito viene fatto un confronto tra varie configurazioni possibili per stabilire quale sia la migliore che verr`a poi analizzata in dettaglio. Dopodich´e, si determina- no i valori dei componenti della parte elettrica del sistema e come il circuito equivalente si modifica in base alla loro configurazione. Infine, verranno fatte semplici considerazioni su come agire per aumentare la potenza d’uscita.

2.1 Struttura e principio di funzionamento

Il dispositivo MEMS che si vuole progettare `e costituito da un sistema com- prendente un magnete, che svolge anche il ruolo di massa inerziale, posto su di una membrana ancorata ad un substrato per mezzo di quattro molle. In particolare, si sfruttano gli strati di dielettrici intermetallici su substrato di silicio del processo BCD6s. Sul substrato, inoltre, giace una spira ottenuta tramite le metallizzazioni del processo stesso. Le vibrazioni fanno s`ı che il magnete permanente oscilli e che quindi il campo concatenato con l’induttore vari. Dalla legge di Faraday si pu`o affermare che la tensione a vuoto V che si

13

2.2. CIRCUITO EQUIVALENTE 14 genera ai capi di una spira `e legata al flusso Φ del campo magnetico B dalla seguente relazione:

V = −dΦ

dt = −d dt

Z Z

S

B · dS (2.1)

doveS `e una qualunque superficie che ha per contorno la spira. In figura 2.1

`

e rappresentato lo schema di principio del dispositivo.

Figura 2.1: Schema di principio dello scavenger.

2.2 Circuito equivalente

L’obiettivo che ci si pone `e quello di trovare un semplice equivalente elettrico del sistema da cui si sia in grado di ricavare delle espressioni per le quantit`a d’interesse. In primo luogo si vuole un’espressione per la potenza d’uscita, quantit`a da massimizzare, ma anche espressioni per la tensione e l’impedenza d’uscita, anch’esse importanti per la funzionalit`a del circuito.

Analizziamo il sistema. Dallo schema di principio si pu`o notare che il dispositivo `e assimilabile ad una massa sismica M sospesa mediante una molla K, uno smorzatore parassita D dovuto principalmente all’attrito con l’aria ed, in prima approssimazione, uno smorzatore D_g indotto dall’induttore (figura 2.2).

Riguardo il calcolo dei valori dei componenti meccanici per la massa si ha semplicemente M = ρV_ol dove ρ `e la densit`a di massa per unit`a di volume e Vol `e il volume. Il calcolo della costante di rigidit`a della molla si rimanda a note espressioni presenti in letteratura che permettono ampi gradi di libert`a nel dimensionamento e buona accuratezza [45]. Invece, per lo smorzatore D i calcoli sono molto difficili e spesso ci si riduce ad una stima a posteriori.

Figura 2.2: Schema meccanico del dispositivo.

La parte meccanica pu`o essere modellizata con un equivalente elettrico as- sumendo o che le velocit`a siano equivalenti alle correnti e le tensioni alle forze o viceversa le velocit`a alle tensioni e le forze alle correnti. La prima equivalenza

`

e quella comunemente usata; con queste assunzioni si pu`o dimostrare che una massa `e equivalente ad un induttore d’induttanza pari ad M , una molla di ri- gidit`a K ad una capacit`a di valore 1/K ed uno smorzatore D ad una resistenza dello stesso valore.

Quindi si sostituisce la massa del package con un’induttanza M_p, la massa inerziale (magnete) con un’induttanza M , la molla con una capacit`a 1/K, lo smorzatore con una resistenza D. La parte elettrica `e costituita dall’induttore, costituito dalle spire, con la sua induttanza L_S e resistenza serie R_S, chiuso su di un carico Z_L pari all’impedenza d’ingresso del circuito che dovr`a im- magazzinare l’energia recuperata. La parte meccanica e quella elettrica sono accoppiate mediante un giratore di coefficiente Ψ che rappresenta la trasduzio- ne. Le equazioni che regolano il comportamento di un giratore, con riferimento alla figura 2.3, sono le seguenti:

 V₁ = −Ψi₂ V₂ = Ψi₁

Figura 2.3: Simbolo elettrico del giratore.

Il circuito rappresentato in figura 2.4 `e ricavato osservando che la velocit`a di vibrazione ˙y(t) del dispositivo `e equivalente ad un generatore di corrente

2.2. CIRCUITO EQUIVALENTE 16 connesso alla serie tra l’induttanza M_p del package ed il parallelo tra l’indut- tanza M e la serie della resistenza D, della capacit`a 1/K e del primario del giratore. Ai capi del secondario del giratore si ha la tensione a vuoto dell’in- duttore. Al giratore va connessa la serie tra la resistenza serie R_S, l’induttanza L_S dell’induttore stesso ed il carico Z_L.

Figura 2.4: Equivalente elettrico del sistema.

Per ricercare le espressioni di cui si necessita si effettua un’analisi nel do- minio della frequenza del circuito assumendo che la sollecitazione ˙y(t) sia di tipo sinusoidale e sostituendo le tensioni e le correnti con i rispettivi fasori e gli elementi circuitali con le rispettive impedenze. Si dimostra facilmente che il coefficiente del giratore deve essere pari a Ψ = −^∂Φ_∂z perch´e, per quanto detto in precedenza (eq.2.1 e 2.2), la tensione a vuoto ai capi della spira deve essere V = −^∂Φ_∂t = −^∂Φ_∂z ^∂z_∂t, dove l’ultimo termine ^∂z_∂t `e semplicemente la corrente che scorre nel primario del giratore. Il circuito da analizzare `e quindi:

Figura 2.5: Equivalente elettrico del sistema nel dominio della frequenza.

dove con ˙Y (jω) e ˙Z(jω) si indica rispettivamente la trasformata di ˙y(t) e di ˙z(t).

Sostituendo l’equivalente di Norton a tutto ci`o che `e a sinistra del primario del giratore si ottiene il circuito di figura 2.6.

dove

Z˙_CC(jω) = ˙Y (jω) jωM

jωM + D + _jω^K, (2.2)

Z_P(jω) = jωM + D + K

jω (2.3)

Figura 2.6: Equivalente di Norton sul primario del giratore.

e

Z_S(jω) = R_S+ jωL_S; (2.4)

con ˙Z_CC(jω) si indica la trasformata della corrente ˙z(t) di cortocircuito.

Si noti come l’impedenza dovuta al package non influisca sul circuito visto che `e in serie ad un generatore di corrente ideale, ci`o senza impedenza interna in parallelo. Questo vuol dire che si considerano gli spostamenti indipendenti dal dispositivo ovvero che la presenza del dispositivo non influisce sull’ampiezza degli spostamenti.

A questo punto si fa un’ulteriore sostituzione considerando l’equivalente di Thevenin di tutto ci`o che `e a sinistra del secondario del giratore, eliminando cos`ı quest’ultimo dal circuito (figura 2.7).

Figura 2.7: Equivalente di Thevenin sul secondario del giratore.

dove

V_G(jω) = ˙Z_CC(jω)Ψ (2.5)

e

ZG(jω) = Ψ²

Z_P (2.6)

Da quest’ultimo circuito si ricavano facilmente le quantit`a d’interesse. La tensione d’uscita V<sub>0</sub>(jω) `e:

V₀(jω) = V_G(jω) Z_L

Z_G+ Z_S+ Z_L. (2.7)

2.2. CIRCUITO EQUIVALENTE 18 Sostituendo le (2.2) (2.3) nelle (2.5) (2.6) e queste a loro volta nella (2.7), ed inoltre, considerando di lavorare alla frequenza di risonanza della struttura meccanica (ω₀ = pK/M) per massimizzare le oscillazioni ed effettuando le opportune semplificazioni, si ha:

V₀(jω₀) = jω₀ΨM Y₀

D1 + _Ψ^D2 [ZS(jω0) + ZL(jω0)] (2.8) dove Y₀ `e il modulo del fasore della sollecitazione d’ingresso.

Dallo stesso circuito si pu`o ricavare l’impedenza che vede il carico Z_L che

`

e semplicemente:

ZV(jω) = ZS(jω) + ZG(jω) =

=

"

R_S+ ω²DΨ²

ω²D²+ (ω²M − K)²

# + jω

"

L_S− (ω²M − K)²Ψ² ω²D²+ (ω²M − K)²

#

(2.9)

dove R_S `e la resistenza della metal usata per fabbricare l’indottore ed L<sub>S</sub> `e l’induttanza dello stesso.

Infine, si ricava la quantit`a di maggiore interesse e cio`e la potenza d’uscita che alla frequenza di risonanza `e pari a:

P₀(jω₀) = Re

(|V (jω₀)|² Z_L

)

=

= Re ( 1

Z_L

) ω₀²Ψ²M²Y₀²

D1 +_Ψ^D2 [R_S+ R_L+ j(ω₀L_S+ X_L)] 

2 (2.10) dove R_Led `e la parte reale dell’impedenza Z<sub>L</sub>, X<sub>L</sub>la parte reattiva della stessa impedenza ed Y0 `e il modulo del fasore della sollecitazione d’ingresso.

2.3 Modello per la stima del flusso di campo magnetico

Passiamo all’analisi di un modello che permetta di calcolare la quantit`a che si `e detta di maggiore rilievo per le prestazioni del dispositivo. La strategia che si adotta `e quella di trovare un’espressione per il flusso magnetico Φ per poi derivarla ed ottenere la derivata e cio`e Ψ, questo per evitare una derivata numerica dei dati simulati che potrebbe introdurre errori anche grandi. Innan- zitutto, si valuta quale fra le configurazioni possibili tra il magnete e l’induttore sia quella migliore. Tale confronto avviene sulla base del valore assunto, nel punto di riposo statico del sistema, della derivata del flusso magnetico e cio`e di Ψ; allo stesso tempo viene fatto un confronto tra il flusso calcolato e quello ottenuto tramite simulazioni. Determinata la struttura con le caratteristiche migliori si passa ad un’analisi pi`u dettagliata del modello avvalendosi anche di numerose simulazioni volte sia alla verifica del modello matematico sia alla ricerca di un modello pi`u accurato ed affidabile. Quest’analisi restituir`a un espressione per il calcolo dello Ψ funzione delle dimensioni del magnete delle spire che costituiscono l’induttore e della posizione del magnete.

2.3.1 Confronto tra varie configurazioni magnete-induttore

In questo paragrafo vengono confrontate in termini di valore di Ψ quattro pos- sibili configurazioni magnete-induttore. Per ottenere un confronto consistente ci si pone nella stessa situazione, cio`e magnete 1mm × 1mm × 1mm con campo residuo B_res diretto lungo z ed induttore formato da una sola spira di lato l_s = 2mm.

Consideriamo, per trovare un’espressione matematica semplice, che il ma- gnete sia equivalente ad una distribuzione di spire elementari disposte all’inter- no del volume del magnete stesso. Il campo magnetico generato dal magnete permanente in coordinate sferiche risulta quindi:











B_r = B_res· V_ol 2πr³ cos θ B_θ = B_res· V_ol

4πr³ sin θ B_ϕ = 0

dove V_ol´e il volume del magnete e si `e considerato che vale la relazione µ₀M = B_rV_ol. Il flusso si ricava, dalla definizione, per mezzo della seguente relazione:

Φ(z) = Z Z

S

B · dS (2.11)

2.3. MODELLO PER LA STIMA DEL FLUSSO 20 I casi presi in esame sono:

1. Vibrazioni lungo z e spira sul piano xy;

2. Vibrazioni lungo y e spira sul piano zx;

3. Vibrazioni lungo x o y e spira sul piano xy;

4. Vibrazioni lungo z e spira sul piano zx.

1. Vibrazioni lungo z e spira sul piano xy.

Nel primo caso il magnete oscilla lungo la direzione z e la spira giace sul piano xy (figura 2.8 (a)). Si noti che la componente del campo ma- gnetico ortogonale alla spira `e quella lungo z. Tale componente si ricava usando le note relazioni per il passaggio da coordinate sferiche a coor- dinate cartesiane. Sostituendo nell’equazione (2.11) e svolgendo i calcoli (tramite Mathematica), che saranno presentati nel successivo paragrafo, considerando i valori decisi per il confronto, si ottiene l’espressione del flusso Φ(z) che successivamente derivato rispetto a z porta alla seguente espressione, graficata in figura 2.8 (b):

Φ(z) = − 13z(1 + 600000z²) 2√

2π(1 + 500000z²)^3/2(1 + 1000000z²)². (2.12) che nel punto di riposo z₀ = −500µm, e cio`e quando la faccia infe- riore del magnete sta allo stesso livello del substrato, vale Ψ(z₀) = 451.198µWb/m.

(a) Schematico del primo caso (b) Ψ(z) da modello matematico Figura 2.8: Schematico del sistema e grafico di Ψ(z) nel primo caso.

In figura 2.9 sono riportati i grafici di Φ ottenuti mediante il modello matematico e le simulazioni FEM del sistema. Il confronto si effettua su questa quantit`a perch´e bisogna considerare che per ottenere lo Ψ `e

necessaria una derivata numerica sui dati simulati che porta ad errori non accettabili. Si noti la congruenza fra gli andamenti ottenuti.

Figura 2.9: Grafico di Φ(z) intorno al punto di riposo z = −500µm.

(− ) Simulazione

(−·) Modello matematico

2. Vibrazioni lungo y e spira sul piano zx.

In questo caso il magnete oscilla lungo la direzione y e la spira giace sul piano zx (figura 2.10 (a)). Con riferimento alla figura la componente del campo magnetico ortogonale alla spira `e quella lungo y. Quindi impostando l’integrale del campo per il caso in esame si ottiene:

Φ(y, h_m, l_m, l_s) = Z Z

S

B ·dS =

Z d+ls/2 d−ls/2

Z ls/2

−ls/2

B_y(x, y, z, h_m, l_m) dxdz =

= 3B_resh_ml²_m 4π

Z d+ls/2 d−ls/2

Z ls/2

−l_s/2

zy

(x²+ y²+ z²)^5/2dxdz (2.13) dove d `e la quantit`a di cui la spira `e decentrata rispetto all’origine. Me- diante l’ausilio di Mathematica si esegue l’integrale, si deriva rispetto ad y e sostituendo gli opportuni valori si ottiene un’espressione Ψ(y, d).

Vista la complessit`a dell’espressione, si ricerca il massimo nel punto di riposo y0 = −500µm; derivando rispetto a d ed uguagliando a 0 si trova il valore numerico di d per cui si ha il massimo valore dello Ψ(y₀), che

`e pari a 48.444µWb/m. In figura 2.10 (b) `e riportato il grafico di Ψ(y) cos`ı ricavato.

In figura 2.11 sono riportati i grafici di Φ ottenuti mediante il modello matematico e le simulazioni FEM del sistema; questi sono grafici sono

2.3. MODELLO PER LA STIMA DEL FLUSSO 22 stati ottenuti assumendo d = 1.6mm. I grafici sono discordanti. Questo potrebbe dipendere dal fatto che il modello matematico del flusso ma- gnetico non `e abbastanza accurato nel caso in cui la spira `e vicina al magnete (lo verificheremo nel seguito).

(a) Schematico del secondo caso (b) Ψ(y) da modello matematico Figura 2.10: Schematico del sistema e grafico di Ψ(y) nel secondo caso.

Figura 2.11: Grafico di Φ(y) intorno al punto di riposo y = −500µm con d = 1.6mm.

(− ) Simulazione

(−·) Modello matematico

3. Vibrazioni lungo x o y e spira sul piano xy.

In questo caso il magnete oscilla, ad esempio, lungo la direzione x e la spira giace sul piano xy (figura 2.12 (a)). Con riferimento alla figura si pu`o osservare che l’impostazione del problema `e la stessa del primo caso, ci`o che cambia in questo caso `e che il valore di z resta fisso a −500µm mentre la variabile `e x, cio`e gli estremi dell’integrale. L’integrale del campo per il caso in esame risulta:

Φ(x, h_m, l_m, l_s) = Breshml_m² 4π

Z ls/2

−ls/2

Z d+ls/2 d−ls/2

2z²− x²− y²

(x²+ y²+ z²)^5/2dxdy (2.14) dove d `e la quantit`a di cui il magnete si sposta lungo l’asse x. Mediante l’ausilio di Mathematica si risolve l’integrale ottenendo il flusso Φ, dopo- dich´e si deriva rispetto a d e sostituendo gli opportuni valori si ottiene l’espressione di Ψ(d). Il valore di Ψ(0) `e pari a 0 vista la simmetria del problema. In figura 2.12 (b) `e riportato il grafico di Ψ(d).

(a) Schematico del terzo caso (b) Ψ(d) da modello matematico Figura 2.12: Schematico del sistema e grafico di Ψ(d) nel terzo caso.

In figura 2.13 sono riportati i grafici di Φ ottenuti mediante il modello matematico e le simulazioni FEM del sistema. Il grafico ottenuto me- diante simulazioni non `e attendibile, perch´e i valori del flusso Φ sono molto piccoli e variano di poco intono allo 0.

2.3. MODELLO PER LA STIMA DEL FLUSSO 24

Figura 2.13: Grafico di Φ(d) intorno al punto di riposo d = 0.

(− ) Simulazione

(−·) Modello matematico

4. Vibrazioni lungo z e spira sul piano zx.

Nell’ultimo caso il magnete oscilla lungo la direzione z e la spira giace sul piano zx (figura 2.14 (a)). Dalla figura si evince che come nel secondo caso la componente del campo magnetico normale alla spira `e quella lungo y. L’integrale risulta:

Φ(d, h_m, l_m, l_s) = Z Z

S

B · dS =

Z d+ls/2 d−ls/2

Z ls/2 ls/2

B_y(x, y, z, h_m, l_m) dxdz =

= 3B_resh_ml²_m 4π

Z d+ls/2 d−ls/2

Z ls/2

−ls/2

zy

(x²+ y²+ z²)^5/2dxdz (2.15) dove d `e la quantit`a di cui il magnete si sposta lungo l’asse z. Assumendo che y = −500µm, si svolge, per mezzo di Mathematica, l’integrale e si ottiene il flusso Φ(d); a questo punto derivando rispetto a d e sostituendo gli opportuni valori si ottiene l’espressione di Ψ(d). Il valore di Ψ(0) `e pari a 75.1997µWb/m. In figura 2.14 (b) `e riportato il grafico di Ψ(d).

(a) Schematico del quarto caso (b) Ψ(d) da modello matematico Figura 2.14: Schematico del sistema e grafico di Ψ(d) nel quarto caso.

In figura 2.15 sono riportati i grafici di Φ ottenuti mediante il modello matematico e le simulazioni FEM del sistema. Si noti la legger differenza fra i grafici ottenuti dovuta verosimilmente al modello usato.

Figura 2.15: Grafico di Φ(d) intorno al punto di riposo d = 0.

(− ) Simulazione

(−·) Modello matematico

In conclusione, confrontando i valori di Ψ nel punto di riposo, si `e dimo- strato che la prima configurazione `e migliore rispetto alle altre e dovr`a quindi essere scelta per la progettazione del dispositivo.

2.3. MODELLO PER LA STIMA DEL FLUSSO 26

2.3.2 Modello per la stima del flusso della configurazione scelta

Scelta la configurazione da utilizzare analizziamola in dettaglio sviluppando i calcoli senza assumere nessun particolare valore. Dopodich´e, si confronter`a la soluzione trovata analiticamente con delle simulazioni e si cercher`a eventual- mente di affinare il modello per la stima del flusso. Infine, ad ulteriore verifica del modello si impongono le condizioni descritte in [37] confrontando il valore dello Ψ con quello riportato.

Si vuole trovare un modello matematico che descriva in modo affidabile il flusso magnetico generato da un magnete concatenato con una spira posizio- nata in vari punti dello spazio (figura 2.16). Dopodich´e si ottiene lo Ψ per derivazione della funzione flusso magnetico Φ. Come gi`a detto, si adotta que- sta procedura per evitare una derivata numerica dei dati simulati che potrebbe introdurre errori anche grandi.

Figura 2.16: Dimensioni caratteristiche del sistema.

Con riferimento alla figura precedente, consideriamo un magnete a base quadrata di lato lm ed altezza hm il cui centro `e posto nell’origine del sistema di riferimento ed una spira quadrata di lato l<sub>s</sub> posta nel piano xy il cui centro giace sull’asse z e lungo il quale la spira stessa pu`o variare la sua posizione.

I magneti a disposizione hanno un campo magnetico residuo Bres = 1.3T ed una permeabilit`a magnetica relativa µ<sub>r</sub> ∼= 1. Inoltre, per motivi costruttivi, le dimensioni minime del magnete sono 1mm × 1mm × 1mm nel caso in cui la direzione del campo residuo sia lungo l’asse z. In generale, si avr`a un flusso magnetico Φ = Φ(z, h_m, l_m, l_s).

Considerando, come detto, che il magnete sia equivalente ad una distribu- zione di spire elementari. Il campo magnetico generato dal magnete perma-

nente in coordinate sferiche risulta quello del sistema 2.3.1. In questo caso, V_ol

´

e pari a h_ml²_m. La componente lungo z del campo risulta quindi:

Bz = B_resh_ml²_m

2πr³ cos²θ − sin²θ 2

!

(2.16) che considerando le relazioni







r =px²+ y²+ z² tan θ = px²+ y²

z diventa

B_z(x, y, z, h_m, l_m) = B_resh_ml²_m 2π

cos²θ − sin²θ 2 (x²+ y²+ z²)^3/2 =

= B_resh_ml²_m 2π

cos²θ 1 − tan²θ 2

!

(x²+ y²+ z²)^3/2 =

= B_resh_ml_m² 2π

1

1 + tan²θ 1 − tan²θ 2

!

(x²+ y²+ z²)^3/2 =

= B_resh_ml²_m 2π

1 1 + x²+ y²

z²

1 −x²+ y² 2z²

!

(x²+ y²+ z²)^3/2 =

= B_resh_ml²_m 2π

z² x²+ y²+ z²

2z² − x² − y² 2z²

(x²+ y²+ z²)^3/2 =

= B_resh_ml²_m 4π

2z²− x²− y²

(x²+ y²+ z²)^5/2 (2.17) Detto ci`o, si pu`o scrivere il flusso come:

Φ(z, h_m, l_m, l_s) = Z Z

S

B · dS = Z ls/2

−ls/2

Z ls/2

−ls/2

B_z(x, y, z, h_m, l_m) dxdy =

= B_resh_ml²_m 4π

Z ls/2

−l_s/2

Z ls/2

−l_s/2

2z²− x²− y²

(x²+ y²+ z²)^5/2dxdy (2.18)

2.3. MODELLO PER LA STIMA DEL FLUSSO 28 A questo punto, l’integrale viene risolto con l’ausilio di Mathematica, omet- tendo i vari passaggi e semplificazioni si ottiene:

Φ(z, h_m, l_m, l_s) = 2√

2Breshml_m² π

l²_s

p2z²+ l²_s(4z²+ l²_s) (2.19) e quindi la relazione che volevamo trovare `e:

Ψ(z, h_m, l_m, l_s) = ∂Φ

∂z = 4√

2B_resh_ml_m² π

zl²_s(12z² + 5l_s²)

(2z²+ l²_s)^3/2(4z²+ l_s²)² (2.20) Da questa espressione si pu`o notare come per massimizzare Ψ sia necessario:

• massimizzare il volume del magnete che, in generale, comporta la neces- sit`a di maggiore area sul silicio (e quindi un costo maggiore);

• minimizzare l_s, ovvero far s`ı che la spira sia pi`u stretta possibile attorno al magnete, si deve per questo considerare lo spazio necessario alle molle;

• diminuire z (a riposo) che per`o `e imposta dalla geometria del sistema ed `e pari ad −h<sub>m</sub>/2, per ovviare a ci`o si pu`o fare, a parit`a di volume, un magnete molto schiacciato ma si va incontro allo stesso problema descritto in precedenza.

Si passa ora alla verifica della validit`a di tale modello matematico mediante una serie di simulazioni FEM. In primo luogo, per evitare un’eccessiva com- plessit`a delle simulazioni e quindi tempi troppo lunghi, si elimina una variabile ed in particolare l’altezza del magnete h_m, parametrizzando rispetto ad essa le altre variabili, che diventano: ζ = z/h_m, λ_m = l_m/h_m e λ_s = l_s/h_m. Questo approccio si pu`o utilizzare se vale la relazione:

Φ(αz, αh_m, αl_m, αl_s) = α^kΦ(z, h_m, l_m, l_s) (2.21) dove, in questo caso, dall’espressione di Φ si ricava che k deve essere pari a 2. Effettuando una simulazione con un magnete 1m × 1m × 1m ed una spira di lato l_s = 2m posta a z = 0 ed una successiva con dimensioni doppie viene confermata la validit`a della relazione ed il valore di k.

Si pu`o allora simulare il flusso, imponendo per semplicit`a h_m = 1m, in funzione di sole tre variabili (Φ(ζ, λ_m, λ_s)), dopodich´e, deciso il valore di h_m basta moltiplicare i valori ottenuti del flusso per un coefficiente h²_m. Il dominio su cui si effettua la simulazione si ottiene dal prodotto cartesiano dei seguenti insiemi:

ζ ∈ [0, 1] con spaziatura ∆_ζ = 0.05;

λ_m ∈ [0.5, 2] con spaziatura ∆_λm = 0.075;

λ_s ∈ [0.6, 4] con spaziatura ∆_λs = 0.1;

inoltre deve essere rispettata la condizione λ_s ≥ λ_m + 0.1, derivante dalla geometria del sistema e che impone semplicemente che il lato della spira sia maggiore del lato del magnete.

Un’ulteriore semplificazione scaturisce considerando le simmetrie del siste- ma che permettono di simulare 1/8 del magnete imponendo per`o le opportune condizioni al contorno. Tutto ci`o porta a simulazioni del tipo di quella illu- strata in figura 2.17. Si notino i piani alle varie altezze z paralleli al piano xy che rappresentano le superfici attraverso le quali calcolare il flusso.

Figura 2.17: Risultato di una simulazione del magnete.

Le simulazioni su tutto il dominio producono 11970 valori del flusso da confrontare con la funzione trovata precedentemente. Effettuando questo raf- fronto si ottiene uno scarto relativo medio pari a 1.21%, invece si ha uno scarto relativo massimo del 76.37% che `e quello che ci interessa visto che in seguito la funzione deve essere derivata. Indagando quali siano i punti con scarto rela- tivo alto ci si accorge che sono i punti per bassi valori di (λ<sub>s</sub>− λ<sub>m</sub>) e di ζ. Per ovviare a questo problema, si cerca di fare un fitting degli scarti assoluti risul- tanti dal precedente confronto. In seguito a molte prove con varie tipologie di funzioni si arriva per`o alla conclusione che non `e possibile giungere ad un netto miglioramento dell’errore relativo massimo anche utilizzando funzioni di molti parametri. In particolare, si aggira il problema osservando che le condizioni del nostro sistema non si avvicinano mai troppo a quelle in cui il modello fallisce.

Come ulteriore verifica del modello ci poniamo nelle condizioni di [37], cio`e altezza del magnete hm = 4mm, numero di spire N = 29, lato della spira pi`u piccola l_s = 8mm, larghezza delle spire w = 30µm, spaziatura tra le spire s = 20µm, posizione della spira a riposo z = −2mm e non essendo riportato

2.4. MODELLO PER I PARAMETRI ELETTRICI 30 in [37] il valore del campo residuo lo si assume pari a B_res = 1.3T . Si rende quindi necessario conoscere il lato di ognuna delle 29 spire a partire dal lato della spira pi`u piccola l_s, dalla larghezza delle spire w e dalla spaziatura tra le spire s. Con una semplice dimostrazione per induzione si ottiene una semplice espressione del lato della spira:

L_N ∼= l_s+8N − 6

4 s +8N − 7

4 w. (2.22)

In queste condizioni, effettuando una sommatoria sulle N spire, si ottiene uno Ψ pari a 0.114Wb/m, valore molto simile allo 0.124Wb/m riportato sull’arti- colo.

In definitiva l’espressione completa dello Ψ si ottiene facendo una somma- toria sulle N spire costituenti l’induttore e sostituendo ad ls l’espressione di L_N del caso.

2.4 Modello per i parametri elettrici dell’induttore

Si passa ora alla determinazione delle espressioni per i componenti della parte elettrica del sistema. In particolare, vengono calcolate la resistenza serie e l’induttanza propria dell’induttore nel caso in cui sia fabbricato mediante N spire su di un unico livello di metal. In seguito, nell’ottica di sfruttare le metal a disposizione nel processo BCD6s, si esaminano gli induttori fabbricati su pi`u livelli di metal discriminando i casi di connessione serie o parallelo e ricavandone l’equivalente elettrico.

2.4.1 Calcolo della resistenza

Il primo componente della parte elettrica del sistema che si analizza `e la re- sistenza serie dell’induttore dovuta alla resistivit`a del materiale con cui sono fabbricate le spire. Secondo la nota relazione, il valore di tale resistenza `e:

R_S = ρ_L

w (2.23)

dove ρ_`e la resistivit`a per quadro propria della metal sfruttata per la fabbri- cazione delle spire, L `e la lunghezza complessiva dell’induttore e w la larghezza della metal. Con riferimento alla figura 2.18, si vuole ora trovare un’espressio- ne di L funzione del numero di spire N , del lato della spira pi`u piccola l_s, della larghezza delle spire w e della spaziatura tra le spire s.

Figura 2.18: Dimensioni caratteristiche delle spire.

Si procede ad una dimostrazione per induzione scrivendo i valori di LN per N = 1, 2, 3, 4:











L1 = 4ls+ 2s + 2w L₂ = 8l_s+ 12s + 11w L₃ = 12l_s+ 30s + 28w L4 = 16ls+ 56s + 53w

dove per il termine in l_s`e ovvio l’andamento del tipo 4N . Sfruttando i primi tre valori si possono scrivere due sistemi, uno per s ed uno per w, di tre equazioni del tipo: aN² + bN + c. Risolvendo i due sistemi si ricava l’andamento in funzione N che viene dimostrato per induzione tramite l’espressione di L₄. In definitiva si ottiene:

L_N = 4N l_s+ (4N² − 2N )s + (4N² − 3N + 1)w (2.24) che sostituita nella (2.23) da

R_S = ρ_4N l_s+ (4N²− 2N )s + (4N²− 3N + 1)w

w . (2.25)

2.4.2 Calcolo dell’induttanza

L’altro componente della parte elettrica del sistema `e l’induttanza delle spire che costituiscono l’induttore. Per il calcolo si sfrutta una semplice ma accurata relazione presente in letteratura [43]. Tale relazione, di quattro parametri, `e:

L_S = µN²l_avgc₁

2 [ln(c₂/ρ) + c₃ρ + c₄ρ²] (2.26)

2.4. MODELLO PER I PARAMETRI ELETTRICI 32 dove µ `e la permeabilit`a magnetica del materiale in cui `e immersa la spira, N

`

e il numero di spire ed i parametri valgono c₁ = 1.27, c₂ = 2.07, c₃ = 0.18 e c₄ = 0.13. Inoltre si ha:

lavg = L_N + l_s

2 (2.27)

ρ = L_N − l_s

L_N + l_s (2.28)

dove l_s e il lato della spira pi`u piccola ed L<sub>N</sub> `e il lato della spira pi`u grande.

Sostituendo la 2.22 nelle ultime due espressioni e a loro volta sostituendole nella 2.26 si ottiene l’espressione per l’induttanza in funzione di N , ls, w ed s che non `e riportata vista la sua complessit`a.

2.4.3 Configurazione serie e parallelo

Nel caso di induttori fabbricati su diversi livelli di metal si possono discriminare due casi: uno in cui sono connessi in serie e l’altro in parallelo. L’equivalente elettrico del sistema si modifica considerando che ad ogni induttore corrisponde un valore di Ψ e quindi un giratore.

In entrambi i casi i primari dei giratori sono collegati in serie (stessa cor- rente) questo perch´e la velocit`a ˙z(t) `e la stessa. Nel caso di connessione serie anche i secondari dei giratori sono in serie perch´e la corrente negli induttori `e la stessa. Invece, nel caso di collegamento parallelo i secondari dei giratori in serie alle rispettive impedenze devono essere collegati in parallelo perch´e sono alla stessa tensione. In figura 2.19 sono riportati gli equivalenti elettrici nel caso di due induttori.

(a) Induttori in serie (b) Induttori in parallelo Figura 2.19: Equivalente elettrico dei due casi.

In entrambi i casi i valori dei componenti degli induttori si possono ricavare semplicemente dalle espressioni descritte nei paragrafi precedenti. Questi due

circuiti possono essere semplificati mediante semplici calcoli. Calcoliamo prima cosa la matrice delle impedenze nel caso del circuito per un induttore (figura 2.20).

Figura 2.20: Equivalente elettrico per singolo induttore.

 V₁ = −Ψi₂

V₂ = Ψi₁+ Zi₂ =⇒V₁ V₂



= 0 −Ψ

Ψ Z

 i₁ i₂



Riferendoci alla figura 2.19 si passa ora ai casi d’interesse:

1. Induttori in serie

 V₁ = −(Ψ₁+ Ψ₂)i₂

V₂ = (Ψ₁+ Ψ₂)i₁+ (Z₁+ Z₂)i₂ =⇒

=⇒V₁ V₂



=

 0 −(Ψ1+ Ψ2) (Ψ₁+ Ψ₂) (Z₁+ Z₂)

 i₁ i₂



(2.29) La matrice ottenuta equivale a quella del circuito con un induttore con Ψ = Ψ₁+ Ψ₂ e Z = Z₁+ Z₂ (figura 2.21).

Figura 2.21: Equivalente elettrico per due induttori in serie.

2.4. MODELLO PER I PARAMETRI ELETTRICI 34 2. Induttori in parallelo

 V₁ = −Ψ1i⁰₂− Ψ₂i⁰⁰₂

V₂ = Ψ₁i₁+ Z₁i⁰₂ (2.30) si pu`o scrivere anche che

 i₂ = i⁰₂+ i⁰⁰₂

Ψ₁i₁+ Z₁i⁰₂ = Ψ₂i₁+ Z₂i⁰⁰₂ =⇒











i⁰₂ = Ψ2− Ψ1

Z₁+ Z₂i₁+ Z2

Z₁+ Z₂i₂ i⁰⁰₂ = Ψ₁− Ψ₂

Z₁+ Z₂i₁+ Z₁ Z₁+ Z₂i₂

(2.31) sostituendo le 2.31 nelle 2.30 si ottiene











V₁ = (Ψ₁− Ψ₂)²

Z₁+ Z₂ i₁− Ψ₁Z₂+ Ψ₂Z₁ Z₁+ Z₂ i₂ V2 = Ψ₁Z₂+ Ψ₂Z₁

Z₁+ Z₂ i1 + Z₁Z₂ Z₁+ Z₂i2

=⇒

=⇒V₁ V₂



=









(Ψ₁− Ψ₂)² Z1+ Z2

−Ψ₁Z₂+ Ψ₂Z₁ Z1+ Z2

Ψ₁Z₂+ Ψ₂Z₁ Z₁+ Z₂

Z₁Z₂ Z₁+ Z₂









i₁ i₂



(2.32)

La matrice ottenuta equivale a quella del circuito con un induttore con Ψ = ^Ψ1Z_Z^2+Ψ2Z1

1+Z2 , Z = _Z^Z1Z2

1+Z2 e con l’aggiunta in serie al primario di un’im- pedenza Z_p = ^(Ψ_Z^1−Ψ2)2

1+Z2 (figura 2.22 (a)). Si pu`o osservare che nel caso in cui Ψ₁ = Ψ₂ l’equivalente elettrico diventa come quello del singolo induttore con Ψ = Ψ1+ Ψ2 e Z = _Z^Z1Z2

1+Z2 (figura 2.22 (b)).

(a) per Ψ16= Ψ2 (b) per Ψ1= Ψ2

Figura 2.22: Equivalente elettrico per due induttori in parallelo.

2.5 Considerazioni sulla potenza d’uscita

In conclusione, sono state fornite tutte le espressioni per la determinazione dei valori dei componenti del circuito equivalente da sostituire nell’equazione della potenza d’uscita alla frequenza di risonanza riportata qui di seguito:

P₀ = Re ( 1

Z_L

) ω²₀Ψ²M²Y₀²

D1 + _Ψ^D2 [R_S+ R_L+ j(ω₀L_S+ X_L)] 

2 (2.33)

Osservando quest’ultima espressione, le azioni da intraprendere per massi- mizzare la potenza d’uscita sono:

• minimizzare R_L compatibilmente con il livello di tensione necessario per pilotare il circuito che imagazzina l’energia;

• aumentare la massa del magnete M , il che influisce anche sulla frequenza di risonanza ω₀ =pK/M;

• massimizzare lo Ψ che rappresenta l’accoppiamento tra la parte meccani- ca e quella elettrica ed ha il doppio effetto di far aumentare il numeratore e diminuire il denominatore;

• minimizzare lo smorzamento D dovuto principalmente all’attrito del ma- gnete in movimento con l’aria (tale obiettivo si pu`o ottenere mettendo sottovuoto il dispositivo);

• diminuire la resistenza serie dell’induttore R_S, cosa ottenibile, in questo caso, scegliendo metal a pi`u bassa resistivit`a;

• imporre, se possibile, XL = −ω0LS e quindi un’impedenza capacitiva (C_L = _ω2¹LS) tale da annullare la parte immaginaria al denominatore.

Si noti inoltre che la potenza aumenta anche all’aumentare dell’ampiezza delle oscillazioni Y₀ e della frequenza di risonanza ω₀ che deve essere per`o il pi`u vicino possibile a quella delle vibrazioni. Queste quantit`a dipendono per`o dalle condizioni ambientali in cui verr`a posto il dispositivo. A proposito dell’am- piezza delle oscillazioni bisogna porre attenzione in fase di dimensionamento al fatto che un valore alto di tale grandezza provoca grandi deformazioni delle molle e quindi grandi stress che potrebbero danneggiarle.

Sostituendo le espressioni dei vari componenti nella 2.33 si ottiene una fun- zione di h_m, l_m, N , l_s, w, s e dell’impedenza d’uscita Z_L. Si osservi che dalle formule dello Ψ 2.20 risulta evidente la convenienza ad avere la spaziatura tra le metal s pi`u piccola possibile, e cio`e fare in modo che le spire siano il pi`u strette possibile intorno al magnete. Inoltre, una volta decise le dimensioni del

2.5. CONSIDERAZIONI SULLA POTENZA D’USCITA 36 magnete per massimizzare lo Ψ, la frequenza di risonanza del sistema dipen- dentemente dall’ambiente in cui il dispositivo andr`a a lavorare da cui deriva K e conseguentemente l<sub>s</sub> cio`e il lato della spira pi`u piccola ed, infine, progettato il circuito che dovr`a raccogliere la potenza generata da cui si ottiene Z_L; la potenza risulter`a funzione delle sole N e w. Analizzando la funzione P<sub>0</sub>(N, w) si potranno ottenere i valori del numero di spire N e la larghezza di tali spire w per cui la potenza `e massima.