Corso di Algebra lineare - a.a. 2002-2003 Prova scritta del 24.9.2003 Esercizio 1. Si consideri lo spazio euclideo E

(1)

Corso di Algebra lineare - a.a. 2002-2003 Prova scritta del 24.9.2003

Esercizio 1. Si consideri lo spazio euclideo E

³

munito di un riferimento ortonormale Oxyz.

a) Scrivere l’equazione cartesiana del piano π contenente la retta r di equazioni x+2y+z = 2, z − 2x = 1 ed il punto P (1, 2, −2).

b) Scrivere l’equazione cartesiana del piano π

⁰

perpendicolare alla retta r e passante per P . c) Calcolare la distanza tra P e r e scrivere l’equazione della sfera con centro P tangente a

r.

Punti (3+3+3)

Esercizio 2. Si consideri l’applicazione lineare dipendente da un parametro t ∈ R, F

t

: R

³

→ R

³

tale che F

t

(1, −1, 1) = (t, −t, t), F

t

(1, 0, 1) = (t, 0, t), F

t

(−2, 0, t

²

) = (−6, 0, 3t

²

).

a) Trovare la matrice A

_t

associata ad F

_t

nelle basi canoniche di R

³

. b) Calcolare la dimensione del nucleo e dell’immagine di F

_t

.

c) Dire per quali valore del parametro reale t, A

_t

`e diagonalizzabile sui reali.

d) Calcolare autovalori e autovettori di A

₁₄

. Punti (5+2+5+3)

Esercizio 3. Sia A una matrice quadrata reale di ordine 3.

Vero o Falso:

a) A

²

+ I non pu` o essere nilpotente.

b) A

⁷

+ I pu` o avere gli stessi autovalori di A.

c) La traccia di A

²

+ I `e sempre positiva.

Punti (2+2+2)

1

(2)

Corso di Algebra Lineare -a. a. 2002-03 Prova scritta 24.9.2003 Risultati

Nome: Cognome:

Nuovo ordinamento SI NO

Matematica Fisica

ESERCIZIO 1

a)

b) c)

ESERCIZIO 2 a) A

_t

=

b) dim Ker = dim Im =

c) valori di t A

_t

`e diagonalizzabile:

d) autovalori A

₁₄

: autovettori A

₁₄

:

ESERCIZIO 3 (crocettare V=vero o F= falso)

a) V F

b) V F

c) V F

La mancata restituzione o compilazione del modulo nei suoi dati generali (nome cognome etc.) comporta l’esclusione dall’esame. La mancata compilazione dei valori di risposta comporta penalizzazione di voto. L’elaborato deve essere consegnato insieme a questo modulo e deve contenere nome e cognome dello studente. Il procedimento non deve essere riportato su questo modulo. Il foglio del testo degli esercizi non deve essere consegnato.

Corso di Algebra lineare - a.a. 2002-2003 Prova scritta del 24.9.2003 Esercizio 1. Si consideri lo spazio euclideo E

Corso di Algebra lineare - a.a. 2002-2003 Prova scritta del 24.9.2003

Esercizio 1. Si consideri lo spazio euclideo E

munito di un riferimento ortonormale Oxyz.

a) Scrivere l’equazione cartesiana del piano π contenente la retta r di equazioni x+2y+z = 2, z − 2x = 1 ed il punto P (1, 2, −2).

b) Scrivere l’equazione cartesiana del piano π

perpendicolare alla retta r e passante per P . c) Calcolare la distanza tra P e r e scrivere l’equazione della sfera con centro P tangente a

r.

Punti (3+3+3)

Esercizio 2. Si consideri l’applicazione lineare dipendente da un parametro t ∈ R, F

: R

→ R

tale che F

(1, −1, 1) = (t, −t, t), F

(1, 0, 1) = (t, 0, t), F

(−2, 0, t

) = (−6, 0, 3t

).

a) Trovare la matrice A

associata ad F

nelle basi canoniche di R

. b) Calcolare la dimensione del nucleo e dell’immagine di F

.

c) Dire per quali valore del parametro reale t, A

`e diagonalizzabile sui reali.

d) Calcolare autovalori e autovettori di A

. Punti (5+2+5+3)

Esercizio 3. Sia A una matrice quadrata reale di ordine 3.

Vero o Falso:

a) A

+ I non pu` o essere nilpotente.

b) A

+ I pu` o avere gli stessi autovalori di A.

c) La traccia di A

+ I `e sempre positiva.

Punti (2+2+2)

1

Corso di Algebra Lineare -a. a. 2002-03 Prova scritta 24.9.2003 Risultati

Nome: Cognome:

Nuovo ordinamento SI NO

Matematica Fisica

ESERCIZIO 1

a)

b) c)

ESERCIZIO 2 a) A

=

b) dim Ker = dim Im =

c) valori di t A

`e diagonalizzabile:

d) autovalori A

: autovettori A

:

ESERCIZIO 3 (crocettare V=vero o F= falso)

a) V F

b) V F

c) V F

Il compito si ritiene sufficiente se si ottengono 18/30 .

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