Stabilit` a delle strutture soggette all’azione del vento

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Stabilit` a delle strutture soggette all’azione del vento

3.1 Premesse

In modo intuitivo `e possibile dire che una struttura presenta una configurazione di equilibrio stabile se piccole perturbazioni inducono oscillazioni di entit`a limitata, i.e.

confinate nell’intorno della configurazione stessa, mentre quest’ultima `e instabile in caso contrario. Tale concetto di stabilit`a si riferisce alla teoria di Liapunov relativa alle condizioni di stabilit`a dinamica¹.

Si consideri un sistema conservativo, i.e. un sistema per il quale `e possibile introdurre un potenziale e quindi un’energia potenziale Π. Il problema dinamico

1[3.5]Si consideri una struttura la cui evoluzione dinamica sia governata da equazioni differenziali che, nello spazio delle fasi, siano riconducibili ad un sistema del primo ordine del tipo:

˙z(t) = f (z(t), t) z(0) = Zo

La soluzione z(t) di tale problema `e detta stabile, secondo Liapunov, se per ogni arbitrario ε > 0 `e possibile trovare un δ(ε) > 0 tale che ad ogni variazione V delle condizioni iniziali Zo, rispettosa della condizione kVk < δ(ε), consegue una variazione nella risposta v(t) che soddisfa la disuguaglianza

kv(t)k < ε ∀ t > 0

essendo k · k una data norma. Se inoltre risulta, per la generica componente k-esima di v(t)

t→∞lim vk(t) = 0 ∀ k

la soluzione z(t) viene detta asintoticamente stabile.

71

pu`o rappresentarsi, in forma linearizzata² e secondo un approccio alla Galerkin³, mediante la seguente equazione di governo:

M¨q(t) + Kq(t) = 0 (3.1)

dove q `e il vettore di spostamenti generalizzati, M `e la matrice generalizzata del- le masse, K = ^∂_∂q^2Π2¯¯¯_q la matrice tangente di rigidezza del sistema, valutata in corrispondenza della condizione di equilibrio q.

Nell’ambito di una analisi lineare di stabilit`a `e sufficiente considerare solo per- turbazioni nel tempo di tipo armonico, in quanto ogni evoluzione dinamica della struttura pu`o essere decomposta in una serie di contributi armonici (modi) at- traverso uno sviluppo alla Fourier. Assegnata allora una perturbazione armonica q(t) = qoe^iωt e le relative condizioni al contorno, il sistema di equazioni differenziali (3.1), che governa la risposta della struttura, ha come soluzione tutti i modi banali, i.e. non eccitati, eccetto quelli relativi alle pulsazioni ω che soddisfano l’equazione caratteristica:

det[M⁻¹K − ω²I] = 0 (3.2)

E noto che per i sistemi conservativi le pulsazioni caratteristiche possono risultare` reali (in questo caso il sistema `e stabile) o puramente immaginarie (sistema instabi- le). Pertanto, affinch`e lo stato di equilibrio da stabile diventi instabile `e necessario che la pi`u piccola delle pulsazioni caratteristiche assuma valore nullo o, equivalente- mente, che la matrice di rigidezza della struttura presenti una singolarit`a. In altri termini, lo stato di equilibrio `e instabile se esiste un’altra possibile configurazione di equilibrio stabile in un intorno di quella in considerazione. Conseguentemente, se l’equilibrio `e instabile, la struttura a seguito di una perturbazione abbandona la sua

2In generale, l’analisi completa delle equazioni del moto espresse in forma non lineare non pu`o compiersi in modo agevole, quasi mai in ambito pratico. Si procede allora ricorrendo ad una linearizzazione del problema in esame in un intorno di una sua soluzione. Si pu`o dimostrare che, l’instabilit`a intesa in senso lineare implica l’instabilit`a anche in senso non lineare, ma in generale la stabilit`a linearizzata non comporta necessariamente stabilit`a non lineare.

3Considerato un sistema strutturale e detta ϕ(P, t) la soluzione che caratterizza la sua evoluzione dinamica in funzione della posizione P e del tempo t, `e possibile dimostrare che essa pu`o porsi equivalentemente nella forma:

ϕ(P, t) =ϕ(P, t) +b

np

X

j=1

N^j(P )qj(t)

essendo ϕ(P, t) funzioni che soddisfano le condizioni al contorno essenziali del problema,b N^j(P ) funzioni linearmente indipendenti, dette funzioni di forma, che soddisfano le condizioni al contorno omogenee, qj(t) parametri incogniti detti spostamenti generalizzati, i quali possono raccogliersi nell’unico vettore q. `E il caso di osservare che tale approccio, di base per numerosi metodi numerici di approssimazione, consente di rappresentare in modo esatto la soluzione ϕ(P, t) qualora np→ ∞.

configurazione per raggiungerne un’altra stabile. Tale forma di instabilit`a `e detta divergenza o biforcazione statica dell’equilibrio e, com’`e noto, la sua caratterizzazio- ne pu`o compiersi senza ricorrere necessariamente ad un approccio di tipo dinamico (teoria euleriana della stabilit`a dell’equilibrio).

E il caso di sottolineare che per i sistemi conservativi la stabilit`a dell’equilibrio` pu`o studiarsi in modo equivalente tramite un approccio di natura energetica. In particolare, si dimostra (teorema di Dirichlet-Lagrange) che per i sistemi conservativi una configurazione di equilibrio `e stabile se corrispondentemente l’energia potenziale Π del sistema presenta un punto di minimo isolato⁴ [3.5].

Si considerino ora sistemi non conservativi la cui evoluzione dinamica, a partire da uno stato di equilibrio, sia rappresentata in forma linearizzata sempre tramite una condizione differenziale del tipo (3.1). In generale, in questo caso, a seguito della perdita di simmetria diK le pulsazioni caratteristiche possono essere sia reali che complesse coniugate (a parte reale non nulla). Pertanto, l’instabilit`a del sistema si verifica quando la pi`u piccola di tali pulsazioni assume valore nullo, come nel caso dei sistemi conservativi, oppure quando due pulsazioni tendono l’una all’altra fino a coincidere e quindi a diventare complesse coniugate.

Il caso corrispondente ad una pulsazione caratteristica nulla `e simile a quello che si ha per i sistemi conservativi e pu`o caratterizzarsi mediante l’approccio euleriano, pur essendo il sistema non conservativo. In questo caso l’instabilit`a `e ancora detta di divergenza anche se, in generale, pu`o non esistere una configurazione alternativa di equilibrio in cui la struttura possa portarsi. Numerosi autori hanno caratterizzato le condizioni sotto le quali sistemi non conservativi del tipo (3.1) presentano solo instabilit`a da divergenza ([3.9],[3.14],[3.29]). Tali sistemi sono anche detti sistemi conservativi del secondo tipo.

Il caso relativo a pulsazioni caratteristiche complesse coniugate corrisponde ad un’instabilit`a detta di flutter e la condizione di carico per la quale si ha la coincidenza di due pulsazioni caratteristiche `e detto carico di flutter. Se la condizione di carico `e maggiore di quella di flutter la perturbazione iniziale indurr`a oscillazioni armoniche della struttura di pulsazione pari alla parte reale delle pulsazioni caratteristiche complesse coniugate e con ampiezza di oscillazione crescente esponenzialmente nel tempo, in funzione della loro parte immaginaria.

Pertanto, tale evenienza individua una soluzione dinamica instabile indipendente dalla presenza di una soluzione di equilibrio ad essa contigua (i.e. in assenza di condizioni di singolarit`a perK). In altri termini, i sistemi non conservativi possono presentare una condizione di biforcazione ad una soluzione totalmente dinamica.

4Per converso, si dimostra che un punto di massimo dell’energia potenziale corrisponde ad una configurazione di equilibrio instabile (Teorema di Liapunov).

Come premesso, il fenomeno del flutter configura una risposta armonica della struttura caratterizzata da ampiezza, velocit`a ed accelerazione crescenti nel tempo e conseguentemente da un aumento dell’energia cinetica del sistema. Chiaramente, tale energia deve essere fornita dalle forze esterne. Se esse per`o sono di tipo conser- vativo il loro lavoro viene compiuto a spese di un potenziale ed `e quindi limitato. Si comprende, allora, come il fenomeno del flutter possa presentarsi solo per effetto di forze non conservative.

Tipiche forze a carattere non conservativo sono le forze esercitate dal vento, le quali possono introdurre in modo non limitato energia in un sistema strutturale.

Poich`e il fenomeno del flutter presuppone la presenza di pulsazioni complesse co- niugate, per i sistemi strutturali non conservativi rappresentabili tramite la (3.1) (i.e.

privi di contributi di smorzamento), esso pu`o destarsi solo quando questi abbiano almeno due gradi di libert`a. Si parla in questi casi di flutter accoppiato.

D’altro canto, come evidenziato nella (2.62), le azioni aeroelastiche che si origina- no per effetto del moto della struttura all’interno di una corrente sono caratterizzate da contributi sia di rigidezza che di smorzamento, i quali vanno a sommarsi agli eventuali contributi strutturali corrispondenti. Conseguentemente, la presenza di contributi di smorzamento fa s`ı che la condizione critica di flutter accoppiato non sia necessariamente caratterizzata dalla coincidenza di due pulsazioni caratteristi- che, come mostrato in ambito deterministico da Lin [3.15]. Inoltre, riferendosi a strutture snelle ’a nastro’, quali possono essere considerati i cavi delle linee di di- stribuzione elettrica o gli stessi ponti di grande luce, `e possibile dimostrare che pu`o verificarsi instabilit`a dinamica attivando in pratica anche un solo grado di libert`a della struttura. Si distinguono, in questi casi, l’instabilit`a dinamica di galloping ed il flutter ad un grado di libert`a.

La differenza fra le due tipologie di instabilit`a `e fissata sulla base della natura del flusso circostante la struttura. In altri termini, ferma restando una condizione di separazione del flusso per effetto della natura geometrica non profilata delle strutture in esame, se si verifica un riattacco della vena fluida sul profilo si parla di flutter, altrimenti l’instabilit`a `e detta di galloping (figura 3.1).

Va inoltre tenuto presente che, a seguito del distacco periodico di vortici dalla struttura (fenomeno che pu`o avvenire indipendentemente dal suo stato di moto) su di essa agiscono delle forze pulsanti le quali, se sufficientemente elevate ed in risonanza con una delle frequenze naturali di vibrazione del sistema, possono indurre su di esso sensibili oscillazioni (sincronizzazione o lock-in).

FLUSSO NON SEPARATO FLUSSO SEPARATO

RIATTACCO DI VENA ASSENZA DI RIATTACCO

Flutter accoppiato U

Galloping

Vibrazioni da vortex-shedding B/H < 2.8

B/H >>1

U

B H

Flutter ad un grado di libertà Flutter accoppiato

Vibrazioni da vortex-shedding B/H > 2.8

U

Fig. 3.1:Classificazione delle instabilit`a dinamiche in relazione alla condizione del flusso circostante la struttura.

3.2 Cilindro rigido investito da una corrente 2-D

Si consideri un cilindro rigido di sezione trasversale S e per il quale valgano le con- venzioni introdotte nel capitolo 2 (cf. figura 2.14). In dettaglio, si assuma che detto cilindro abbia linea d’asse rettilinea di lunghezza infinita e sia immerso in una cor- rente bidimensionale la cui direzione media risulti ad essa ortogonale. Inoltre, si assuma che detta struttura sia vincolata elasticamente e sianoK e C rispettivamen- te le relative matrici di rigidezza e smorzamento strutturale. Nell’ipotesi di piccole perturbazioni della struttura e di piccole condizioni di turbolenza incidente, que- st’ultima assunta non interagente in frequenza con eventuali fenomeni di distacco di vortici, le equazioni del moto possono scriversi come:

M¨q(t) + C ˙q(t) + Kq(t) = ¯F + eF(t) + F^a(t) (3.3) essendoM la matrice delle masse,

q(t) =n

u(t), v(t), θ(t) oT

(3.4) il vettore degli spostamenti di S nel suo piano di rappresentazione ed avendo indicato (cf. equazione (2.61)) con ¯F il vettore di forze generalizzate medie aerodinamiche, F(t) le relative componenti fluttuanti dipendenti dalla turbolenza incidente e dallee condizioni di vortex-shedding, F_a(t) il vettore delle forze generalizzate aeroelastiche che si destano a seguito delle condizioni di moto di S.

Nell’ipotesi ulteriore che le frequenze di oscillazione di S nei suoi gradi di libert`a risultino molto minori delle relative frequenze di vortex-shedding, i.e. K/2π ¿ St, l’esperienza conferma che `e possibile ritenere adeguata una rappresentazione quasi-stazionaria delle azioni aeroelastiche:

F_a(t) = −C^o˙q(t) − K^oq(t) (3.5) essendoC^oeK^orispettivamente le matrici di smorzamento e rigidezza aerodinamiche introdotte nelle (2.64-2.65). Nel caso di sezioni da ponte caratterizzate da oscillazioni sinusoidali con frequenze molto lontane da quelle proprie del fenomeno di vortex- sheddingla precedente relazione si rifrasa per il tramite delle matrici delle derivate aerodinamicheC^o(K), K^o(K) introdotte nelle (2.106-2.107), i.e.

F_a(t) = −C^o(K) ˙q(t) − K^o(K)q(t) (3.6) D’altra parte, opportune matrici di derivate aerodinamicheC^o_∗(K), K^o_∗(K) con- sentono in generale di rappresentare le forze aeroelastiche anche nel caso in cui l’ammettenza meccanica del sistema interagisca con la frequenza caratteristica di distacco di vortici, i.e. qualora risulti K/2π ∼ St. Se le oscillazioni della struttura coinvolgono solo un suo modo, caratterizzato dalla frequenza ridotta naturale Ko, dette matrici possono linearizzarsi in un intorno di K_o e pertanto, nel caso di con- dizioni di vento prossime a quelle che inducono il distacco di vortici, i.e. (cf. eq.

(2.2)) U ∼ U^w = nwB/St, si pu`o porre:

F_a(t) = −C^o_∗(K_o) ˙q(t) − K^o_∗(K_o)q(t) (3.7) In definitiva, le equazioni del moto (3.3) si riscrivono come:

M¨q(t) +¡

C + C^o¢

˙q(t) +¡

K + K^o¢

q(t) = ¯F+ eF(t) (3.8) avendo posto

C^o=C^o, K^o=K^{o per} K

2π ¿ St approccio quasi-stazionario (3.9) ( C^o =C^o_∗(K) ∼=C^o_∗(K_o)

K^o=K^o_∗(K) ∼=K^o_∗(Ko) ^per K 2π ∼ K_o

2π ∼ Stapproccio unimodale linearizzato

Poich`eC e K sono matrici simmetriche e definite positive, in assenza di vento ed in presenza di una perturbazione la struttura manifesta un comportamento dinamico stabile. D’altro canto, la comparsa di condizioni di vento induce in generale la perdita di simmetria e di definitezza positiva dello smorzamento e della rigidezza totale del sistema e quindi la possibilit`a dell’insorgere di condizioni di instabilit`a dinamica.

Nello spazio di stato il sistema di n = 3 equazioni differenziali del secondo ordine (3.8) si trasforma nel sistema di 2n = 6 equazioni del primo ordine:

˙z(t) =Gz(t) + p(t) (3.10)

avendo posto⁵:

z(t) = n

q(t), ˙q(t) oT

G =

"

O I

−M⁻¹¡

K + K^o¢

−M⁻¹¡

C + C^o¢

#

(3.11) p(t) = n

0, M⁻¹³

F¯ + eF(t)´ oT

Le condizioni di stabilit`a del sistema si caratterizzano considerando la sua ri- sposta libera e quindi il sistema omogeneo associato alla (3.10), il cui integrale particolare risulta: z(t) = de^λt. Pertanto, le soluzioni non banali si deducono dal- la valutazione degli autovalori λ_k (k = 1, ..., 2n) di G i quali devono soddisfare l’equazione caratteristica:

det [G − λI] = 0 (3.12)

Com’`e noto, l’integrale generale del sistema omogeneo associato alla (3.10) si esprime attraverso la combinazione lineare dei 2n integrali particolari, i.e.

z(t) = X2n k=1

A_kd_ke^λkt (3.13)

essendo A_kcostanti dipendenti dalle condizioni iniziali e d_k gli autovettori associati agli autovalori λ_k. Questi ultimi sono detti poli del sistema e, presupponendo una risposta oscillatoria della struttura, sono in generale a valore complesso e coniugati a coppie: λ_k = µ_k+ iω_k. La loro parte immaginaria ω_k definisce la componente oscillatoria della soluzione mentre la parte reale µ_k, a seconda del suo segno, ne caratterizza lo smorzamento o l’amplificazione:

z(t) = X2n k=1

A_kd_ke^µkte^iωkt (3.14) In definitiva, il sistema risulta:

- asintoticamente stabile se tutte le parti reali µ_k sono strettamente negative;

5Si indicano conO e I rispettivamente la matrice nulla e di indentit`a, in questo caso di ordine 3 × 3.

Stabilità asintotica Stabilità marginale Instabilità

wk

mk

q q q q q

t t t t t

q q q q q

t t t t t

* * * * *

* * * * *

Fig. 3.2:Condizioni di stabilit`a al variare della posizione dei poli nel piano di Argand- Gauss.

- instabile se almeno una delle µ_k`e positiva;

- marginalmente stabile se µ_k≥ 0, ∀k.

La figura 3.2 illustra in modo sintetico le differenti possibilit`a nel piano dei poli di Argand-Gauss.

D’altra parte, `e evidente che la posizione dei poli del sistema nel piano di Argand- Gauss `e fortemente influenzata dalla condizione di velocit`a media U della corrente incidente. In particolare, come schematicamente rappresentato in figura 3.3, l’au- mento di U pu`o portare il sistema da uno stato stabile ad uno instabile ed il punto di biforcazione dinamica ne caratterizza la condizione critica al limite di stabilit`a.

3.2.1 Equazioni del moto linearizzate disaccoppiate

Si assuma che le n = 3 equazioni differenziali linearizzate (3.8), le quali governano l’evoluzione dinamica della struttura perturbata dalla sua condizione di equilibrio, possano ritenersi disaccoppiate. In altri termini, si assume che i tre gradi di libert`a del cilindro siano attivabili in modo indipendente l’uno dall’altro. Ci`o approssima tutte quelle situazioni reali in cui le matrici strutturaliK e C risultano praticamente diagonali ed i termini fuori diagonale diK^o e C^o non hanno intensit`a sufficiente ad attivare in modo significativo i gradi di libert`a cui essi si riferiscono.

Sotto queste ipotesi ed assumendo che il centro elastico della sezione coincida con il suo centro di massa e che ad esso si riferiscano le azioni del vento, l’equazione di governo per il generico grado di libert`a ε = u, v, θ pu`o porsi nella forma:

¨

ε(t) + 2(ζ_ε+ ζ^o_ε)ω_ε˙ε(t) + ω²_ε(1 + Ω^o_ε)ε(t) = F¯_ε+ eF_ε(t)

m_εε (3.15)

1

wk

mk

2

3

U = U₁ )Stabilità asintotica U = U

2 )Stabilità marginale) punto di biforcazione U = U

3 )Instabilità

Fig. 3.3:Evoluzione qualitativa della generica coppia di poli complessi coniugati nel piano di Argand-Gauss al crescere della velocit`a media del vento incidente U .

essendo: mεε la massa generalizzata per il grado di libert`a ε, pari alla massa per unit`a di lunghezza della struttura m quando ε = u, v ed al momento di inerzia polare specifico I_θ rispetto al centro di massa se ε = θ; ζ_ε = ^Cεε

2√

mεεKεε il coefficien- te di smorzamento strutturale rapportato alla condizione di smorzamento critico;

ω_ε= 2πn_ε=q

Kεε

mεε la pulsazione naturale in aria calma della struttura (n_ε`e la cor- rispondente frequenza); ζ^o_ε = ^C

o εε

2√

mεεKεε il coefficiente di smorzamento aerodinamico rapportato alla condizione di smorzamento critico; Ω^o_ε= ^K

o εε

Kεε un termine che esprime la variazione di ω_ε a seguito dei fenomeni di interazione vento-struttura; C_εε e K_εε i termini diagonali diC e K.

In virt`u di quanto detto in precedenza, `e evidente che i valori assunti da ζ^o_ε e Ω^o_ε caratterizzano le condizioni di stabilit`a del sistema relativamente al grado di libert`a ε considerato. In dettaglio, ζ^o_ε caratterizza le condizioni di instabilit`a dinamica, mentre Ω<sup>o</sup><sub>ε</sub> consente di caratterizzare quelle di instabilit`a statica (o euleriana).

Risposta dinamica nella direzione del vento

Si consideri il grado di libert`a nella direzione della corrente media incidente, i.e.

ε = u (cf. figura 2.14). In questo caso l’esperienza conferma che la risposta della struttura non `e praticamente influenzata dalla condizione di distacco di vortici e quindi l’approccio quasi-stazionario pu`o ritenersi soddisfacente, i.e. C^o =C^o,K^o= K^o. Pertanto, utilizzando le (2.64-2.65), risulta :

ζ^o_u = C^o_uu 2√

mεεKεε

= ρU BCd

2mω_u (3.16)

Ω^o_u = K^o_uu

K_uu = 0 (3.17)

Poich`e si verifica sempre la condizione C<sub>d</sub> = C<sub>dT</sub>(α) ≥ 0, `e chiaro che il coeffi- ciente di smorzamento aerodinamico nella direzione della corrente media non `e mai negativo e quindi la risposta della struttura relativamente a tale grado di libert`a risulta sempre stabile in senso dinamico sotto qualunque condizione di vento.

D’altro canto, la condizione (3.17) assicura che la frequenza naturale di vibra- zione della struttura nella direzione media della corrente non sia influenzata dai fenomeni di interazione vento-struttura e che quindi, nelle ipotesi dette, non possa- no occorrere condizioni di instabilit`a di natura euleriana, i.e. singolarit`a di rigidezza del sistema.

Nel caso di sezioni da ponte, soggette ad oscillazioni di tipo sinusoidale con frequenza ridotta K ed in assenza di condizioni di vortex-shedding, le relazioni (3.16) e (3.17) si riscrivono, in virt`u delle (2.106-2.107), come:

ζ^o_u = −ρU BKP₁^∗(K)

4mω_u (3.18)

Ω^o_u = −ρU²K²P₄^∗(K)

2K_uu (3.19)

In questo caso, la condizione di stabilit`a sia euleriana che dinamica `e confermata dai risultati sperimentali ottenuti da Singh et al. [3.25] i quali hanno determinato per tipiche sezioni da ponte valori negativi sia per P₁^∗ che, nell’intervallo della frequenza ridotta dove non risulta trascurabile, per P₄^∗.

Risposta dinamica nella direzione ortogonale al vento

Nel caso di cilindro rigido con attivo il solo grado di libert`a nella direzione ortogonale alla corrente media, i.e. ε = v, la riposta dinamica della struttura pu`o essere si- gnificativamente influenzata dal fenomeno di vortex-shedding. D’altra parte, un approccio quasi-stazionario `e comunque adottabile qualora la frequenza naturale di oscillazione della struttura n_v risulti lontana da quella di distacco di vortici n_w (in particolare per n_v ¿ nw). In questa ipotesi, dalle relazioni (2.64-2.65), risulta:

ζ^o_v = C^o_vv 2√

mK_vv = ρU B(Cd+ C_`⁰)

4mω_v (3.20)

Ω^o_v = K^o_vv

K_vv = 0 (3.21)

La condizione di stabilit`a dinamica `e quindi dipendente dal segno della quantit`a (C<sub>d</sub>+ C<sub>`</sub>⁰). In particolare, per (C_d+ C_`⁰) > 0 la risposta dinamica della struttura

`e sempre stabile. D’altronde, condizione necessaria affinch`e vi sia instabilit`a `e la cosiddetta condizione di Glauert-Den Hartog ([3.7], [3.6]): (C_d+ C<sub>`</sub><sup>0</sup>) ≤ 0. La con- dizione sufficiente di instabilit`a risulta invece ζ_v+ ζ^o_v < 0. In altri termini, ricavata dalla condizione al limite di stabilit`a ζ<sub>v</sub>+ ζ<sup>o</sup><sub>v</sub> = 0 la velocit`a critica

U_vc= − 4mω_vζ_v

ρB(C_d+ C_`⁰) (3.22)

si ha:

U < U_vc ⇒ ζ_v+ ζ^o_v > 0 ⇒ sistema stabile

U = U_vc ⇒ ζ_v+ ζ^o_v = 0 ⇒ condizione critica

U > U_vc ⇒ ζ_v+ ζ^o_v < 0 ⇒ sistema instabile

Inoltre, la condizione (3.21) assicura che la frequenza naturale di vibrazione della struttura nella direzione ortogonale alla corrente non risulti sostanzialmente influenzata dai fenomeni di interazione vento-struttura e che quindi non si verifichino condizioni di instabilit`a di natura euleriana, i.e. singolarit`a di rigidezza del sistema.

Nel caso in cui si considerino sezioni trasversali non profilate e condizioni critiche di vento tali da non consentire il riattacco della vena fluida al profilo, l’instabilit`a dinamica illustrata prende il nome di galloping trasversale. Essa `e tipica di strutture snelle con sezioni trasversali rettangolari (disposte con il lato maggiore contro-vento) o di forma a ’D’, quali possono essere le sezioni effettive, a seguito della formazione di ghiaccio sulla loro superficie, dei cavi di distribuzione elettrica⁶o di quelli di sostegno per ponti di grande luce. Le frequenze che caratterizzano tale fenomeno sono di norma, a parit`a di sezione trasversale, inferiori rispetto a quelle di vortex-shedding.

Se invece si verifica una condizione di riattacco di vena sulla struttura l’instabilit`a dinamica in esame prende il nome di flutter trasversale ad un grado di libert`a. In particolare, ci`o pu`o verificarsi per sezioni non profilate allungate nella direzione della corrente incidente, quali sono ad esempio le tipiche sezioni dei ponti di grande luce.

Nel caso di sezioni da ponte, soggette ad oscillazioni di tipo sinusoidale con frequenza ridotta K ed in assenza di condizioni di vortex-shedding, le relazioni (3.20) e (3.21) si riscrivono, in virt`u delle (2.106-2.107), come:

6Nel caso di due cilindri investiti da una corrente, uno dei quali `e posizionato nella scia dell’altro, sotto determinate condizioni il cilindro a valle pu`o presentare oscillazioni da galloping indotte dalla scia del cilindro a monte [3.24]. Ci`o pu`o verificarsi, ad esempio, nel caso dei cavi di distribuzione elettrica disposti a gruppi.

ζ^o_v = −ρU BKH₁^∗(K) 4mωv

(3.23) Ω^o_v = −ρU²K²H₄^∗(K)

2K_vv ∼= 0 (3.24)

indicando tendenza all’instabilit`a dinamica per H<sub>1</sub><sup>∗</sup>(K) > 0. La condizione di velocit`a critica di flutter trasversale ad un grado di libert`a si scrive pertanto come:

U_vc = − 4mω_vζ_v

ρBK_vcH₁^∗(K_vc) (3.25)

e la corrispondente pulsazione critica di oscillazione risulta:

ωvc= ωv

s

1 −ρU²K_vc² H₄^∗(K_vc)

2K_vv (3.26)

essendo K_vc= Bω_vc/U .

Nel caso in cui la frequenza naturale del sistema sia prossima a quella di distacco di vortici, i.e. n_v ∼ nyw= n_w, l’approccio quasi-stazionario non pu`o pi`u adottarsi in modo soddisfacente. Ricorrendo allora ad un approccio nel dominio della frequenza, considerando condizioni linearizzate in un intorno della frequenza ridotta K_v ∼ Kw = 2πSt ed utilizzando le (3.7), si ricava:

ζ^o_v = C_{∗ vv}^o (K_v)

4mω_v (3.27)

Ω^o_v = K_{∗ vv}^o (K_v)

K_vv ∼= 0 (3.28)

La risposta della struttura `e allora stabile se risulta ζv + ζ<sup>o</sup><sub>v</sub> > 0 con U ∼= Uw, altrimenti si ha una condizione di instabilit`a dinamica detta di sincronizzazione o di lock-in. Tale instabilit`a `e caratterizzata da una condizione di sincronizzazione, appunto, tra le oscillazioni della struttura ed il fenomeno di distacco di vortici.

La condizione critica al limite di stabilit`a ζ_v + ζ^o_v = 0 conduce allora, in regime linearizzato, alla relazione:

C_{∗ vv}^o (Kv) = −4mω^vζv (3.29) La trascurabilit`a di Ω^o_v, espressa nella (3.28) e confermata dall’esperienza, assicu- ra inoltre che la frequenza naturale di vibrazione della struttura nella direzione orto- gonale alla corrente continui a non essere sostanzialmente influenzata dai fenomeni di interazione vento-struttura anche in presenza di vortex-shedding.

C^o_vv(K_v)

-4mw^vz^v C_d+C’

U_w U_vc U

C^o_vv(K_v)

-4mw^vz^v C_d+C’

U U_w

[ < 0 ] Ç [( > -4mwC^o_vv(K_v) _vz_v) È (U_w> U_vc)] Ç [U ³ U_vc] Galloping (o flutter) [C_d+C’³ 0 ] Ç [C^o_vv(K_v)£ -4mw_vz_v] Ç [U @ U_w] Lock-in

C_d+C’

U ³ U_vc Galloping (o flutter) U @ U_w Lock-in

[C_d+C’< 0 ] Ç [C^o_vv(K_v)£ -4mw_vz_v] Ç [U_w< U_vc]

U_vc

* *

*

*

*

Fig. 3.4:Regioni di instabilit`a dinamica per la risposta in direzione ortogonale alla corrente.

La figura 3.4 riassume le regioni di instabilit`a dinamica per la risposta in direzione ortogonale alla corrente incidente. Si noti come per U ∼= Uw possa sussistere una condizione di interazione fra il fenomeno di lock-in e l’instabilit`a di galloping (o flutter) qualora U_w > U_vc.

Il modello sin qui considerato porterebbe a ritenere che per U ∼ Uwe C_{∗ vv}^o (K_v) <

−4mωvζ_v si verifica una condizione di oscillazione della struttura con un’ampiezza divergente, come nel caso del galloping o del flutter. In realt`a, si osserva sperimental- mente che nelle ipotesi dette la frequenza di oscillazione della struttura si sincronizza con quella di distacco dei vortici controllandola. In altri termini, anche quando si verificano variazioni di qualche percento della velocit`a della corrente rispetto a quel- la nominale di distacco di vortici, quest’ultima connessa al numero di Strouhal, si osserva (figura 3.5) che detta frequenza resta praticamente ’bloccata’ (fenomeno di lock-in). Inoltre, il fatto che le oscillazioni meccaniche controllino il fenomeno di vortex-shedding e conseguentemente la scia a valle della struttura, comporta che l’ampiezza delle oscillazioni in condizioni di lock-in non sia in generale divergente⁷.

7Riferendosi a strutture flessibili ed in particolare ai ponti di grande luce, le cui tipiche sezioni sono caratterizzate da numeri di Strouhal generalmente molto inferiori all’unit`a, si osserva che le velocit`a del vento che inducono sincronizzazione con i modi di vibrare del ponte sono di intensit`a modesta e pertanto, tenuto anche conto degli inevitabili fenomeni di dissipazione, non comportano accumulo di elevate quantit`a di energia. Se ci`o da un lato conferma che il fenomeno di sincroniz- zazione non induce generalmente effetti disastrosi per la struttura, dall’altro `e evidente che la sua comparsa deve portarsi in conto in merito all’analisi dei cicli di fatica dei diversi elementi strutturali sollecitati.

Frequenza naturale della struttura

n_w

U

arctg(St/B)

Regione di lock-in

Fig. 3.5:Andamento della frequenza di distacco dei vortici al variare della velocit`a del vento per una struttura elastica [3.24].

Il fenomeno pu`o essere descritto in modo soddisfacente mediante un modello di oscillatore alla Van der Pol [3.26]. In particolare, l’equazione di governo che accoppia l’oscillazione verticale della struttura ed il fenomeno di distacco di vortici si pone nella forma [3.24]:

¨

v + 2ζ_vω_vv + ω_v²v = ρU²BKH₀^∗ 2m

µ

1 − τ v² B²

¶ ˙v

U (3.30)

essendo H₀^∗ e τ parametri da determinare sperimentalmente in condizioni di sin- cronizzazione. L’ampiezza del ciclo limite, cio`e del ciclo ad ampiezza massima, pu`o allora ottenersi imponendo che, per una oscillazione stazionaria con ω_v ∼ ωw, l’energia media dissipata per ciclo sia nulla. Assumendo le oscillazioni a carattere praticamente sinusoidale, i.e. v = v_ocos ω_wt, si ricava:

v_o B = 2

·H_o^∗− 8πScrSt τ H₀^∗

¸1/2

(3.31) essendo S_cr il numero di Scruton definito come:

Scr = ζvm

ρB² (3.32)

Risposta dinamica torsionale

Nel caso in cui si consideri attivo, per la struttura in esame, il solo grado di libert`a corrispondente all rotazione intorno al proprio asse, i.e. ε = θ, e per n_θ6= nθw = nw

(in particolare n_θ ¿ nw), utilizzando l’approccio quasi-stazionario si ricava (cf. eq.

(2.64-2.65)):

ζ^o_θ = C^o_θθ 2√

I_θK_θθ = ρU B²R_oC_m⁰ 4Iθωθ

(3.33) Ω^o_θ = K^o_θθ

K_θθ = ρU²B²C_m⁰

2K_θθ (3.34)

Pertanto, se si considerano sezioni compatte (per le quali risulta R_o ∼ 0) o comunque sezioni per le quali C_m⁰ ≥ 0, si ha che la risposta dinamica torsionale `e stabile. Viceversa, se risulta R<sub>o</sub> > 0 e C<sub>m</sub><sup>0</sup> < 0 si ha una condizione di instabilit`a dinamica del sistema detta di galloping torsionale (o di flutter torsionale ad un grado di libert`a, a seconda della natura del flusso circostante la struttura, cf. figura 3.1).

La condizione critica al limite di stabilit`a ζ<sub>θ</sub>+ ζ<sup>o</sup><sub>θ</sub> = 0 fornisce la corrispondente velocit`a critica della corrente:

U_θc= − 4Iθωθζθ

ρB²R_oC_m⁰ (3.35)

Inoltre, dalla (3.34) si deduce che, qualora C_m⁰ assuma valore negativo, pu`o risultare Ω<sup>o</sup><sub>θ</sub> = −1. Tale condizione `e equivalente a considerare una singolarit`a nella rigidezza del sistema (cf. eq. (3.15)) ed `e quindi indicativa di una instabilit`a di divergenza di tipo euleriano. Ricavata allora la velocit`a critica di divergenza come

U_θd = s

− 2K_θθ

ρB²C_m⁰ (3.36)

il sistema risulta staticamente instabile per U > U_θd.

Per sezioni da ponte, soggette ad oscillazioni di tipo sinusoidale con frequenza ridotta K ed in assenza di vortex-shedding, le relazioni (3.33-3.34) si riscrivono, in virt`u delle (2.106-2.107), come:

ζ^o_θ = −ρU B³KA^∗₂(K)

4I_θω_θ (3.37)

Ω^o_θ = −ρU²B²K²A^∗₃(K)

2K_θθ (3.38)

La (3.37) indica tendenza all’instabilit`a dinamica per A<sup>∗</sup><sub>2</sub>(K) > 0 ed in particolare la condizione di velocit`a critica di flutter torsionale ad un grado di libert`a e la corrispondente pulsazione critica di oscillazione risultano:

U_θc= − 4I_θω_θζ_θ

ρB³K_θcA^∗₂(K_θc) (3.39) ω_θc= ω_θ

s

1 −ρU²B²K_θc² A^∗₃(K_θc)

2K_θθ (3.40)

essendo K_θc= Bω_θc/U .

Inoltre, sempre imponendo la condizione critica Ω^o_θ= −1 e sfruttando la relazione (3.38), si ricava la velocit`a critica di divergenza⁸

U_θd= lim

K→0

s 2K_θθ

ρB²K²A^∗₃(K) (3.41)

equivalente alla (3.36) in quanto risulta

K→0lim K²A^∗₃(K) = −Cm⁰ (3.42) i.e. quando il periodo di oscillazione diviene infinitamente grande, ovvero la frequen- za ridotta tende a zero, le componenti di velocit`a della struttura divengono picco- lissime, le forze di smorzamento aerodinamico corrispondentemente svaniscono e le derivate aerodinamiche si portano sui corrispondenti valori di rigidezza aerodinamica (cf. eq. (2.108)).

Nel caso in cui la frequenza naturale del sistema sia prossima a quella di distacco di vortici, i.e. n_θ ∼ nθw, ricorrendo ad un approccio nel dominio della frequenza linearizzato in un intorno della frequenza ridotta K_θ∼ Kθw, si ricava:

ζ^o_θ = C_{∗ θθ}^o (K_θ)

4I_θω_θ (3.43)

Ω^o_θ = K_{∗ θθ}^o (K_θ)

K_θθ (3.44)

In particolare, la risposta della struttura `e stabile se risulta ζ<sub>θ</sub> + ζ<sup>o</sup><sub>θ</sub> > 0 con U ∼= Uw, altrimenti si ha una condizione di instabilit`a dinamica analoga a quella relativa al caso di risposta nella direzione ortogonale alla corrente e detta, anche in questo caso, di sincronizzazione. La condizione critica al limite di stabilit`a ζ_θ+ζ^o_θ= 0 conduce, in regime linearizzato, alla relazione:

C_{∗ θθ}^o (K_θ) = −4Iθω_θζ_θ (3.45) La quantit`a Ω<sup>o</sup><sub>θ</sub> definita nella (3.44) `e in generale non significativa se il grado di libert`a torsionale θ non risulta sostanzialmente accoppiato con quello trasversale v.

La figura 3.6 riassume le regioni di instabilit`a dinamica per la risposta torsionale della struttura. Per essa valgono considerazioni analoghe a quelle svolte per la figura 3.4.

8Si tenga presente che si considera la condizione limite per K → 0, i.e. ω → 0, in quanto l’instabilit`a di divergenza rappresenta, come pi`u volte detto, un fenomeno di natura statica.

C^o_qq(K_q)

-4Iqw^qz^q R_oC’_m

U U_w min{U_qc, U_qd}

U_w U

[ R_oC’_m< 0 ] Ç [(C^o_{q q}(K_q) > -4I_qw_qz_q) È (U_w> U*)] Ç [U ³ U* ] Galloping (o flutter) / Divergenza [ R_oC’_m³ 0 ] Ç [C^o_{q q}(K_q)£ -4I_qw_qz_q] Ç [U @ U_w] Lock-in

U ³ U* Galloping (o flutter) / Divergenza U @ U_w Lock-in

[ R_oC’_m< 0 ] Ç [C^o_{q q}(K_q)£ -4I_qw_qz_q] Ç [U_w< U*]

-4I^qw^qz^q R_oC’_m

C^o_qq(K_q)

min{U_qc, U_qd}

U*=min{U_qc, U_qd}

* *

*

*

*

Fig. 3.6: Regioni di instabilit`a dinamica per la risposta torsionale.

E il caso di osservare che, per le strutture snelle con sezioni trasversali non` compatte, qualora l’angolo medio di incidenza della corrente risulti prossimo a quello di stallo statico per la sezione pu`o presentarsi una particolare condizione di flutter torsionale ad un grado di libert`a, detto stall flutter (o stallo dinamico).

In particolare, il termine stall flutter `e generalmente associato alle vibrazioni periodiche autoeccitate di una struttura dotata di determinate caratteristiche di inerzia e di elasticit`a sulla quale, durante il suo moto di oscillazione, si presenta una condizione di accentuata o totale separazione dello strato limite del flusso [3.28].

La differenza fondamentale quindi tra il flutter classico e lo stall flutter risiede nel carattere del flusso circostante la struttura. Il fenomeno, osservato ed analizzato ini- zialmente in campo aeronautico oltre che, in particolari condizioni, su pale di turbine e compressori, pu`o dar luogo alla perdita di funzionalit`a e di integrit`a strutturale anche nel caso di ponti di grande luce. Esso si manifesta tramite vibrazioni di pre- dominante carattere torsionale, le quali, rispetto al caso di flutter classico perdono di armonicit`a. Inoltre, l’esperienza mostra che la frequenza principale di oscillazione risulta praticamente coincidente con quella naturale torsionale della struttura in aria calma.

Come premesso, il fenomeno detto si verifica quando l’angolo di incidenza medio del flusso diviene prossimo a quello di stallo statico α_st, i.e. all’angolo di incidenza, a profilo fisso nella corrente, per il quale si determina una perdita brusca di momento

U a

q g = a - q

Fig. 3.7: Definizione dell’angolo medio di incidenza γ.

aerodinamico e/o di portanza. Da un punto di vista sperimentale si osserva che generalmente la condizione critica di stall flutter si attinge in corrispondenza di una velocit`a della corrente notevolmente inferiore rispetto a quella che caratterizza la corrispondente instabilit`a dinamica per angoli medi di incidenza prossimi a zero.

Riferendosi a sezioni da ponte, se si assume che le oscillazioni della struttura attorno alla posizione di stallo statico avvengano, in prima approssimazione, in mo- do sinusoidale secondo una legge del tipo θ(t) = θ + θoe^iωt, il momento torcente aeroelastico pu`o rappresentarsi tramite una relazione lineare alla Scanlan (cf. eq.

(2.95)) ([3.13], [3.17])

M_θ^a(t) = 1 2ρU²B²

"

KA^∗₂(K, αst)B ˙θ(t)

U + K²A^∗₃(K, αst)(θ(t) − θ)

#

(3.46)

essendo θ l’angolo medio di torsione della struttura associato al contributo medio di momento aerodinamico ed assumendo (figura 3.7) α_st ∼= γ = α− θ.

Le condizioni critiche per la velocit`a della corrente incidente e per la pulsazione della struttura possono allora determinarsi tramite le relazioni (3.39-3.40), note che siano le funzioni A^∗₂(K, αst) e A^∗₃(K, αst).

Se si considera una sezione trasversale profilata l’analisi dello stall flutter pu`o compiersi mediante l’approccio di Ragget [3.19] secondo il quale, in un intorno del- l’angolo di stallo statico, il momento torcente aeroelastico (3.46) pu`o esprimersi ponendo:

KA^∗₂ = −S_M 4

µ π

2S_M + F_M +4G_M K

¶

(3.47) K²A^∗₃ = −KS_M

2

µ2F_M

K −G_M 2

¶

(3.48) essendo S_M la pendenza dell’andamento del momento torcente statico al variare dell’angolo di incidenza ed in prossimit`a dell’angolo di stallo statico, i.e. S_M =