Units and Rela,vis,c Kinema,cs

Units  and    

Rela,vis,c  Kinema,cs  

M. Cobal, University of Udine

Quantity Units HE Units SI

Lenght 1 fm 10 ^-15 m

Energy 1 GeV=10 ⁹ eV 1.602x10 ^-10 J

Mass 1 GeV/c ² 1.78x10 ^-27 Kg

h 6.59x10 ^-25 GeVs 1.055x10 ^-34 J s

c 2.998x10 ²³ fms ^-1 2.998x10 ⁸ ms ^-1

hc 0.1975 GeV fm 3.162x10 ^-26 J m

Natural Units = c = 1 Mass 1 GeV Lenght 1 GeV ^-1 Time 1 GeV ^-1

1 Volt

- +

U = 1 eV

Units in particle physics

Units in particle physics

Other Units

Due piccoli accorgimenti per fare dei calcoli:

1) ħc = hc/(2π) = 1.055 10 ^-34 J s × 3 × 10 ⁸ m s ^-1 = ~ 3. × 10 ^-26 J m

Come abbiamo visto prima:

1 eV = 1.602 × 10 ^-19 J

=> 1 J = 1 eV / (1.602 × 10 ^-19 ) = 0.624 × 10 ¹⁹ eV

Dunque:

ħc = 3. × 10 ^-26 J m = 3 × 10 ^-26 × 0.624 × 10 ¹⁹ eV m = = 1.9 × 10 ^-7 eV m = 1.9 × 10 ^-7 × 10 ^-6 eV × 10 ¹⁵ fm = = 1.9 × 10 ² MeV fm ~ 200 MeV fm

N.B. 1fm = 10 ^-15 m

2) α = e ² / ħc = 1/137 (costante di struttura fine adimensionale) => e ^{2 =} ħc a = 200 MeV fm 1/137 = 1.44 MeV fm

Relatività speciale

   Perchè  è  necessaria  la  rela,vità  speciale  per  descrivere  le  par,celle   elementari?    

 

n  Perchè  le  par,celle  sono  sogge:e  a  reazioni  in  cui  vengono  create   o  distru:e,  pertanto  la  loro  energia  di  massa  fa  parte  del  bilancio   energe,co  globale  

n  Perchè  in  genere  le  par,celle  quando  vengono  accelerate  dagli  

acceleratori  hanno  velocità  elevate    (v  ~  c).  In  tale  situazione  la  

meccanica  classica  non  è  più  applicabile.  

Einstein (1905):

1) le leggi fondamentali della fisica hanno la stessa forma in tutti i sistemi di riferimento di Lorentz, cioè in moto relativo traslatorio uniforme;

2) la velocità della luce c è indipendente dal sistema di riferimento.

Pertanto non solo le coordinate spaziali si modificano passando da un S.R. all’altro, ma anche quelle temporali: t’ ≠ t poichè c’ = c: un lampo di luce emesso allo stesso istante t ₀ =t ₀ ’ =0 dall’origine di S.R. e

S.R.’ (O≡O’ a t ₀ =t ₀ ’ =0), raggiungerà un punto P per i due osservatori a tempi diversi:

c ² t ² = r ² = x ² + y ² + z ² per S.R.

c ² t’ ² = r’ ² = x' ² + y’ ² + z’ ² per S.R.’

La velocità della luce è la massima esistente in natura (pari a circa 300000 Km/s) → Nessuna interazione è istantanea

Trasformazioni di Lorentz

Se il sistema di riferimento S.R.’ si muove parallelamente all’asse z di S.R.

con velocità v= βc, le coordinate rispetto a S.R.’ di un punto dello spazio- tempo sono legate a quelle rispetto a S.R. dalle trasformazioni di Lorentz:

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

−

=

=

= z

c - β t γ t'

βct) γ(z

z'

y y'

x

x'

Se differenziamo dx’, dy’ e dz’ e dt’ e ne facciamo i rapporti, che ci forniscono la velocità v ₀ ’ del punto P nel sistema S.R.’:

c β v

e β

1 γ 1

:

dove 2 =

−

=

v 

₀^'

= d  r' dt'

si ottengono le trasformate per le velocità, che nel caso particolare v ₀ =c, forniscono c’=c.

N.B. Nel caso particolare v<<c si ha β~0 γ~1 e si ritrovano le trasformate di Galileo (in particolare l’uguaglianza tra i tempi nei due sistemi di

riferimento: t’=t)

Le coordinate spazio-temporali di un punto possono essere considerate come le quattro componenti di un quadri-vettore:

Il vettore x ^µ è chiamato “vettore controvariante”

Il tensore metrico g _µν cosi definito:

g ^µν = g

µν

=

1 0 0 0

0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1

"

#

$ $

$ $

%

&

' ' ' '

consente di passare dal vettore controvariante al vettore “covariante” x _µ : x _µ = ( ct, -x, -y, -z)

x ^µ = ( ct, x, y, z ) x ⁰ = ct x ¹ = x x ² = y x ³ = z

{ 1 se ν = σ

0 se ν ≠ σ

dove: g ^µν g _µσ = δ ^ν _σ δ ^ν _σ =

x _µ = g _µν x ^ν

Quadrivettori

Le coordinate spazio-temporali del punto in un nuovo sistema che si muove con velocità bc rispetto al precedente sono legate a quelle nel

vecchio sistema dalle trasformazioni di Lorentz, che possono essere cosi riscritte, adoperando una notazione matriciale:

x’ ^µ = Λ ^µ _ν x ^ν

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜

⎝

⎛

−

−

=

γ 0

0 βγ

0 1

0 0

0 0

1 0

βγ 0

0 γ

Λ µ ν c

β v β

1 γ 1

2 =

−

=

Quadrivettori

Per definizione, un insieme A ^µ di quattro quantità che, nel passaggio tra due S.R. di Lorentz, si trasformi come x ^µ viene chiamato quadri-vettore.

Anche l’energia e l’impulso formano un quadrivettore:

) βp γ(E

E

E) β γ(p

' p p ' p p '

p _x = _{x y} = _{y z} = _z − ' = − _z

Se il sistema di riferimento S.R. è quello in cui la particella è a riposo, avremo:

p ^µ = ( E/c, p _x , p _y , p _z ) p’ ^µ = Λ ^µ _ν p ^ν

p _x = 0 p _y = 0 p _z = 0 E = m (m=massa a riposo) In un sistema S.R.’ in moto con velocità –β lungo z rispetto ad esso, la particella avrà il seguente quadrimpulso ^:

p _x ’ = 0 p _y ’ = 0 p _z ’ = γβ m E’ = γ m

Ponendo c = 1, il quadrimpulso diventa : p ^µ = ( E, p _x , p _y , p _z )

Quadrivettori

Lo scalare di Lorentz è una quantità che rimane invariata per

trasformazioni di Lorentz. Esso è ottenibile dal prodotto scalare tra due quadri-vettori:

A ^µ = ( A ⁰ , A _x , A _y , A _z ) B ^µ = ( B ⁰ , B _x , B _y , B _z ) A · B = A _µ B ^µ = A ^µ B _µ = g _µν A ^µ B ^ν =

= A ⁰ B ⁰ - A _x B _x - A _y B _y - A _z B _z = = A ⁰ B ⁰ - A ⋅ B

Invarianti di Lorentz

s ² =x ^µ x _µ = g _µν x ^µ x ^ν = (ct) ² – r ² = 0

Quadrato del quadrivettore spazio-tempo di un evento situato in x ^µ

x=ct x=-ct

PASSATO FUTURO

O x

ct

Il cono luce delimitato dalle rette x=± ct rappresenta la zona di spazio-tempo nella quale un osservatore posto in O (t=0, x=0) può andare nel futuro o dalla quale può essere provenuto dal passato.

Esempi di invarianti di Lorentz

Consideriamo due eventi nello spazio tempo x ₁ ^µ e x ₂ ^µ della cui distanza facciamo il quadrato:

s ₁₂ ² = c ² (t ₁ – t ₂ ) ² – ( r ₁ – r ₂ ) ²

Se ( r ₁ – r ₂ ) ² = c ² (t ₁ – t ₂ ) ² -> i due punti possono essere collegati da un

segnale che si propaga alla velocità della luce, e tra di essi vi può essere una relazione di causa-effetto.

Se i due punti distano in modo tale che: ( r ₁ – r ₂ ) ² > c ² (t ₁ – t ₂ ) ² i due punti non potranno mai essere collegati da un segnale, perchè questo dovrebbe propagarsi a velocità superiore a quella della luce, e tra di essi non vi potrà mai essere una relazione di causa-effetto.

Se i due punti distano in modo tale che: ( r ₁ – r ₂ ) ² < c ² (t ₁ – t ₂ ) ² ciò significa che i due punti possono essere collegati da un segnale che si propaga a

velocità inferiore a quella della luce, e tra di essi vi potrà essere una relazione di causa-effetto.

Essendo s ₁₂ uno scalare e quindi un invariante, il segno di tale quantità sarà

lo stesso in tutti i sistemi di riferimento

Trasformazioni di Lorentz

•  Sistemi di coordinate in moto

S v S’

x x’’

n  Contrazione di Lorentz: length reduction with motion

Lenght at rest

Time at rest

Lunghezza a riposo

Vita media a riposo

n  Dilatazione dei tempi:

Conseguenza delle trasformate di Lorentz:

gli intervalli di tempo cambiano da un sistema di riferimento all’altro.

Questo è particolarmente evidente nel decadimento di una particella in volo.

Se τ la sua vita media quando essa è a riposo, quando si muove di velocità v decadrà rispetto all’osservatore del laboratorio con una vita media τ’:

  τ’ = γ τ

Poichè γ > 1, nel sistema in cui la particella si muove, essa verrà vista decadere dopo un tempo maggiore rispetto alla sua vita media (cioè al tempo di decadimento nel sistema in cui è a riposo).

Consideriamo ad esempio il muone che ha τ = 2.2 µs. Se esso possiede un’energia di 50 GeV, la sua vita media misurata in laboratorio sarà:

τ’ = γ τ = τ E/ (mc ² ) = τ ×50 GeV/(0.106 GeV) = = 500 τ = 1100 µs =1.1 ms

Dilatazione dei tempi

Esempio:

n  Calcolare l’impulso di un pione avente un’energia cinetica di 200 MeV

T = E – m => E = T + m = 200 MeV + 135 MeV = 235 MeV

n  Calcolare l’energia cinetica di un protone avente un impulso di 5 MeV/c

E = [p ² + m ² ] ^½ = [ 5 MeV ² + (938.56 MeV) ² ] ^½ =

= [ 25. MeV ² + 88. × 10 ⁴ MeV ² ] ^½ ~ 9.39 × 10 ² MeV

T = E – m = 9.39 × 10 ² MeV - 938.56 MeV = = 0.0133 MeV = 1.33 × 10 ^-2 MeV

N.B. Poichè (pc)<< mc ² possiamo anche applicare la formula classica:

T = p ² / 2m = (5 MeV) ² / (2 × 938.56 MeV) =

= 25. MeV ² /(1.877 × 10 ³ MeV) = 1.33 × 10 ^-2 MeV

n  Calcolare l’impulso di un kaone avente energia cinetica 1 GeV m = 493.6 MeV/c ²

E = T + m = 1 GeV + 0.493 GeV = 1.493 GeV E = [p ² + m ² ] ^1/2 →

p ² = E ² - m ² = (1.493 GeV) ² – (0.4936 GeV) ² = = 2.229 GeV ² - 0.244 GeV ² = 1.985 GeV ²

p = √(1.985 GeV ² ) = 1.41 GeV/c

Addizione di quadrivettori

) (

) (

) (

)

( k ₁ + e p ₁ → ν k ₂ + l p ₂

ν

k

₁²

= ω

₁²

− 

k

₁²

= ε

₁²

k ₂ ² = ω ₂ ² − k  ₂ ² = ε ₂ ²

p

₁²

= E

₁²

− 

p

₁²

= m

²

( ) p

²²

= E

²²

− p 

²²

= µ

²

( ^{i i} )

i

i i i

p E

p

k

k 

 , ,

=

= ω

* 2

* 2

* 1

*

1 p k p

k     +

= +

LAB

CM ( )

( ^{* *} )

*

*

, ,

i i

i

i i

i

p E

p

k

k 



=

= ω

2

* 1

* 1 2

* 1

* 1 2

* 1

* 1 2

1

1 ) ( ) ( ) ( )

( k p E k p E

s = + = ω + − ^ + ^ = ω +

* 1

*

1 E

s = ω +

*

k 

1

*

p

1

*

k 

2

*

p 2

θ

*

Energia disponibile nel CM

Massima Energia che può essere trasformata in massa

) (

) ( )

( )

( k ₁ + e p ₁ → ν k ₂ + l p ₂

ν •

m )

( k ₁ ν

) ( k ₂ ν

) ( p ₂ l s = k ( ₁ + p ₁ ) ^{2 = k 1 2 + p 1 2 + 2k 1 p 1 = ε 2 + m 2 + 2 ω 1 E 1 − 2 k  1 p  1 =}

= ε ² + m ² + 2 ω ₁ ^{m ( p } ₁ = 

0, E ₁ = m) m s ≅ 2 ω ₁

⎟ ⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

₁

=

₁²

+

₁² ₁

1

: k , k

k  

ε

ω ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

₂

=

₂²

+

₂² ₂

2

: k , k

k  

ε

 ω

k

₂

=−  k

₁

1 2

1 ) 2

( k

s 

≅ +

= ω ω

s = k ( ₁ + k ₂ ) ^{2 =} ( ^{ω 1 + ω 2} ) ^{2 −} ( ^{k  1 + k  2} ) ^{2 = ( ω 1 + ω 2 ) 2}

k  1

k  2

Targhetta fissa

Collisionatore

Alle alte energie (masse trascurabili)

Supponiamo che

Alle alte energie (masse trascurabili)

∑

≥

i

m i

s

•

) m ( k ₁ ν

) ( k ₂ ν

) ( p ₂ l

( )

2 1

2

1 2

2 2 1 1

2

2

µ ω

ω ε

≥ +

≅ +

+

= +

=

m m

m m

p k

s

m GeV

m 11

02 . 1

3 . 0 130 , 11 2

2 2

1 − ≅

− ≅

≥ µ ω

m k , 

m k ,  µ

µ

µ ω

ω ^{) 2 2}

( ₁ + ₂ ≅ =

= k

s  Una coppia di muoni

per conservare il numero leptonico

MeV k ^ = µ = 106

Energia di soglia Somma delle masse nello stato finale Esempio 1: produzione di un muone con un fascio di neutrini su elettroni

Massa del muone

Esempio 2: produzione muoni in urti e+e- (collisionatori)

2

1

p

p P = +

2

0

1

2 2 2 2 2

1 2 1 2

1

= +

= +

+ +

= +

p p

M p

m p

m E

E  





M p

m p

m

₁²

+

²

+

₂²

+

²

=

p p 

= in questa parte

2 2

2 2

2

1

p m p

m

M − + = +

2 2 2

2 1 2

1

2

m 2 M m p m

M + − + = (

1 2

)

1 2 1^{2 2}

2

m m ( m m ) 2 M m p

M + − + = +

( ) ^{( ) 2} ( )( ) ^{4 (}

1^{2 2}

⁾

2 2

1 2 1

2 2

2 1

2 2 1

4

m m m m M m m m m M m p

M + − + + − + = +

( )

2

2 2 2 2

1 2 2

2 1

2 2 1

4 2

4

2 2

) (

M

m M m

M m

m m

m

p M + − + − −

=

( )

2

2 2 1

2 2

2 1

2 2

2 1

2 2 1

4 2

4

) (

) (

) (

M

m m

M m

m M m

m m

m

p M + − + − + − −

=

( )( )

M

m m

M m

m p M

p 2

) (

)

(

_{1 2} ^{2 2} _{1 2} ²

2 2

1

+

−

−

= −

= 

 •  Possibile solo se

•  Momento univocamente definito

2

1 m

m M ≥ +

Particella instabile: decadimento a due corpi

2 2 2

2 2

2 2

1 2

1 2

1 m p p E m

E − =  =  = −

M E

E

m m

E E

= +

+

−

=

2 1

2 2 2

1 2

1 2

2 2 2

1 2

1

1

E m m

E

M − = − +

2 2 2

1 2

2 ME

1

+ M = − m + m

−

(

^{2 12 22}

)

1

2

1 M m m

E = M + − ^E

²

⁼ ₂ ¹ _M ( ^M

²

^{+ m}

²²

^{− m}

¹²

)

E

₁

= E

₂

= 1

2 M

_{1 2} ²

4

²

2

1 M m

p

p  =  = −

E le energie delle due particelle

Allo stesso modo

Per la conservazione del momento, 1 e 2 vanno in direzioni opposte

nel sistema di riferimento in cui M è a riposo. Se m1=m2:

) , 0 , 0 ,

( E p

P =

) ,

(

_{1 1 , 1}

1

E p

T

p

z

P 

=

vettore p

vettore P

−

=

−

= 3

4

) ,

(

_{2 2 , 2}

2

E p

T

p

z

P 

=

2-vettori

p

T

T T

T

p p

p  

₁



₂

−

=

≡

E

₁

= γ ( E

₁^*

+ β p

_1z^*

)

p

_1z

= γ ( p

_1z^*

+ β E

₁^*

)

p 

_1T

=  p

_1T^*

E

₂

= γ ( E

₂^*

+ β p

_{2 z}^*

)

p

_{2 z}

= γ ( p

_{2 z}^*

+ β E

₂^*

)

p 

_2T

=  p

_2T^*

β = p

E γ = E M

E

²

= p

²

+ m

²

p

²

E

²

= 1− m

²

E

²

p

²

E

²

=1− m

²

γ

²

^m

²

^{= 1−}

1

γ

²

⁼¹⁻⁽¹⁻ β

²

)=v

²

c

2

m E = γ

2 2

2

2 2

2 2

) 1

( c mc T mc

m

mc mc

c m c

m E

+

= +

−

=

= +

−

=

=

γ

γ γ

Decadimento a due corpi

Conservazione del momento nella direzione trasversa :

Tra il CM e il laboratorio

m _A

m _B

m _{C c .m. frame}

Example

E

_µ

E

_e

Decadimento a due corpi

s = p (

₁

+ p

₂

)

²

^{= p} (

³

^{+ p}

⁴

)

²

t = p (

₁

− p

₃

)

²

^{= p} (

⁴

^{− p}

²

)

²

u= p (

₁

− p

₄

)

²

^{= p} (

³

^{− p}

²

)

²

3 2 3

1 2

1 2

2 2

3 2

3 2

1 2

2 2

1 2

2 3

2 3 1

2 2

1

) ( ) ( ) 2 2 2

( p p p p p p p p p p p p p p p p p p

u t

s + + = + + − + − = + + + + + + − −

4 3 2

4 2 3 2 1 2

2 2 1 4

3 2

1

p p p p p 2 p p p p 2 p p

p + = + ⇒ + = − + + +

2 4 2

3 2

2 2

1 2

1 4

3 3 2

4 2

3 2

2 2

1

3 2 3

1 4

3 3

3 4

4 2

3 2

2 2

1

3 2 3

1 2

1 2

2 2

3 2

3 2

1 4

3 2

4 2

3 2

1

) (

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2

m m

m m

p p p

p p m

m m

m

p p p

p p

p p

p p

p p

p

p p p

p p

p p

p p

p p

p p

p p

p u

t s

+ +

+

=

−

− +

+ +

+ +

=

=

−

− +

+ +

+ +

=

=

−

− +

+ +

+ +

+ +

+

−

= + +

Variabili di Mandelstam

Introduciamo 3 scalari di Lorentz

Vale:

( ) ( 1 2 ) ²

2 2

1 p E E

p

s = + = +

( p 1 0 ) ² M ² s = + =

k  ,

1 k 

, − 2 ,

'

3 k 

θ

*

,

'

4 k 

−

( )

3 1

* '

2 3 2

1

' 2

' 2

3 1 2

3 2

1

' 2 2

3 1

2 3 1

2 cos

2

2 2

) (

) (

E E k

k m

m

k k k

k E

E E

E

k k E

E p

p t

− +

+

=

= +

−

−

− +

=

=

−

−

−

=

−

=

 θ















Θ

^*

< 90

⁰

3 1 '

2 3 2

1

0

m m 2 k k 2 E E

t = + +   −

( ^{cos 1} ) ^{4 sin} ₂

2

* 2 '

0

* '

0

θ ^{t k k} θ

k k t

t    

−

=

− +

=

Momento trasferito

Significato di t (lo vediamo nel CMS)

Significato di s: energia disponibile nel centro di massa

Nel caso di decadimento di una particella:

p ₁

p 2

p 3

p 4

L’identità delle particelle non cambia tra stato iniziale e stato finale

2 1 2

1 + → +

4 3

2 1

2 2 2

2 2

4 2

1 2

1 2

3

p p

p p

m p

p m

p p

+

= +

=

=

=

=

Quanti invarianti possiamo costruire per caratterizzare l’urto ? In linea di principio sono 16 p _i p _j i , = j 1 , 2 , 3 , 4

…..ma quattro sono invarianti banali: p = _i ² m _i ²

I rimanenti 12 sono in realtà solo sei perché abbiamo che p _i p _j = p _j p _i I rimanenti sei sono solo due perché abbiamo 4 condizioni ^p

¹

^{+ p}

²

^{= p}

³

^{+ p}

⁴

Possiamo scegliere le 3 variabili di Mandelstam s,t,u con

2²

2

1

2

2 m m u

t

s + + = +

Collisione Elastica

p ₁

p 2

p 3

p 4

p n

...

π

⁺

+ p → π

⁺

+ p + π

⁺

+ π

⁻

− +

−

+ ^e → µ µ

e

) (inclusiva X

e p

e ⁻ + → ⁻ +

p n

p p

p

p ₁ + ₂ = ₃ + ₄ + ... +

Nel sistema di riferimento del laboratorio, a targhetta fissa (1 incide su 2

a riposo) _p

1

= (E

_lab

, 0, 0, p

_lab

) p

₂

= (m

₂

, 0, 0, 0)

2 4

3 2

2 2 2

1 2

2

1

) 2 ( .... )

( p p m m m E

_lab

p p p

_n

s = + = + + = + + +

( ^{3 4} ) ²

2

*

* 4

* 3 2

4

3 .... ) ( .... ) ....

( p p p _n E E E _n m m m _n

s = + + + = + + + ≥ + + +

Si può calcolare nel CM

Collisione Inelastica

Energia di soglia nel centro di massa :

n

thr s m m m

E ^* = _min = ₃ + ₄ + ... +

E

lab

m m

m

s =

₁²

+

₂²

+ 2

₂

[

^{3 4 2 12 22}

]

2

) ....

2 (

1 m m m m m

E

_lab^thr

= m + + +

_n

− −

Oppure utilizzando l’energia

cinetica nel sistema del laboratorio:

( )

[

^{3 4 2 1 2 2}

]

2

) (

2 ...

1 m m m m m

T

_lab^thr

= m + + +

_n

− +

m 1

E

T _lab = _lab −

π

⁺

+ p → π

⁺

+ p + π

⁺

+ π

⁻

E nel laboratorio:

Esercizio: calcolare l’ energia cinetica di soglia per la reazione

Diagrammi di Feynman

s,t,u individuano anche differenti tipi di processi di scattering, quando l'interazione comporta lo scambio di una particella intermedia che possiede un momento s, t o u.

canale-s: le particelle 1,2 interagiscono generando una particella intermedia, che decade nelle particelle 3 e 4: unico canale dove scoprire risonanze

canale-t: la particella 1 emette una particella intermedia e diventa la particella 3 dello stato finale, mentre la particelle 2 interagisce con la particella intermedia e diventa 4.

canale-u: canale-t nel quale si è scambiato il ruolo delle particelle 3 e 4.

Esempi cinematici

Osservabili

Massa invariante

Consideriamo il decadimento in volo di una particella.

Supponiamo decada in tre particelle (ma potrebbero essere n) Nel sistema del Laboratorio:

E, 

p ^p

¹

^{( E}

¹

^{, p}

¹

⁾

= 

) , (

_{3 3}

3

E p

p 

=

) , (

_{2 2}

2

E p

p 

=

Gli stati 1,2,3 vengono osservati nello spettrometro Si misura il momento

Si fa una ipotesi di massa in base alla risposta dello spettrometro

m ₁ , 

p ₁ , m ₂ , 

p ₂ , m ₃ ,  p ₃

Ingredienti :

41

La ricerca dei picchi negli istogrammi di massa invariante:

( ^p

¹²

^m

¹²

^p

²²

^m

²²

^p

³²

^m

³²

)

²

^{( p}

¹

^p

²

^p

³

⁾

²

A      

+ +

− +

+ +

+ +

Costruisco la quantità : =

Ma questo è uno scalare di Lorentz. Allora posso valutarlo (ad esempio) nel sistema di riferimento della particella che decade:

Che posso scrivere anche : ( ) (

1 2 3

)

²

2 3 2

1

E E p p p

E

A   

+ +

− +

+

=

( ) ^M

²

( ) ⁰

²

^M

²

A = −  =

???

???

Larghezza di decadimento