Teoria dei Sistemi e del Controllo Compito del 9 Gennaio 2014
Domande ed esercizi
Nome:
Nr. Mat.
Firma:
C.L.: Info. k Elet. k Telec.
1. Scrivere la soluzione generale dell’equazione differenziale matriciale lineare e tempo-variante
˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) essendo x(t0) lo stato all’istante iniziale t0: x(t) =
dove la matrice Φ(t, t0) `e soluzione della seguente equazione differenziale matriciale:
d
dtΦ(t, t0) = . . . , Φ(t0, t0) = . . .
2. Calcolare la matrice di raggiungibilit`a R+e la matrice di osservabilit`a O−del seguente sistema:
˙x(t) =
1 0 1 0 1 1 0 1 0
x(t)+
1 0 0 0 0 1
u(t) y(t) =
1 −1 0 x(t)
R+=
, O−=
Il sistema `e: raggiungibile? non raggiungibile? osservabile? non osservabile?
Fornire una base BR del sottospazio raggiungibile X+ e una base BO del sottospazio non osservabile E−:
X+ = Im [BR] = Im
, E−= Im [BO] = Im
.
3. La seguente rappresentazione simbolica:
˙x(t) = A(t)x(t), y(t) = C(t)x(t) viene utilizzata per descrivere un sistema con le seguenti caratteristiche:
un sistema statico;
un sistema lineare;
un sistema autonomo;
un sistema tempo-continuo;
un sistema tempo-invariante;
un sistema a costanti concentrate;
4. Si applichi la Z-trasformata alla seguente funzione di stato:
Z [x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)]
4.a) si fornisca l’espressione della trasformata x(z) del vettore di stato x(k) in funzione dello stato iniziale x0 e della trasformata u(z) del segnale di ingresso u(k):
x(z) =
4.b) si fornisca l’andamento temporale x(k) della funzione discreta che si ottiene antitrasfor- mando la funzione x(z):
x(k) = Z-1[x(z)] =
5. Disegnare qualitativamente le traiettorie di un sistema dinamico del secondo ordine ˙x(t) = Ax(t) caratterizzato dagli autovalori λi e dagli autovettori vi riportati nei due riquadri.
1) Autovalore λ = −1 con molteplicit`a doppia r= 2. Il corrispondente autovettore reale v1 `e mostrato in figura.
2) Autovalori: λ1,2 = ±3j. Autovettori: v1 = w1+ w2j e v2 = v∗1. I vettori reali w1 e w2
sono mostrati in figura.
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
x1 x2
v1
Nodo? Nodo degenere? Fuoco?
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
x1 x2
w1
w2
Nodo? Nodo degenere? Fuoco?
Sella? Stabile? Instabile? Sella? Stabile? Instabile?
6. Calcolare, in funzione della condizione iniziale x0 = [x10, x20, x30, x40]T, l’evoluzione libera del seguente sistema autonomo tempo-discreto:
x(k + 1) =
2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2
x(k) x(k) =
x10 x20 x30 x40
7. Disegnare lo schema a blocchi associato al seguente sistema tempo-continuo posto in forma canonica di osservabilit`a dove xo =
x1 x2 x3 x4 T .
˙xo(t) =
0 0 0 −α0 1 0 0 −α1
0 1 0 −α2
0 0 1 −α3
x1 x2 x3 x4
+
b0 b1 b2 b3
u(t) y(t) =
0 0 0 1
xo(t) + d0 u(t)
1 s
1 s
1 s
1 s
8. Dato il seguente sistema dinamico x(k+1) = A x(k) + b u(k), y(k) = c x(k) + d u(k), calcolare la funzione G(z) = YU(z)(z) che lega l’ingresso U (z) = Z[u(k)] all’uscita Y (z) = Z[y(k)]:
x(k+1) =
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
−2 −4 −3 −1
x(k)+
0 0 0 1
u(k)
y(k) =
5 0 2 6
x(k) + 1
u(k)
G(z) =
Senza fare calcoli specifici `e possibile affermare che sicuramente:
il sistema `e stabile;
il sistema `e osservabile;
il sistema `e raggiungibile;
il sistema `e stabilizzabile mediante una retroazione statica dello stato;
9. Sia dato un sistema lineare ˙x = Ax + bu, invariante, completamente raggiungibile e con un solo ingresso. Sia ∆A(λ) = λn+ αn−1λn−1+ . . . + α1λ+ α0 il polinomio caratteristico della matrice A e sia p(λ) = λn+ dn−1λn−1+ . . . + d1λ+ d0 un polinomio monico scelto a piacere.
Si fornisca l’espressione del vettore kTche mediante la retroazione statica u = kTx`e in grado di far coincidere gli autovalori della matrice A + bkT con le radici del polinomio p(λ):
kT=
dove kTc =
.
10. Scrivere la formula di Ackermann per il calcolo del vettore dei guadagni l di un osservatore asintotico dello stato che posiziona ad arbitrio gli autovalori della matrice A + lc:
l=
indicando inoltre la forma del polinomio desiderato p(λ) e della matrice p(A) nel caso in cui si voglia posizionare tre autovalori del sistema in λ = −2 e gli altri due autovalori in λ = −5:
p(λ) = p(A) =
11. Sia data la seguente equazione differenziale non lineare:
...y (t) + 2 y(t) sin ¨y(t) + 3 ¨y(t)[ ˙y(t)]3+ 7 cos y(t) = u(t).
Scelto x = [x1 x2 x3]T = [y(t) ˙y(t) ¨y(t)]T come vettore di stato, esprimere l’equazione differenziale non lineare nello spazio degli stati:
˙x1 =
˙x2 =
˙x3 =
12. Scrivere la relazione necessaria e sufficiente che garantisce la completa controllabililit`a in k passi del sistema lineare discreto x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k):
13. Sia dato il seguente sistema lineare tempo-continuo ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t).
Scrivere l’espressione delle matrici F, G e H che caratterizzano il corrispondente sistema a segnali campionati x(k + 1) = Fx(k) + Gu(k), y(k) = Hx(k) con periodo T :
F= G= H=
14. Sia dato il seguente sistema dinamico lineare tempo-continuo:
˙x(t) =
3 0 0
0 −1 1
1 0 −2
x(t)+
1 0 1
u(t) y(t) =
2 0 0
x(t)
Pensando alla struttura a blocchi dei sistemi in forma standard `e possibile affermare che:
il sistema `e in forma standard di raggiungibilit`a;
il sistema `e in forma standard di osservabilit`a;
il sistema non `e completamente raggiungibile;
per questo sistema `e possibile costruire un osservatore dello stato;
Usando le propriet`a strutturali del sistema calcolare la funzione di trasferimento G(s) = YU(s)(s) che lega l’ingresso U (s) = L[u(t)] all’uscita Y (s) = L[y(t)]
G(s) =
15. Dato il sistema lineare tempo-continuo ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), riportare la struttura di:
a) uno stimatore asintotico dello stato in catena chiusa di ordine pieno:
˙ˆx(t) =
b) l’andamento dell’errore di stima e(t) = x(t) − ˆx(t) a partire dall’errore iniziale e(0):
e(t) =
16. Si consideri il problema di controllo punto a punto per un sistema lineare tempo-discreto. Tra le infinite soluzioni u che fanno passare il sistema dallo stato iniziale x(0) allo stato finale x(k) nell’intervallo di tempo [0, k] indicare la soluzione u che minimizza la norma euclidea:
u=
17. Enunciare il criterio di instabilit`a di Lyapunov nel caso di sistemi tempo continui.
Si consideri il sistema non lineare ˙x(t) = f (x(t), u0) e sia x0 un punto di equilibrio corrispon- dente all’ingresso costante u0. Se
1) in un intorno . . . 2) il punto x0 . . . 3) . . .
allora x0 `e un punto di equilibrio instabile.
18. Si consideri il seguente circuito idraulico costituito dalle induttanze idrauliche L1, L3, dalle capacit`a idrauliche C2, C4 e dalle resistenze idrauliche R1, R2, R4, R5 ed R6. Sul sistema agiscono due ingressi: la pressione Pa e la portata volumetrica Qb. Le uscite del sistema sono:
la portata volumetrica Qa = Q1+ Q5 e la pressione Pb = P4.
Pa
Q1
L1
R5 Q5
R1 P1
P2
C2 Q2
R2
Q3
L3
R6 Q6
P4
C4 Q4
R4
Qb
Il modello P.O.G. del circuito idraulico assegnato ha la seguente struttura:
P1
-
R1
6
-
1 L1s
?
?
Q1
-
1 R5
?
?
Q5
- - - -
?Pa
?Qa
-
6
1 s
6V2
1 C2
6
P2
-
- -
1 R2
?
?
Q2
Q3 Q6
- j
?
? ?
1 R6
1 L3s
?
?
-
-
6
1 s
6V4
1 C4
6
P4
-
- -
1 R4
?
?
Q4
Pb
Qb
Sia x =
Q1 P2 Q3 P4 T
il vettore di stato, u =
Pa Qb T
il vettore degli ingressi e y =
Qa Pb T
il vettore delle uscite. Scrivere il corrispondente sistema dinamico L ˙x = Ax+ Bu e y = Cx + Du nello spazio degli stati:
| {z }
L
Q˙1 P˙2 Q˙3 P˙4
| {z }
˙x
=
| {z }
A
Q1 P2 Q3 P4
| {z } x
+
| {z }
B
"
Pa Qb
#
| {z }
u
"
Qa Pb
#
| {z }
y
=
| {z }
C
x +
| {z }
D
" Pa Qb
#
| {z }
u
19. Note le variabili di potenza in uscita v1 e v2, indicare il nome degli elementi dinamici D1 e D2
e delle corrispondenti variabili energia q1, q2 che caratterizzano i vari ambiti energetici:
Elettrico Meccanico. Tras. Meccanico Rot. Idraulico D1
q1
v1 V Tensione v Velocit`a ω Velocit`a angolare P Pressione D2
q2
v2 I Corrente F Forza τ Coppia Q Portata Vol.
20. Sia dato il seguente sistema non–lineare, tempo–continuo, privo di ingressi:
˙x1 = βx2− x31
˙x2 = αx2(x21+ x22− 1) − βx1
E facile verificare che l’origine x` 0 = (0, 0) `e un punto di equilibrio per il sistema.
a) Calcolare, in funzione dei parametri α e β, lo Jacobiano A(x) del sistema non lineare:
A(x) = ∂f(x)
∂x =
b) Calcolare, in funzione di α e β, la matrice A0 del sistema linearizzato nel punto x0 = (0, 0):
A0=
c) Studiare, al variare dei parametri α e β, la stabilit`a del sistema non lineare nell’intorno del punto x0 = (0, 0) utilizzando il criterio ridotto di Lyapunov:
d) Nel caso α = 0, studiare al variare del parametro β la stabilit`a del sistema non lineare nell’intorno del punto x0 = (0, 0) utilizzando il criterio “diretto” di Lyapunov e la funzione:
V(x) = x21 + x22. Eventualmente si utilizzi anche il criterio di La Salle - Krasowskii.
