Gli esiti delle elaborazioni sono stati impiegati per affinare le modellazioni FEM eseguite sulla Torre Volognana e per valutare e quantificare le criticità strutturali tramite analisi numeriche previste nella n

4. Valutazioni di vulnerabilità strutturale sulla Torre Volognana e sul Salone di Donatello utilizzando i risultati ricavati da tecnologia TLS

A seguito delle informazioni ricavate da tecnologia TLS, il lavoro si è incentrato sulla possibilità di utilizzare le stesse nelle classifiche verifiche di vulnerabilità strutturale.

Gli esiti delle elaborazioni sono stati impiegati per affinare le modellazioni FEM eseguite sulla Torre Volognana e per valutare e quantificare le criticità strutturali tramite analisi numeriche previste nella normativa vigente.

I dati TLS ci hanno infatti permesso di valutare con maggior confidenza la struttura della Torre, sia in fase statica che in fase dinamica.

Come ipotizzabile, la Torre ha mostrato una vulnerabilità a presso-flessione denotando inoltre alte tensioni di compressione già in fase statica.

Sono state inoltre verificate a ribaltamento le pareti del Salone di Donatello.

4.1 Analisi sui materiali, del terreno e quantificazione del grado di incertezza sulla conoscenza della struttura

Secondo le NTC08, una qualsiasi analisi strutturale preliminare prevede sempre un grado di incertezza. Come nel nostro caso specifico, non sempre è infatti possibile effettuare prove sui materiali ed avere a disposizione documentazioni tecniche tali da agevolare la conoscenza della struttura.

La Torre di Volognana è stata oggetto di un consolidamento negli anni 80': ciò nonostante non è stato possibile reperire tutta la documentazione inerente salvo pochi accenni inseriti su una pubblicazione (Capitolo 1).

Anche a livello geometrico, se è vero che esternamente è stato possibile usufruire delle numerosissime informazioni date da laser scanner, altrettanto è da evidenziare come all’interno non sia stato effettuato un completo rilievo.

A nostro favore ha comunque giovato la possibilità di utilizzare il rilievo architettonico e strutturale elaborato dall’Ing. Alessandro Degl’Innocenti per l'esecuzione della verifica LV1 del Museo Nazionale del Bargello, su cui è stata basata parte della modellazione FEM.

Per tali motivi di incertezza, comuni nelle indagini su edifici storici, anche le stesse

normative nazionali, nel cap. 8, fanno riferimento a livelli di conoscenza conseguiti

nelle indagini conoscitive, ai quali corrispondono varie limitazioni ad esempio sulle

caratteristiche del materiale, e a dei fattori di confidenza, coefficienti da utilizzare o

direttamente nelle verifiche o assieme ai coefficienti di sicurezza.

Livello di conoscenza:

La procedura di verifica richiede di individuare un corretto livello di conoscenza come indicato al par. 8.5.4. del D.M. 14 gennaio 2008 e al par. C8A.1.A.4 della Circolare n.617 del 2 febbraio 2009. Sulla base degli approfondimenti effettuati nelle fasi conoscitive dell’edificio in esame, si ritiene di assumere un livello di conoscenza minimo pari a 1.

Fattore di confidenza:

Il fattore di confidenza consente di graduare l’attendibilità del modello di analisi strut- turale. Tale parametro, che può assumere valori compresi tra 1 e 1,35, è determinato in funzione dell’approfondimento del rilievo geometrico e delle indagini materico-co- struttiva, meccanica e sul terreno e le fondazioni. Seguendo le indicazioni delle Linee Guida per la valutazione e riduzione del rischio sismico del patrimonio culturale allinea- te alle nuove Norme tecniche per le costruzioni (D.M. 14 gennaio 2008), il fattore di confidenza è stato così determinato:

 rilievo geometrico: rilievo geometrico completo,

 identificazione delle specificità storiche e costruttive della fabbrica: restituzione parziale delle fasi costruttive e interpretazione del comportamento strutturale fondate su un limitato rilievo materico e degli elementi costruttivi associato alla comprensione e alla verifica delle vicende di trasformazione (indagini documen- tarie e tematiche, verifica diagnostica delle ipotesi storiografiche),

 proprietà meccaniche dei materiali: parametri meccanici desunti da dati già di- sponibili,

 terreno e fondazioni: disponibilità di dati geotecnici e sulle strutture fondazio- nali, limitate indagini sul terreno e sulle fondazioni.

Partendo dalle ipotesi sopra riportate, per i fattori parziali di confidenza si assumono dunque i valori riportati nella tabella seguente.

Descrizione valore u. m.

a) rilievo geometrico 0,05 -

b) Ident. delle specificità storiche e costruttive della fabbrica 0,06 -

c) proprietà meccaniche dei materiali 0,12 -

d) terreno e fondazioni 0,03 -

Ne consegue il seguente valore del fattore di confidenza: FC = 1,26.

4.1.1 Il Materiale

La visita in loco, lo studio della documentazione storica confermata dagli studi con il laser scanner ed i documenti a nostra disposizione ci hanno indicato varie fasi temporali di costruzione della struttura.

Questo ovviamente va ad aumentare la difficoltà nella definizione del materiale.

La differenza tra le varie tipologie murarie riscontrate ha comunque in comune delle importanti peculiarità:

- la muratura risulta composta da due paramenti in pietra forte riempite con il sistema a sacco di pietrame e calce alla rinfusa. Secondo quanto evinto dalla documentazione storica, la malta risulta di bassa qualità;

- vennero praticate durante il consolidamento delle microcuciture consistenti in fori obliqui tra i due paramenti in pietra, in cui vennero inserite barre filettate f12 con malta additivata ad una distanza di circa 1 metro tra loro;

- sono state inserite delle barre disposte ad elica sui quattro lati della torre.

Considerato ciò si è ipotizzato un materiale omogeneo in ogni parte della struttura, di non alta qualità, tenuto conto anche che il metodo delle iniezioni non dà certezza di consolidamento omogeneo dell’intero sacco se non effettivamente verificato con indagini. Per quanto riguarda l’inserimento di barre elicoidali, abbiamo ipotizzato che grazie ad esse sia stato assicurato l’ammorsamento tra le pareti.

Tenuto conto di ciò, considerando che i paramenti sono costituiti da pietra forte squadrata e tenendo conto delle tabelle fornite in bibliografia e normativa, abbiamo stimato le caratteristiche della muratura:

Peso Specifico 19 kN/m

,

Resistenza a compressione Fm= 2,5 MPa Resistenza a taglio Fkw = 0.4 kg/cm

Modulo elastico E longitudinale = 2400 MPa Modulo elastico G trasversale = 500 MPa

Nella tabella seguente sono riportati i valori assunti per le caratteristiche meccaniche e di resistenza delle volte, costituite da muratura realizzata in mattoni di laterizio

descrizione valore u. m.

a) resistenza media a compressione della muratura 250 N/cm

b) resistenza media a taglio della muratura 7,0 N/cm

c) valore medio del modulo di elasticità normale della muratura 1500 N/mm

d) valore medio del modulo di elast. tangenziale della muratura 500 N/mm

e) peso specifico medio della muratura 18 kN/m

4.1.2 Definizione delle caratteristiche del terreno

I dati per le valutazioni esposte sono stati ricavati da un’indagine sismica effettuata dal Geologo Riccardo Martelli, su incarico del Dott. Ing. Degl'Innocenti, con esecuzione di una linee sismica a rifrazione, di un’indagine Masw ed con il rilevamento geologico eseguito nell’area circostante.

Le specifiche acquisite sono stati integrate con i dati di alcuni sondaggi a carotaggio continuo facenti parte del quadro conoscitivo del Piano Strutturale del Comune di Firenze e pubblicati sul sistema informativo comunale ed alcuni pozzi esistenti nell’area del centro storico di Firenze.

Inoltre è stata consultata la documentazione storica inerente, soprattutto al fine della valutazione del rischio sismico.

- Caratterizzazione del terreno Prova MASW:

L’indagine MASW ha individuato tre livelli: un primo livello di uno spessore di circa 6,0/7,0 m di terreni caratterizzati da velocità delle onde SH inferiori a 400 m/s, un livello di transizione dotato di velocità crescente, ed un bedrock sismico dotato di velocità ben superiori a 800 m/s.

Lungo la linea grazie al profilo di Vs ricavato dall’indagine MASW, è stata stimata la categoria di suolo. In funzione dei contrasti di velocità riscontrati e dei rapporti geometrici esistenti, è risultata CATEGORIA E, coerentemente con le informazioni sull’assetto stratigrafico locale.

- Caratterizzazione del terreno VS30:

A partire dal modello sismico monodimensionale riportato, è stato possibile calcolare il valore delle Vs30, che rappresenta la velocità di propagazione entro 30 m di profondità delle onde di taglio.

Per il calcolo delle Vs30 si fa riferimento alla seguente espressione, riportata nel D.M.

14.09.2005 e nel D.M. 14.01.2008 (“Norme tecniche per le costruzioni”):

dove Hi e Vi indicano lo spessore (in m) e la velocità delle onde di taglio dello strato i- esimo, per un totale di N strati presenti nei 30 m superiori.

Utilizzando la formula sopra riportata è stata stimata anche la categoria di suolo, che

in funzione dei contrasti di velocità riscontrati e dei rapporti geometrici esistenti,

risultata CATEGORIA E, coerentemente con le informazioni sull’assetto stratigrafico

locale.

Considerazioni sull’interazione fra terreno e struttura:

Il fabbricato e la Torre non appaiono interessati da lesioni legate a fenomeni di rottura localizzata o cedimento differenziali pertanto sono da escludere fenomeni di cedimenti fondali differenziali. Non è stato possibile eseguire saggi diretti sulle fondazioni per problemi logistici; pertanto, al fine di una analisi globale completa si premette che questo lavoro dovrà essere preso come step iniziale per studi futuri e non completamente determinante.

Come riscontrato nelle documentazioni tecniche sul consolidamento degli anni 80' e da testimonianze dirette del progettista Ing. Beer e del personale del Museo Nazionale del Bargello, le fondazioni della Torre risultano consolidate su tutti i lati tramite micropali, il tutto come riportato nel paragrafo appositamente dedicato ai lavori effettuati durante il consolidamento.

Tenuto conto di ciò e che le valutazioni strutturali sono da ritenersi indicative a livello qualitativo, nella modellazione FEM della Torre Volognana sono stati inseriti incastri come approssimazione dei vincoli di base.

4.1.3 Zonazione sismica di dettaglio dell'area urbana di Firenze e valutazione del rischio per i beni artistici e culturali

La città di Firenze non può essere ritenuta un’area a rischio sismico nullo o comunque molto basso, a causa della relativa vicinanza da importanti sorgenti sismiche, poste a nord ed a sud della città. La prima sorgente, capace nel passato di generare terremoti di magnitudo Ms compresa tra 5 e 6, è locata nel bacino del Mugello, a nord di Firenze (circa 30-40 km dal centro cittadino); la seconda con magnitudo storiche stimate più basse si situa invece a sud della città, relativamente più vicina al nucleo urbano rispetto alla precedente (circa 15 km di distanza dal centro cittadino).

Proprio quest’ultima costituisce l’area sismogenetica responsabile dei maggiori effetti macrosismici risentiti a Firenze e zone limitrofe (terremoti del 1453 e del 1895). In particolare il terremoto del 18 maggio 1895 (e replica del 6 giugno) rappresenta l’evento più importante finora documentato per la città di Firenze e per questo motivo può essere considerato il terremoto di riferimento per le valutazioni qualitative e quantitative dell’impatto sismico sul territorio del Comune.

A tal fine è stato analizzato in dettaglio il risentimento avvertito nell’area urbana di Firenze a causa dei terremoti del 1895, sia per quanto concerne l’intera città, che per parti della stessa, fino al livello di singoli edifici, allo scopo di individuare eventuali zone o costruzioni maggiormente esposte al rischio sismico.

Le fonti utilizzate per la ricerca hanno incluso, oltre ai lavori pubblicati da Cioppi

conservata presso il Dipartimento di Scienze della Terra dell’Università di Firenze e soprattutto le perizie dell’Ufficio Tecnico del Comune e gli appunti di Padre Giovannozzi (allora direttore dell’Osservatorio Ximeniano) relativi alle case più danneggiate nella città di Firenze e nei suoi dintorni. Sulla base delle classificazioni fornite nella scala EMS92 (Grünthal, 1993 Scala Macrosismica Europea), per ogni edificio descritto dalle fonti è stato valutato il grado di danno subito. Inoltre attraverso una ricognizione diretta agevolata anche dalla sostanziale identità urbanistica tra la città di fine ‘800 e quella attuale, ogni edificio è stato georeferenziato ed è stata data anche una stima speditiva della classe di vulnerabilità, previa integrazione con ulteriori informazioni tratte dalle perizie stesse o da altre testimonianze.

Assegnando un valore intero crescente per ciascuna classe di vulnerabilità e di grado di danno, è stato calcolato un “indice di scuotimento” relativo a ciascun edificio come somma di tali indici numerici. Si può osservare come questo nuovo parametro sia consistente con la scala EMS92 poiché ogni suo valore corrisponde ad una combinazione “danno-vulnerabilità” che si presenta con la stessa indicazione di

“quantità” (pochi o molti) nelle descrizioni dei diversi gradi della scala stessa. La valutazione dell’intensità EMS92 è stata fatta in modo automatico per l’intera città e per suddivisioni interne ad essa calcolando in ogni area l’indice di scuotimento più frequente ed aggiungendo due unità.

In figura 113 sono mostrati i risultati di tali elaborazioni su celle di 500 m di lato, centrate sui nodi di una griglia con un passo di 50 m. Come visibile, il Palazzo del Bargello è ubicato a cavallo tra gli effetti segnalati come grado VI e grado VII.

Fig. 115 Elaborazione dei danni causati dal terremoto del 1895 a Firenze. La

locazione del Bargello è indicata con il punto

4.2 Analisi strutturali sulla Torre Volognana

Utilizzando modellazioni agli elementi finiti con l'ausilio della tecnologia TLS, sono state effettuate valutazioni sulla vulnerabilità strutturale della Torre Volognana.

La Torre, completamente in muratura, si eleva per circa 55 m.

Gli impalcati sono costituiti da solai in orditura di travi e travetti in legno massiccio, ad eccezione del primo impalcato, dell’ultimo impalcato di calpestio e di quello copertura, costituiti da volte a crociera in muratura con presenza di catene.

Fig. 116 - Sezioni della Torre Volognana

Fig. 117 - Sezione del Museo Nazionale del Bargello e della Torre Volognana

4.2.1 Analisi dei Carichi

Si riportano in successione le determinazioni effettuate.

-Carico neve:

Il carico dovuto all’azione della neve è stato condotto seguendo le indicazioni riportate al par. 3.4 del D.M. 14/01/2008 e quindi tramite la seguente espressione:

dove

i è il coefficiente di forma della copertura, qsk è il valore caratteristico di riferimento del carico neve al suolo, Ce è il coefficiente di esposizione, Ct è il coefficiente termico.

Nella tabella seguente è riportato il valore di ciascuno dei termini sopra elencati.

Descrizione valore u. m.

a) coefficiente di forma della copertura i 0,80

b) valore caratteristico di riferimento del carico neve al suolo qsk 1,00 kN/m²

c) coefficiente di esposizione Ce 1

d) coefficiente termico Ct 1

Valore dei fattori per il calcolo dell’azione della neve.

In relazione alla seguente altitudine sul livello del mare del sito di ubicazione del Palaz- zo as= 60 m,il valore del carico neve sulla copertura è pari a: qs = 0,80 kN/m

.

- Calcolo dell’azione del vento:

Il vento, la cui direzione si considera generalmente orizzontale, esercita sulle costru- zioni azioni che variano nel tempo e nello spazio provocando, in generale, effetti dina- mici. Per le costruzioni usuali tali azioni sono convenzionalmente ricondotte ad azioni statiche equivalenti.

Velocità di riferimento

La velocità di riferimento v

è il valore caratteristico della velocità del vento a 10 m dal suolo su un terreno di categoria di esposizione II mediata su 10 minuti e riferita ad un periodo di ritorno di 50 anni.

In mancanza di specifiche ed adeguate indagini statistiche v

è data dall’espressione:

v

= v

per as<=a

v

= v

+ k

(as – a

) per a

< as <1500 m dove:

vb,

, a

, k

sono parametri tabellati e legati alla regione in cui sorge la costruzione in esame e as è l’altitudine sul livello del mare (in m) del sito ove sorge la costruzione.

In Toscana: 27 vb,

[m/s] - 500 a

[m] - 0,020 ka [1/s]

s i sk E t

q = m × q × C × C

Le azioni statiche del vento sono costituite da pressioni e depressioni agenti normal- mente alle superfici, sia esterne che interne, degli elementi che compongono la costru- zione. L’azione del vento sul singolo elemento viene determinata considerando la com- binazione più gravosa della pressione agente sulla superficie esterna e della pressione agente sulla superficie interna dell’elemento.

Nelle nostre considerazioni abbiamo considerato che l’effetto del vento da computare nei calcoli sia quello per la quota superiore a 25m, in cui termina l’accostamento con gli altri edifici.

Pressione del vento

La pressione del vento è data dall’espressione: p = q

·c

·c

·c

dove q

è la pressione cinetica di riferimento; c

è il coefficiente di esposizione; c

è il coefficiente di forma (o coefficiente aerodinamico), funzione della tipologia e della geo- metria della costruzione e del suo orientamento rispetto alla direzione del vento (il suo valore può essere ricavato da dati suffragati da opportuna documentazione o da prove sperimentali in galleria del vento); c

è il coefficiente dinamico con cui si tiene conto degli effetti riduttivi associati alla non contemporaneità delle massime pressioni locali e degli effetti amplificativi dovuti alle vibrazioni strutturali.

Pressione cinetica di riferimento

La pressione cinetica di riferimento q

(in N/m²) nel nostro caso è pari a 456 N/m².

Calcolo azione del vento

Seguendo quanto previsto dalle NTC08:

AZIONE DEL VENTO

Zona 3 Distanza dalla costa >30 km

Rugosità A Altitudine 60 m slm

Categoria di esposizione V z - altezza edificio 55 m

vb 27 m/s Velocità di riferimento

qb 456 N/mq Pressione cinetica di riferimento

ct 1 Coefficiente di topografia

kr 0,23

Parametri per la definizione del coefficiente di esposizione

zo 0,70 m

zmin 12 m

ce 2,62 Coefficiente di esposizione

cd 1 Coefficiente dinamico

Press. del vento: P = qb·ce·cp·cd con [cp= 1] 1195 N/mq

Verranno considerati azioni dovute al vento pari a 120 daN/m

.

Strutture orizzontali e collegamenti verticali:

Nel presente paragrafo si riportano le analisi dei carichi relativa agli impalcati. I carichi sono stati inseriti nelle modellazioni FEM per analizzare la fase statica.

In mancanza di rilievi più approfonditi e considerando che il presente lavoro è da con- siderarsi caso studio, l’analisi dei carichi condotta è in parte basata su ipotesi.

Al fine di aumentare il fattore di conoscenza si consiglia, per futuri studi, di effettuare ove possibile saggi sugli orizzontamenti.

Nella tabella seguente si riporta l’analisi dei carichi relativa al solaio del tipo tradizionale a semplice o doppia orditura di travi in legno massiccio:

descrizione valore u. m.

a) peso proprio delle travi principali in legno massiccio (= 6 kN/m³) g1,1 0,20 kN/m² b) peso proprio delle travi secondarie in legno massiccio (= 6 kN/m³) g1,2 0,20 kN/m² c) peso proprio del tavolato in legno massiccio (= 6 kN/m³) g1,3 0,40 kN/m²

d) peso proprio della caldana g1,4 0,80 kN/m²

e) TOTALE carichi permanenti strutturali g1 1,60 kN/m²

f) stucchi e decorazioni all’intradosso del solaio (non presente in tutte le volte) g2,1 0,40 kN/m²

g) Pavimentazione g2,2 0,60 kN/m²

h) TOTALE carichi permanenti non strutturali g2 1,00 kN/m2

Analisi dei carichi del solaio in legno

Nella tabella seguente si riporta l’analisi dei carichi dei solai con volte a crociera:

Descrizione valore u. m.

a) peso proprio della volta in elementi in laterizio (= 18 kN/m³) g1,1 5,25 kN/m² b) peso proprio del riempimento (= 15 kN/m³) (vedi paragrafo apposito) g1,2 5,50 kN/m²

c) TOTALE carichi permanenti strutturali g1 8,00 kN/m²

d) intonaco, stucchi e decorazioni all’intradosso del solaio g2,1 0,40 KN/m²

e) pavimentazione all’estradosso del solaio g2,2 0,60 KN/m²

f) TOTALE carichi permanenti non strutturali g2 1,00 kN/m²

Analisi dei carichi del solaio costituito da volta a crociera

In relazione alle destinazioni d’uso dei vari ambienti, si assumono per i carichi variabili i valori riportati nella tabella seguente, desunti dalla tab. 3.1.II del D.M. 14/01/2008.

Descrizione valore u. m.

a) cat. A (Ambienti ad uso residenziale) Q1 2,00 kN/m²

b) cat. C2 (Ambienti suscettibili di affollamento) Q3 4,00 kN/m²

Carichi variabili assunti.

Definizione dell’azione sismica:

L’azione sismica è determinata in conformità a quanto indicato al cap. 3 della Dir.

12/10/2007 e al par. 3.2. del D.M. 14/01/2008. Si riporta il calcolo del livello di sicu- rezza sismica di riferimento, in rapporto al quale è valutata la sicurezza sismica del manufatto in oggetto, ed il calcolo dell’azione sismica di progetto in base alla quale va- lutare il rispetto dello stato limite considerato, definita in base alla pericolosità sismica di base del sito di costruzione.

Livello di sicurezza sismica di riferimento

Ai fini della valutazione della sicurezza sismica, condotta nel seguito del presente stu- dio, è necessario definire un livello di sicurezza sismica di riferimento, differenziato in funzione delle caratteristiche proprie dei vari manufatti e del loro uso e quindi in fun- zione del livello di gravità delle conseguenze di un loro danneggiamento in seguito ad un evento sismico. A tale scopo è necessario definire:

 la vita nominale V

del manufatto, a cui è riferita la valutazione della sicurezza;

 la classe d’uso del manufatto, coerentemente a quanto indicato al par. 2.4.2.

del D.M. 14/01/2008 e a quanto esplicitato in allegato A, punto B.6 della Dir.

12/10/2007 con riferimento ai Beni Culturali.

L’azione sismica sulla costruzione è dunque valutata in relazione ad un periodo di rife- rimento definito come: V

= V

C

dove C

è il coefficiente d’uso, funzione della classe d’uso secondo quanto riportato in par. 2.4.3. del D.M. 14/01/2008.

In relazione al periodo di riferimento di cui sopra e allo stato limite considerato, cui è

associata una probabilità di superamento P

nel periodo di riferimento, è valutato il

periodo di ritorno di riferimento dell’azione sismica T

:

Per il caso in esame, si assumono i seguenti valori: V

= 50 anni, classe d’uso: III,

C

coefficiente d’uso: = 1,5.

Il periodo di riferimento per la valutazione dell’azione sismica sulla costruzione è dun- que pari a: V

= 75 anni.

Nell’eseguire le verifiche nei confronti dello Stato Limite di Salvaguardia della Vita (SLV), si fa riferimento ad azioni sismiche caratterizzate da probabilità di eccedenza del 10% su un periodo di riferimento V

(par. 3.2.1, del D.M. 14/01/2008), ovvero con un periodo di ritorno di riferimento pari a:

Nella seguente tabella si riassumono dunque i valori dei parametri che concorrono alla determinazione del li- vello di sicurezza sismica di riferimento.

descrizione valore u. m.

a) vita nominale 50 anni

b) classe d’uso III

c) coefficiente d’uso 1,5

d) periodo di riferimento per l’azione sismica 75 anni

e) Prob. di superamento nel periodo di riferimento per lo SLV 0,10

f) periodo di ritorno di riferimento dell’azione sismica 712 anni

Parametri per la determinazione del livello di sicurezza sismica di riferimento Pericolosità sismica di base

L’azione sismica di progetto in base alla quale valutare il rispetto dello stato limite considerato è definita con riferimento alla “pericolosità sismica di base” del sito di costruzione; quest’ultima è definita tramite le ordinate dello spettro di risposta elastico in accelerazione, a sua volta identificato tramite il valore dei seguenti parametri (par.

3.2. del D.M. 14/01/2008):

 accelerazione orizzontale massima in condizione di campo libero su sito di rife- rimento rigido con superficie topografica orizzontale (cat. A, quale definita al par. 3.2.2. del D.M. 14/01/2008);

 valore massimo del fattore di amplificazione dello spettro in accelerazione oriz- zontale;

 periodo di inizio del tratto a velocità costante dello spettro in accelerazione oriz-

zontale.

I valori di tali parametri sono ricavabili dall’allegato al D.M. 14/01/2008 per tutti i siti considerati sul suolo nazionale. Per il caso in esame, i valori di latitudine e longitudine (World Geodetic System 1984) identificativi della posizione del manufatto sono pari a:

Lat. = 43,7704°, Lon. = 11,2583°

In tali analisi lineari il fattore di struttura per la riduzione delle azioni sismiche, a meno di più accurate valutazioni, si assume, in analogia agli edifici in muratura ordinari, pari a 3.

Nella figura seguente si riporta lo spettro di risposta elastico in accelerazione che de- scrive la pericolosità sismica di base (cioè in condizione di campo libero su sito di rife- rimento rigido con superficie topografica orizzontale).

Fig. 118 - Spettro di risposta allo stato limite SLV

Calcolo peso, rigidezza e spinta delle volte a crociera presenti nella Torre Volognana:

Per calcolare i parametri necessari alla modellazione FEM delle volte a crociera presenti nel piano primo e nel piano di sotto copertura e copertura, abbiamo analizzato una volta rettangolare delle dimensioni di 4,30·5,70m ed un’altezza in chiave di 1,95m, atta a schematizzare e semplificare il comportamento delle volte presenti nella Torre.

Considerando le unghie della volta a crociera come cilindriche a direttrici circolari ed uno spessore costante (semplificazione), con un diametro degli archi formeret pari a 2R, è possibile stimare il peso di un’intera unghia con una formula di derivazione matematica, proposta dal Prof. Como

:

G

= 1,142·g·R

Dove:

g= ·t con peso per unità di volume della muratura costituente il guscio e t spessore   dell’unghia

R= raggio arco formeret Quindi:

y= 18 kN/m

(volta in mattoni e malta) t= 15cm (stimato)

R

= 2,15m R

= 2,85m

G

= 1,142·18·0,15·2,152= 14,25 kN G

= 1,142·18·0,15·2,852= 25,04 kN W

= 2·G1+2·G2 = 128,68 kN

Peso a m

= 128,68 / (4,30*5,70) = 5,25 kN/m

E' stato in questo modo possibile calcolare il volume ed il peso del riempimento della volta. Per il calcolo del volume ci siamo riferiti a formule esemplificative basate sul volume della volta a padiglione tramite il bicilindro di Archimede.

Considerando che la formula semplificata si fonda sullo studio di una volta quadrata, abbiamo considerato come Raggio R la media tra R

e R

pari a 2,50m.

Il Volume del riempimento sopra la volta a padiglione, con spessore zero al centro, è pari a 4/3·R

.

Il volume all’interno della volta cilindrica generatrice è invece pari a ·R 

. Il volume del

riempimento posto sopra il semicilindro è quindi (4- )· R 

. Il volume poste sulle due

unghie della volta a crociera si ottiene sottraendo al volume del riempimento posto

sopra il semi-cilindro il volume posto al di sopra di due fusi della volta a padiglione.

Il volume del riempimento della volta a crociera, con spessore nullo al centro, è pari a:

Vrp= 0,383· R

, per cui: Vrp= 5,98 m

Considerando un peso per unità di volume pari a 15 kN/m

, possiamo ipotizzare un peso pari a: W

= 89,77 kN

Tenendo presente che dalle sezione disponibili sembra presente un ulteriore strato di riempimento sopra la chiave della volta stimabile in 15 cm:

W

= 15·0,15·5,70·4,30= 55,15 kN

Quindi peso totale riempimento: W

= 145 kN

(si ricorda che ogni considerazione è frutto di ipotesi: è possibile avere dati certi effettuando saggi finalizzati alla verifica dello spessore della volta e dell'effettiva presenza del riempimento)

E' stato infine possibile calcolare il peso totale della volta:

intonaco, stucchi e decorazioni all’intradosso del solaio: 0,40 kN/m

pavimentazione all’estradosso del solaio: 0,60 kN/m

Quindi:G

= 1·5,70·4,30= 24,51 kN

Peso totale volta: W

+W

+G

=298,20 kN

- Valutazione numerica della spinta della volta a crociera a pianta rettangolare

Il procedimento che abbiamo utilizzato per la valutazione numerica della spinta delle volte a pianta rettangolare trascura la presenza delle costole: nel nostro caso non sono effettivamente presenti, per cui è stato considerato lecito l'utilizzo di questa teoria.

Si fa riferimento a due abachi costruiti da analisi numerica (Albori,ecc.,2010-2012) di cui il primo fornisce il rapporto S/W (spinta/peso) in funzione del rapporto a/b tra la lunghezza dei lati in pianta e per diversi spessori t. Il valore a/b considerato negli abachi varia tra 1 e 2,5: il nostro caso rientra in questa tipologia essendo pari a circa 1,33 (5,70/4,30).

Le curve presenti nell’abaco (fig. 117) considerano il valore del raggio dell’arco di minor luce pari ad 1m, con b=2m. E’ stato reiterato il calcolo per diversi valori di t consentendo la costruzione di una sequenza di curve che forniscono il rapporto S/W in funzione di a/b per diversi valori di R

.

Importante ricordare che due archi diversi ma aventi eguali rapporti tra spessore e raggio, hanno uguale il rapporto tra la spinta massima ed il peso.

Lo stesso vale anche per la volta a crociera in stato di minima spinta dal momento che la volta è costituita da sequenza di fasce ad arco.

Si ricorda che la volta ha spessore t=0,15m e R

= b/2= 2,15m

Si calcola anzitutto lo spessore equivalente t

:

Lo spessore equivalente è lo spessore della volta di riferimento con R

=1m e spessore t

che quindi presenterà lo stesso rapporto S/W della volta assegnata.

Si riporta l’abaco su cui è possibile ricavare il rapporto S/W da t

e a/b.

Fig. 119 Abaco che fornisce S/W in funzione di a/b e teq Per intersezione ricaviamo un rapporto che può essere stimato in 0,20.

La spinta, in direzione delle diagonali, sarà quindi pari al 20% del peso totale.

S= 0,2·W = 60 kN

La spinta è stata inserita nei modelli FEM lungo i lati della torre tramite la regola del parallelogramma, ove non erano presenti le catene o per caso studio per simularne la presenza.

- Valutazione della rigidezza delle volte:

Un buon comportamento della struttura è garantito da un funzionamento scatolare che si realizza qualora elementi orizzontali e verticali sono perfettamente ammorsati tra loro. Per come è strutturata la torre oggetto di studio, con muratura molto spessa e lati abbastanza corti rispetto all'altezza, il comportamento probabilmente non risulta influenzato notevolmente dalla presenza o meno di piani rigidi: indubbiamente però la loro presenza sono indice di maggior sicurezza sismica.

I solai presenti, costituiti da solai lignei e tavolato e volte a crociera, non possono essere considerati indeformabili. Se per i solai lignei abbiamo quindi deciso per il non inserimento nel modello f.e.m., per le volte si è scelto di valutarne il comportamento preliminarmente ed il calcolo della rigidezza è risultato impegnativo.

Una strada percorribile era quella di modellare le volte tramite elementi finiti:

considerate le forme, la grande mole di lavoro necessaria ed il rischio di complicare inutilmente il modello, abbiamo deciso di percorrere un’altra soluzione.

Abbiamo scelto di sostituire a questi elementi tridimensionali, che presentano una

rigidezza diversa a secondo della direzione considerata, degli elementi

monodimensionali in grado di garantire lo stesso comportamento e deformabilità.

Un elemento qualsiasi soggetto ad una forza F in una direzione subisce uno spostamento  nella direzione della forza

.

Se ipotizziamo per il materiale un legame sforzi e deformazioni di tipo lineare, allora

= E·. Sapendo che = F/A e che= l/l allora K=F/= E·A/l, che è la rigidezza assiale dell’elemento che subisce una forza F.

Conoscendo K è possibile sostituire all’elemento in esame un altro elemento.

E’ possibile quindi trasformare la rigidezza in un’area tramite A= F·l/E·.

In questo abbiamo ipotizzato di sostituire alle volte due elementi monodimensionali posti nelle due direzioni.

Anche in questo caso l’area equivalente è stata calcolata su una volta a crociera semplificata rappresentante delle tre volte effettivamente in essere nella volta.

Le dimensioni considerate sono: 4,30·5,70m.

La volta è stata modellata tramite il software C.S.I. Sap2000 vers. 14 agli elementi finiti, necessario per il calcolo degli spostamenti dei punti di applicazione.

Le caratteristiche del materiale sono state definite per volte costituite da mattoni e malta. Si è preso a riferimento la normativa, considerando i valori minimi forniti; in particolare la E considerata è pari a 120000 N/cm

.

Applicando al modello delle forze unitarie, tramite le formulazioni precedenti si sono ricavate le aree equivalenti lungo le due direzioni principali.

Fig. 120 Elaborazioni FEM delle volte

Rigidezza direzione x:

l= 430cm

Aequivalente= 762,42 cm

Dim. Sez. = 24,88·30 cm Rigidezza direzione y:

l= 570cm

=0,00470cm

Aequivalente= 1010,63 cm

Dim. Sez. = 33,68·30 cm

Per la modellazione dei solai a volte è stato inserito come materiale “muratura di mattoni pieni e malta di calce”.

Per cogliere al meglio il comportamento di questi elementi, si è deciso di privarli di massa e di peso (utilizzando moltiplicatori=0), evitando l’impiego degli stessi a flessione e valutando esclusivamente sforzi e deformazioni assiali.

Come notato nella visione dei risultati dei modelli FEM successivamente esposti, e

come avevamo ipotizzato, vista la geometria della torre la rigidezza delle volte non

sembrerebbe occupare un ruolo primario nel comportamento della struttura.

4.2.2 Modellazione agli elementi finiti della Torre Volognana

Per utilizzare la tecnologia TLS nella modellazione agli elementi finiti sono stati effettuati vari tentativi per creare direttamente dalle nuvole dei punti dei modelli FEM.

Nonostante gli sforzi nel ricercare una soluzione a tale problema non siamo riusciti a raggiungere del tutto l'obiettivo prefissato, essenzialmente a causa di:

- difficoltà nella gestione di una grande mole di dati;

- presenza di rumore che aumentava la già difficile operazione di creazione di mesh;

- assenza in commercio (salvo prodotti di nicchia di macchinoso utilizzo) di software nati a tale scopo.

Considerato quanto sopra, è stato scelto di elaborare un modello FEM elaborando manualmente le nuvole dei punti per ricavare gli spigoli della Torre.

Nonostante la semplificazione si è appurata la possibilità di identificare concentrazioni di tensione alla base, difficilmente rilevabili con una modellazione costruita su un classico rilievo geometrico, considerando i prospetti verticali. Si sono confrontati i risultati ottenuti: il momento dovuto al fuori-piombo ha causato differenze anche di 0.3 MPa alla base.

Oltre a ciò, per identificare il comportamento della Torre sono stati perfezionati due modelli FEM, uno tale da considerare la torre come corpo libero, l'altro analizzandola come corpo inglobato nelle strutture adiacenti (la presenza di giunti, seppur probabilmente non soddisfacenti dal punto di vista sismico, e le analisi storiche, ci hanno portato comunque a considerarla, nelle successive analisi numeriche in fase sismica, come corpo indipendente dalla struttura del Palazzo).

I modelli FEM sono stati elaborati tramite l'utilizzo di elementi shell bidimensionali con forma poligonale e misura variabile, utilizzando il software C.S.I. Sap2000 vers. 14.

Ogni superficie dei modelli rappresenta il piano medio del volume della muratura; la totalità degli elementi costituisce la mesh, cioè la superficie discretizzata.

Per quanto identificato nell'analisi dell'iterazione tra struttura e terreno, e con l'intenzione di avere dei risultati indicativi sullo stato di fatto della Torre, abbiamo optato per la presenza di incastri alla base.

Per semplicità sono stati utilizzati elementi trave fittizi (ponendo tutti i modificatori=0)

distribuendo su essi i carichi derivanti dall’analisi.

4.2.2.1 Confronto tra Modello FEM creato da tecnologia TLS e Modello FEM ideale

Per utilizzare la tecnologia TLS nella modellazione agli elementi finiti sono stati effettuati vari tentativi per creare direttamente dalle nuvole dei punti dei modelli FEM.

Nonostante gli sforzi nel ricercare una soluzione a tale problema non siamo riusciti a raggiungere del tutto l'obiettivo prefissato.

La post elaborazione delle nuvole dei punti per questo scopo è infatti molto difficoltosa sia in ambiente Cad sia in ambienti dedicati come Geomagic o Polyworks.

La difficoltà è intrinseca nella mole delle informazioni disponibili ma anche nella complessità degli scostamenti geometrici presenti nella muratura storica: basti pensare infatti a fori pontai, difformità di planarità tra muratura e malta oltre alla presenza di decorazioni.

Per ovviare a questo abbiamo optato per costruire un modello dagli spigoli della Torre costruendo tramite essi facce 3D in ambiente Cad, successivamente traslate in modo da rappresentare il piano medio dei maschi murari.

Gli spigoli sono stati ricavati elaborando manualmente le nuvole dei punti ed approssimando le pendenza tenendo conto di quanto evidenziato negli studi elencati nel capitolo precedente inerente le fasi di costruzione della Torre.

Ovviamente tali operazioni comportano errori di elaborazione ma ci consentono ugualmente di prendere atto qualitativamente delle variazioni di tensione alla base dovute agli eventuali fuori piombo.

Nonostante questa semplificazione si è infatti appurata la possibilità di identificare picchi di tensione alla base dovuti al momento causato dai fuori-piombo, ovviamente non individuabili in un modello FEM costruito con prospetti verticali.

Tramite le elaborazioni FEM della Torre sono state verificate le zone della Torre più sollecitate.

Calcolando manualmente allo SLU la tensione alla base, i risultati trovati ci indicavano tensioni intorno ad 1 MPa (coerente con i dati trovati dall'Ing. Beer durante il consolidamento degli anni 80').

Per verificare tale dato e soprattutto per evidenziare le differenze tra un modello FEM classico costruito con prospetti verticali ed il modello costruito da nuvola dei punti, si riportano i risultati ottenuti (fig. 121).

I risultati ci portano ad apprezzare picchi di tensione alla base dovuti alla configurazione geometrica, con differenze registrabili nell'ordine di circa 0.3 MPa.

Nel nostro modello da TLS infatti si registrano picchi di compressione intorno a 1,3

MPa sul fronte prospiciente Via Ghibellina, non apprezzabili nell'altro modello ideale.

Oltre ai carichi verticali, abbiamo visionato l’andamento delle tensioni in caso di vento ortogonale al fronte maggiormente sollecitato; abbiamo considerato il vento agente solo sulla quota superiore alla copertura del Museo adiacente.

Nel caso di un evento meteorologico caratterizzato da forte vento, dimensionato come in apposito paragrafo riferendosi alle indicazioni della normativa vigente, le base registrerebbe picchi di tensione a compressione intorno a 1,5 MPa.

E’ importante notare come, a causa delle poche informazioni sulle caratteristiche meccaniche della muratura e dell'effettivo stato di fatto delle opere di consolidamento effettuate negli anni 80', sia difficile quantificare lo stato di fatto della struttura.

Dovessimo dare una indicazione, il limite di verifica a compressione si aggirerebbe intorno ad 1MPa (considerando FC e fattori di sicurezza).

Possiamo quindi affermare come già in fase statica la Torre si presenti fortemente caricata, come dimostra la necessità di ricorrere ad un consolidamento negli anni 80’

per la presenza di fessure dovute al superamento del limite di schiacciamento.

Per aumentare la conoscenza della struttura, è stato deciso di effettuare ulteriori modellazioni FEM in modo da studiare il comportamento dinamica della Torre, nel caso di struttura scollegata al Palazzo e nel caso di struttura parte integrante degli edifici adiacenti.

Fig. 121 - confronto delle tensioni alla base ricavate da modello FEM classico e da modello costruito dagli

spigoli elaborati da nuvole dei punti

4.2.2.2 Modello FEM Torre Volognana – struttura libera

Costruiti i modelli FEM, è stato deciso di indagare il comportamento dinamico della Torre senza interazione con le murature del Palazzo del Bargello. Essenzialmente il comportamento della struttura risulta essere nei primi modi quello di una semplice mensola; sono visibili anche moti che coinvolgono la cella campanaria.

Le murature sono state schematizzate tramite l’ausilio di elementi shell spessi piani. I vincoli utilizzati sono incastri alla base. Si riportano i principali modi di vibrare rilevati.

Fig. 122 - Modellazione f.e.m. Torre, elaborata utilizzando un classico rilievo geometrico, non tenente conto delle peculiarità

geometriche riscontrate con l'utilizzo del laser scanner

Le elaborazioni riportano coloriture rappresentanti le isocurve degli spostamenti totali degli oggetti aree in valore assoluto, inserite per facilitare la lettura delle deformate.

La scala di riferimento delle isocurve degli spostamenti è la seguente:

4.2.2.3 Modello della Torre con interazione con il Palazzo

Il secondo modello ha avuto come obiettivo lo studio della Torre in interazione con il Museo Nazionale del Bargello.

Al fine di simulare la presenza del Palazzo, la scelta è ricaduta sul ricostruire le due pareti effettivamente in adiacenza con la Torre.

Si riportano i modi di vibrare della Torre vincolata al Palazzo, rappresentati

nuovamente con l'utilizzo delle isocurve di spostamento:

Tramite l'utilizzo di questa modellazione è stato possibile visionare un comportamento completamente diverso rispetto alla precedente elaborazione rappresentante la Torre

“libera”. Si è notato innanzitutto una netta riduzione dei periodi propri della struttura.

Schematizzando e semplificando il comportamento, la Torre in questo caso tenderebbe a comportarsi come una mensola di luce pari alla zona non collegata al Palazzo: le pareti pertanto costituirebbero una sorta di incastro.

Anche in questo caso sono stati utilizzati shell a spessore “spesso” per discretizzare le murature della torre.

Nel proseguo della ricerca è stato deciso di effettuare elaborazioni numeriche sul modello a Torre libera, in quanto alla base condizione più gravosa e probabilmente più affine alla realtà.

Sono stati calcolati inoltre i potenziali spostamenti della Torre per valutare l'eventuale

vulnerabilità dei giunti presenti.

4.2.3 Valutazioni delle sollecitazioni da sisma sulla Torre Volognana

Considerate la presenza di numerose variabili, è stato deciso di effettuare un calcolo semplificato per identificare qualitativamente lo stato di fatto della struttura e la vulnerabilità strutturale ad un eventuale sisma.

Considerata la presenza dei giunti tra Palazzo e Torre si è deciso di analizzare la struttura senza l'interazione degli edifici adiacenti.

Una struttura a torre è nella realtà un sistema con massa distribuita, ad infiniti gradi di libertà e quindi ad infiniti modi di vibrazione; naturalmente i primi modi di vibrazione sono quelli più importanti ai fini della risposta sismica, perché predominanti per la partecipazione modale

.

Abbiamo eseguito in questo paragrafo procedure di calcolo e di verifica sufficientemente accurate, che possono essere applicate anche ai “Beni Tutelati” (come la Torre Volognana), per i quali sono previste dalla Direttiva del Febbraio 2011 possibilità di utilizzo di modelli più semplificati.

Già dalla visione della verifica LV1 svolta dall’Ing. Alessandro Degl’Innocenti sono emersi problemi sulla resistenza della Torre in caso di sisma; per questo motivo approfondiamo le valutazioni con ulteriori elaborazioni utili a determinare il comportamento globale della struttura ai fini della risposta sismica.

E’ noto dalla dinamica che l’equazione del moto di una mensola verticale incastrata a terra, a massa distribuita e per la quale si possono trascurare gli effetti del secondo ordine, può essere assimilata a quella di oscillatore semplice:

m*q’’+K*q=0 quando si assume:

m*=

∫

∫

)



= forma d’onda di oscillazione

 = massa distribuita sulla lunghezza

∫

q’’ = derivata seconda dello spostamento in funzione del tempo

se x’’ (t) è la forzante alla base (accelerogramma), l’equazione del moto si scrive:

m*q’’+K*q=-c*x’’

con: c*= ∫

La pulsazione (frequenza radiale) della struttura a torre, in analogia ad un oscillatore semplice, risulta: = √

La forma d’onda lineare (=z/H), interpreta in modo semplice il primo modo di vibrare

della struttura, ma una forma d’onda che rappresenta meglio il fenomeno oscillatorio, che rispetta le condizioni ai limiti, e che dovendo rappresentare la deformata della struttura, sia derivabile fino alla seconda derivata, può essere ad esempio di tipo quadratico: =z

/H

Per essa si ha dall’integrazione definita:

m*= ·H/5 K*= 4EJ/H

c*= ·H/3

e periodo dell’oscillazione: T*= 2·· √

· √

Conoscendo la risposta dell’oscillatore in termini di spostamento S

, si avrà lo spostamento della mensola lungo l’altezza:

y

(z)= S

·

In sommità della torre (z=H):

y

(z)= S

con uno spettro in termini di accelerazione si avrebbe:

y

= S

sviluppando:

y

: ·H

·S

/12EJ

moltiplicando e dividendo per l’accelerazione di gravità:

y

= ·g·H

·S

/12EJ·g

Facendo riferimento allo spettro di progetto per lo SLV (S

come nel paragrafo apposito calcolato), si può considerare la distribuzione del carico sismico orizzontale in funzione della quota z: p(z)=·(z)·c*·S

/m*= (5/3)··(g/H

)·S

·z

/g

Ponendo la costante C:

C=(5/3)··(g/H

)·S

/g Si scrive:

p(z)= C· z

Si ottiene così il momento agente alla generica altezza (z

) della torre per l’effetto del sisma:

M= ∫

)dz= C·(3H

-4zaH

+z

)/12 (da z

ad H) Il Taglio alla generica altezza (z

), risulta dall’integrale:

T= ∫

-z

)/3 (da z

ad H) Per la verifica alla base (z

=0) si ottiene:

M(z

=0)= C·H

/4

T(z

=0)= C·H

/3

Calcolo delle sollecitazioni e degli spostamenti massimi

Si esegue l’analisi sismica della Torre di Volognana, per semplicità considerata a sezione rettangolare cava (piccole difformità tra lati, uniformati attraverso media), di altezza H= 54,2m, per la quale è stato considerato un modulo elastico medio E=24000 daN/cm

.

Con i dati rilevati si calcolano le caratteristiche geometriche e statiche della sezione:

A= 7,36·5,79-4,58·3,28= 27,56m

Jx= (5,79

·7,36-3,28

·4,58)/12= 105,27 m

Jy= (7,36

·5,79-4,58

·3,28)/12= 192,20 m

Wx=Jx/(5,79/2)= 36,39 m

Pesi e masse distribuite (peso specifico p

1900 daN/m

)

Peso totale: N= A·H·p

+ n° 3 solai a volta + n°5 solai in legno – aperture ·p

(come da analisi dei carichi) = 2,72·10

daN

Peso distribuito: N/H= 5,21·10

daN/m Massa distribuita: m= 521 Kg/cm

= 521/981 = 0,53 (Kg/cm)/cm/s

Si calcola il periodo proprio di vibrazione nella direzione minore per confronto con quanto riscontrato da modello. Nei calcoli seguenti considereremo il minore tra quelli calcolati a vantaggio di sicurezza per il calcolo del Momento alla base.

T*= 2·· √

· √

· √

= 1,89 s

Considerando che con Sap2000 avevamo trovato un periodo proprio pari a 2,23 s, abbastanza similare, a vantaggio di sicurezza i calcoli sono stati effettuati con il T*

sovra calcolato.

Facendo riferimento allo spettro di progetto della normativa per lo SLV (q=3)

e considerando i parametri Tc, Td, a

, S, F

come calcolati in apposito paragrafo,

Si ha:

Sd=a

·S·(Fo/q)·(Tc/T*)=0,07g

Si calcola il massimo spostamento reale della Torre in sommità allo S.L.U.:

essendo T*>Tc; si ha d=q=3

y

=·g·H

·S

·d/12EJ·g=

= 30,45cm

Ad altezza di 26.5m, altezza degli edifici adiacenti, considerando una deformata di tipo quadratico =z

/H

, si avrà:

Y

=7,28 cm

Tale parametro è da considerare per eventuali fenomeni di martellamento con gli edifici adiacenti, verificando tramite sondaggio l’effettiva esistenza dei giunti.

Proseguendo la verifica sismica, il carico sismico orizzontale di progetto sull’altezza della torre sarà:

C=(5/3)··(g/H

)·Sd/g = (5/3)·0,53·(981/5420

)·(0,07g/g)=2,02·10

p(z)= C·z

= 2,02·10

·z

In sommità z=H

p=2,02·10

·5420

= 59,44daN/cm= 5944 daN/m Il momento massimo alla base della torre (z

=0):

M(z

=0)= C·H

/4=4,37·10

daNm Eccentricità:

e(za=0)= M/N = 1,547 m

Il massimo Taglio alla base (za=0):

T(za=0)) = C·H

/3=107398 daN

Verifiche di resistenza

Verifica a Pressoflessione delle murature:

Per le verifiche di resistenza di elementi a torre come nel nostro caso-studio, si procede alla verifica delle sezione più sollecitata sismicamente.

Nel caso di torre cava come la Torre Volognana, per la verifica a pressoflessione il momento ultimo può essere calcolato in modo semplificato con la seguente espressione (indicata anche nelle “Linee Guida per la valutazione e riduzione del

):

Mu= s

·A/2·(b-s

·A/(0,85·a·fd)) Dove:

A: area totale della sezione considerata, depurata delle eventuali aperture s

: tensione media sulla sezione (N/A)

b: lunghezza del lato parallelo all’azione sismica

f

: resistenza di calcolo a compressione della muratura Nel nostro caso ponendo:

N= 2,72·10

daN

A= 22,48 m

(depurata dalla due aperture alla base della struttura) so=N/A= 1,25 MPa

b= 578,5 cm a= 736 cm

f

= f

/(

·F

)=2,5/(2·1,26) = 0,99 MPa

Si ottiene per la direzione di minima resistenza:

Mu: 12,5·22,48·10

·(578,5-(12,5·22,48·10

/0,85·736·9,9))= 1,75·10

daNcm Facendo il rapporto tra i momenti:

Mu/Md= 1,75/4,37 <1

La sezione alla base in caso di sisma prevista dalla normativa risulta non verificata;

tale risultato va a rafforzare quanto già riscontrato nelle analisi di LV1 svolte dall’Ing.

Alessandro Degl’Innocenti.

Ovviamente, quando trattasi di Beni culturali tutelati, possono essere accettati anche valori di sicurezza inferiori; inoltre il materiale utilizzato nelle verifiche risulta essenzialmente a vantaggio di sicurezza. Ciò nonostante quanto riscontrato è da tener presente durante i prossimi studi sulla struttura.

Interessante è verificare la risposta della cella campanaria (potrebbe essere studiata anche come composta da quattro telai) con le formule sovra elencate:

N= 467646,728 daN

Peso distribuito = 37114,81968 daN/m massa distribuita = 371,15 Kg/cm

 0,378 (kg/cm)/cm/s

Ccella (z=41,60m)= 1,44 Mcella= 287387 daNm Tcella= 41959 daN Adepurata=14,40 m

Mu= 1176482 daNm Mu/M= 4,09

A pressoflessione, indicativamente, la cella risulta sopportare il carico sismico e per-

tanto questa sollecitazione parrebbe avere un effetto più insidioso alla base della torre.

Verifica a taglio delle murature:

Considerato quanto appurato con la verifica a pressoflessione e data la notevole eterogeneità delle vecchie murature, può essere consentito calcolare la resistenza a taglio, sulla sezione non parzializzata, tenendo conto della coesione della muratura con una procedura simile al vecchio POR:

Vt= A·1,5(

/b)· √

/1,5

) Dove:

A: area depurata dalle aperture

b: coefficiente correttivo preso pari ad 1,5 per sicurezza



= N/A



=

/FC·m = 7/1,26·2= 0,277daN/cm

Quindi:

A= 22,48 m

Vt = 348344 daN

T alla base = 107398 daN

La verifica a taglio alla base della Torre risulta pertanto verificata.

Con la stessa modalità (e ripetendo quanto già enunciato per la pressoflessione sulla possibilità di studio della cella come telai) siamo andati a verificare la resistenza a taglio alla base della cella campanaria.

A depurata: 14,40 m

Vt = 118588 daN

T (z=41,60m) = 41958 daN

La verifica a taglio della cella risulta anch'essa verificata.

Preso atto di quanto riscontrato, e vista la grande snellezza della Torre, la sollecitazione più insidiosa risulta essere la pressoflessione alla base della struttura.

Appare necessario verificare la presenza del giunto tra il Palazzo e la Torre, in modo da identificare e limitare eventuali fenomeni di martellamento.

Si vuole evidenziare come, durante i sopralluoghi nel Museo, si siano notati porzioni di solaio in legno del Palazzo poggianti sulla struttura muraria della Torre. Questi, anche se da non considerarsi vincoli per la Torre vista la loro bassa rigidezza assiale, potrebbero essere oggetto di collasso durante un evento sismico.

Le analisi dei dati laser scanner affiancate alle classiche verifiche strutturali hanno permesso di valutare anche le anomalie geometriche presenti.

I risultati trovati sono da considerarsi indicativi ma comunque orientativi sullo stato di

4.3 Verifica a ribaltamento dei muri nel Salone di Donatello

Analizzata la Torre Volognana con l'ausilio dei risultati riscontrati dalle elaborazioni TLS, si è deciso di verificare a ribaltamento le murature del Salone di Donatello;

morfologicamente avevamo registrato infatti la presenza di molte difformità geometriche, caratterizzate d'anomalia nella parte alta delle murature.

La coerenza dei risultati laser scanner nei muri analizzati interni ed esterni, ci ha permesso di ipotizzare un comportamento “tipo monolitico” della muratura sotto gli archi formeret delle volte a crociera. Per considerare esauriente la nostra verifica sarebbe necessario indagare le caratteristiche della muratura, consci dei vari restauri effettuati sull'edificio e soprattutto della scarsa resistenza meccanica riscontrata negli anni 80’ nelle indagine sui materiali sulla Torre limitrofa: i calcoli effettuati sono comunque da considerarsi indicativi sullo stato di fatto delle murature.

La normativa impone particolare attenzione ai possibili meccanismi di collasso locale delle strutture murarie, legati alla carenza di collegamenti con i solai; nel nostro caso il collegamento risulta palesemente assente, essendo pareti sottostanti ad archi formeret di volte a crociera.

Questa situazione può comportare fenomeni di instabilità, aggravati dalle anomalie individuate tramite analisi TLS.

In questi casi la verifica sismica può essere di estrema complessità, e non sempre è possibile una trattazione matematica rigorosa.

Un approccio possibile a questo tipo di problemi è l’analisi limite dell’equilibrio dei corpi rigidi non reagenti a trazione.

Sappiamo che una struttura è in equilibrio quando il lavoro virtuale di tutte le forze interne e di quelle esterne per un qualunque spostamento virtuale (compatibile con i vincoli) è nullo; si può allora scrivere:

Pi·i-Fh·h=Lj Dove:

i,h =spostamenti virtuali dei punti di applicazione delle forze

Pi·i= lavoro virtuale di tutti i pesi della struttura

Fh·h= lavoro virtuale di tutte le forze applicate (forze sismiche, spinte volte..)

Lj= lavoro di eventuali forze interne

Per un corretto procedimento di analisi di collasso locale, è opportuno:

- ipotizzare assenza di resistenza a trazione della muratura;

- individuare il possibile meccanismo di rottura locale;

- calcolare il lavoro virtuale in funzione di un coefficiente sismico  che determina

la crisi del sistema murario (=a

*/g)

- verificare allo SLU il collasso con analisi cinematica lineare, il valore  che soddisfi la disequazione:

a

*>= (a

·S/q)·(1+1,5 z/H) dove:

z: altezza rispetto alla fondazione del baricentro delle masse che generano le forze orizzontali sul cinematismo, in quanto non trasmette ad altre strutture dell’edificio;

H: altezza della struttura rispetto alla fondazione;

q: fattore di struttura (q=2)

Abbiamo studiato la parete prospiciente il cortile, denominata “3” nel capitolo precedente, posizionata sotto un arco formeret. Per sua stessa natura, la volta a crociera va a poggiarsi sui quattro pilastri rendendo inutili, al fine strutturale, le pareti sottostanti perimetrali.

Per questo motivo analizziamo il meccanismo di ribaltamento considerando una semplice cerniera alla base del solaio di calpestio del Salone di Donatello.

In tal caso si considera:

a

: 0,187g - S: 1,50 - H

17,60m - H

26,36m z=8,74(altezza solaio calpestio di Donatello)+17,60/2=17,54m q=2

ed il valore massimo dell’accelerazione spettrale di attivazione del meccanismo:

a

*

= (0,187·1,50/2)·(1+1,5·17,54/26,36)= 0,28g Si analizza il seguente meccanismo in fig 123.

Si ipotizza che per resistenza infinita della muratura a compressione, la struttura abbia un solo grado di labilità per cerniera attorno allo spigolo esterno (ovviamente, se durante le indagini meccaniche si rilevassero caratteristiche meccaniche scadenti, la cerniera plastica andrà posta nel baricentro della zona plastica per lo sforzo normale W e quindi spostata verso il centro della sezione).

Il parametro di riferimento del meccanismo sia

la piccola rotazione virtuale intorno a o

.

Indicando con Fi le forze esterne, il W il peso

Fig. 123 Meccanismo di ribaltamento