Tutorato di CSMN AA 2018/2019
Esercitazione del 24/10/2018
1. Data la matrice
A =
5 2 0 2 1 0 0 0 β
calcolarne il numero di condizionamento in norma 2 al variare del parametro reale β.
SOLUZIONE.
k2(A) =
3+2√ 2
|β| , se |β| < 3 − 2√ 2
3+2√ 2 3−2√
2, se 3 − 2√
2 < |β| < 3 + 2√ 2
|β|
3−2√
2, se |β| > 3 + 2√ 2
2. Calcolare i numeri di condizionamento in norma 1, 2 e ∞ della matrice
A =
3 −1 0
0 3 0
0 −1 3
. SOLUZIONE.
k1(A) = 25/9, k∞(A) = 16/9, k2(A) = s
20 +√ 76 20 −√
76. 3. Esercizio 1, prova parziale di CSMN del 10/11/2017
Stabilire per quali valori dei parametri α e β le matrici
P =
α 0 12 0 0 1 0 0
−12 0 α 0 0 0 0 1
, Q = 1 3
−1 2 −2
2 −1 β
−2 −2 −1
risultano ortogonali e , assegnati i valori trovati, calcolare il numero di condizionamento in norma 1, 2 e ∞ di intrambe. Infine risolvere nel modo pi`u opportuno il sistema lineare Qx = b con b = [1, 1, 1]T. SOLUZIONE.
1
P `e ortogonale per α = ±
√ 3
2 mentre Q `e ortogonale se β = −2. Quindi, assegnati tali valori, k2(P ) = 1 = k2(Q). Essendo Q anche simmetrica si ha che k1(Q) = k∞(Q) = 25/9. Poi si ha
k1(P ) = k∞(P ) = 1 +
√3 2 ,
x = Q−1b = QTb = Qb = −1 3
1 1 5
. 4. Esercizio 2, compito del 31/01/2018
Assegnate le matrici
A =
1 1 1 1 2 2 1 2 3
, L =
1 0 0 1 1 0 1 1 1
, M =
1 0 0 a 1 0 b c 1
si dica se A `e invertibile. Si calcoli il prodotto LLT e si determinino i valori dei parametri a, b e c che rendono M l’inversa di L. Sfruttando i calcoli fatti, si deduca l’inversa di A. Assegnati ai parametri i valori a e b trovati, si calcolino le norme 1 e ∞ della matrice M al variare di c.
SOLUZIONE.
A `e invertibile dato che det(A) = 1.
LLT =
1 1 1 1 2 2 1 2 3
= A,
i valori dei parametri cercati sono a = −1, b = 0 e c = −1,
A−1 = MTM =
2 −1 0
−1 2 −1
0 −1 1
,
kM k1 =
(2 se − 1 < c < 1
1 + |c| se c < −1, c > 1 , kM k∞ =
(2 se − 1 < c < 1
1 + |c| se c < −1, c > 1 .
2
5. Esercizio 2, compito del 18/09/2018 Si considerino le matrici
A =
1 0 3 0 2 0 0 2 2
, B = 1 2
2 β −3
0 α 0
0 −1 α
e si determinino i valori dei parametri reali α e β che rendono A e B l’una l’inversa dell’altra. Assegnati ai parametri i valori trovati, si calcoli l’indice di condizionamento delle due matrici in norma 1 e
∞. Infine, si risolva nel modo pi`u conveniente il sistema Ax = b con b = [1, 1, 1]T.
SOLUZIONE.
α − 1, β = 3. Asseganti tali valori si ha k1(A) = 25
2 = k1(B), k∞(A) = 16 = k∞(B).
x = A−1b = Bb = 1 2
1
1 2
0
.
3
