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Università degli Studi dell’Aquila - Corso di Laurea in Ingegneria dell’Informazione Fisica Generale 2 - Prova scritta d’esame del 17 luglio
Problema 1 (10 punti)
Si consideri il sistema di cariche riportato in figura che è assimilabile a un quadrupolo elettrico. Nelle condizioni per le quali a=1mm e ponendosi sulla retta perpendicolare all’asse del quadrupolo
passante per la carica 2q, si risponda alle seguenti domande:
1. Quale è il verso, la direzione e l’andamento del campo elettrico del quadrupolo in funzione della distanza r del punto P quando r>>a? (4 punti)
2. Se il campo elettrico alla distanza r=100a è uguale a E(r=100a)=269.7 N/C, quanto valgono le cariche del quadrupolo? (2 punti)
3. Nelle condizioni della precedente domanda, quanto vale il campo elettrico nel punto P posto alla distanza r=5a? (2 punti) 4. Quanto dovrebbero valere le cariche negative del quadrupolo per annullare il campo elettrico nel punto P alla distanza r=5a? (2 punti) Nota: può tornare utile l’utilizzo dell’espansione binomiale: 1 1 ! ⋯ . Soluzione Si determini il campo elettrico in un punto generico sulla retta perpendicolare all’asse del quadrupolo e passante per la carica 2q. I campi elettrici dovuti a ciascuna delle due cariche negative e a quella positiva 2q valgono: 4 ; 2 2 4 , 1
dove si sono indicati con ud e ur i versori che individuano rispettivamente le direzioni che uniscono ciascuna
delle due cariche –q e la carica 2q al punto P. Per la simmetria del problema, le componenti verticali dei due campi E(‐q) si annullano e, pertanto, il campo elettrico totale ha la direzione individuata da ur. Indicando con
l’angolo formato dal versore ud con l’asse del quadrupolo si ha che sin ⁄√ , il campo totale lungo la
direzione del versore ur vale: 2 4 2 4 . 2 Dopo alcuni passaggi algebrici si ha: 2 1 1 / , 3 Nella situazione di r>>a si può applicare l’espansione binomiale con m=‐3/2 ottenendo: ≫ 3 4 .
Pertanto, il campo elettrico del quadrupolo è diretto come ur e diminuisce con la distanza come 1/r4. Da questa
relazione si ottiene:
4 ≫
3 1μC
.
Utilizzando la (3), il campo elettrico per r=5a vale ETOT(r=5a)=4.1x107 N/C.
Per annullare il campo elettrico nel punto P per r=5a si prenda la (2) con ‐q’ la carica negativa incognita. Si ottiene facilmente: 2 4 2 4 → 1.061μC. P -q -q 2q a
2 Problema 2 (10 punti)
Il condensatore in figura è a facce piane e parallele con area S e distanza
d tra le armature. Esso è riempito per metà con dielettrico di costante ϵa
e per l’altra metà con dielettrico di costante ϵb. All’istante t=0 il viene
chiuso l’interruttore A. Si calcoli:
1. la capacità del condensatore (2 punti);
2. la carica Qf che a regime si trova sul condensatore (3 punti);
3. la costante di tempo della carica del condensatore (2 punti);
4. l’istante tx in cui la corrente che affluisce sul condensatore raggiunge il valore ix. (3 punti)
Dati: R1=15Ω, R2=8Ω, R3=6Ω, , f1=10V, f2=4V, ϵa=3, ϵb=4, S=8mm2, d=0.2mm, ix=0.2A
Soluzione Il condensatore è equivalente alla serie di due condensatori con capacità: /2 ; /2 , ovvero: 1.21pF. A regime nella maglia attiva scorre la corrente in senso orario: . La caduta di tensione sul condensatore è: 5.7V e la carica a regime sul condensatore vale: 7pC.
La costante di tempo è data da , ove è la resistenza equivalente di Thevenin vista dai morsetti A e B. Essa è data dalla serie di ed il parallelo di ed :
12.3Ω da cui 15ps. La corrente di carica è data da: /
con / , ove . Si trova log / 12.6ps.
3 Problema 3 (10 punti)
Un anello metallico di raggio interno r1 ed esterno r2 scorre, con velocità costante v, parallelamente ad un filo
rettilineo infinito passante per il suo centro e percorso da una corrente I. Sui bordi esterni dell'anello è saldata una resistenza R che si muove solidale con l'anello stesso (vedi figura). Si calcoli:
1. la forza in modulo, direzione e verso che agisce su ciascuno degli elettroni dell’anello metallico alla generica distanza r dal filo; (3 punti) 2. la forza elettromotrice indotta sulla lamina e determinare quale bordo dell'anello si trova a potenziale maggiore (4 punti). 3. l’energia dissipata nel circuito dopo un intervallo di tempo
t. (3 punti) Dati: r1=5cm, r2=30cm, v=10m/s, I=30A, R=1
,
t=10 s. Soluzione Essendo il campo d‘induzione magnetica generato dalla corrente che scorre nel filo di lunghezza infinita pari a: 2 ̂ la forza di Lorentz che agisce su ciascun elettrone dell’anello metallico vale: 2 ̂ dato che i vettori B e v sono mutuamente perpendicolari. Pertanto la forza che agisce sugli elettroni alla generica distanza r dal filo tenderà a spingerli radialmente verso il bordo interno dell’anello. Pertanto, le cariche sull’anello metallico risentono di un campo elettrico: 2 ̂ La forza elettromotrice indotta sarà pertanto: 2 ln 1.07 10 e il bordo a potenziale più alto è quello esterno dove c’è un accumulo di cariche positive. L’energia dissipata sulla resistenza nel tempo t dato sarà: Δ 1.15 10 dove la corrente / è quella che scorre nella resistenza R.I
r
1r
2v
R
4 Problema 4 (10 punti)
Il ciclo di Stirling rappresentato in figura ha le due trasformazioni isocore irreversibili mentre l’espansione isoterma alla temperatura TA e la compressione
isoterma alla temperatura TB sono reversibili. Conoscendo che il rapporto VB /VA, il
numero di moli del gas ideale monoatomico, la variazione ΔSU dell’entropia
dell’universo termodinamico e nell’ipotesi che il gas scambi calore solo con le due sorgenti a temperatura TA e TB, si richiede di calcolare:
1. il valore della temperatura TB; (4 punti) 2. il lavoro eseguito ottenibile dal ciclo termodinamico; (2 punti) 3. le quantità di calore scambiate dal gas con le due sorgenti in un ciclo. (4 punti) Dati: TA =300K; n=1; cv=(3/2)R; VB /VA =10; ΔSU=2.078J/K. Suggerimento: Si osservi che tra le possibili soluzioni algebriche per alla prima domanda, la sola fisicamente sensata è quella tale che . Soluzione Essendo nulla la variazione di entropia del ciclo termodinamico, quella dell’universo termodinamico deve essere maggiore di zero ed ha la seguente espressione: Δ ln ln 2 . Da questa espressione si trova il valore della temperatura TB: 2 2 Δ 2 Δ 4 La soluzione con il segno meno è la sola accettabile e vale TB=200K. Il lavoro ottenuto in un ciclo è la somma dei lavori delle due isoterme: ln ln 1.9kJ. La quantità di calore scambiata dal gas con la sorgente a temperatura TA vale: ln 7kJ. Analogamente, il calore scambiato con la sorgente a temperatura TB vale: ln 5.1kJ. p V TB TA VA VB
