Esercizio 4

Esercizio 4

Antonino Polimeno

Universit` a degli Studi di Padova

Soluzioni di equazioni non-lineari - 1

I Radici di un polinomio: roots(p) d` a le radici di un polinomio rappresentato dal vettore colonna di coefficienti p

p = [3 -2 -4];

r = roots(p) r =

1.5352 -0.8685

I Soluzione di una equazione non-lineare: fzero(fun,x0) d` a una soluzione, se esiste, vicina a x0

fun = @sin; % function x0 = 3; % initial point x = fzero(fun,x0)

x = 3.1416

Soluzioni di equazioni non-lineari - 2

Soluzione di un sistema di equazioni: x=fsolve(fun,x0)tenta di trovare al soluzione di un sistema di equazioni vicina al vettore x0; per esempio, vogliamo trovare la soluzione del sistema

e−e−(x1 −x2 )− x₂(1 + x₁²) = 0 x₁cos x₂+ x₂sin x₁− 0.5 = 0

definiamo la funzione root2d

function F = root2d(x)

F(1) = exp(-exp(-(x(1)+x(2)))) - x(2)*(1+x(1)^2);

F(2) = x(1)*cos(x(2)) + x(2)*sin(x(1)) - 0.5;

end

e troviamo la radice vicina al punto (0, 0)

fun = @root2d;

x0 = [0,0];

x = fsolve(fun,x0)

Equation solved.

fsolve completed because the vector of function values is near zero as measured by the default value of the function tolerance, and the problem appears regular as measured by the gradient.

x =

Calcolo del pH di un acido poliprotico - 1

Equilibri:

H n A −−* )−− H n−1 A ⁻ + H ⁺ K 1 = ^[H

^A

−

][H

] [H

A]

H n−1 A ⁻ −−* )−− H n−2 A ²⁻ + H ⁺ K 2 = ^[H

^A

− 2

][H

] [H

A

]

. . .

HA ⁽ⁿ⁻¹⁾⁻ −−* )−− A ⁿ⁻ + H ⁺ K n = ^[A

^][H

^]

[HA

]

H ₂ O −−* )−− OH ⁻ + H ⁺ K w = [H ⁺ ][OH ⁻ ] Se [H n A] iniziale = a 0 , vale il bilancio di massa:

n

X

i =0

[H _n−i A ^{i −} ] = a ₀

e il bilancio di carica:

n

X

i =1

i [H _n−i A ^{i −} ] + [OH ⁻ ] = [H ⁺ ]

Calcolo del pH di un acido poliprotico - 2

Definiamo x = [H ⁺ ], x i = [H n−i A ^{i −} ]:

K _i = xx _i x _{i −1}

n

X

i =0

x _i = a ₀

n

X

i =1

ix _i + K _w

x = x

da cui troviamo che

x _i = Π ⁱ _{j =1} K _j
x 0

x ⁱ = r _i x 0

x ⁱ

Calcolo del pH di un acido poliprotico - 3

Combinando le due relazioni lineari con l’ultima equazione eliminiamo x 0 ; ponendo z = 1/x = 1/[H ⁺ ]:

a ₀ P n

i =1 ir i z ⁱ 1 + P n

i =1 r _i z ⁱ + K _w z − 1 z = 0

L’equazione polinomiale seguente ha radici non nulle in comune con la relazione precedente:

n+2

X

j =0

c j z ^j = 0

Abbiamo ora un’equazione polinomiale di grado n + 2; delle n + 2

radici, si verifica che solo una ` e reale e positiva e quindi il cui

inverso ` e identificabile con [H ⁺ ]

Script 4

% title

fprintf(’Exercise n. 4\n\n\n’)

% exponential format format shortEng format compact

% read data

ex4_data=load(’ex4_script.dat’);

% number of points ndata=size(ex4_data);

n=ndata(1,1)-2;

fprintf(’Acid with %2.0f protons \n’,n) kappa=ones(n,1);

for i=1:n

kappa(i)=ex4_data(i);

end

kw=ex4_data(n+1);

a0=ex4_data(n+2);

r=ones(n,1);

for i=1:n for j=1:i

r(i)=r(i).*kappa(j);

end end

Script 4 cont.

p0=zeros(3,1)’;

p1=zeros(n+1,1)’;

p2=zeros(3,1)’;

p3=zeros(n+1,1)’;

p0(2)=a0;

p2(1)=kw;

p2(3)=-1.0;

for i=1:n

p1(n-i+1)=i*r(i);

p3(n-i+1)=r(i);

end p3(n+1)=1.0;

p=zeros(n+3,1)’;

p=conv(p0,p1)+conv(p2,p3);

rad=roots(p);

i=1;

while i<n+4 & rad(i)<0 i=i+1;

end

ph=log10(rad(i));

Script 4 cont.

% display results fprintf(’Results\n\n’) fprintf(’pH: %8.2f \n’,ph) nstep=1000;

amin=-log10(a0);

astep=2*log10(a0)/(nstep-1);

for j=1:nstep

a=10^(amin+(j-1)*astep);

p0(2)=a;

p=zeros(n+3,1)’;

p=conv(p0,p1)+conv(p2,p3);

rad=roots(p);

i=1;

while i<n+4 & rad(i)<0 i=i+1;

end

aplot(j)=log10(a);

phplot(j)=log10(rad(i));

end

plot(aplot,phplot) xlabel(’log_{10}(a_{0})’) ylabel(’pH’)