Numeri complessi

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Numeri complessi

3.1 Definizioni e propriet`a

La comparsa dei numeri complessi `e legata, da un punto di vista storico, alla risoluzione delle equazioni di secondo grado. L’equazione

x²+ 2px + q = 0 (3.1)

ammette le soluzioni

x = −p ±p

p²− q, (3.2)

da cui si deduce che, se il discriminante p² − q `e negativo, la (3.1) non ha radici (reali).

Per tentare di avere sempre soluzioni (di qualche natura), si pu`o ampliare il campo in cui si definisce l’espressione (3.2), procedendo come segue. Si pu`o, intanto, scrivere

x = −p ±p

(−1)(q − p²) = −p ±√

−1p

q − p² (3.3)

e, introducendo il simbolo i per rappresentare√

−1, si scrive infine x = −p ± ip

q − p².

I due numeri −p + ip

q − p² e −p − ip

q − p² (detti numeri complessi ) sono soluzioni della (3.1). Infatti, operando con le ordinarie regole del calcolo algebrico (valide per i numeri reali), si pu`o verificare che essi soddisfano l’equazione.

Le precedenti considerazioni contengono gli elementi fondamentali per costruire la teoria dei numeri complessi. Considerando infatti il simbolo α+iβ, si pone l’attenzione sulla coppia ordinata di numeri reali α, β. Inoltre, nel definire le operazioni sui numeri complessi, si dovrà garantire che siano conservate, finché possibile, tutte le proprietà formali delle operazioni sui numeri reali. Basate su questi due criteri, vengono di seguito elencate le principali definizioni della teoria dei numeri complessi.

Chiameremo numero complesso una coppia ordinata di numeri reali; adotteremo per esso

— in via provvisoria — il simbolo (a, b).

Una coppia del tipo (a, 0) sar`a considerata identica al numero reale a e si scriver`a

(a, 0) = a (3.4)

In tal modo i numeri complessi comprenderanno, come caso particolare, i numeri reali. Dati due numeri complessi (a, b), (c, d), essi si diranno uguali — e si scriver`a (a, b) = (c, d) — se sono verificate le due uguaglianze a = c e b = d.

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Capitolo 3. Numeri complessi

Dati due o pi`u numeri complessi (a₁, b₁), (a₂, b₂), . . . , (a_n, b_n), chiameremo loro somma il numero complesso (a₁ + a₂+ . . . + a_n, b₁ + b₂+ . . . + b_n) e si scriver`a

(a₁, b₁) + (a₂, b₂) + . . . + (a_n, b_n) = (a₁ + a₂ + . . . + a_n, b₁+ b₂+ . . . + b_n) (3.5)

Dati due numeri complessi (a, b), (c, d) chiameremo loro prodotto il numero complesso (ac − bd, bc + ad) e si scriver`a

(a, b) · (c, d) = (ac − bd, bc + ad). (3.6) Nel caso di tre fattori si ha:

(a, b) · (c, d) · (e, f ) = [(a, b) · (c, d)] · (e, f ) = (ac − bd, bc + ad) · (e, f ). (3.7) e si procede analogamente nel caso di pi`u fattori.

Le potenze di un numero complesso con esponente n, intero non negativo, si definiscono come per i numeri reali

(a, b)⁰= 1, (a, b)¹= (a, b),

e, per n > 2, si definisce (a, b)ⁿ come il prodotto di n fattori uguali ad (a, b).

Sul prodotto tra numeri complessi vale poi il seguente risultato:

3.1.I Condizione necessaria e sufficiente affinché il prodotto di due o più numeri complessi sia nullo è che uno almeno di essi sia uguale a zero.

La notazione più usata per rappresentare i numeri complessi è la a + ib; in base alle definizioni poste essa acquista un significato preciso. Fra i numeri complessi fin qui definiti c’è anche la coppia (0, 1); si conviene di indicare con la lettera i questo particolare numero complesso, che si chiamerà unità immaginaria:

(0, 1) = i. (3.8)

Dato allora un qualsiasi numero complesso (a, b), si pu`o scrivere (a, b) = (a, 0) + (0, b); inoltre si ha (0, 1) · (b, 0) = (0, b), cosicch´e risulta

(a, b) = (1, 0) · (a, 0) + (0, 1) · (b, 0) ovvero

(a, b) = a + ib. (3.9)

Usando la notazione a + ib, il termine a si chiama parte reale del numero complesso (a, b), il termine ib si chiama parte immaginaria.

Come conseguenza della notazione (3.9), l’uguaglianza di due numeri complessi a + ib = c + id significa l’uguaglianza delle parti reali (a = c) e quella dei coefficienti dell’unit`a immaginaria (b = d). Per la somma dei numeri complessi si pu`o scrivere, in luogo della (3.5):

(a₁+ ib₁) + (a₂+ ib₂) + . . . + (a_n+ ib_n) = (a₁+ a₂+ . . . + a_n) + i(b₁+ b₂ + . . . + b_n).

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Per quanto riguarda il prodotto, si osserva innanzitutto che dalla (3.6) segue

i² = (0, 1) · (0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 1 · 0 + 0 · 1) = (−1, 0) = −1; (3.10) dopo ci`o la regola per il prodotto si ricorda facilmente osservando che ad essa si perviene mediante i seguenti passaggi:

(a + ib) · (c + id) = ac + ibc + iad + i²bd = (ac − bd) + i(bc + ad).

Osserviamo che risulta

i⁰= 1, i¹ = i, i² = −1, i³= −i, i⁴ = 1, i⁵ = i, . . . ossia che le potenze di i si riproducono periodicamente di quattro in quattro.

Per la sottrazione e la divisione fra numeri complessi si adottano le stesse definizioni che valgono per i numeri reali.

Dati due numeri complessi z₁ = a+ib, z₂ = c+id, esiste uno ed un solo numero complesso z tale che z₂+ z = z₁; si tratta, evidentemente, del numero z = (a − c) + i(b − d), e si chiama la differenza dei numeri complessi z₁, z₂ e si scrive z = z₁ − z₂. Si ha dunque

z₁− z₂ = (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d).

Prima di trattare della divisione è bene trattare il concetto di numeri coniugati. I due numeri complessi a + ib, a − ib si dicono coniugati; se uno di essi viene indicato con z, l’altro si indicherà con ¯z. Si vede che il coniugato di un numero reale è il numero stesso e che, viceversa, se un numero complesso z è uguale al suo coniugato ¯z, allora z è necessariamente reale.

Osserviamo che, se z = a + ib, si ha

z + ¯z = 2a, z − ¯z = 2ib.

Sussiste inoltre la relazione

z ¯z = a²+ b²,

ove il numero reale non negativo nel secondo membro si chiama la norma del numero complesso a + ib.

Per definire la divisione fra numeri complessi, osserviamo che, dati due numeri complessi z₁ = a + ib, z₂ = c + id, di cui il secondo diverso da zero, esiste uno ed un solo numero complesso z = x + iy tale che z₂z = z₁. Infatti quest’ultima relazione equivale alla (c + id)(x + iy) = a + ib, ossia alle cx − dy = a, dx + cy = b. Moltiplicando la prima per c, la seconda per d e sommando, si trovano le (c²+ d²)x = ac + bd, (c²+ d²)y = bc − ad. Essendo per ipotesi z₂ 6= 0, la norma c²+ d² non `e nulla, onde deve necessariamente essere

x = ac + bd

c²+ d², y = bc − ad

c²+ d² (3.11)

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ossia

z = ac + bd

c²+ d² + ibc − ad c²+ d²

Il numero complesso z si chiama il quoziente dei due numeri complessi z₁, z₂ (con z₂ 6= 0) e si indica con z₁/z₂. Per il suo calcolo non si segue in pratica il metodo precedente, ma si approfitta delle due osservazioni seguenti:

1. se z₂ `e reale (z₂ = c) si ha

z₁

z₂ = a + ib

c = a

c +ib c come subito si ricava dalle (3.11);

2. comunque si scelga il numero complesso w 6= 0, si pu`o scrivere z₁

z₂ = z₁w z₂w; infatti, posto z₁/z₂ = z, si ha (z₂w)z = (z₂z)w = z₁w.

Tenuto conto di ciò, per calcolare rapidamente z₁/z₂, basta moltiplicare numeratore e denominatore per il numero coniugato del denominatore, cioè considerare il quoziente z₁z¯₂/z₂z¯₂ il cui denominatore è reale (è la norma di z₂), e poi applicare la prima osservazione.

In altri termini, si procede cos`ı:

a + ib

c + id = (a + ib)(c − id)

(c + id)(c − id) = (ac + bd) + i(bc − ad)

c²+ d² = ac + bd

c²+ d² + ibc − ad c²+ d² .

Definita la divisione si pu`o parlare del numero reciproco o inverso di un dato numero complesso z = a + ib 6= 0; si tratta del numero

1

z = 1

a + ib = a − ib

a²+ b² = a

a²+ b² − i b a²+ b².

Si pu`o anche definire la potenza di z 6= 0 con esponente intero negativo −n, mediante la stessa formula che si pone nel campo reale, e cio`e

z⁻ⁿ= 1 zⁿ.

3.2 Rappresentazione geometrica di numeri complessi

Come i numeri reali si possono rappresentare con i punti di una retta sulla quale si sia stabilito un sistema di ascisse, cos`ı i numeri complessi si possono rappresentare con i punti di un piano nel quale si sia fissato un sistema di assi cartesiani ortogonali: basta far corrispondere

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al numero complesso z = a + ib il punto A di ascissa a e ordinata b e viceversa. Tale punto si chiama l’immagine del numero complesso z, e spesso semplicemente il punto z.

In questa rappresentazione, ai numeri reali corrispondono i punti dell’asse delle ascisse (che si chiama perci`o asse reale), mentre ai numeri immaginari corrispondono i punti dell’asse delle ordinate (che si chiama perci`o asse immaginario).

Assieme alle coordinate cartesiane (a, b) del punto A, si considerano anche le coordinate polari — riferite al polo O e all’asse polare x — cio`e il raggio vettore ρ > 0 espresso dalla

ρ =p

a²+ b² (3.12)

e, supponendo A 6= O, l’anomalia ϕ definita (a meno di multipli di 2π) dalle cos ϕ = a

ρ = a

√

a²+ b², sin ϕ = b

ρ = b

√

a²+ b². (3.13)

Si chiamano modulo ed argomento del numero complesso z = a + ib rispettivamente il raggio ρ e l’anomalia ϕ della sua immagine A.

Il modulo ρ si indica anche con |z| ed `e uguale alla radice quadrata della norma di z.

Questa pu`o quindi indicarsi con |z|², oltre che con z ¯z.

L’argomento ϕ — definito solo se z 6= 0 — si indica anche con Arg z; esso pu`o assumere infiniti valori i quali, una volta determinatone uno, ϕ₀, sono tutti forniti dalla formula ϕ₀+ 2kπ, con k intero (positivo, negativo o nullo).

Poich´e dalla (3.13) segue

a = ρ cos ϕ, b = ρ sin ϕ, si pu`o scrivere

a + ib = ρ cos ϕ + iρ sin ϕ = ρ(cos ϕ + i sin ϕ),

che rappresenta la forma trigonometrica del numero complesso a + ib, supposto non nullo.

Viceversa, data un’espressione del tipo ρ(cos ϕ + i sin ϕ) con ρ > 0, essa fornisce un numero complesso, non nullo, di cui ρ `e il modulo e ϕ `e uno dei valori dell’argomento.

La rappresentazione dei numeri complessi in termini di modulo e argomento risulta parti- colarmente utile per eseguire le operazioni di moltiplicazione e di divisione, come sintetizzato dai seguenti risultati.

3.2.I Il modulo del prodotto di due o più numeri complessi è uguale al prodotto dei moduli dei numeri dati; inoltre, se tale prodotto non è nullo, il suo argomento è uguale alla somma degli argomenti dei numeri dati.

3.2.II Il modulo del quoziente di due numeri complessi z₁, z₂ (con z₂ 6= 0) `e uguale al quoziente dei moduli dei numeri dati; inoltre, se tale quoziente non `e nullo, il suo argomento

`e uguale alla differenza degli argomenti dei numeri dati.

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Applicando il (3.2.I) al calcolo del prodotto di n fattori uguali al numero complesso z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), si ottiene la importante formula di Moivre:

[ρ(cos ϕ + i sin ϕ)]ⁿ= ρⁿ(cos nϕ + i sin nϕ) (3.14) ove n `e un numero intero (positivo, negativo o nullo).

3.3 Radici di numeri complessi

Dati un numero complesso z ed un numero intero positivo n, si chiamer`a radice n-esima di z ogni numero complesso w tale da aversi

wⁿ= z. (3.15)

Se z = 0 si ha necessariamente w = 0, se z 6= 0 sar`a w 6= 0; si possono allora considerare le forme trigonometriche

z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ), w = σ(cos θ + i sin θ),

ove ρ, ϕ sono numeri noti, mentre σ, θ sono incogniti. Per la formula di Moivre la (3.15) diventa

σⁿ(cos nθ + i sin nθ) = ρ(cos ϕ + i sin ϕ).

Affinch´e si verifichi questa uguaglianza occorre e basta che i due numeri complessi abbiano lo stesso modulo ed i loro argomenti differiscano per multipli di 2π, vale a dire σⁿ = ρ, nθ = ϕ + 2kπ (con k intero) e quindi

σ = |√ⁿ

ρ|, θ = ϕ + 2kπ

n ,

ove il simbolo |√ⁿ

ρ| indica la radice n-esima aritmetica del numero reale e positivo ρ.

Dunque, le possibili radici n-esime w del numero complesso z, di modulo ρ e argomento ϕ, sono tutte comprese nella formula

w = |√ⁿ ρ|

cos ϕ + 2kπ n

+ i sin ϕ + 2kπ n

(3.16) ove k `e un arbitrario numero intero (positivo, negativo o nullo).

Se nella (3.16) si pone successivamente

k = 0, 1, 2, . . . , n − 1, (3.17)

per due qualsiasi di questi valori non si verifica che la loro differenza sia multipla di n e perciò essi danno luogo a n valori distinti per w. Qualunque altro valore di k si consideri, esso differirà per un multiplo di n da uno (e da uno solo) dei valori (3.17) e quindi farà ritrovare per w uno degli n valori già considerati. Vale quindi il seguente risultato:

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3.3.I Ogni numero complesso non nullo z = ρ(cos ϕ + i sin ϕ) ammette n e solo n radici n-esime, le quali sono date dalla formula

√n

z = |√ⁿ ρ|

cos ϕ + 2kπ n

+ i sin ϕ + 2kπ n

(3.18) nella quale si ponga successivamente k = 0, 1, 2, . . . , n − 1.

Poich´e gli n numeri forniti dalla (3.18) hanno tutti lo stesso modulo |√ⁿ

ρ|, le loro immagini stanno tutte su una stessa circonferenza col centro nell’origine e raggio |√ⁿ

ρ|, e poich´e i loro argomenti sono

ϕ n,ϕ

n +2π n ,ϕ

n+ 22π

n , . . . ,ϕ

n + (n − 1)2π n ,

`e evidente che, se n > 2, dette immagini si dispongono secondo i vertici di un n-agono regolare inscritto in tale circonferenza.

Nel caso particolare z = 1 (ρ = 1, ϕ = 0) la (3.18) fornisce

√n

1 = cos 2kπ n

+ i sin 2kπ n

, (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1). (3.19)

Queste radici n-esime dell’unit`a permettono di scrivere la (3.18) sotto altra forma. Se nella (3.18) si attribuisce a k un qualsiasi particolare valore (intero) k^∗, si ottiene una particolare radice n-esima di z, che si designer`a con w^∗. Posto dunque

w^∗= |√ⁿ ρ|

cos ϕ + 2k^∗π n

+ i sin ϕ + 2k^∗π n

se si moltiplica questo numero w^∗ successivamente per le n radici n-esime dell’unit`a fornite dalla (3.19), si ottengono gli n numeri

w = |√ⁿ ρ|

cos ϕ + 2(k^∗+ k)π n

+ i sin ϕ + 2(k^∗+ k)π n

i quali coincidono con le n radici n-esime del numero z. Si pu`o dunque scrivere in luogo della (3.18):

√n

z = w^∗·√ⁿ 1 ed enunciare il seguente risultato:

3.3.II Per calcolare le n radici n-esime di un numero complesso, basta calcolarne una; si ottengono poi tutte moltiplicando questa per le n radici n-esime dell’unit`a.

Possiamo ora definire la potenza di un numero complesso con esponente razionale. Detti m, n due interi positivi, che supporremo primi fra loro, si pone come nel caso dei numeri reali

z^m/n = √ⁿ z^m, z^−(m/n) = 1

z^m/n = 1

√n

z^m (per z 6= 0);

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`e inteso che queste operazioni non danno un risultato unico, ma ne danno n.

Anche per queste potenze con esponente razionale vale la formula di Moivre:

[ρ(cos ϕ + i sin ϕ)]^m/n= pⁿ

ρ^m(cos mϕ + i sin mϕ) ossia

[ρ(cos ϕ + i sin ϕ)]^m/n = ρ^m/n

cos mϕ + 2kπ n

+ i sin mϕ + 2kπ n

, (k = 0, 1, 2, . . . , n − 1).