Prove di Statistica e Analisi Numerica

Prove di Statistica e Analisi Numerica

Lorenzo Barone 12 novembre 2010

1 Testi delle prove

Calcolo delle Probabilità Prova scritta del 21/12/2004

1. In un magazzino ci sono mele provenienti da due campi A e B nelle proporzioni del 30% e del 70% rispettivamente. Le mele provenienti da A sono difettose (guaste o bacate) per il 10%, mentre quelle provenienti da B sono difettose per il 20%.

Qual è la probabilità che presa una mela a caso questa sia difettosa?

Le mele vengono vendute in confezioni di 20 pezzi, tutte provenienti dallo stesso campo. Una di queste confezioni viene ispezionata e risulta contenere una mela difettosa. Qual è la probabilità che venga da A?

2. Dare la definizione dell’integrale di Riemann Stieltjes.

3. Dare un esempio di due variabili aleatorie X e Y indipendenti e di due variabili aleatorie dipendenti e calcolare E(XY ), nei due casi.

1

Prova scritta del 19/06/2006

1. In un negozio ci sono oggetti provenienti da due ditte A e B nelle pro- porzioni del 40% e del 60% rispettivamente. Gli oggetti provenienti da A sono difettosi nel 5% dei casi, mentre quelli provenienti da B sono difettosi nel 10%.

Qual è la probabilità che preso un oggetto a caso questo sia difettoso?

Sapendo che gli oggetti vengono venduti in confezioni di 10 pezzi, tutti provenienti dalla stessa fabbrica, se ispezionando una di queste confe- zioni viene trovato una oggetto difettoso, qual è la probabilità che la confezione provenga da A?

2. Se X è una variabile aleatoria qualsiasi, come si definiscono la media e la varianza di X? Tali parametri di X esistono sempre?

3. Dimostrare la disuguaglianza di Cebicev.

Prova scritta dell’11/01/2008

1. In un negozio ci sono lampadine provenienti da due industrie A e B nelle proporzioni del 30% e 70% rispettivamente. Le lampadine prove- nienti da A sono difettose nel 5% dei casi, mentre quelle provenienti da B sono difettose nel 10%.

Qual è la probabilità che presa una lampadina a caso questa sia difet- tosa?

Sapendo che le lampadine vengono vendute in confezioni di 10 pezzi, tutti provenienti dalla stessa fabbrica, se ispezionando una di queste confezioni viene trovata una lampadina difettosa, qual è la probabili- tà che la confezione provenga da A? Se non si trova alcuna lampadi- na difettosa, la probabilità che provenga da A aumenta o diminuisce?

(Provare a rispondere senza far calcoli, ma motivando la risposta, per esempio con il valore atteso.)

2. Risolvere l’equazione x ³ = cos x

con almeno 5 cifre decimali esatte. Come si fa a sapere a quale passo ci si può fermare?

3. Determinare il polinomio di Newton passante per i punti (1, 1), (2, 1), (3, 2), (4,3).

4. Trovare la retta di regressione per i punti (10, 1), (20, 4), (15, 5), (30, 8), (30, 9), (35, 8), (40, 10), (50, 15), (60, 16). Valutare la retta per x = 25 e, calcolando il coefficiente di correlazione, dire se tale retta approssima i dati in modo soddisfacente.

Valutazione: 10, 11, 7, 7.

3

Prova scritta dell’08/02/2008

1. In un esame scritto con risposte multiple, un quesito ha n possibili ri- sposte e lo studente deve semplicemente mettere una croce su quella che ritiene corretta. Supposto che la probabilità che lo studente co- nosca la risposta giusta sia p e che risponda correttamente, qual è la probabilità che abbia risposto bene solo per caso?

2. Enunciare e dimostrare il teorema di Cebicev per una variabile aleatoria X qualunque. In base a tale disuguaglianza, quanto vale

P (|X − µ| < tσ)

per t = 2 e t = 3 se E(X) = µ e V (X) = σ ² ?

3. Determinare il polinomio di Newton passante per i punti (2, 2), (3, 1), (4, 3), (5, 2) e (8, 4).

4. Trovare la retta di regressione y = mx + n per i punti (5, 2), (10, 4), (7, 5), (15, 8), (15, 9), (17, 8), (20, 10), (25, 15), (30, 16). Valutare il valore di Y corrispondente a x = 18. Calcolando il coefficiente di correlazione, dire se tale retta approssima i dati in modo soddisfacente.

Calcolare anche σ _X , σ _Y e Cov(X, Y )

Valutazione: 11, 10, 7, 7.

Prova scritta del 29/2/2008

1. In una scatola si trovano due dadi, une dei quali è truccato in modo tale che P (X = 6) = ¹ ₃ e le altre facce abbiano tutte la stessa probabilità, mentre l’altro dado è corretto. Se viene scelto a caso uno dei due dadi e il risultato del lancio è 6, qual è la probabilità che il dado sia truccato?

2. Si ricavi la distribuzione di Poisson di parametro λ (P (X = k)), come limite della distribuzione binomiale P (X _n = k) (per n → ∞), essendo X _n ≈ B(n, λ/n).

3. Trovare con il metodo di Newton la radice dell’equazione 2x ⁵ + 5x ² − 3x − 1 = 0

nell’intervallo (-1, 0).

4. Si descriva il metodo di Gauss per la soluzione del sistema di equazioni lineari x = b.

Valutazione: 7, 8, 10, 10.

5

Prova scritta del 23/05/2008

1. In una località la popolazione maschile M rappresenta il 40% dell’in- tera popolazione e quella femminile F la parte restante. Su un certo problema il 40% della popolazione maschile è favorevole, mentre la po- polazione femminile è favorevole nel 70% dei casi e ciò si evince da un referendum.

Qual è la probabilità che presa una scheda elettorale a caso questa sia favorevole?

In un seggio elettorale possono votare 100 persone, tutte dello stesso sesso e nessuno degli aventi diritto rinuncia al voto. Se il risultato del seggio è 50 pareri favorevoli, qual è la probabilità che il seggio sia per soli maschi?

2. Risolvere l’equazione

x ² = 1 − sin(x) con x > 0

con almeno 5 cifre decimali esatte. Come si fa a sapere a quale passo ci si può fermare?

3. Dare la definizione e un esempio di malcondizionamento di Ax = b.

4. Trovare e disegnare la retta di regressione per i punti (1, 1), (2, 4), (1.5, 3), (3, 5), (3, 7), (3.5, 8), (4, 10), (5, 13), (6, 16). Valutare tale retta per x = 18 e, calcolando il coefficiente di correlazione, dire se tale retta approssima i dati in modo soddisfacente.

Valutazione: 10, 11, 9, 5.

Prova scritta dell’11/07/2008

1. In una scatola ci sono due dadi, une dei quali è truccato in maniera tale che P (X = 3) = ¹ ₃ e P (X = h) = costante per x 6= 3, mentre l’altro dado è corretto. Se viene scelto un dado a caso e, lanciatolo, esce 3, qual è la probabilità che sia stato scelto il dado truccato?

2. Risolvere l’equazione

x ² = cos(x) con x > 0

con almeno 5 cifre esatte. Come si fa a sapere quando ci si può fermare?

3. Si descriva il metodo di Eulero per risolvere il problema di Cauchy.

4. Trovare e disegnare la retta di regressione y = mx + n per i punti (1, 2), (2, 3), (3, 3), (3, 4), (4, 6), (5, 7), (4, 5), (5, 8), (6, 10). Valutare tale retta per x = 2.5 e, calcolando il coefficiente di correlazione, dire se tale retta approssima i dati in maniera soddisfacente.

Valutazione: 10, 11, 9, 5.

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Prova scritta del 19/9/2008

1. Due tiratori sparano sullo stesso bersaglio in modo indipendente. La probabilità che il bersaglio sia colpito dal primo tiratore è del 90% e dal secondo del 70%. Nell’ipotesi che il bersaglio sia colpito da un solo tiratore, qual è la probabilità che sia stato il primo?

2. Si ricavi la distribuzione di Poisson di parametro λ (P (X = k)), come limite della distribuzione binomiale P (X _n = k) (per n → ∞), essendo X _n ≈ B(n, λ/n). Qual è la media e la varianza di tale distribuzione di Poisson?

3. Trovare con il metodo di Newton la radice dell’equazione e ^−x −x = 0

con almeno 4 cifre esatte dopo la virgola.

4. Si calcoli con il metodo di Eulero una soluzione approssimata del pro- blema di Cauchy:

( y ⁰ = 2xy y(1) = 3

e si confrontino i risultati ottenuti con i valori della soluzione esatta y = 3 e ^x

⁻¹ .

Valutazione: 7, 8, 10, 10.

Prova scritta del 19/01/2010

1. L’urna I contiene 3 palline bianche (B) e 2 nere (N ), l’urna II contiene 1 B e 4 N , l’urna III contiene 4 B e 3 N . Se si sceglie una urna a caso e si estrae i pallina B, qual è la probabilità che sia stata scelta l’urna I?

2. Si risolva l’equazione x ³ = cos x + 1 con almeno 6 cifre decimali esatte.

3. Determinare il polinomio di Newton passante per i punti (1, 2), (2, 5), (3, 4), (4, 6).

4. Trovare la retta di regressione y = mx + n per i punti (1, −1), (2, 1), (1, 4), (3, 5), (4, 6), (3, 8), (5, 7), (6, 10), (7, 11). Valutare tale retta per x = 3 e, calcolando il coefficiente di correlazione, dire se tale retta approssima i dati in modo soddisfacente. Si calcoli anche la covarianza.

Valutazione: 8, 11, 8, 8.

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2 Miscellanea

2.1 Esercizi pratici

1. Risolvere l’equazione x ³ − x − 1 = 0 con 6 cifre decimali esatte.

2. Trovare il polinomio di Newton passante per i punti (1, 0), (2, 2), (3, 1), (4, 2).

3. Supposto che il 10% di una popolazione sia allergico a un farmaco, qual è la probabilità che considerando un campione di 10 individui, questo ne contenga al più 3 allergici? Qual è la probabilità che ne contenga più di 3?

2.2 Domande di teoria

1. Si descriva l’integrale di Riemann-Stieltjes e si dica qual è il suo uso nella teoria della probabilità.

2. Enunciare e dimostrare il teorema di Newton per trovare numericamen- te una radice di un’equazione.

3. Dare la definizione e un esempio di malcondizionamento di Ax = b.

4. Descrivere il metodo di Gauss per risolvere Ax = b.

5. Cosa si intende per fenomeno di Runge nell’interpolazione?

6. Si descriva il metodo di Eulero per risolvere numericamente un’equa- zione differenziale.

7. Quali sono le proprietà della varianza?

15. Approssimazione della binomiale mediante Φ(x) (funziona di riparti- zione della variabile normale).

16. Definizione degli errori di 1 ^a e 2 ^a specie. Come renderli minimi.

17. Descrizione di alcuni test statistici.

Un’utile introduzione all’integrale di Riemann Stieltjes può essere trova- to all’indirizzo web http://www.dse.uniba.it/Corsi/docenti/Mininni/

dispense%20matematica%202/STIELTJES.pdf.

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3 Svolgimento di alcuni esercizi

Esercizio 1. In un esame scritto con risposte multiple, un quesito ha n pos- sibili risposte e lo studente deve semplicemente mettere una croce su quella che ritiene corretta. Supposto che la probabilità che lo studente conosca la risposta giusta sia p e che risponda correttamente, qual è la probabilità che abbia risposto bene solo per caso?

Soluzione. Consideriamo gli eventi

• A ₁ = “Lo studente conosce la risposta giusta”;

• A 2 = “Lo studente non conosce la risposta giusta”;

• B = “Lo studente risponde correttamente alla domanda”.

Dai dati in nostro possesso sappiamo che P (A ₁ ) = p,

P (A ₂ ) = P (A ₁ ) = 1 − p.

Inoltre, se lo studente conosce la risposta giusta la crocerà e dunque P (B|A ₁ ) = 1 (è un evento quasi certo); se lo studente non conosce la soluzione dovrà scegliere casualmente fra le n risposte possibili (supponendo che per lui, in questo caso, risultino tutte equiprobabili) e quindi P (B|A ₂ ) = ¹ _n . Dunque, per il teorema delle probabilità totali:

P (B) = P (B|A 1 )P (A 1 )+P (B|A 2 )P (A 2 ) = 1·p+ 1

n (1−p) = 1

n (1+p(n−1)).

Per il teorema di Bayes la probabilità richiesta è data da:

varianza V (X) = σ ² finite. Allora la disuguaglianza di Cebicev ci assicura che

∀ρ > 0 P (|X − µ| ≥ ρ) ≤  σ ρ

 2

. Per dimostrare ciò osserviamo che

σ ² = Z +∞

−∞

(x − µ) ² dF (x) =

= Z

|X−µ|≥ρ

(x − µ) ² dF (x) + Z

|X−µ|<ρ

(x − µ) ² dF (x).

Ciascuno dei due integrali a ultimo membro è non negativo, quindi:

σ ² ≥ Z

|X−µ|≥ρ

(x − µ) ² dF (x) ≥

≥ Z

|X−µ|≥ρ

ρ ² dF (x) =

= ρ ² Z

|X−µ|≥ρ

dF (x) =

= ρ ² P (|X − µ| ≥ ρ) da cui la tesi.

Dalla disuguaglianza di Cebicev deriva che P (|X − µ| < tσ) ≥ 1 −  σ

tσ

 2

. Dunque, per t = 2 abbiamo

P (|X − µ| < 2σ) ≥ 1 −  σ 2σ

 2

= 1 − 1

4 = 75%, per t = 3:

P (|X − µ| < 3σ) ≥ 1 −  σ 3σ

 2

= 1 − 1 9 = 8

9 ≈ 89%.

Esercizio 3. In un negozio ci sono lampadine provenienti da due industrie A e B nelle proporzioni del 30% e 70% rispettivamente. Le lampadine pro- venienti da A sono difettose nel 5% dei casi, mentre quelle provenienti da B sono difettose nel 10%.

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Sapendo che le lampadine vengono vendute in confezioni di 10 pezzi, tutti provenienti dalla stessa fabbrica, se ispezionando una di queste confezioni viene trovata una lampadina difettosa, qual è la probabilità che la confezione provenga da A? Se non si trova alcuna lampadina difettosa, la probabilità che provenga da A aumenta o diminuisce?

Soluzione. Consideriamo gli eventi:

• A=“La lampadina scelta proviene dall’industria A”;

• B=“La lampadina scelta proviene dall’industria B”;

• D=“La lampadina scelta è difettosa”.

Dai dati in nostro possesso abbiamo che:

• P (A) = 30% = ₁₀ ³ ;

• P (B) = 70% = ₁₀ ⁷ ;

• P (D|A) = 5% = ₂₀ ¹ ;

• P (D|B) = 10% = ₁₀ ¹ .

La probabilità che scelta una lampadina a caso questa sia difettosa è data, per il teorema delle probabilità totali, da:

P (D) = P (D|A)P (A) + P (D|B)P (B) = 3 10

1 20 + 7

10 1

10 = 17 200 . Per rispondere alla seconda domanda consideriamo gli eventi

• A=“La scatola scelta proviene dall’industria A”;

dal teorema delle probabilità totali:

P (D) = P (D|A)P (A) + P (D|B)P (B) =

= 10 1

 1 20

 19 20

 9

3

10 + 10 1

 1 10

 9 10

 9

7

10 = 0.366.

Quindi, per il teorema di Bayes, la probabilità che presa una scatola da 10 pezzi a caso contenente una lampadina difettosa questa provenga dall’indu- stria A è:

P (A|D) = P (A)P (D|A)

P (D) =

3 10

10 1

₁

20 19 20

9

0.366 = 0.258.

Nel caso in cui non si trovino lampadine difettose, la probabilità precedente si calcola con la stessa formula tenendo presente che, però, questa volta abbiamo:

P (D|A) = 10 0

  19 20

 10

P (D|B) = 10 0

  9 10

 10

.

Esercizio 4. In una scatola si trovano due dadi, une dei quali è truccato in modo tale che P (X = 6) = ¹ ₃ e le altre facce abbiano tutte la stessa probabilità, mentre l’altro dado è corretto. Se viene scelto a caso uno dei due dadi e il risultato del lancio è 6, qual è la probabilità che il dado sia truccato?

Soluzione. Consideriamo gli eventi:

• A ₁ = “viene estratto il dado truccato”;

• A ₂ = “viene estratto il dado regolare”;

• B = “il risultato del lancio è 6”.

Poiché il daddo viene estratto casualmente abbiamo P (A 1 ) = P (A 2 ) = 1

2 .

Inoltre, per il teorema delle probabilità totali:

P (B) = P (A ₁ )P (B|A ₁ ) + P (A ₂ )P (B|A ₂ ) = 1 2 1 3 + 1

2 1 6 = 1

4 .

15

P (A 1 |B) = P (A ₁ )P (B|A ₁ )

P (B) =

1 2 1 3 1 4

= 2 3 .

Esercizio 5. Si ricavi la distribuzione di Poisson di parametro λ (P (X = k)), come limite della distribuzione binomiale P (X _n = k) (per n → ∞), essendo X _n ≈ B(n, λ/n). Qual è la media e la varianza di tale distribuzione di Poisson?

Soluzione.

n k

  λ n

 k  1 − λ

n

 n−k

=

= n(n − 1)(n − 2) . . . (n − k + 1) k! n · n · · · n

| {z }

n volte

λ ^k

 1 − λ

n

 n  n n − λ

 k

=

= λ ^k k!

 1 − 1

n

  1 − 2

n

 . . .



1 − k − 1 n

  1 − λ

n

 n  n n − λ

 k

→ n

→ n

λ ^k k! e ^−λ .

La media e la varianza di una variabile aleatoria X che segue una distribu- zione di Poisson sono entrambe uguali a λ. Queste possono ancora essere ricavate come limite, rispettivamente, della media e della varianza di una variabile aleatoria X _n ≈ B(n, λ/n):

EX = lim

n EX n = lim

n n λ n = λ,

λ 

λ 

• Esercizio 3 del 29/02/2008: 2x ⁵ + 3x ² − 3x − 1 = 0 nell’intervallo (0, 1).

Soluzione: 0.7411556356;

• Esercizio 2 del 23/05/2008: x ² = 1 − sin x con x > 0. Soluzione:

0.63673265;

• Esercizio 2 dell’11/07/2008: x ² = cos x con x > 0. Soluzione: 0.824132312;

• Esercizio 2 del 19/09/2008: e ^−x −x = 0. Soluzione: 0.56714329.

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