APPENDICE A) AL CAPITOLO III: APPROFONDIMENTO SUI POLINOMI DI LEGENDRE

(1)

APPENDICE A) AL CAPITOLO III:

APPROFONDIMENTO SUI POLINOMI DI LEGENDRE

Nel problema di Sturm-Liouville a vi è un caso particolare: la cosiddetta ‘equazione differenziale di Legendre che si presenta in numerosi problemi, specialmente in quelli che godono di simmetria sferica. L’equazione differenziale di Legendre è così definita:

(

)

(

)

2 2 2 1 x d y 2xdy n n 1 y 0 dx dx − − + + =

( )

1

dove n è un numero reale.

Questa equazione può essere risolta con metodi standard delle serie di potenze. Esistono soluzioni date da serie convergenti per x<1 e, se n è intero, allora esistono soluzioni convergenti anche per

1

x= ± . Le soluzioni di tale equazione sono dette funzioni di Legendre di grado n. Quando n è un intero non negativo, per esempio n=0,1, 2,...,∞, le funzioni di Legendre sono definite come polinomi di Legendre P xn

( )

b

.

Proprietà dei polinomi di Legendre.

1) Formula di Rodrigues: il polinomio di Legendre P x_n

( )

di grado n può essere espresso mediante la formula di Rodrigues:

a

L’equazione di Sturm-Liouville, dal nome dei matematici Jacques Charles François Sturm (1803-1855) e Joseph Liouville (1809-1882), è un’equazione differenziale del secondo ordine reale nella forma:

( )

[ ]

( )

*

condizioni al contorno sull'intervallo a,b

d dy p x q x y x y dx dx λω    − + =  _ _  ₊ 

Le funzioni p x

( )

, q x

( )

e ω

( )

x sono note, e nei più semplici dei casi sono continue su un intervallo chiuso e finito

[ ]

a b, La funzione ω

( )

x è chiamata funzione "peso" o "densità". Il valore di λ non è specificato nell'equazione; cercare i valori di λ per cui esiste una soluzione non banale del problema

( )

* fa parte del cosiddetto problema di Sturm-Liouville (S-L). I valori di λ, se esistono, sono detti autovalori del problema al contorno definito dalla

( )

* . Le corrispondenti soluzioni (per un certo λ) sono le autofunzioni del problema.

b_{L’equazione di Legendre}

( )

(2)

( )

1

(

2 1

)

2 ! n n n n n d P x x n dx   = __ − __

( )

2 con n=0,1, 2,...,∞

2) Ortogonalità dei polinomi di Legendre: i polinomi di Legendre P xn

( )

, con n=0,1, 2,...,∞,

formano una base completa nell’intervallo 1− ≤ ≤x 1. Infatti si può dimostrare che:

( ) ( )

1 1 0 se 2 se 2 1 m n m n P x P x dx m n n − ≠   = =  ₊ 

∫

( )

3

Sfruttando l’ortogonalità dei polinomi di Legendre, una funzione continua f x

( )

, applicata ad una variabile x definita sull’intervallo − ≤ ≤1 x 1, può essere espressa in termini di polinomi di Legendre secondo la seguente relazione:

( )

0 n n n f x c P x ∞ = =

∑

( )

4 dove

( )

( ) ( )

1 1 2 1 2 n n n c x f x P x dx − + =

_∫

( )

4.1

Questa espansione ortogonale è anche nota come espansione in serie di Fourier-Legendre o espansione in serie di Fourier generalizzata.

3) Ulteriori proprietà dei polinomi di Legendre: i polinomi di Legendre godono delle seguenti

proprietà:

▪ P_n

( ) ( ) ( )

− = −x 1n P x_n ;

▪ P xn

( )

è una funzione pari se n è pari;

▪ P xn

( )

è una funzione dispari se n è dispari.

4) Formula di ricorrenza dei polinomi di Legendre:

I polinomi di Legendre possono essere ricavati anche tramite la seguente formula ricorsiva:

(3)

I primi polinomi di Legendre sono:

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

( )

(

)

0 1 2 2 3 3 3 3 4 2 4 5 3 5 6 4 2 6 1; ; 1 3 1 ; 2 1 5 3 ; 2 1 5 3 ; 2 1 35 30 3 ; 8 1 63 70 15 ; 8 1 231 315 105 5 16 P x P x x P x x P x x x P x x x P x x x P x x x x P x x x x = = = − = − = − = − + = − + = − + −

(4)

Polinomi di Legendre normalizzati

I polinomi di Legendre normalizzati differiscono dai polinomi di Legendre perché hanno norma unitaria, ossia:

( )

1 1 0 se 1 se m n m n NP x NP x dx m n − ≠  = = 

∫

( )

6

dove NP x_n

( )

e NP_m

( )

x sono i polinomi di Legendre rispettivamente di grado n ed m

normalizzati.

Pertanto i polinomi di Legendre normalizzati si ricavano dai polinomi di Legendre dividendo questi

ultimi per 2 1 2 n+ . Quindi:

( )

2 1

( )

2 n n n NP x = + P x

( )

7

Conseguenza della definizione dei polinomi di Legendre normalizzati: una funzione continua

( )

f x , applicata ad una variabile x definita sull’intervallo − ≤ ≤1 x 1, è espressa in termini di polinomi di Legendre normalizzati secondo la seguente relazione:

( )

0 n n n f x c NP x ∞ = =

∑

( )

8 dove

( )

1 1 n n c x f x NP x dx − =

_∫

( )

8.1

Polinomi ortogonali applicati ad una variabile definita su un intervallo generico [a,b]

Se una variabile x è definita su un intervallo a≤ ≤x b, con a≠ −1 e/o b≠1, si possono comunque impiegare i polinomi di Legendre. Infatti si definisce una variabile t che cambia nell’intervallo

1 t 1

− ≤ ≤ e che è collegata ad x tramite la relazione lineare che si ottiene facendo corrispondere i valori estremi delle due variabili:

0 0 1 1 corrisponde a 1 corrisponde a 1 x a t x b t = = − = =

Quindi attraverso l’equazione che individua la retta passante per i due punti

(

x t₀, ₀

)

e

(

x t₁,₁

)

si ricava:

0 0 1 0 1 0 1 2 t t x x t x a t t x x b a − ₌ − _→ + ₌ − _→ − − − 2 1 x a t b a −   = _ _− −  

( )

8

a

b

x

-1

1 t

(5)

Si può operare un cambiamento di variabile: tramite la

( )

8 si sostituisce la variabile x con la t . Pertanto è possibile applicare i polinomi di Legendre alla t .

Oppure tramite la

( )

8 si possono ricavare dei polinomi P xˆ_n

( )

corrispondenti a quelli di Legendre, ma applicati alla variabile x che appartiene all’intervallo

[ ]

a b, . Ossia:

( )

(

)

( )

0 0 1 1 2 2 2 2 ˆ 1 1 ˆ 2 1 1 _ˆ 1 3 1 3 2 1 1 2 2 P t P x x a P t t P x b a x a P t t P x b a = → = −   = → =  ₋ −    _ ₋ _      = − → =   _ ₋ _−  −        ecc….., dove t∈ −

[ ]

1,1 , x∈

[ ]

a b, .

Se si intende operare con polinomi normalizzati, allora è necessario dividere i polinomi P xˆn

( )

per

2n 1 x + ∆ , dove x∆ = −b a a . Quindi: ˆn

( )

2 1ˆn

( )

n NP x P x x + = ∆

( )

9

Per esempio si consideri il caso in cui x appartenga all’intervallo

[ ]

0,b . I polinomi normalizzati applicati ad x fino al quarto grado sono i seguenti:

( )

0 1 2 2 2 2 3 3 2 3 3 2 4 2 4 1 ˆ _; 3 2 ˆ _{1 ;} 5 1 2 5 6 6 ˆ ₃ ₁ ₁ _{1 ;} 2 7 1 2 2 7 20 30 12 ˆ ₅ ₁ ₃ ₁ _{1 ;} 2 9 1 2 2 ˆ ₃₅ ₁ ₃₀ ₁ ₃ 8 NP x b x NP x b b x NP x x x b b b b b x x NP x x x x b b b b b b b x x NP x b b b =   =  −     _ _  _ _ =  _ − _ − = _ − + _          _ _ _ _ _ _ =  _ − _ − _ − _= _ − + − _            _ _ _ _ = _ − _ − _ − _ +      4 3 2 4 3 2 9 70 140 90 20 1 x x x x b b b b b  _ _ = − + − +   _ _    _

(6)

0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.5 1 1.5 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -2 -1 1 2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 -1 1 2 3