Massimi e minimi di una funzione in più variabili
Data una funzione:
f x , y = x
3 y
3 3 x y
1. Trovare il vettore gradiente di f:
∇ f = f
x, f
y = 3 x
2 3 y , 3 y
2 3 x
2. Trovare gli zeri del gradiente (punti stazionari):
{ f f
xy= = 0 0 { 3 y 3 x
22 3 y = 0 3 x = 0 { y y =− x
2 x = 0
2 x x
3 1 = 0
quindi:
{ x = 0 , x = −1
y = 0 , y = −1 sostituendo i valori trovati di x nella prima equazione
3. Trovare la matrice hessiana:f
xx= 6 x f
xy= 3 f
yy= 6 y
H = f f
xxxyf f
yyxy = 6 x 3 6 y 3
4. Sostituire i valori delle coordinate di ognuno dei punti stazionari nella matrice hessiana e calcolarne il determinante (det):
Per funzioni in 2 variabili:
• Se det > 0
◦ Se H11 > 0 punto di minimo→
◦ Se H11 < 0 punto di massimo→
• Se det < 0 punto di sella→
• Se det = 0, nessuna informazione
Per funzioni di 3 o più variabili in ognuno dei punti stazionari:
• se gli autovalori sono tutti positivi punto di minimo→
• se gli autovalori sono tutti negativi punto di massimo→
• se gli autovalori sono tutti zeri, nessuna informazione Nell' esempio:
sostituisco 0, 0 = 0 3 3 0 det = −9 puntodi sella sostituisco −1,−1 = −6 3 −6 3 det = 27 punto di max
Aleksandar Gotev – Appunti di Analisi Matematica 2 – Massimi e minimi in 2 variabili Pagina 1 di 1
