Data una funzione y=f(x) , continua in x Δ Δ α F( f(x) x Δ x)=tg α Derivata di una funzione Δ x) detta rapporto incrementale ( ), consideriamo la nuova funzione F(

1

Derivata di una funzione

Data una funzione y=f(x) , continua in x_o ( ), consideriamo la nuova funzione F(Δx) detta rapporto incrementale

x → xo

lim f (x) = λ = f (x_o)

F(Δx) = Δf (x)

Δx = f (x_o + Δx) − f (x_o) Δx

f(x)

x

x_o ^x_o+Δx

f(x_o)

f(x_o+Δx)

Δf(x) Δx

α F(Δx)=tgα

2

Δx →0

lim

x = xo

Δx →0

lim

f(x)

x

x_o ^xo+Δx

f(x_o)

f(x_o+Δx)

Δf(x)

Δx α

F(Δx)=tgα α_ο

tg α _o = " f (x _o )

Coefficiente angolare della tangente alla curva in x_o Dicesi derivata di f(x) nel punto x_o, se esiste, il limite

3

Per x_o variabile in un certo dominio la curva derivata f’(x) fornisce molte informazioni sull’andamento di f(x)

f(x)

x f'(x)

x

x_o è per f(x) un punto di : Minimo f’(x_o )=0

Massimo f’(x_o )=0

f (x) < 0! f (x) > 0!

"

# $

a sinistra a destra

f (x) > 0! f (x) < 0!

"

# $

a sinistra a destra

Flesso orizzontale f’(x_o )=0 f’(x) ha lo stesso segno a destra e a sinistra

4

funzione f(x) derivata f'(x) dominio

c 0

x

nx

n∈R (x>0)

e

e

a

a

lna a>0

lnx 1/x x>0

log

x 1/x log

e a>0, x>0

sinx cosx

cosx -sinx

tgx 1/(cosx)

x≠ /2+n

5

Teorema D-3

g(x) = f₁(x) f₂(x)

f₂(x) ≠ 0, ∃ # f ₁(x), # f ₂(x)

g (x) =# f ₁# (x) • f₂(x) − # f ₂(x) • f₁(x) f₂(x)

[ ]

Teorema D-1 ^{g(x) = f1(x) + f2(x)}

∃ " f ₁(x), " f ₂(x) ⇒

"

g (x) = " f ₁(x) + " f ₂(x)

Teorema D-2

g(x) = f₁(x) • f₂(x)

∃ " f ₁(x), " f ₂(x) ⇒

"

g (x) = " f ₁(x) • f₂(x) + " f ₂(x) • f₁(x)

Teorema D-4

€

y = g(t) e t = f (x)

∃g(t), f (x)

y'= g'(t) ⋅ f '(x)

6

Esercizi.

Calcolare la derivata prima delle seguenti funzioni y = 3x³

y = 1 x

y = sin 5 x

€

y = 10cos2 π ^x y = 2e

y = 2x + 9

Studio della funzione y=ax² con a>0 -dominio: -∞,+∞

-derivata y’(x)=2ax x<0 y’(x)<0 x=0 y’(x)=0 x>0 y’(x)>0 Punto di minimo x=0, y=0

-intersezione con gli assi (0,0) -punti singolari: nessuno

f’(x)

f(x)

7

Studio della funzione y=a/x con a>0 -dominio: D:(R-{0})

-derivata: y’=-a/x² per x ≠0 y’(x)<0 per ogni x sempre decrescente, non vi sono massimi, minimi o flessi

-intersezione con gli assi: mai - punti singolari x=0

- comportamento all’infinito

-simmetrie se x⇒-x allora y⇒-y si dice che la funzione È simmetrica rispetto all’origine

x→ 0⁺

lim a/ x=+∞

x→ 0⁻

lim a/ x=−∞

x →+∞

lim a / x =0

x → −∞

lim a / x =0

8

Studio della funzione -dominio: D:(R)

-derivata: y’=(e ^z(x) )’con z(x)=-x²/2σ²

Inoltre

x<0 ⇒ y’>0 : f. crescente

x=0 ⇒ y’=0 : massimo x=0, y=1 x>0 ⇒ y’<0 : f. decrescente

Intersezione con gli assi (y) x=0 ⇒ y=1 , (x) y=0 MAI

Punti singolari : nessuno (la funzione è continua e derivabile in tutto l’insieme D) Comportamento all’infinito

Simmetrie f(x)=f(-x) simmetria rispetto all’asse y

Per x=±σ f(x)=0.6 quindi σ da un’indicazione della larghezza della curva. Si dimostra che l’area sottesa dalla curva tra -σ e +σ è il 68.3% del totale e che l’area tra -2σ e +2σ è il 95.4% del totale

y = e

x → ±∞

lim

€

y'= (e^{Z (x )})' con Z(x) = − x² 2σ²

y'= e

( )

9

y e

x²

−0.25

=

y e

x²

− 0.5

=

y e

x²

−0.12

=

y = e^{− (x− 14)2}

10

y = x

− 3x + 1

11

€

y = (x − 2)

y 1

4 − x²

( )

ln

=

12

y = − 3 tan 2x

y 1

5 − x

( )

=

13

D: (1+1/x)>0 x>0 U x<-1

€

limx →∞ 1+ 1 x

$

% & ' ( )

x

= e

x →0lim⁺ 1+ 1 x

$

% & ' ( )

x

= 1

x →−1lim 1+ 1 x

$

% & ' ( )

x

= ∞