Teoria dei Sistemi e del Controllo Compito del 9 Gennaio 2014
Domande ed esercizi
Nome:
Nr. Mat.
Firma:
C.L.: Info. k Elet. k Telec.
1. Scrivere la soluzione generale dell’equazione differenziale matriciale lineare e tempo-variante
˙x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) essendo x(t0) lo stato all’istante iniziale t0: x(t) = Φ(t, t0)x(t0) +
Z t t0
Φ(t, τ )B(τ )u(τ )dτ
dove la matrice Φ(t, t0) `e soluzione della seguente equazione differenziale matriciale:
d
dtΦ(t, t0) = A(t)Φ(t, t0), Φ(t0, t0) = I
2. Calcolare la matrice di raggiungibilit`a R+e la matrice di osservabilit`a O−del seguente sistema:
˙x(t) =
1 0 1 0 1 1 0 1 0
x(t)+
1 0 0 0 0 1
u(t)
y(t) =
1 −1 0 x(t)
R+=
1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1
, O−=
1 −1 0 1 −1 0 1 −1 0
Il sistema `e: N raggiungibile non raggiungibile osservabile N non osservabile Fornire una base BR del sottospazio raggiungibile X+ e una base BO del sottospazio non osservabile E−:
X+= ImR+ = Im [BR] = Im
1 0 1 0 0 1 0 1 0
, E−= kerO− = Im [BO] = Im
1 0 1 0 0 1
.
3. La seguente rappresentazione simbolica:
˙x(t) = A(t)x(t), y(t) = C(t)x(t) viene utilizzata per descrivere un sistema con le seguenti caratteristiche:
un sistema statico;
N un sistema lineare;
N un sistema autonomo;
N un sistema tempo-continuo;
un sistema tempo-invariante;
N un sistema a costanti concentrate;
4. Si applichi la Z-trasformata alla seguente funzione di stato:
Z [x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k)]
4.a) si fornisca l’espressione della trasformata x(z) del vettore di stato x(k) in funzione dello stato iniziale x0 e della trasformata u(z) del segnale di ingresso u(k):
x(z) = (zI − A)−1z x0+ (zI − A)−1B u(z)
4.b) si fornisca l’andamento temporale x(k) della funzione discreta che si ottiene antitrasfor- mando la funzione x(z):
x(k) = Z-1[x(z)] = Akx(0) + Xk−1
j=0
Ak−j−1Bu(j)
5. Disegnare qualitativamente le traiettorie di un sistema dinamico del secondo ordine ˙x(t) = Ax(t) caratterizzato dagli autovalori λi e dagli autovettori vi riportati nei due riquadri.
1) Autovalore λ = −1 con molteplicit`a doppia r= 2. Il corrispondente autovettore reale v1 `e mostrato in figura.
2) Autovalori: λ1,2 = ±3j. Autovettori: v1 = w1+ w2j e v2 = v∗1. I vettori reali w1 e w2
sono mostrati in figura.
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
x1
x2
v1
Nodo? N Nodo degenere? Fuoco?
−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5 0 0.5 1 1.5 2
FS
x1
x2
w1
w2
Nodo? Nodo degenere? N Fuoco?
Sella? N Stabile? Instabile? Sella? N Stabile? Instabile?
6. Calcolare, in funzione della condizione iniziale x0 = [x10, x20, x30, x40]T, l’evoluzione libera del seguente sistema autonomo tempo-discreto:
x(k + 1) =
2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2 1 0 0 0 2
x(k) x(k) =
2k k2k−1 k(k−1)2 2k−2 k(k−1)(k−3)
6 2k−3
0 2k k2k−1 k(k−1)2 2k−2
0 0 2k k2k−1
0 0 0 2k
x10 x20 x30 x40
7. Disegnare lo schema a blocchi associato al seguente sistema tempo-continuo posto in forma canonica di osservabilit`a dove xo =
x1 x2 x3 x4 T .
˙xo(t) =
0 0 0 −α0 1 0 0 −α1 0 1 0 −α2 0 0 1 −α3
x1 x2 x3 x4
+
b0 b1 b2 b3
u(t) y(t) =
0 0 0 1
xo(t) + d0 u(t)
1 s
1 s
1 s
1 s
u(t) b0 x1 x2 x3 x4 y(t)
−α0
−α1 −α2 −α3
d0
b1 b2 b3
8. Dato il seguente sistema dinamico x(k+1) = A x(k) + b u(k), y(k) = c x(k) + d u(k), calcolare la funzione G(z) = YU(z)(z) che lega l’ingresso U (z) = Z[u(k)] all’uscita Y (z) = Z[y(k)]:
x(k+1) =
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
−2 −4 −3 −1
x(k)+
0 0 0 1
u(k)
y(k) =
5 0 2 6
x(k) + 1
u(k)
G(z) = 6z3 + 2z2+ 5
z4+ z3+ 3z2+ 4z + 2+ 1
= z4+ 7z3+ 5z2 + 4z2+ 7 z4 + z3+ 3z2+ 4z + 2 Senza fare calcoli specifici `e possibile affermare che sicuramente:
il sistema `e stabile;
il sistema `e osservabile;
N il sistema `e raggiungibile;
N il sistema `e stabilizzabile mediante una retroazione statica dello stato;
9. Sia dato un sistema lineare ˙x = Ax + bu, invariante, completamente raggiungibile e con un solo ingresso. Sia ∆A(λ) = λn+ αn−1λn−1+ . . . + α1λ+ α0 il polinomio caratteristico della matrice A e sia p(λ) = λn+ dn−1λn−1+ . . . + d1λ+ d0 un polinomio monico scelto a piacere.
Si fornisca l’espressione del vettore kTche mediante la retroazione statica u = kTx`e in grado di far coincidere gli autovalori della matrice A + bkT con le radici del polinomio p(λ):
kT = kTc
b, Ab, . . . , An−1b
α1 α2 . . . αn−1 1 α2 . . . 1 0 ... ... ... ... ...
αn−1 1 . . . 0 0
1 0 . . . 0 0
−1
dove kTc =
α0−d0, α1−d1, . . . , αn−1−dn−1 .
10. Scrivere la formula di Ackermann per il calcolo del vettore dei guadagni l di un osservatore asintotico dello stato che posiziona ad arbitrio gli autovalori della matrice A + lc:
l= −p(A)(O−)-1
0...
0 1
= −p(A)q
indicando inoltre la forma del polinomio desiderato p(λ) e della matrice p(A) nel caso in cui si voglia posizionare tre autovalori del sistema in λ = −2 e gli altri due autovalori in λ = −5:
p(λ) = (λ + 2)3(λ + 5)2, p(A) = (A + 2I)3(A + 5I)2 11. Sia data la seguente equazione differenziale non lineare:
...y (t) + 2 y(t) sin ¨y(t) + 3 ¨y(t)[ ˙y(t)]3+ 7 cos y(t) = u(t).
Scelto x = [x1 x2 x3]T = [y(t) ˙y(t) ¨y(t)]T come vettore di stato, esprimere l’equazione differenziale non lineare nello spazio degli stati:
˙x1 = x2
˙x2 = x3
˙x3 = −2 x1sin x3− 3 x3x32− 7 cos x1+ u(t)
12. Scrivere la relazione necessaria e sufficiente che garantisce la completa controllabililit`a in k passi del sistema lineare discreto x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k):
ImAk ⊆ Im[B, AB, . . . , Ak−1B] = X+(k)
13. Sia dato il seguente sistema lineare tempo-continuo ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t).
Scrivere l’espressione delle matrici F, G e H che caratterizzano il corrispondente sistema a segnali campionati x(k + 1) = Fx(k) + Gu(k), y(k) = Hx(k) con periodo T :
F= eAT, G= Z T
0
eAσBdσ, H= C 14. Sia dato il seguente sistema dinamico lineare tempo-continuo:
˙x(t) =
3 0 0
0 −1 1
1 0 −2
x(t)+
1 0 1
u(t)
y(t) =
2 0 0
x(t)
Pensando alla struttura a blocchi dei sistemi in forma standard `e possibile affermare che:
il sistema `e in forma standard di raggiungibilit`a;
N il sistema `e in forma standard di osservabilit`a;
il sistema non `e completamente raggiungibile;
N per questo sistema `e possibile costruire un osservatore dello stato;
Usando le propriet`a strutturali del sistema calcolare la funzione di trasferimento G(s) = YU(s)(s) che lega l’ingresso U (s) = L[u(t)] all’uscita Y (s) = L[y(t)]
G(s) = c1(s I − a11)-1b1 = 2
s− 3 dove c1 = 2, a11 = 3, b1 = 1.
15. Dato il sistema lineare tempo-continuo ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), riportare la struttura di:
a) uno stimatore asintotico dello stato in catena chiusa di ordine pieno:
˙ˆx(t) = (A + LC)ˆx(t) + Bu(t) − Ly(t)
b) l’andamento dell’errore di stima e(t) = x(t) − ˆx(t) a partire dall’errore iniziale e(0):
e(t) = e(A+LC)te(0)
16. Si consideri il problema di controllo punto a punto per un sistema lineare tempo-discreto. Tra le infinite soluzioni u che fanno passare il sistema dallo stato iniziale x(0) allo stato finale x(k) nell’intervallo di tempo [0, k] indicare la soluzione u che minimizza la norma euclidea:
u= (R+k)T[R+k(R+k)T]−1[x(k) − Akx(0)]
17. Enunciare il criterio di instabilit`a di Lyapunov nel caso di sistemi tempo continui.
Si consideri il sistema non lineare ˙x(t) = f (x(t), u0) e sia x0 un punto di equilibrio corrispon- dente all’ingresso costante u0. Se
1) in un intorno W di x0 esiste una funzione V (x) : W → R continua con derivate prime continue e nulla in x0;
2) il punto x0 `e punto di accumulazione per l’insieme dei punti x ∈ W in cui `e V (x) > 0;
3) ˙V(x) `e definita positiva in W ;
allora x0 `e un punto di equilibrio instabile.
18. Si consideri il seguente circuito idraulico costituito dalle induttanze idrauliche L1, L3, dalle capacit`a idrauliche C2, C4 e dalle resistenze idrauliche R1, R2, R4, R5 ed R6. Sul sistema agiscono due ingressi: la pressione Pa e la portata volumetrica Qb. Le uscite del sistema sono:
la portata volumetrica Qa = Q1+ Q5 e la pressione Pb = P4.
Pa
Q1
L1
R5 Q5
R1 P1
P2 C2
Q2
R2 Q3
L3
R6 Q6
P4 C4
Q4
R4 Qb
Il modello P.O.G. del circuito idraulico assegnato ha la seguente struttura:
P1
-
R1
6
-
1 L1s
?
?
Q1
-
1 R5
?
?
Q5
- - - -
?
Pa
?Qa
-
6
1 s
6V2
1 C2
6
P2
-
- -
1 R2
?
?
Q2
Q3 Q6
- j
?
? ?
1 R6
1 L3s
?
?
-
-
6
1 s
6V4
1 C4
6
P4
-
- -
1 R4
?
?
Q4
Pb
Qb
Sia x =
Q1 P2 Q3 P4 T
il vettore di stato, u =
Pa Qb T
il vettore degli ingressi e y =
Qa Pb T
il vettore delle uscite. Scrivere il corrispondente sistema dinamico L ˙x = Ax+ Bu e y = Cx + Du nello spazio degli stati:
L1 0 0 0 0 C2 0 0 0 0 L3 0 0 0 0 C4
| {z }
L
Q˙1 P˙2 Q˙3 P˙4
| {z }
˙x
=
−R1 −1 0 0
1 −R1
2−R1
5−R1
6 −1 R1
6
0 1 0 −1
0 R16 1 −R14−R1
6
| {z }
A
Q1 P2 Q3 P4
| {z }
x
+
1 0
1 R5 0
0 0
0 −1
| {z }
B
"
Pa Qb
#
| {z }
u
"
Qa Pb
#
| {z }
y
=
" 1 −R15 0 0
0 0 0 1
#
| {z }
C
x +
" 1
R5 0 0 0
#
| {z }
D
" Pa Qb
#
| {z }
u
19. Note le variabili di potenza in uscita v1 e v2, indicare il nome degli elementi dinamici D1 e D2
e delle corrispondenti variabili energia q1, q2 che caratterizzano i vari ambiti energetici:
Elettrico Meccanico. Tras. Meccanico Rot. Idraulico
D1 C Capacit`a M Massa J Inerzia CI Capacit`a idr.
q1 Q Carica p Quantit`a di moto p Momento angolare V Volume v1 V Tensione v Velocit`a ω Velocit`a angolare P Pressione D2 L Induttanza E Molla E Molla torsionale LI Induttanza idr.
q2 φ Flusso x Spostamento θ Spostamento ang. φI Flusso idr.
v2 I Corrente F Forza τ Coppia Q Portata Vol.
20. Sia dato il seguente sistema non–lineare, tempo–continuo, privo di ingressi:
˙x1 = βx2− x31
˙x2 = αx2(x21+ x22− 1) − βx1
E facile verificare che l’origine x` 0 = (0, 0) `e un punto di equilibrio per il sistema.
a) Calcolare, in funzione dei parametri α e β, lo Jacobiano A(x) del sistema non lineare:
Lo Jacobiano A(x) ha la seguente struttura:
A(x) = ∂f(x)
∂x =
"
−3x21 β
2αx1x2− β α(x21+ 3x22− 1)
#
b) Calcolare, in funzione di α e β, la matrice A0 del sistema linearizzato nel punto x0 = (0, 0):
La matrice A0 del sistema linearizzato ha la seguente struttura:
A0 =
"
0 β
−β −α
#
c) Studiare, al variare dei parametri α e β, la stabilit`a del sistema non lineare nell’intorno del punto x0 = (0, 0) utilizzando il criterio ridotto di Lyapunov:
Il polinomio caratteristico della matrice A0 `e:
∆A0(s) = s2+ α s + β2
In base al criterio ridotto di Lyapunov si pu`o affermare che: 1) per α > 0 e β 6= 0 il punto di equilibrio x0 = (0, 0) del sistema non lineare `e asintoticamente stabile; 2) per α < 0 e β 6= 0 il punto di equilibrio x0 `e instabile; 3) per α = 0 e β 6= 0 il criterio non implica nulla; 4) per β = 0 il criterio non implica nulla.
d) Nel caso α = 0, studiare al variare del parametro β la stabilit`a del sistema non lineare nell’intorno del punto x0 = (0, 0) utilizzando il criterio “diretto” di Lyapunov e la funzione:
V(x) = x21 + x22. Eventualmente si utilizzi anche il criterio di La Salle - Krasowskii.
Nell’intorno del punto x0 = (0, 0) la funzione V (x) = x21+ x22`e sicuramente definita positiva.
Posto α = 0, la funzione ˙V(x) calcolata lungo le traiettorie del sistema `e la seguente:
V˙(x) = 2x1(βx2− x31) + 2x2(−βx1)
= 2βx1x2− 2x41− 2βx1x2 = −2x41 ≤ 0
La funzione ˙V(x) `e semidefinita negativa per cui, in base al criterio “diretto” di Lyapunov,
`e possibile affermare che nell’intorno del punto x0 = (0, 0) il sistema non lineare `e stabile per qualunque valore di β. L’insieme N dei punti che annullano la funzione ˙V(x) `e N = {(0, x2), x2 ∈ R}. Per (x1, x2) ∈ N e α = 0 il sistema dato si semplifica come segue:
0 = βx2
˙x2 = 0 ⇒ ( (x1, x2) = (0, 0) se β 6= 0 (x1, x2) = (0, x2) se β = 0
Per β 6= 0 l’insieme N non contiene traiettorie perturbate per cui il sistema non lineare `e asintoticamente stabile nell’intorno punto x0 = (0, 0). Per β = 0 l’insieme N contiene la tra- iettoria perturbata (0, x2) per cui il sistema non lineare `e semplicemente stabile nell’intorno punto x0 = (0, 0).
