Università degli Studi dell’Aquila -‐ Corso di Laurea Triennale in Ingegneria Civile e Ambientale Fisica Generale 2 -‐ Prova scritta d’esame del 19 febbraio 2016
5 a 9CFU: problemi 1, 2, 3 (2 ore e mezzo).
3 o 4CFU: risolvere solo i problemi 1 e 2* (1 ora e mezzo).
Problema 1 (10 punti)
Una calotta semisferica di materiale isolante di raggio R ha una distribuzione di carica superficiale uniforme σ. Si risponda alle seguenti domande:
1. calcolare il potenziale nel centro O della calotta; (3 punti)
2. una particella (carica q, massa m) viene lanciata con velocità iniziale v0 da una grande distanza verso la distribuzione di carica lungo l'asse di simmetria del sistema ed arriva nel punto O ferma (vf = 0). Si calcoli il
valore della carica q; (2 punti)
3. calcolare il campo elettrico nel punto O in modulo direzione e verso. (5 punti) Dati: σ = 4µCm-‐2, R =2cm, m=4x 10-‐15kg, v0 = 3x106ms-‐1.
Soluzione
Il potenziale nel centro della calotta può essere calcolato come somma di contributi dV dovuti alla carica infinitesima dq:
!" O = !"
4!!!! con !" = !"Σ = !!
!!"#$%$%& → !" O =!"#$%&'&'(
4!!! .
Integrando si ottiene:
! O = 2!" 4!!! !" !"#$%$ !/! ! ! ! = 2!" 4!!!! −!"#$ ! !/!=!" 2!!= 4.52kV.
Utilizzando la conservazione dell'energia abbiamo: 1 2!!!!= !" O → ! = !!!! 2! O = 3.98µμC.
Per calcolare il campo elettrico consideriamo il campo elettrico generato da una carica dq distribuita su un generico anello di area infinitesima dΣ di raggio a il cui centro è posto alla distanza x lungo l'asse della semisfera passante per O. Per simmetria, il campo è diretto lungo la direzione -‐ux e vale:
!" ! = !" 4!!! ! !!+ !! !/!= !!! 4!!! !"#$#%&$'$'( !!!"!!! + !!!"!!! !/!= ! 4!!!!"#$#%&$'$'(,
avendo sostituito ! = !"#$% e ! = !"#$%. Integrando si ha il modulo del campo elettrico nel punto O: ! ! = 2! 4!!! !" ! ! !"#$#%&$'$ = ! 2!! !/! ! !"#2! 2 !" = !/! ! ! 4!! −!"! !! ! !/! = ! 4!!= 1.13 ∙ 10 !Cm!!. ux
Problema 2 (10 punti)
Sia dato il circuito in figura. Sapendo il valore della corrente del circuito in condizioni di regime i(t=∞) e il valore della corrente nell’induttore iL(t*) al tempo t*, una volta chiuso il circuito con i dati del problema si chiede di determinare:
1. il valore della resistenza R1; (2 punti) 2. il valore della dell’induttanza L; (3 punti) 3. la costante di tempo τ del circuito; (2 punti)
4. la corrente massima e minima che scorre nel circuito e le condizioni per le quali esse si hanno. (3 punti)
Dati: V0=100V, R2=20kΩ, iL(t*=3ms)= 8.6mA, i(t=∞)=10mA.
Soluzione
La d.d.p. e la resistenza equivalente di Thevenin sono uguali a: !!!)= !!!=
!!!!
!!+ !!, dato che nella maglia resistiva ! =
!!
!!+ !! ; !!!=
!!!! !!+ !!.
La corrente, funzione del tempo, nell’induttore vale: !!= !!! !!! 1 − ! !!/! =!! !! 1 − ! !!/! .
Come si vede dalla precedente equazione la corrente a regime del circuito vale: ! ! = ∞ =!!
!! → !!=
!!
! ! = ∞ = 10kΩ. Dalla conoscenza della corrente al tempo t*=3ms si trova facilmente:
! = − !∗
ln 1 − ! !∗ !!
!!
= 1.5ms ; ! = !!!!!
!!+!!= 10.2H.
Le condizioni temporali d’interesse sono il tempo t=0 (chiusura dell’interruttore) e il tempo t=∞ (circuito a regime). Si ha:
! ! = 0 = !!
!!+ !!= 3.3mA ; ! ! = ∞ =
!!
!!= 10mA.
Quindi la corrente è massima per t=∞ e minima per t=0.
R
1T
V
0L
R
2Problema 3 (10 punti)
Una spira rettangolare di resistenza R è posta ad una distanza a da due fili rettilinei infiniti: filo1 alla sua sinistra e filo2 alla sua destra. Il lato più lungo della spira rettangolare, parallelo al filo rettilineo, misura l ed il lato più corto vale b. Nel filo1 scorre una corrente dipendente dal tempo if1(t)=Kt2 che genera
nella spira, come è facile dimostrare una corrente non costante nel tempo. Per ottenere una corrente continua si pensa di far scorrere nel filo2 una corrente
if2(t)=Kt2+At. Tenendo conto che K e A sono costanti positive e che la massima
potenza dissipabile dalla spira è uguale a P, si chiede di determinare:
1. il verso di percorrenza della corrente if2(t) per avere una corrente indotta
nella spira indipendente dal tempo; (2 punti)
2. il valore massimo della costante A per non superare il valore della potenza
P dissipabile nella spira; (4 punti)
3. il valore massimo della corrente totale indotta nella spira e il suo verso di percorrenza; (2 punti) 4. il valore massimo della f.e.m. indotta nella spira. (2 punti)
Dati: a=1cm, b=2cm, l=10cm, P=25nW, R=6.8x10-‐5Ω. Soluzione
Il campo B1(t,r) sul piano della spira è ad esso perpendicolare con verso uscente parallelo alla sua normale un.
Con r si è indicata la distanza del generico punto interno alla spira dal filo1 o filo 2. Pertanto, per annullare il contributo della corrente che dipende dal quadrato del tempo, la corrente nel filo2 deve scorrere nello stesso verso di quella del filo1. In questo caso, infatti il campo B2(t,r) è perpendicolare al piano della spira ma con verso opposto rispetto ad un. Per calcolare il valore massimo che può assumere A si procede come segue:
!! !, ! = !!!!!(!) 2!" = !!!!! 2!" → Φ !! !, ! = !! !, ! ∙ !!!Σ = !!!"!! 2! !" ! !!! ! =!!!"! ! 2! ln ! + ! ! da cui la f.em. e la corrente indotta valgono:
Δ!!= − ! Φ !! ! !" = − !!!"# ! ln ! + ! ! ; !!= − !!!"# !" ln ! + ! ! .
Analogamente per il filo2 si ha: !! !, ! =!!!!! ! 2!" = !! !!!+ !" 2!" → Φ !! !, ! = !! !, ! ∙ !!!Σ = − !! !!!+ !" ! 2! !" ! !!! ! Φ !! !, ! = !!! !!!+ !" 2! ln ! + ! ! . Δ!!= −! Φ !! ! !" = + !! 2!" + ! ! 2! ln ! + ! ! ; !!= + !! 2!" + ! ! 2!" ln ! + ! ! .
Di conseguenza la corrente totale indotta vale:
!!"!= !!+ !!= !!!" 2!"ln ! + ! ! .
Dalla condizione di non superare la potenza massima dissipabile nella spira si ottiene il valore della costante A:
! = 2! !" !!! ln ! + !!
= 59.3As!!.
La corrente totale nella spira gira in senso antiorario e i valori massimi della corrente e della f.e.m. indotte sono uguali a itot=19.2mA, Δ!!"! = !!!"!= 1.3µμV.
if1(t) a b l a if2(t)
Problema 2*(10 punti)
La d.d.p. e la resistenza equivalente di Thevenin sono uguali a: !!!= !!!=
!!!!
!!+ !!, dato che nella maglia resistiva ! =
!!
!!+ !! ; !!!=
!!!! !!+ !!.
Pertanto la corrente a regime del circuito vale:
! ! = ∞ = !!
!!+ !! → !!=
!!
! ! = ∞ − !!= 7kΩ. La costante di tempo vale semplicemente: ! = !!!! = 6.3!"
Le condizioni temporali d’interesse sono il tempo t=0 (chiusura dell’interruttore) e il tempo t=∞ (circuito a regime). Si ha:
! ! = ∞ = !!
!!+ !!= 10mA ; ! ! = 0 =
!!
!!= 14.3mA.
Quindi la corrente è minima per t=∞ e massima per t=0. L’energia immagazzinata è: ! = !!!!!!!= 1.35!"
