Relazioni di ricorrenza - Errata Corrige

Relazioni di ricorrenza - Errata Corrige

pag. 3, riga -18 ... la successione an= 3(2ⁿ) − n − 2, ...

pag. 6, riga -10 Au_n+ Bv_n = c₁(Au_n−1+ Bv_n−1) + · · · + c_r(Au_n−r+ Bv_n−r), pag. 8, riga 18 x³− 3x²+ 4 = (x − 2)²(x + 1).

pag.15, 16, soluzione esempio 1.40 Soluzione. Posto n = 2^kn₀, con n₀ fissato, e posto x_k = a₂kn₀, la relazione precedente diventa la relazione lineare di ordine 2

xk = 5xk−1− 6xk−2+ 2^kn0.

Il polinomio caratteristico `e x<sup>2</sup>− 5x + 6 che ha 2, 3 come radici. La soluzione generale della relazione omogenea `e x_k = A2^k+ B3^k con A e B costanti arbitrarie. Dato che 2 `e radice del polinomio caratteristico, cerchiamo una soluzione particolare della relazione del tipo x<sub>k</sub> = αk2<sup>k</sup>. Da x<sub>k</sub> = 5x<sub>k−1</sub>− 6x<sub>k−2</sub>+ 2<sup>k</sup>n<sub>0</sub>si deduce 2αk = 5α(k − 1) − 3α(k − 2) + 2n<sub>0</sub>, da cui α = −2n<sub>0</sub>. La soluzione generale `e x_k = A2^k+ B3^k− 2^k+1kn₀ con A e B costanti arbitrarie. Per determinare la soluzione generale della relazione di partenza ricordiamo che n = 2^kn0 e quindi an = x_log

2(n/n0):

an= A2^log2(n/n0)+ B3^log2(n/n0)− 2^log2(n/n0)+1n0log₂(n/n0), da cui

an= A(n/n0) + B(n/n0)^log23− 2n log₂(n/n0).

(a) Dai dati iniziali si ricava n0= 1, 2 = a1= A + B e 1 = a2= 2A + 3B − 4. Quindi A = 1 e B = 1 e pertanto la soluzione `e an= n + n^log23− 2n log₂n.

(b) Dai dati iniziali si ricava n0 = 3, 2 = a3 = A + B e 1 = a6 = 2A + 3B − 12. Quindi A = −7 e B = 9 e pertanto la soluzione `e a_n= −7(n/3) + 9(n/3)^log23− 2n log₂(n/3).

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