Perturbazioni luni-solari

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Perturbazioni luni-solari

6.1 Accelerazione di perturbazione

L’equazione del moto di un satellite in presenza di uno o pi`u corpi di pertur- bazione `e la seguente:

¨r + µ

r

r = a

(6.1)

dove a

`e l’accelerazione di perturbazione.

Il corpo di perturbazione pu`o essere rappresentato da un altro pianeta, ad esempio la Luna (vedi Fig.6.1):

Satellite

Luna

Terra

r

r

r

Figura 6.1: Sistema Terra-Luna-Satellite

¨r = − µ

r

r − µ

µ r

r

3

− r

r

3

¶

(6.2) dove µ

`e il parametro gravitazionale della Luna, r

`e il vettore congiun- gente il satellite e la Luna, mentre r

`e il vettore congiungente la Terra con la Luna. Un analogo procedimento si pu`o fare se si considera il Sole come corpo attrattore, giungendo a risultati analoghi a quelli ottenuti per la luna.

Per determinare le accelerazioni di perturbazioni tramite l’equazione (6.1), occorre determinare r

, nel caso della Luna e r

nel caso del Sole. Nel paragrafo seguente si proceder`a quindi al calcolo della posizione del Sole e della Luna rispetto alla Terra, per poi determinare in seguito la posizione del satellite rispetto al Sole e alla Luna.

6.2 Coordinate solari e lunari

Poich´e le forze esercitate da Sole e dalla Luna sono di entit`a minore rispetto a quelle esercitate dalla Terra, non `e necessario conoscere le coordinate luni- solari con grande precisione, ma ci si accontenta di coordinate soggette ad un errore dello 0.1 − 1% (cfr.[9]).

Per quanto riguarda la posizione del sole, si considerano dapprima gli ele- menti orbitali medi della traiettoria della terra intorno al sole, supponendo quest’ultima imperturbata:

a = 149600000 km e = 0.016709 i = 0

Ω + ω = 282.94

M = 357.5256

+ 35999.049

· T dove

T = (JD − 2451545.0)/36525.0

`e il numero di secoli giuliani dall’1 Gennaio 2000 e JD `e la data giuliana.

Partendo da questi elementi, si ricavano, attraverso le equazioni per le orbite

kepleriane, le espressioni per la longitudine λ

e per la distanza del sole r

λ

= Ω + ω + M + 6892

sin M + 72

sin 2M

r

= (149.619 − 2.499 cos M − 0.021 cos 2M) · 10

Km (6.3) in cui la latitudine ellittica δ

`e pressoch´e nulla con la precisione di 1

. Passando dalle coordinate sferiche alle coordinate cartesiane, si ottiene:

r

= [E (−ε)]



 



r

cos λ

cos δ

r

sin λ

cos δ

r

sin δ



 

 (6.4)

dove

E(−ε) =



 



1 0 0

0 cos α − sin α 0 sin α cos α



 

 (6.5)

ed

ε = 23.43929111

`e l’inclinazione del piano dell’eclittica, cio`e l’inclinazione dell’eclittica rispetto all’equatore terrestre. Poich´e quindi δ

= 0, si ottiene per la posizione del sole:

r

=



 



r

cos λ

r

sin λ

cos ε r

sin λ

sin ε



 

 (6.6)

Analogamente per la Luna `e possibile ricavare il vettore posizione rispetto alla Terra, partendo dagli elementi orbitali medi del moto della Luna rispetto al Sole. Il calcolo quindi si basa su 5 elementi fondamentali: la longitudine media L

della Luna, l’anomalia media della Luna l, l’anomalia media del Sole l

, la distanza angolare media della Luna dal nodo ascendente F , la differenza D tra le longitudini medie del Sole e della Luna:

L

= 218.31617

+ 481267.88088

· T − 1.3972

· T l = 134.96292

+ 477198.86753

· T

l

= 357.52543

+ 35999.04944

· T F = 93.27283

+ 483202.01873

· T D = 297.85027

+ 445267.11135

· T

(6.7)

Utilizzando tali parametri, `e possibile ricavare le longitudine e la latitudine lunare rispetto al piano dell’eclittica:

λ

= L

+ 22640

sin l + 769

sin 2l − 4856

sin(l − 2D) + 2370 sin(2D)

− 668

sin l

− 412

sin 2F − 212

sin(2l − 2D) − 206

sin(l + l

− 2D) + 192

sin(l + 2D) − 165

sin(l

− 2D) + 148

sin(l − l

)

− 125

sin D − 110

sin(l + l

) − 55

sin(2F − 2D) β

= 18520

sin(F + λ − L

+ 412

sin 2F + 541

sin l

)

− 526

sin(F − 2D) + 44

sin(l + F − 2D) − 31

sin(−l + F − 2D)

− 25

sin(−2l + F ) − 23

sin(l

+ F − 2D) + 21

sin(−l + F ) + 11

sin(−l

+ F − 2D)

(6.8) dalle quali si ottiene l’espressione della distanza della luna dalla terra:

r

= 385000 − 20905 cos l − 3699 cos (2D − l)

− 2956 cos (2D) − 570 cos (2l)

+ 246 cos (2l − 2D) − 205 cos (l

− 2D)

− 171 cos (l + 2D) − 152 cos (l + l

− 2D)

(6.9)

dove le distanze sono espresse in chilometri e dove quindi sono stati trascurati i termini inferiori a 150 km. Si procede quindi al cambiamento da coordinate sferiche a coordinate cartesiane, mediante la seguente trasformazione:

r

= [E (−ε)]



 



r

cos λ

cos β

r

sin λ

cos β

r

sin β



 

 (6.10)

Quindi se nell’equazione (6.1) venissero sostituite le equazioni (6.6) e (6.10),

otterremmo rispettivamente le accelerazioni perturbative del sole e della luna

sul tether.

6.3 Risultati numerici

Nel seguente paragrafo si riportano i risultati relativi alla fuga del tether in

presenza di accelerazioni di perturbazione luni-solare. I valori dell’orbita di

partenza sono analoghi al caso di dipolo inclinato, l’unica differenza rispetto

al caso imperturbato (e perci`o ideale), `e la presenza, nel sistema di equazioni

differenziali da integrare, di un termine aggiuntivo dovuto rispettivamente

alla presenza del sole e della luna; tali termini sono, come abbiamo visto,

espressi nell’equazione (6.1), una volta che vi siano stati sostituiti i termini

espressi dalle (6.6) e (6.10). La procedura `e stata anche qui ripetuta per tutti

i valori del parametro di controllo L; ci`o che ci si aspetta dalle simulazioni `e

un graduale miglioramento dei tempi di fuga con l’aumentare della lunghezza

del tether, come gi`a si `e verificato nei casi precedentemente analizzati, d’altro

canto per`o, ci si aspetta un peggioramento dei tempi di fuga rispetto ai casi

di dipolo inclinato e allineato, a causa della presenza di perturbazioni che

inficiano le prestazioni del tether.

Si riportano di seguito i risultati relativi a valori del parametro di controllo tali che 3000 ≤ L ≤ 7000 m:

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0

time [days]

E [DU2 /TU2 ]

Figura 6.2: Energia meccanica per L=3000 m in presenza di perturbazioni luni- solari

−10 0

10 0 10

20

30 40

−15

−10

−5 0 5 10 15

z [DU]

x [DU]

Figura 6.3: Traiettoria per L=3000 m in presenza di perturbazioni luni-solari

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0

time [days]

E [DU2 /TU2 ]

Figura 6.4: Energia meccanica per L=4000 m in presenza di perturbazioni luni- solari

−10 0 10 0

20

40

−20

−15

−10

−5 0 5 10 15 20

z [DU]

x [DU]

Figura 6.5: Traiettoria per L=4000 m in presenza di perturbazioni luni-solari

0 200 400 600 800 1000

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0

time [days]

E [DU2 /TU2 ]

Figura 6.6: Energia meccanica per L=5000 m in presenza di perturbazioni luni- solari

−10 0

10 −20 0 20 40

−30

−20

−10 0 10 20

z [DU]

x [DU]

Figura 6.7: Traiettoria per L=5000 m in presenza di perturbazioni luni-solari

0 200 400 600 800 1000

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0

time [days]

E [DU2 /TU2 ]

Figura 6.8: Energia meccanica per L=6000 m in presenza di perturbazioni luni- solari

−10 0

10 20 −20 0 20 40 60

−30

−20

−10 0 10 20 30

z [DU]

x [DU]

Figura 6.9: Traiettoria per L=6000 m in presenza di perturbazioni luni-solari

0 200 400 600 800 1000

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0

time [days]

E [DU2 /TU2 ]

Figura 6.10: Energia meccanica per L=7000 m in presenza di perturbazioni luni- solari

−10 0

10 20 −20 0 20 40 60

−30

−20

−10 0 10 20 30

z [DU]

x [DU]

Figura 6.11: Traiettoria per L=7000 m in presenza di perturbazioni luni-solari

Si riportano di seguito i risultati relativi a valori del parametro di controllo tali che 8000 ≤ L ≤ 11000 m:

0 200 400 600 800 1000

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0

time [days]

E [DU2 /TU2 ]

Figura 6.12: Energia meccanica per L=8000 m in presenza di perturbazioni luni- solari

−10 010 20 −20 0 20 40 60

−40

−30

−20

−10 0 10 20 30 40

z [DU]

x [DU]

Figura 6.13: Traiettoria per L=8000 m in presenza di perturbazioni luni-solari

0 200 400 600 800 1000

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0

time [days]

E [DU2 /TU2 ]

Figura 6.14: Energia meccanica per L=9000 m in presenza di perturbazioni luni- solari

−10 0 10 −20 0 20 40 60

−40

−30

−20

−10 0 10 20

z [DU]

x [DU]

Figura 6.15: Traiettoria per L=9000 m in presenza di perturbazioni luni-solari

0 200 400 600 800 1000

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0

time [days]

E [DU2 /TU2 ]

Figura 6.16: Energia meccanica per L=10000 m in presenza di perturbazioni luni-solari

−20 0

20 −40 −20 0 20 40 60

−60

−50

−40

−30

−20

−10 0 10 20 30

z [DU]

x [DU]

Figura 6.17: Traiettoria per L=10000 m in presenza di perturbazioni luni-solari

0 100 200 300 400 500 600

−0.14

−0.12

−0.1

−0.08

−0.06

−0.04

−0.02 0

time [days]

E [DU2 /TU2 ]

Figura 6.18: Energia meccanica per L=11000 m in presenza di perturbazioni luni-solari

−10 0

10 0

20 40

60

−30

−20

−10 0 10 20

z [DU]

x [DU]

Figura 6.19: Traiettoria per L=11000 m in presenza di perturbazioni luni-solari

I risultati relativi ai tempi di missione nel caso perturbato, in confronto ai risultati relativi ai modelli di dipolo inclinato e di dipolo allineato sono riportati nella tabella seguente:

L [m] Dip. inclinato [gg] Dip. allineato [gg] Perturbazioni luni-solari [gg]

3000 1940 1945 À 800

4000 1476 1445 À 800

5000 1164 1180 À 800

6000 977.2 979.8 À 800

7000 835 827.3 À 800

8000 745 729.81 À 800

9000 668 645 À 800

10000 606.3 580.21 À 800

11000 549.1 554.25 À 800

Tabella 6.1: Tempi di fuga in presenza di perturbazioni luni-solari

Dalla tabella precedente si nota che i tempi relativi al caso perturbato

sono nettamente superiori a quelli dei due modelli ideali, per questo motivo

si `e scelto di non riportare i risultati numerici precisi; mentre pi`u interes-

sante `e capire la motivazione di tale peggioramento. Il calo delle prestazioni

avviene sia dal punto di vista della diminuzione della crescita del diagram-

ma dell’energia meccanica per tutti i valori del controllo, sia dal punto di

vista della diminuzione delle distanze raggiunte in termini di DU; questo `e

spiegabile perch´e il tether, che si trova inizialmente su un’orbita geocentrica

bassa, risente molto della perturbazione lunare, in un secondo momento in-

vece, della perturbazione solare, in quanto si sta allontanando dalla terra e

avvicinandosi quindi all’estremit`a della sfera d’influenza terrestre, posizione

dalla quale l’attrazione e l’influenza del sole sono preponderanti.