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Exercice VIBN-6 : Modélisation d’une suspension

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Academic year: 2021

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Vibrations des systèmes mécaniques Exercices d’application : systèmes à N DDL

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Exercice VIBN-6 : Modélisation d’une suspension

Thème : Exercice complet : oscillations libres et solution particulière forcée.

On s’intéresse aux petits mouvements d’une suspension schématisée par le système représenté ci-contre. Le champ de pesanteur est négligé, et toutes les liaisons sont parfaites.

Le solide ( ) S 1 de longueur A est relié au bâtit par un pivot d’axe (0, z G o )

, son moment d’inertie par rapport à cet axe est I . Il est rappelé vers sa position d’équilibre θ = 0 par un ressort spiral de raideur k 1 .

x G o

θ

(S

2

)

y G o

z G o

ϕ

(S

1

) k

1

k

2

G

x 1

z G 2

P

m Q

Le solide ( S 2 ) peut tourner par rapport à l’axe (0, x G 1 )

. Il est rappelé vers sa position d’équilibre ϕ = 0 par un ressort spiral de raideur k 2 . Il est constitué d’une charge ponctuelle placée en Q de masse m , et d’un corps de longueur 2a , de masse M de centre de masse P et dont la matrice d’inertie sur la base ( , x y z G G G 1 2 , 2 )

est diagonale, on note ( A B C ) les moments principaux d’inertie.

Effectuez la mise en équations, montrez que la matrice masse est [ ] M I C ( M m ) 2 ma 2

ma A ma

⎡ + + + − ⎤

= ⎢ ⎣ − + ⎥ ⎦

A A

A Par construction : m 11 = k 1 / Ω 2 , m 22 = k 2 / Ω 2 , et m 12 μ 2 k k 1 2

= − Ω

a - Calculez les pulsations propres du système.

b - On impose maintenant k 2 = 4 k 1 , déterminez les modes propres.

c - Montrez que pour chaque mode il existe un point de l’axe PQ lié au solide S2 qui reste fixe, donnez une représentation graphique des modes.

Étude des oscillations libres : Une force constante F G = F y G o

est appliquée en Q a - Déterminer la réponse statique de la structure.

b - Le système étant à l’équilibre, la force est supprimée. Déterminer la réponse dynamique du système.

Déterminez la solution particulière forcée du système

a - Pour une force F o cos ω t y G o appliquée directement en Q

b - Lorsque le point P est relié à un ressort de raideur k d’axe ( , P y G o )

, l’extrémité du ressort étant soumise

à un déplacement A cos ω t autour d’une position correspondant à l’état non contraint du ressort.

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