Tutorato di CSMN AA 2018/2019
Esercitazione del 16/10/2018
1. Esercizio 1, compito del 01/02/2017 (Prof. Rodriguez) Assegnate le matrici
Q =
7
25 0 −2425
0 1 0
−2425 0 −257
, L =
1 0 0
−2 1 0
6 −3 1
, M =
1 0 0 α 1 0 0 β 1
verificare che Q `e ortogonale, calcolare le matrici A = QL, B = LLT e determinare i valori di α e β che rendono M l’inversa di L. Calcolare quindi, nel modo pi`u efficiente, i determinanti e le inverse di A e B.
SOLUZIONE.
A =
−13725 7225 −2425
−2 1 0
−6625 2125 −257
, B =
1 −2 6
−2 5 −15
6 −15 46
LM = I per α = 2 e β = 3.
Assegnati i valori trovati si ha
A−1 = L−1Q−1 = M QT =
7
25 0 −2425
14
25 1 −4825
−2425 3 −257
B−1 = MTM =
5 2 0 2 10 3 0 3 1
, det(A) = −1, det(B) = 1.
2. Esercizio 5, compito del 19/06/2018 (Dott.ssa Fenu) Dati i tre numeri
a = 17, 723 · 10−2 b = 371, 843 · 10−3 c = 2, 39 · 10−1 si calcolino le quantit`a
t1 = (b − a) · c e t2 = b · c − a · c
nell’insieme F(10, 4, −12, 12). Infine, si commentino i risultati ottenuti in termini di errore relativo giustificando quale scelta risulterebbe pi`u conveniente effettuare.
1
SOLUZIONE.
fl(t1) = 0.424 · 10−1 = fl(t2) e ρ1 = ρ2 = 0.269 · 10−13 da cui segue che le due scelte sono equivalenti.
3. Date le matrici
A =
0 −1 0
0 0 1
2 0 0
, B = β
0 0 1
−2 0 0 0 2 0
, C =
0 −α −α
0 1 α
α 0 0
, dove α e β sono parametri reali. Si determinino i valori di β che rendono la matrice B l’inversa di A e i valori di α che rendono C una matrice non singolare. Si consideri poi la matrice D = A + C e si stabilisca per quali valori del parametro α D `e ortogonale. Fissato tale valore, si calcolino spettro e raggio spettrale di D. Motivando opportunamente la risposta, si indichi spettro e raggio spettrale di D−1.
SOLUZIONE. β = 12, C `e non sngolare per ogni α 6= 0, 1.
D =
0 −(1 + α) −α
0 1 1 + α
2 + α 0 0
`e ortogonale per α = −1.
σ(D) = {−1, 1, 1} = σ(D−1), ρ(D) = 1 = ρ(D−1).
4. Si considerino le matrici
L =
4 0 0 0 2 0 α 0 2
, M =
4 0 1 0 2 0 0 0 2
, U =
1
4 0 β
0 12 0 0 0 12
.
Si determinino i valori di α e β che rendono M e U una l’inversa dell’altra e che rendono simmetrica la matrice A = LM . Assegnato a ciascun parametro uno dei valori trovati, si calcoli nel modo pi`u conve- niente l’inversa di A e il suo raggio spettrale.
SOLUZIONE.
A =
16 0 4
0 4 0
4α 0 α + 4
,
A `e simmetrica per α = 1 mentre U = M−1 per β = −18. Assegnati tali valori l’inversa di A sar`a
A−1 = (LM )−1 = (MTM )−1 = M−1(M−1)T = U UT =
5
64 0 −161 0 14 0
−161 0 14.
2
5. Dire per quali valori del parametro reale α la matrice
A =
α 1 0 1 α 1 0 1 α
`
e invertibile e quali valori risulta definita positiva.
SOLUZIONE.
A `e invertibile per ∀α ∈ R\{0, ±√
2} e definita positiva per α >√ 2.
3
