Corso di laurea in Fisica Compito d’esame di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 10 Febbraio 2010 SOLUZIONI

Corso di laurea in Fisica

Compito d’esame di Istituzioni di Fisica Teorica L’Aquila 10 Febbraio 2010

SOLUZIONI

1) Un sistema di spin 1/2 si trova inizialmente con lo spin allineato lungo la direzione positiva dell’asse z. Viene effettuata una misura dello spin nella direzione ˆ u formante un angolo θ = 30

con l’asse z.

Successivamente si misura di nuovo la componente z.

- Con quali probabilit`a si osseveranno i valori +¯ h/2 e −¯h/2?

SOLUZIONE

Esprimo i possibili stati dopo la misura lungo la direzione ˆ u come combinazione lineare di autostati di σ

:

|u+ >= a|z+ > +b|z− >

con P

= |a|

= cos

(θ/2),P

= |b|

= sin

(θ/2) mentre

|u− >= a

|z+ > +b

|z− >

con P

= |a

|

= sin

(θ/2),P

= |b

|

= cos

(θ/2).

Queste formule sono semplici da ricavare ricordando che il polarizzatori SG si comportano come polariz- zatori di luce una volta che sostituisco l’angolo di polarizzazione della luce con l’angolo θ/2 del polarizzatore SG. Inoltre per θ → 0 ottengo P

= 1,P

= 1. Quindi in ogni caso abbiamo

P (s

= ¯ h/2) = cos

(θ/2) P (s

= −¯h/2) = sin

(θ/2) mentre

P

(s

= ¯ h/2) = sin

(θ/2) P

(s

= −¯h/2) = cos

(θ/2)

Attenzione che P e P

sono probabilit`a condizionate al valore della misura intermedia se vogliamo la probabilit`a totale dovremo avere

P

(s

= ¯ h/2) = P

P (s

= ¯ h/2)+P

P

(s

= ¯ h/2) P

(s

= −¯h/2) = P

P (s

= −¯h/2)+P

P

(s

= −¯h/2) con P

la probabilit`a di ottenere dopo la prima misura lo stato |u± > ottenendo

P

(s

= ¯ h/2) = cos

(θ/2) + sin

(θ/2) P

(s

= −¯h/2) = 2 cos

(θ/2) sin

(θ/2)

2) Una particella sottoposta ad un potenziale armonico unidimensionale a frequenza ω `e al tempo t = 0 in uno stato per cui una misura di energia pu`o fornire valori E ≤ 3/2¯hω. Inoltre sappiamo che il valor medio dell’impulso `e nullo.

- Determinare il generico stato che soddisfa le relazioni date.

- Determinare le fluttuazioni dell’energia (< H

> − < H >

) su tale stato - Determinare i tempi T > 0 per cui < p(T ) >= 0.

1

SOLUZIONE

|ψ >= a|0 > +b|1 >

perch`e E ≤ 3/2¯hω

< p >= a

b < 0|p|1 > +b

a < 1|p|0 >

perch`e p ∝ a − a

Ponendo a = A con A reale positivo e b = Be

e B = |b| scelgo una fase overall pari a zero. Inoltre dalla normalizzazione B = √

1 − A. Siccome < 0|p|1 >= ¯h/i √

2ℓ con ℓ lunghezza fondamentale dell’oscillatore armonico ho

< p >=

√ 2AB¯ h

ℓ sin(φ) = 0 da cui φ = kπ.

|ψ >= e

A|0 > ± √

1 − A

|1 >

Lo stato `e espresso in termini di autostati dell’energia dunque i coefficienti hanno il significato di ampiezze di probabilit`a di ottenere le energie possibili per il sistema in tale stato. Un generico momento di H `e quindi

< H

>= |a|

E

+ |b|

E

da cui

< ∆H

>= |a|

|b|

(E

− E

)

= A

(1 − A

)(¯ hω)

Siccome dal teorema di Ehrenfest < p(t) >=< p(0) > cos(ωt) − mω < x(0) > sin(ωt) chiaramente

< p(t) > `e una funzione periodica di periodo T = 2π/ω inoltre essendo < p(0) >= 0 essa si annulla ogni volta che sin(ωt) = 0 e cio`e per T = kπ/ω.

3) Lo stato di un elettrone nell’atomo di idrogeno `e descritto al tempo t = 0 dal vettore

|ψ >= 1

√ 10 (2|1, 0, 0 > +|2, 1, 0 > + √

2|2, 1, 1 > + √

3|2, 1, −1 >) dove |n, ℓ, m > sono gli autostati dell’elettrone nell’atomo di idrogeno.

- |ψ > `e autostato dell’Hamiltoniano?

- valutare < H >

- valutare |ψ, t >

- trovare la probabilit`a di avere al tempo t ℓ = 1 ed m = 1.

SOLUZIONE

|ψ > `e combinazione lineare di autostati dell’Hamiltoniano e non `e autostato.

Abbiamo espresso |ψ > in termini di autostati dunque come nell’esercizio (2)

< H >= (4E

+ E

+ 2E

+ 3E

)/10 = −1/5(E

/2) − 3/5(E

/8) = −7E

/40 con E

= 27.2eV

Banalmente

2

|ψ, t >= 1

√ 10 (2e

|1, 0, 0 > +e

(|2, 1, 0 > + √

2|2, 1, 1 > + √

3|2, 1, −1 >))

La P (ℓ = 1, m = 1) `e il modulo quadro del coefficiente dello stato |2, 1, 1 > ed `e indipendente dal tempo

4) A quale temperatura un generico gas perfetto classico composto di N molecole monoatomiche ha la stessa energia interna di un gas di Fermi composto da N elettroni contenuto in un volume V a temperatura nulla.

SOLUZIONE

Consideriamo un gas di Fermi a 3 dimensioni per cui la densit`a degli stati `e N (ǫ) = a √ ǫ a T = 0 (a = V (2m/¯ h

)

/2π

):

E

=

Z EF

0

dǫN (ǫ)ǫ N =

Z EF

0

dǫN (ǫ) da cui

E

/N = 3E

/5.

Un gas perfetto classico ha l’energia interna U = 3N k

T /2 uguagliando otteniamo k

T = 2

5 E

5) In un gas perfetto classico determinare

- il valor medio della componente della velocit`a lungo una generica direzione ˆ u (v

= ˆ u · ~v) - il valor quadro medio < v

>

- le fluttuazioni relative del valor quadro medio (< v

> − < v

>

)/ < v

>

SOLUZIONE

Il gas perfetto `e isotropo dunque lungo una qualsiasi direzione abbiamo le stessa distribuzione per le velocit`a. Possiamo dunque scegliere p.es. l’asse x lungo ˆ u ottenendo

< v

>= k

T /m

ed ovviamente possiamo ottenere nella stessa maniera < v

> dall’integrale gaussiano

< v

>=

Z

dv

√ 2πσ

e

v2 x

2σ2

v

= 3σ

con σ

= m/k

T . Alternativamente ci rendiamo conto che

H = 1

2 mv

+ 1

2 mv

+ 1 2 mv

< H >=

α=x.y.z

1

2 m < v

>= 3

2 m < v

>

< H

> − < H >

=

α=x.y.z

1

4 m

(< v

> − < v

>

) = 3

4 m

(< v

> − < v

>

)

3

perch`e le velocit`a sono scorrelate. Dunque le fluttuazioni normalizzate sono

< ∆H

>

< H >

= 1 3

< ∆v

>

< v

>

Ma siccome

< H >= − d

dβ log(Z)

< H

> − < H >

= d

dβ

log(Z) = − d

dβ < H >= 3k

T

/2

con Z funzione di partizione canonica per una particella, otteniamo < H >= U/N = 3/2k

T

< ∆H

>

< H >

= 1 3

< ∆v

>

< v

>

= 2 3 qundi

x>²

= 2 indipendente dalla temperatura.

4