3. Superfici rigate

(1)

114 3. SUPERFICI PARAMETRIZZATE

3. Superfici rigate

Supponiamo di avere una curva (t) = (x(t), y(t), z(t)), t 2 I, e un vettore mai nullo w(t) = (w

1

(t), w

2

(t), w

3

(t)) 2 R

³

, t 2 I, definito nei punti della curva.

La superficie S il cui sostegno è costituito dall’unione delle rette passanti per i punti (t) e paralleli a w(t) è detta superficie rigata avente la curva come direttrice. Le rette determinate dai vettori w(t) sono invece dette generatrici della rigata. Osservato che le rette passanti per (t) parallele a w(t) hanno equazioni parametriche x = (t) + s w(t), s 2 R, una parametrizzazione della superficie rigata S è data da

(t, s) = (t) + s w(t) = (x(t) + s w

1

(t), y(t) + s w

2

(t), z(t) + s w

3

(t)), con (t, s) 2 I ⇥R. Osserviamo che in generale una tale superficie non `e regolare, potremo infatti avere che

t

(t, s) ^

s

(t, s) = 0 essendo

t

(t, s) =

⁰

(t) + sw

⁰

(t) e

_s

(t, s) = w(t) non necessariamente linearmente indipendenti.

Sono esempi di superfici rigate i cilindri generalizzati, aventi come generatrici rette parallele tra loro, ovvero determinate da un vettore costante w(t) = w

₀

. Per esempio, la superficie (t, s) = (cos t, sin t, s), (t, s) 2 [0, 2⇡]⇥R, di sostegno il cilindro x

²

+ y

²

= 1, `e una superficie rigata avente come direttrice la curva

(t) = (cos t, sin t, 0) e generatrici le rette parallele al vettore w

₀

= (0, 0, 1).

Altre superfici rigate sono date dai coni generalizzati in cui le generatrici passano per un punto fisso, il vertice del cono. Ne `e un esempio la superficie (t, s) = ((1 s) cos t, (1 s) sin t, s), (t, s) 2 [0, 2⇡] ⇥ R, con sostegno il cono x

²

+ y

²

= (1 z)

²

. Tale superficie `e una superficie rigata di direttrice (t) = (cos t, sin t, 0) e generatrici le rette passanti per il vertice (0, 0, 1).

Il cilindro e il cono

Altro esempio notevole di superficie rigata `e dato dall’elicoide, la superficie

generata dalle rette perpendicolari all’asse z e passanti per i punti dell’elica

cilindrica (t) = (a cos t, a sin t, bt), t 2 R. Osservato che le rette perpendicolari

all’asse z e passanti per i punti dell’elica cilindrica (t) sono le rette individuate

dai punti P = (0, 0, bt) e ¯ P = (a cos t, a sin t, bt) e dunque parallele al versore

(2)

w(t) = (cos t, sin t, 0), una parametrizzazione dell’elicoide `e data da (t, s) = (a cos t, a sin t, bt) + s(cos t, sin t, 0)

= ((a + s) cos t, (a + s) sin t, bt), (t, s) 2 R

²

.

L’elicoide

Parleremo ancora di superficie rigata se invece di considerare come generatrici le intere rette determinate dai vettori w(t) ci limitiamo a considerare dei segmenti su tali rette, (t) + sw(t), s 2 J, dove J ⇢ R `e un intervallo limitato. Ne `e un esempio il nastro di M¨ obius

:

8>

><

>>

:

x = r s sin

₂^t

sin t y = r s sin

^t₂

cos t z = s cos

₂^t

, (t, s) 2 [0, 2⇡] ⇥ [ `, `],

che risulta una superficie rigata con direttrice la curva (t) = (r sin t, r cos t, 0), t 2 [0, 2⇡], e generatrici i segmenti (t) + sw(t), s 2 J = [ `, `], determinati dai vettori w(t) = sin

₂^t

sin t, sin

₂^t

cos t, cos

₂^t

, t 2 [0, 2⇡].

In nastro di M¨obius

Tale superficie si pu` o provare essere regolare ma non orientabile, si ha infatti che il versore normale nei punti della curva (t, 0), di sostegno la circonferenza di raggio r e centro l’origine nel piano z = 0, `e

N(t, 0) = (sin t cos

₂^t

, cos t cos

₂^t

, sin

₂^t

)

(3)

e dunque che

t

lim

!0⁺

N(t, 0) · j = 1 mentre lim

t!2⇡

N(t, 0) · j = 1

Ci` o prova che il versore normale nel punto (0, 0) = (2⇡, 0) = (0, r, 0) cambia

verso e quindi che la superficie non `e orientabile (il versore normale non `e

prolungabile in modo continuo su tutto il dominio della superficie, si vedano

[AT] e [FMS] per maggiori dettagli).

(4)

4. Superfici con bordo e bordo di una superficie

Terminiamo il capitolo introducendo il concetto di bordo di una superficie che verr` a ripreso nei prossimi capitoli. Sia : D ⇢ R

²

! R

³

una superficie definita su un dominio connesso D. Si dice che `e superficie regolare con bordo se `e di classe C

¹

in D, `e iniettiva in D e se la matrice jacobiana J ha rango 2 in D, ovvero

_u

^

v

è non nullo in D. ` E evidente che una superficie regolare con bordo è semplice e regolare, si pu` o inoltre provare che è orientabile.

Detto S il sostegno della superficie, si dice bordo della superficie l’immagine (@D) e verr` a denotato con @ S.

Se la frontiera @D `e l’unione del sostegno di n curve chiuse

j

: [a

j

, b

j

] ! R

²

, j = 1, ..., n, avremo che @ S sar`a il sostegno delle curve chiuse

j

(t) = (

_j

(t)), t 2 [a

j

, b

j

]. L’orientamento del bordo @ S mediante tali curve sar`a determinato dall’orientamento della curve

_j

(t) (e dunque della frontiera @D) e del versore normale alla superficie, ovvero dall’orientamento della superficie.

Diciamo che le curve

_j

(t) = (

_j

(t)), t 2 [a

j

, b

_j

], j = 1, ..., n, orientano positiva- mente il bordo @S o anche che l’orientamento del bordo `e concorde a quello della superficie, e lo indicheremo con @ S

⁺

, se le curve

j

(t), t 2 [a

j

, b

j

], j = 1, ..., n, orientano positivamente @D cio`e se un osservatore ideale che percorra la fron- tiera @D nella direzione determinata dalle curve

_j

vedr` a i punti del dominio D alla sua sinistra. Nel caso in cui D risulti delimitato da una singola curva , l’orientamento positivo della frontiera @D sar` a quindi quello antiorario.

In altri termini, si ha che il bordo @ S `e positivamente orientato se un osser- vatore che percorra il bordo @ S, stando dalla parte del versore normale alla superficie, vede alla sua sinistra i punti del sostegno S della superficie

^(c)

.

N S

@ S

⁺

Per esempio, risulta superficie regolare con bordo la superficie di equazione cartesiana z = 1 (x

²

+ y

²

) con (x, y) 2 D essendo D il disco di raggio 1 e centro l’origine, avente per sostegno la porzione di paraboloide S = {(x, y, z) 2 R

³

| z = 1 (x

²

+ y

²

), 0  z  1}. Il bordo di tale superficie risulta essere la circonferenza @ S = {(x, y, z) 2 R

³

| x

²

+ y

²

= 1, z = 0 }.

L’orientamento del bordo @ S risulta positivo se pensiamo alla frontiera @D

(c)tale condizione `e equivalente alla regola di Amp`ere: una persona in piedi sulla superficie, nel verso positivo della normale, vede un punto mobile sulla curva passare dalla sua destra alla sua sinistra

(5)

orientata in senso antiorario (positivo). Posto infatti (u, v) = (u, v, 1 (u

²

+ v

²

)), (u, v) 2 D = {(u, v) 2 R

²

| u

²

+ v

²

 1} avremo che la curva (✓) = (cos ✓, sin ✓), ✓ 2 [0, 2⇡], determina un orientamento antiorario della frontiera

@D e la curva (✓) = ( (✓)) = (cos ✓, sin ✓, 0), ✓ 2 [0, 2⇡], determina un orientamento positivo del bordo @ S = {(x, y, z) 2 R

³

| x

²

+ y

²

= 1, z = 0 }:

percorrendo il bordo @ S, stando dalla parte del versore normale alla superficie, un osservatore vede alla sua sinistra i punti del sostegno S.

x

z 1

S

y 0

D

1 N

v

u

Consideriamo ora la superficie di equazione cartesiana z = 2

^p

x

²

+ y

²

con (x, y) 2 D essendo D la corona circolare di centro l’origine e raggio interno 1, esterno 2, con sostegno il tronco di cono S = {(x, y, z) 2 R

³

| z = 2

p

x

²

+ y

²

, 0  z  1}. Una sua parametrizzazione `e data da (u, v) = (u, v, 2 p u

²

+ v

²

) dove (u, v) 2 D = {(u, v) 2 R

²

| 1  u

²

+ v

²

 4} e risulta superficie regolare con bordo.

Il bordo @ S `e unione delle circonferenze

1

= {(x, y, z) 2 R

³

| x

²

+y

²

= 1, z = 1 } e

2

= {(x, y, z) 2 R

³

| x

²

+ y

²

= 4, z = 0 }. Un orientamento positivo della frontiera @D `e dato dalle curve

₁

(✓) = (cos ✓, sin ✓), ✓ 2 [ ⇡, ⇡], e

2

(✓) = (2 cos ✓, 2 sin ✓), ✓ 2 [ ⇡, ⇡], quindi le corrispondenti curve

1

(✓) = (

₁

(✓)) = (cos ✓, sin ✓, 1), ✓ 2 [ ⇡, ⇡], e

2

(✓) = (

₂

(✓)) = (2 cos ✓, 2 sin ✓, 0), ✓ 2 [ ⇡, ⇡] determinano un orientamento positivo del bordo @ S.

D

0 1 2 u

v

1

2 y

x

z

2

1 1

S

N