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Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere

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Academic year: 2021

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(1)

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale

Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere

Docente: 26–04–2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro.

I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.

1. (a) Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione finita e sia f : V −→ V un’applicazione lineare iniettiva. `E possibile che f non sia suriettiva? (Motivare la risposta).

(b) Sia M lo spazio vettoriale delle matrici reali 2 × 2 . La funzione g : M −→ M definita da g(A) = A

2

+ A ` e lineare? (Motivare la risposta).

(c) Sia h : R

3

−→ R

3

l’operatore lineare definito da

h([x, y, z]

T

) = [ −x + 2y + z, x − 2y, x − 2y + z]

T

.

Determinare la dimensione e una base per il nucleo e per l’immagine

di h .

(2)

2. (a) Si dia la definizione di autovettore di una matrice quadrata.

(b) Trovare gli eventuali valori di k per i quali

 

 1 0

−1 0

 

 `e autovettore

della matrice

 

10 2 2 1

2 3 2 1

2 2 k 1

1 1 1 4

 

 .

(c) Sia A =

 1 −2 1

−2 4 −2

1 −2 1

 . Trovare gli autovalori e gli autovettori di

A , e, se possibile, una base ortonormale di R

3

formata da autovettori

di A .

(3)

3. (a) Trovare la soluzione generale dell’equazione x

′′

+ x

− 2x = 1 . (b) Trovare la soluzione generale dell’equazione x

′′

+ x

− 2x = e

2t

.

(c) Risolvere il problema di Cauchy

 

x

′′

+ x

− 2x = 1 + e

2t

x(0) = 1

x

(0) = 0

(4)

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale

Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere

Docente: 26–04–2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro.

I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.

1. (a) Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia f : V −→ V un’ap- plicazione lineare suriettiva. E possibile che f non sia iniettiva ` (motivare la risposta)?

(b) Sia M lo spazio vettoriale delle matrici reali 2 × 2 . L’operatore g : M −→ M definito da g(A) = A + A

3

` e lineare (motivare la risposta)?

(c) Sia h : R

3

−→ R

3

l’operatore lineare definito da h([x, y, z]

T

) = [x + y − z, y − z, x + y − z]

T

.

Determinare la dimensione e una base per Ker(h) e per Im(h) .

(5)

2. (a) Trovare la soluzione generale dell’equazione x

′′

− 3x

+ 2x =

12

. (b) Trovare la soluzione generale dell’equazione x

′′

− 3x

+ 2x = e

−2t

.

(c) Risolvere il problema di Cauchy

 

x

′′

− 3x

+ 2x =

12

+ e

−2t

x(0) = 0

x

(0) = 1

(6)

3. (a) Si dia la definizione di autovettore di una matrice quadrata.

(b) Trovare gli eventuali valori di k per i quali

 

 1 0

−1 0

 

 `e autovettore

della matrice

 

9 2 2 1

2 3 2 1

2 2 k 1

1 1 1 4

 

 .

(c) Sia A =

 1 3 1 3 9 3 1 3 1

 . Trovare gli autovalori e gli autovettori di A ,

e, se possibile, una base ortonormale di R

3

formata da autovettori

di A .

(7)

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale

Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere

Docente: 26–04–2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro.

I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.

1. (a) Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia f : V −→ V un’ap- plicazione lineare iniettiva. E possibile che f non sia suriettiva ` (motivare la risposta)?

(b) Sia M lo spazio vettoriale delle matrici reali 2 × 2 . L’operatore g : M −→ M definito da g(A) = A

2

+ A

4

` e lineare (motivare la risposta)?

(c) Sia h : R

3

−→ R

3

l’operatore lineare definito da

h([x, y, z]

T

) = [x − 2y + z, x − 2y, x − 2y + z]

T

.

Determinare la dimensione e una base per Ker(h) e per Im(h) .

(8)

2. (a) Trovare la soluzione generale dell’equazione x

′′

+ 3x

+ 2x =

13

. (b) Trovare la soluzione generale dell’equazione x

′′

+ 3x

+ 2x = e

2t

.

(c) Risolvere il problema di Cauchy

 

x

′′

+ 3x

+ 2x =

13

+ e

2t

x(0) = −1

x

(0) = 1

(9)

3. (a) Si dia la definizione di autovettore di una matrice quadrata.

(b) Trovare gli eventuali valori di k per i quali

 

 1 0

−1 0

 

 `e autovettore

della matrice

 

8 2 2 1

2 3 2 1

2 2 k 1

1 1 1 4

 

 .

(c) Sia A =

 1 2 1 2 4 2 1 2 1

 . Trovare gli autovalori e gli autovettori di A ,

e, se possibile, una base ortonormale di R

3

formata da autovettori

di A .

(10)

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale

Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere

Docente: 26–04–2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro.

I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.

1. (a) Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia f : V −→ V un’ap- plicazione lineare suriettiva. E possibile che f non sia iniettiva ` (motivare la risposta)?

(b) Sia M lo spazio vettoriale delle matrici reali 2 × 2 . L’operatore g : M −→ M definito da g(A) = A

5

+ A ` e lineare (motivare la risposta)?

(c) Sia h : R

3

−→ R

3

l’operatore lineare definito da

h([x, y, z]

T

) = [x + y − 2z, y − 2z, x + y − 2z]

T

.

Determinare la dimensione e una base per Ker(h) e per Im(h) .

(11)

2. (a) Si dia la definizione di autovettore di una matrice quadrata.

(b) Trovare gli eventuali valori di k per i quali

 

 1 0

−1 0

 

 `e autovettore

della matrice

 

6 2 2 1

2 3 2 1

2 2 k 1

1 1 1 4

 

 .

(c) Sia A =

 1 −3 1

−3 9 −3

1 −3 1

 . Trovare gli autovalori e gli autovettori di

A , e, se possibile, una base ortonormale di R

3

formata da autovettori

di A .

(12)

3. (a) Trovare la soluzione generale dell’equazione x

′′

− x

− 2x = −

14

. (b) Trovare la soluzione generale dell’equazione x

′′

− x

− 2x = e

−2t

.

(c) Risolvere il problema di Cauchy

 

x

′′

− x

− 2x = −

14

+ e

−2t

x(0) = 0

x

(0) = −1

(13)

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale

Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere

Docente: 26–04–2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro.

I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.

1. (a) Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia f : V −→ V un’ap- plicazione lineare iniettiva. E possibile che f non sia suriettiva ` (motivare la risposta)?

(b) Sia M lo spazio vettoriale delle matrici reali 2 × 2 . L’operatore g : M −→ M definito da g(A) = A

2

+ A

6

` e lineare (motivare la risposta)?

(c) Sia h : R

3

−→ R

3

l’operatore lineare definito da

h([x, y, z]

T

) = [ −x + 2y + z, −x + 2y, −x + 2y + z]

T

.

Determinare la dimensione e una base per Ker(h) e per Im(h) .

(14)

2. (a) Trovare la soluzione generale dell’equazione x

′′

+ 2x

− 3x = 1 . (b) Trovare la soluzione generale dell’equazione x

′′

+ 2x

− 3x = e

3t

.

(c) Risolvere il problema di Cauchy

 

x

′′

+ 2x

− 3x = 1 + e

3t

x(0) = 1

x

(0) = 1

(15)

3. (a) Si dia la definizione di autovettore di una matrice quadrata.

(b) Trovare gli eventuali valori di k per i quali

 

 1 0

−1 0

 

 `e autovettore

della matrice

 

−3 2 2 1

2 3 2 1

2 2 k 1

1 1 1 4

 

 .

(c) Sia A =

 4 2 4 2 1 2 4 2 4

 . Trovare gli autovalori e gli autovettori di A ,

e, se possibile, una base ortonormale di R

3

formata da autovettori

di A .

(16)

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale

Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere

Docente: 26–04–2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro.

I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.

1. (a) Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia f : V −→ V un’ap- plicazione lineare suriettiva. E possibile che f non sia iniettiva ` (motivare la risposta)?

(b) Sia M lo spazio vettoriale delle matrici reali 2 × 2 . L’operatore g : M −→ M definito da g(A) = A

7

+ A ` e lineare (motivare la risposta)?

(c) Sia h : R

3

−→ R

3

l’operatore lineare definito da

h([x, y, z]

T

) = [x − y + 2z, −y + 2z, x − y + 2z]

T

.

Determinare la dimensione e una base per Ker(h) e per Im(h) .

(17)

2. (a) Si dia la definizione di autovettore di una matrice quadrata.

(b) Trovare gli eventuali valori di k per i quali

 

 1 0

−1 0

 

 `e autovettore

della matrice

 

−1 2 2 1

2 3 2 1

2 2 k 1

1 1 1 4

 

 .

(c) Sia A =

 1 2 −1

2 4 −2

−1 −2 1

 . Trovare gli autovalori e gli autovettori di

A , e, se possibile, una base ortonormale di R

3

formata da autovettori

di A .

(18)

3. (a) Trovare la soluzione generale dell’equazione x

′′

− 4x

+ 3x =

12

. (b) Trovare la soluzione generale dell’equazione x

′′

− 4x

+ 3x = e

−3t

.

(c) Risolvere il problema di Cauchy

 

x

′′

− 4x

+ 3x =

12

+ e

−3t

x(0) = −1

x

(0) = 1

(19)

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale

Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere

Docente: 26–04–2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro.

I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.

1. (a) Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia f : V −→ V un’ap- plicazione lineare iniettivo. E possibile che f non sia suriettivo ` (motivare la risposta)?

(b) Sia M lo spazio vettoriale delle matrici reali 2 × 2 . L’operatore g : M −→ M definito da g(A) = A

2

+ A

8

` e lineare (motivare la risposta)?

(c) Sia h : R

3

−→ R

3

l’operatore lineare definito da

h([x, y, z]

T

) = [ −x + 3y + z, −x + 3y, −x + 3y + z]

T

.

Determinare la dimensione e una base per Ker(h) e per Im(h) .

(20)

2. (a) Trovare la soluzione generale dell’equazione x

′′

− 2x

− 3x = −

13

. (b) Trovare la soluzione generale dell’equazione x

′′

− 2x

− 3x = e

−3t

.

(c) Risolvere il problema di Cauchy

 

x

′′

− 2x

− 3x = −

13

+ e

−3t

x(0) =

14

x

(0) =

14

(21)

3. (a) Si dia la definizione di autovettore di una matrice quadrata.

(b) Trovare gli eventuali valori di k per i quali

 

 1 0

−1 0

 

 `e autovettore

della matrice

 

3 2 2 1

2 3 2 1

2 2 k 1

1 1 1 4

 

 .

(c) Sia A =

 1 3 −1

3 9 −3

−1 −3 1

 . Trovare gli autovalori e gli autovettori di

A , e, se possibile, una base ortonormale di R

3

formata da autovettori

di A .

(22)

Es. 1 Es. 2 Es. 3 Totale

Analisi e geometria 2 Prima Prova in Itinere

Docente: 26–04–2012

Cognome: Nome: Matricola:

• Ogni risposta dev’essere giustificata. Gli esercizi vanno svolti su questi fogli, nello spazio sotto il testo e, in caso di necessit` a, sul retro.

I fogli di brutta a quadretti non devono essere consegnati. Durante la prova non ` e consentito l’uso di libri, quaderni, calcolatrici e telefoni.

1. (a) Sia V uno spazio vettoriale sul campo K e sia f : V −→ V un’ap- plicazione lineare suriettiva. E possibile che f non sia iniettiva ` (motivare la risposta)?

(b) Sia M lo spazio vettoriale delle matrici reali 2 × 2 . L’operatore g : M −→ M definito da g(A) = A

9

+ A ` e lineare (motivare la risposta)?

(c) Sia h : R

3

−→ R

3

l’operatore lineare definito da

h([x, y, z]

T

) = [x − y + 3z, −y + 3z, x − y + 3z]

T

.

Determinare la dimensione e una base per Ker(h) e per Im(h) .

(23)

2. (a) Si dia la definizione di autovettore di una matrice quadrata.

(b) Trovare gli eventuali valori di k per i quali

 

 1 0

−1 0

 

 `e autovettore

della matrice

 

−4 2 2 1

2 3 2 1

2 2 k 1

1 1 1 4

 

 .

(c) Sia A =

 1 −1 3

−1 1 −3

3 −3 9

 . Trovare gli autovalori e gli autovettori di

A , e, se possibile, una base ortonormale di R

3

formata da autovettori

di A .

(24)

3. (a) Trovare la soluzione generale dell’equazione x

′′

+ 4x

+ 3x = −1 . (b) Trovare la soluzione generale dell’equazione x

′′

+ 4x

+ 3x = e

3t

.

(c) Risolvere il problema di Cauchy

 

x

′′

+ 4x

3x = −1 + e

3t

x(0) =

12

x

(0) =

12

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