Esercizi di Matematica
Assegnati per il 7 Ottobre 2020 Classe I A
Esercizio 1 (espressioni in Z)
Calcola il valore delle seguenti espressioni contenenti numeri interi:
(a) [(−2) · (−3) + (6 + 3) : (−3) − 2];
(b) [2·(−4)−16 : (−8)+7]·(−1)−5;
(c) {[(−10+4) : (−3)−3]·(−8)} : (−6+4);
(d) 16+[(−8+6)·2+16 : 2]·(−2−1);
Esercizio 2
Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni e scrivi le relative frazioni sem- pli cate, complete di segno:
a) − 20
5 ; b) + 12
82; c) − 63
14 d) + 12
144; e) −80
140; f ) 256
−64
Esercizio 3
implica che è vera anche la catena inversa, ovvero:
1 2 = 2
4 = 4 8 = 8
16 = 16 32 = 32
64 = 64 128 prova a risolvere gli esercizi n. 4, 5, 6.
Un piccolo ripasso della teoria L'insieme N dei numeri naturali
Fin da piccoli abbiamo imparato a contare utilizzando i numeri 1, 2, 3, · · · . Poi ci hanno insegnato che, per indicare una quantità nulla, dovevamo uti- lizzare il numero 0. Ecco che abbiamo così costruito l'insieme dei numeri naturali, che può essere indicato con la lettera N, ovvero
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, · · · }
La risoluzione delle espressioni:
Per risolvere correttamente le espressioni devi ricordare, tra le altre cose, alcune semplici regole:
Precedenze tra le operazioni Le operazioni di un'espressione vanno svolte nel seguente ordine:
1. Prima le parentesi tonde;
2. Poi le parentesi quadre;
3. Poi le parentesi grae.
Inoltre, in assenza di parentesi, bisogna eettuare le operazioni nel seguente ordine (tra perentesi ricordiamo l'illustrazione che si basa sul codice stradale:
1. Prima le potenze (che corrispondono all'ambulanza);
2. Poi le moltiplicazioni e le divisioni, nell'ordine in cui compaiono (che corrispondono alla polizia) ;
3. Poi le addizioni e le sottrazioni, nell'ordine in cui compaiono (che cor- rispondono agli autoveicoli comuni)
come risultato un numero naturale.
La stessa cosa non si può dire della sottrazione. Infatti 7 − 9 =?
in quanto non esiste un numero naturale che corrisponda alla dierenza tra 7 e 9.
Inoltre anche la divisione non è un'operazione tranquilla in quanto 5 : 3 =?
in quanto non esiste un numero naturale che corrisponda alla divisione tra 7 e 9.
Possiamo riassumere le seguenti osservazioni sulla tranquillità delle operazioni di base nella seguente tabella
Operazione in N Caratteristica
Somma Tranquilla
Sottrazione Non tranquilla Moltiplicazione Tranquilla
Divisione Non tranquilla
Per rendere tranquilla l'operazione di sottrazione, vengono introdotti i numeri interi che si indicano con la lettera Z
Z = {· · · , −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, · · · }
E' intuitivo poter rappresentare i numeri interi su una retta, come mostra la seguente gura:
La risoluzione delle espressioni:
Per risolvere correttamente le espressioni devi ricordare, tra le altre cose, alcune semplici regole:
Precedenze tra le operazioni Le operazioni di un'espressione vanno svolte nel seguente ordine:
1. Prima le parentesi tonde;
2. Poi le parentesi quadre;
3. Poi le parentesi grae.
Inoltre, in assenza di parentesi, bisogna eettuare le operazioni nel seguente ordine (tra perentesi ricordiamo l'illustrazione che si basa sul codice stradale:
1. Prima le potenze (che corrispondono all'ambulanza);
2. Poi le moltiplicazioni e le divisioni, nell'ordine in cui compaiono (che corrispondono alla polizia) ;
3. Poi le addizioni e le sottrazioni, nell'ordine in cui compaiono (che cor- rispondono agli autoveicoli comuni)
Attenzione! L'espressione
−32
ha come risultato -9 e non +9 come si potrebbe essere indotti a pensare visto che essa è diversa dall'espressione
(−3)2 = +9
L'insieme Q dei numeri razionali
Ricordiamo la tabella delle operazioni tranquille che abbiamo scritto nella sezione precedente:
numeri interi e si ottiene l'insieme Q ovvero l'insieme dei numeri razionali o frazioni:
Q =na
b dove a e b sono numeri interio
Osservazione Tra i numeri razionali e quelli che abbiamo studiato in prece- denza c'è una dierenza sostanziale. Se scegliamo un numero dall'insieme N o da Z, possiamo facilmente osservare che nessun altro elemento dell'insieme assume lo stesso valore numerico. Per fare un esempio, nessun altro numero naturale o intero, oltre al 2, descrive il numero degli occhi di una persona.
Viceversa, se allarghiamo il nostro orizzonte ai numeri razionali, possiamo subito osservare che vi sono in niti altri elementi di Q, ovvero frazioni, che rappresentano il valore 2, ad esempio:
4 2, 6
3, 8
4, 10 5 , · · ·
Questa situazione ci induce a voler scegliere una frazione che rappresenti tutta la famiglia delle frazioni ad essa equivalenti. Per scegliere un tale rap- presentante, dobbiamo scegliere una frazione che abbia particolari qualità rispetto alle altre della sua famiglia.
La caratteristica che possiamo scegliere per identi ca un tale rappresentante è questa: il fatto che il numeratore ed il denominatore della frazione non abbiano alcun fattore in comune.
Questo ci porta a trovare una regola di comportamento che dobbiamo seguire quando trattiamo con le frazioni, nell'ottica di voler operare con i rappresen- tanti delle varie famiglie, ovvero sempli care tra loro numeratore e denomi- natore, in modo da ridurre la frazione ai minimi termini, come mostrato nella seguente gura:
Figure 1: La sempli cazione di una frazione
Per quanto riguarda le operazioni tra le frazioni, bisogna seguire le regole espresse dalla gura seguente:
Figure 2: Le regole per operare con le frazioni
La risoluzione delle espressioni:
Per risolvere correttamente le espressioni devi ricordare, tra le altre cose, alcune semplici regole:
Precedenze tra le operazioni Le operazioni di un'espressione vanno svolte nel seguente ordine:
1. Prima le parentesi tonde;
2. Poi le parentesi quadre;
3. Poi le parentesi grae.
Inoltre, in assenza di parentesi, bisogna eettuare le operazioni nel seguente ordine (tra perentesi ricordiamo l'illustrazione che si basa sul codice stradale:
1. Prima le potenze (che corrispondono all'ambulanza);
2. Poi le moltiplicazioni e le divisioni, nell'ordine in cui compaiono (che
