L’integrazione di una funzione f(x) rappresenta l’operazione inversa della derivazione Definizione: dicesi Primitiva ( o INTEGRALE INDEFINITO ) di una funzione c. f(x) una funzione (d.) F(x) tale che F’(x)=f(x)

(1)

1

Integrali

L’integrazione di una funzione f(x) rappresenta l’operazione inversa della derivazione Definizione: dicesi Primitiva ( o INTEGRALE INDEFINITO ) di una funzione c. f(x) una funzione (d.) F(x) tale che F’(x)=f(x)

F(x) = f (x)dx ∫

Se F(x) è una primitiva di f(x) lo è anche F(x)+C dove C è una costante, la

primitiva è quindi definita a meno di una costante

(2)

2

Teorema I-1

f

₁

(x) + f

₂

(x)

[ ]

∫ ^{dx = f} ∫

¹

^{(x)dx + f} ∫

²

^(x) ^dx

Purché esistano e Altri casi ed esempi:

f

₁

(x)dx

∫ ∫ ^f

²

^(x)dx

(3)

3

Integrali definiti

Calcolo dell’area A di una regione del piano cartesiano del tipo:

x y

x

₁

x

₂

y=f(x)

Il calcolo dell’area sottesa dal grafico di una funzione f(x) diventa banale nel caso y=h con h costante e nel caso y=ax+b. Qualora f(x) sia una

polinomiale di grado n>2 o una funzione trigonometrica ecc. si deve ricorrere ad una approssimazione con successivo passaggio al limite.

x

₁

x

₂

y=f(x)

x

y

(4)

4

La somma delle aree di tutti questi rettangoli (di base Δx

_i

=(x

₂

-x

₁

)/n e altezza il valore minimo m

_i

assunto dalla funzione f(x) nell’i-esimo intervallino) in generale dipende dal numero n delle suddivisioni e la indicheremo con s

_n

s

_n

= m

_i

i=1 n

∑ ^{⋅ Δx}

ⁱ

Analogamente si può assumere come altezza dei rettangoli non il valore minimo della funzione ma quello massimo M

_i

approssimando la nostra area A per eccesso

x

₁

x

₂

y=f(x)

x

y

La somma delle aree dei rettangoli sarà: S

_n

= M

_i

i =1 n

∑ ^{⋅ Δx}

ⁱ

Il valore dell’area A è dunque

s _n ≤ A ≤ S _n

Al crescere delle suddivisioni n le due approssimazioni tendono

allo stesso valore limite A

(5)

5 Δ xi→ 0

lim ^{f (x}

ⁱ

i n

∑ ^{) ⋅ Δx}

ⁱ

^{= A}

Per integrale definito di una funzione f(x) tra i punti x

₁

e x

₂

con x

₂

>x

₁

si intende il limite

x ₂ ↔ x ₁

e tale limite rappresenta l’AREA sottesa dalla curva f(x) tra x

₁

e x

_{2 ,}

dove la sommatoria si riferisce agli n intervalli Δx in cui abbiamo suddiviso

l’intervallo

Vale la proprietà associativa della somma f (x)dx + f (x)dx = f (x)dx

a c b

∫

c a

∫

b

∫

Più in generale f (x)dx = F(x) [ ]

x₀ x

∫

^x⁰^x

"

F (x) = f (x)

Per calcolare l’area A sottesa dalla funzione f(x) in un certo intervallo di x [a,b]

occorre determinare una primitiva F(x) e calcolarne i valori nei due punti estremi dell’intervallo a e b . Infine si calcola la differenza

F(b)-F(a) Es.:

x ²

0 1

∫ ^{dx =}

(6)

6

Teorema della media:

Se la funzione f(x) è continua nell’intervallo [a,b] con a<b si ha f (x)dx = f ( ξ ) ⋅(b − a)

a b

∫

dove ξ è un punto opportuno dell’intervallo [a,b]; f(ξ) rappresenta la media dei valori di f(x) in [a,b]

Con il concetto di primitiva si possono risolvere alcune semplici equazioni differenziali cioè equazioni nella funzione f(x) in cui compaiono anche le sue derivate

Es.: y’(x)=a con a costante

Se calcoliamo la primitiva di entrambi i membri di questa equazione, otteniamo una nuova equazione con una costante arbitraria

y (x) !

∫ dx = adx + C ∫

y(x) = ax + C

Analogamente per y’(x)=ax+b

(7)

7

La costante C va definita imponendo ulteriori richieste del particolare problema che vogliamo risolvere, le così dette CONDIZIONI INIZIALI

Soluzione dell’equazione differenziale y’(x)=-by(x)

Come già detto la funzione y=e

^x

ha la proprietà di essere uguale alla sua derivata e quindi y=e

^-bx

che ha come derivata y’=-be

^-bx

è la

soluzione della nostra equazione

Alcune applicazioni:

-Moto di un grave in prossimità della superficie terrestre (moto uniformemente accelerato)

y (x) = ! lim

Δx→0

Δy(x)

Δx = dy dx

dy

dx = −b ⋅ y dy

y = −b ⋅dx

dy

∫ y ^{= −b ⋅ dx} ∫

ln y = −b ⋅ x + c

e

^{ln y}

= y = e

^{− bx+ c}

= e

^−bx

⋅ e

^c

= K ⋅ e

^−bx

y = K ⋅ e

^{− bx}

(8)

8

Diffusione di un’epidemia nell’ipotesi che la sua velocità di diffusione sia proporzionale sia alla porzione y di popolazione contagiata all’istante t , sia alla porzione ancora non contagiata 1-y nello stesso istante

dy

dt = ay(1− y) a = costante

a rappresenta il ‘tasso istantaneo di diffusione dell’epidemia che supponiamo costante nel tempo

(se poniamo che per t=1 il numero dei contagiati raddoppi allora a=ln2 =0.693) Soluzione dell’equazione è:

Equazione logistica

y = 1

1+ C ⋅e

^{− at}

y = 1

1+ C ⋅2 ^−t

(9)

9

dy

y(1 − y) = adt 1

y + 1 1− y

"

#

$ %

& dy

∫ ^{= adt} ∫

ln y − ln 1− y ( ) ^{= at + c}

ln y

1 − y = at + c y

1 − y = e

^{at +c}

Soluzione dell’equazione differenziale

y = 1− y ( ) ^e

^{at +c}

y 1 + e (

^{at+ c}

) ^{= e}

^{at +c}

y = e

^{at +c}

1+ e

^{at +c}

= 1

e

^{− at +c}⁽ ⁾

+ 1

y e ^x 1 + e ^x

=

(10)

10

Teorema fondamentale del calcolo integrale o anche teorema di Torricelli-Barrow stabilisce una importante connessione tra i concetti di integrale e derivata per funzioni da {R} in {R}. In

generale si usa il termine teorema fondamentale del calcolo per indicare ciò che stabiliscono i seguenti due teoremi:

T. 1

Se f: [a,b]èR è una funzione continua allora la "funzione integrale" definita come

è una funzione derivabile in [a,b], e si ha che F’(x)=f(x) per ogni x di [a,b]

Dimostrazione…..

T. 2

Se f: [a,b]èR è una funzione continua e G: [a,b] èR è una primitiva di f, ovvero G’(x)=f(x) allora

€

F(x) = f (t)dt

a x

∫

€

f (t)dt

a b

∫ ^{= G b} ^{( )} ^{− G a} ^{( )} formula fondamentale del calcolo integrale.

Dimostrazione…..

L’integrazione di una funzione f(x) rappresenta l’operazione inversa della derivazione Definizione: dicesi Primitiva ( o INTEGRALE INDEFINITO ) di una funzione c. f(x) una funzione (d.) F(x) tale che F’(x)=f(x)

Integrali