11-12Febbraio2009 [email protected] MassimilianoMartinelli SoluzioniAnaliticheeNumericheApplicateall’IngegneriaAmbientale

(1)

Soluzioni Analitiche e Numeriche Applicate all’Ingegneria Ambientale

Massimiliano Martinelli

[email protected]

Università Politecnica delle Marche, Ancona Facoltà di Ingegneria

11-12 Febbraio 2009

M. Martinelli Soluzioni Analitiche e Numeriche Applicate all’Ingegneria Ambientale

(2)

Equazioni Differenziali Ordinarie

Definizione

Sia I= [x0, b] (o I = [x0, +∞)) e y : I → C^p(I). Sia inoltre f : I × R^p→ R regolare rispetto ad ognuno dei suoi argomenti. Si definisce Equazione Differenziale Ordinaria (ODE, Ordinary Differential Equation) un’equazione del tipo

y^(p)(x) = f (x, y(x), y^′(x), . . . , y^(p−1)(x))

dove p è detto ordine dell’equazione.⇒ Equazione in cui la derivata p-esima della funzione incognita y(x) dipende da x, y(x) e da tutte le sue derivate fino all’ordine p− 1

(3)

Equazioni Differenziali Ordinarie

Osservazione

L’equazione precedente si può riscrivere come un sistema di ODE di ordine 1 y^′(x) = F(x, y)

dove abbiamo posto y : I→ R^pe F : I× R^p→ R^pnel seguente modo

y(x) =





 y(x) y^′(x) ... y^(p−1)(x)





 F(x, y(x)) =





 y₂ y₃ ... y_p f(x, y(x))







(4)

Per definire in modo completo un problema differenziale occorre associare all’ODE in esame alcune condizioni supplementari

Si possono distinguere due tipi diversi di problemi (che devono essere trattati separatamente. Appaiono infatti delle differenze sostanziali sia per l’aspetto teorico che per il trattamento numerico)

(5)

Problemi di Cauchy (o ai valori iniziali)

( y^(p)(x) = f (x, y(x), y^′(x), . . . , y^(p)(x)) ∀x ∈ I

y(x0) = y0 , y^′(x0) = y^′₀ , . . . , y^(p−1)(x0) = y^(p−1)₀

oppure

y^′(x) = F(x, y(x)) ∀x ∈ I y(x0) = y0

(1)

(6)

Problemi di Cauchy (o ai valori iniziali)

( y^(p)(x) = f (x, y(x), y^′(x), . . . , y^(p)(x)) ∀x ∈ I

y(x0) = y0 , y^′(x0) = y^′₀ , . . . , y^(p−1)(x0) = y^(p−1)₀

oppure

y^′(x) = F(x, y(x)) ∀x ∈ I y(x0) = y0

(1)

Problemi ai limiti

Problemi in cui si impongono delle condizioni in alcuni punti distinti

(7)

Problema di Cauchy: esistenza e unicità

Siano F : I× R^p→ R^pe l : I→ R due funzioni continue tali che per ogni x ∈ I e per ogni y, z ∈ R^pvalga

hF(x,y) − F(x,z),y − zi ≤ l(x)||y − z||²

Allora il problema della ricerca di una funzione y : I→ R^pcontinua e derivabile che verifica (1) ammette una ed una sola soluzione

(8)

Problema di Cauchy: esistenza e unicità

Siano F : I× R^p→ R^pe l : I→ R due funzioni continue tali che per ogni x ∈ I e per ogni y, z ∈ R^pvalga

hF(x,y) − F(x,z),y − zi ≤ l(x)||y − z||²

Corollario: teorema di Cauchy-Lipschitz

Sia F : I× R^p→ R^puna funzione continua e L> 0 tali che per ogni x ∈ I e per ogni y, z ∈ R^pvalga

||F(x,y) − F(x,z)|| ≤ L||y − z||

(9)

Nel caso di un problema a valori iniziali, i metodi numerici definiti nel caso scalare si generalizzano senza difficolta al caso vettoriale

(10)

Consideriamo il problema seguente:

Trovare y : I→ C¹(I) tale che

y^′(x) = f (x, y(x)) ∀x ∈ I

y(x0) = y0 (2)

(11)

y^′(x) = f (x, y(x)) ∀x ∈ I

y(x0) = y0 (2)

Il problema differenziale precedente è equivalente all’equazione integrale seguente:

Trovare y : I→ C¹(I) tale che y(x) = y0+

Z _x

x₀

f(t, y(t)) dt (3)

(12)

y^′(x) = f (x, y(x)) ∀x ∈ I

y(x0) = y0 (2)

Il problema differenziale precedente è equivalente all’equazione integrale seguente:

Trovare y : I→ C¹(I) tale che y(x) = y0+

Z _x

x₀

f(t, y(t)) dt (3)

Questa equivalenza si può sfruttare anche a livello numerico, definendo un opportuno metodo di discretizzazione

(13)

Problema ben posto

Consideriamo il seguente problema:

Dato d trovare x tale che F(x, y) = 0 (4) Si suppone che il problema (4) sia ben posto, ovvero che

∀η> 0 , ∃K(η, d) tale che ||δ^d|| <η ⇒ ||δ^x|| ≤ K(η, d)||δ^d||

Se il problema (4) ammette un’unica soluzione, allora esiste necessariamente una funzione risolvente G tale che

x= G(d) cioè F(G(d), d) = 0

(14)

Consistenza

Un metodo numerico per la soluzione approssimata del problema F(x, d) = 0 consiste in una sequenza di problemi approssimati

F_n(xn, dn) = 0 (5)

Si spera che lim

n→∞x_n= x (convergenza alla soluzione esatta) È necessario che d_n→ d e che Fn“approssima” F per n→∞

Se il dato d è ammissibile per F_ndiciamo che il metodo numerico (5) è consistente se

nlim→∞F_n(x, d) = lim

n→∞

F_n(x, d) − F(x,d)

= 0 dove x è la soluzione di (4) corrispondente al dato d

Il metodo è fortemente consistente se Fn(x, d) = 0 per qualsiasi valore di n

(15)

Stabilità

Si richiede che, per n fissato, il problema F_n(xn, dn) = 0

ammette un’unica soluzione x_ncorrispondente al dato d_ne tale soluzione x_n dipende dai dati in maniera continua, ovvero

∀η> 0 , ∃Kn(η, dn) tale che ||δ^dn|| <η⇒ ||δ^xn|| ≤ Kn(η, dn)||δ^dn||

(16)

Stabilità

Si richiede che, per n fissato, il problema F_n(xn, dn) = 0

ammette un’unica soluzione x_ncorrispondente al dato d_ne tale soluzione x_n dipende dai dati in maniera continua, ovvero

∀η> 0 , ∃Kn(η, dn) tale che ||δ^dn|| <η⇒ ||δ^xn|| ≤ Kn(η, dn)||δ^dn||

In altre parole, significa che la soluzione xn+δ^xndel problema perturbato Fn(xn+δxn, dn+δdn) = 0

è non si discosta troppo dalla soluzione x_n

(17)

Convergenza

Il metodo numerico F_n(xn, dn) = 0 è convergente se e solo se

∀ε> 0 ∃n0(ε), ∃δ(n0,ε) > 0 tale che

∀n > n0(ε), ∀||δ^dn|| <δ(n0,ε) ⇒ ||x(d) − xn(d +δ^dn)|| ≤ε ⁽⁶⁾ dove x_n(d +δ^dn) è la soluzione del problema Fn(xn, d +δ^dn) = 0

(18)

Convergenza

∀ε> 0 ∃n0(ε), ∃δ(n0,ε) > 0 tale che

Se poniamo e_n= x(d) − xn(d +δ^dn), la definizione precedente equivale a dire che

nlim→∞en= 0

(19)

Convergenza

∀ε> 0 ∃n0(ε), ∃δ(n0,ε) > 0 tale che

Se poniamo e_n= x(d) − xn(d +δ^dn), la definizione precedente equivale a dire che

nlim→∞en= 0

Per un problema ben posto, la condizione (6) equivale a richiedere che

||x(d +δ^dn) − xn(d +δ^dn)|| ≤ε 2

(20)

Relazioni tra consistenza, stabilità e convergenza

Convergenza⇒ Stabilità

Sia F(x, d) = 0 un problema ben posto. Se il problema numerico Fn(xn, dn) = 0 è convergente, allora è stabile.

(21)

Consistenza + Stabilità⇒ Convergenza

Sia F(x, d) = 0 un problema ben posto. Se il problema numerico Fn(xn, dn) = 0 è consistente e stabile allora è convergente.

(22)

Consistenza + Stabilità⇒ Convergenza

Sia F(x, d) = 0 un problema ben posto. Se il problema numerico Fn(xn, dn) = 0 è consistente e stabile allora è convergente.

Teorema di Equivalenza o di Lax-Richtmyer

Per un metodo numerico consistente, la stabilità è equivalente alla convergenza

(23)

Discretizzazione del problema

Fissato l’intervallo di integrazione I= [x0, xF], si definisce una successione di nodi di discretizzazione

x_i= xi−1+ hi con i= 1, 2, . . .

(24)

x_i= xi−1+ hi con i= 1, 2, . . .

Per iniziare, assumiamo un passo di discretizzazione costante, cioè h_i= h e quindi

x_i= x0+ ih

(25)

x_i= xi−1+ hi con i= 1, 2, . . .

Per iniziare, assumiamo un passo di discretizzazione costante, cioè h_i= h e quindi

x_i= x0+ ih

Usiamo la notazione compatta y_i= y(xi)

(26)

Metodi di sviluppo in serie di Taylor

Si suppone che y(x), la soluzione esatta del problema (2), sia di classe C^k+1(I)

(27)

Si suppone che y(x), la soluzione esatta del problema (2), sia di classe C^k+1(I) Lo sviluppo in serie di Taylor all’ordine k di y_n+1= y(xn+1) = y(xn+ h) nell’intorno del punto x_nfornisce:

y_n+1= yn+

∑k i=1

hⁱ

i!y⁽ⁱ⁾(xn) + h^k+1

(k + 1)!y^(k+1)(ξk(xn))

= yn+ h

k i=1∑

hⁱ⁻¹

i! y⁽ⁱ⁾(xn) + h^k

(k + 1)!y^(k+1)(ξk(xn))

doveξk(xn) ∈ (xⁿ, xn+1).

(28)

Ricordando che y^′(x) = f (x, y(x)) =ϕ1(x, y; f ) abbiamo

y^′′(x) = fx(x, y) + f (x, y)fy(x, y) =ϕ2(x, y; f ) y^′′′(x) = fxx+ f 2fxy+ fyy

+ fy f_x+ ffy

=ϕ3(x, y; f ) . . .

y⁽ⁱ⁾(x) = . . . =ϕi(x, y; f )

Perciò possiamo scrivere

y_n+1= yn+ h

∑k i=1

hⁱ⁻¹

i! y⁽ⁱ⁾(xn) + h^k+1

(k + 1)!y^(k+1)(ξk(xn))

= yn+ h

∑k i=1

hⁱ⁻¹

i! ϕi(xn, yn; f) + h^k+1

(k + 1)!y^(k+1)(ξk(xn))

(29)

Supponiamo ora di scegliere una funzioneΦ(x, y; h, f ) tale che lim

h→0Φ(x, y; h, f ) = f (x, y) e di scrivere l’algoritmo ad un passo

u₀= y0

u_n+1= un+ hΦ(xn, un; h, f ) (7)

(30)

u₀= y0

u_n+1= un+ hΦ(xn, un; h, f ) (7)

Analisi dell’errore

Si tratta di valutare la differenza tra la soluzione esatta y_n+1e la soluzione (approssimata) u_n+1calcolata con l’algoritmo (7)

e_n+1= y_n+1− un+1

(31)

u₀= y0

u_n+1= un+ hΦ(xn, un; h, f ) (7)

Analisi dell’errore

Si tratta di valutare la differenza tra la soluzione esatta y_n+1e la soluzione (approssimata) u_n+1calcolata con l’algoritmo (7)

e_n+1= y_n+1− un+1

Sia u^∗_n+1la soluzione ottenuta applicando un passo dell’algoritmo (7) partendo dal dato iniziale y_n, ovvero

u^∗_n+1= yn+ hΦ(xn, yn; h, f )

(32)

L’errore globale e_n+1si può decomporre come e_n+1= (y_n+1− u^∗n+1)

| {z }

E_loc

+ (u^∗_n+1− un+1)

| {z }

Eprop

Notiamo che la soluzione esatta può anche essere scritta come y_n+1= yn+ hΦ(xn, yn; h, f ) + hτn^k(y; h)

perciò E_loc= yn+1− u^∗n+1= hτn^k(h; y) rappresenta il contributo “locale”

dell’errore.

e_loc=¹_hE_loc=τn^k(h; y) è chiamato errore locale di troncamento Una condizione necessaria per la convergenza, cioè

∀n ||en|| ≤ C(h) con lim

h→0C(h) = 0

è che l’errore locale di troncamento sia infinitesimo con il passo h, ovvero che

hlim→0e_loc(h) = 0

(33)

La proprietà lim

h→0e_loc(h) = 0 esprime la consistenza del metodo Si dice che lo schema è di ordine p se e_loc(h) = O(h^p) per h → 0 Per un metodo di sviluppo in serie di Taylor di ordine k in cui Φ(x, y; h, f ) =∑^k_i=1^hⁱ⁻¹_i! ϕi(x, y) abbiamo eloc= O(h^k)

e_n+1= (y_n+1− u^∗n+1)

| {z }

E_loc

+ (u^∗_n+1− un+1)

| {z }

Eprop

E_prop= en+ h Φ(xn, yn; h, f ) −Φ(xn, un; h, f )

è dovuto alla propagazione degli errori

Ad ogni passo un nuovo errore locale viene introdotto, per poi essere successivamente propagato

L’errore globale è formato dall’accumulo successivo degli errori locali La proprietà di stabilità è legata al fatto che questo accumulo non deve essere

“eccessivo” quando h→ 0

(34)

Metodo di Eulero in avanti

Nel caso particolareΦ(xn, yn; h, f ) = f (x, y) si ottiene il metodo di Eulero in avanti (o esplicito)

u_n+1= un+ hf (xn, un) per n> 0

(35)

Se f è lipschitziana rispetto al secondo argomento, cioè∀x ∈ I verifica

|f (x,y) − f (x,z)| ≤ L|y − z| ∀y,z ∈ R

e inoltre y∈ C²(I) tale che M = max_ξ_∈I|y^′′(ξ)| < +∞allora abbiamo la seguente stima dell’errore:

|en| ≤Mh 2L

e^L(xⁿ^−x⁰⁾− 1

∀x ≥ 0

(36)

|f (x,y) − f (x,z)| ≤ L|y − z| ∀y,z ∈ R

|en| ≤Mh 2L

e^L(xⁿ^−x⁰⁾− 1

∀x ≥ 0 Il metodo di Eulero esplicito è allora convergente con e_n= O(h)

(37)

|f (x,y) − f (x,z)| ≤ L|y − z| ∀y,z ∈ R

|en| ≤Mh 2L

e^L(xⁿ^−x⁰⁾− 1

∀x ≥ 0 Il metodo di Eulero esplicito è allora convergente con e_n= O(h)

Stesso ordine di infinitesimo tra errore globale ed errore di troncamento locale

(38)

Metodo di Eulero in avanti: influenza degli errori di arrotondamento

Tenendo conto degli errori di arrotondamento, la soluzione ˜u_n+1fornita dal calcolatore con il metodo di Eulero in avanti si può scrivere come:

˜u₀= y0+η0

˜u_n+1= ˜un+ hf (xn, ˜un) +ηn+1 per n≥ 0 in cuiηi(con i≥ 0) è l’errore dovuto all’arrotondamento

(39)

˜u₀= y0+η0

˜u_n+1= ˜un+ hf (xn, ˜un) +ηn+1 per n≥ 0 in cuiηi(con i≥ 0) è l’errore dovuto all’arrotondamento Si ottiene allora la seguente maggiorazione dell’errore

|yn− ˜un| ≤ e^L(xⁿ^−x⁰⁾h

|η0| +1 L

 Mh 2 +η

h

i ∀n ≥ 0

conη= max

1≤i≤n|ηi|

(40)

˜u₀= y0+η0

˜u_n+1= ˜un+ hf (xn, ˜un) +ηn+1 per n≥ 0 in cuiηi(con i≥ 0) è l’errore dovuto all’arrotondamento Si ottiene allora la seguente maggiorazione dell’errore

|yn− ˜un| ≤ e^L(xⁿ^−x⁰⁾h

|η0| +1 L

 Mh 2 +η

h

i ∀n ≥ 0

conη= max

1≤i≤n|ηi|

Esiste allora un valore ottimale di h, h_opt, in corrispondenza del quale l’errore

|yn− ˜un| è minimo:

per h< hoptl’errore di arrotondamento diventa preponderante

per h> hoptil contributo dell’errore di arrotondamento nell’errore globale diventa trascurabile

(41)

I metodi che utilizzano lo sviluppo in serie di Taylor sono molto interessanti da un punto di vista teorico

Nozione di ordine di precisione

Analisi accurata dell’errore di discretizzazione

(42)

L’uso di un metodo di sviluppo in serie di Taylor non è in generale molto conveniente: ad ogni passo richiede la valutazione di f e di tutte le sue derivate parziali

(43)

Il metodo più semplice da implementare (Eulero in avanti) converge lentamente (ordine 1)

(44)

L’obiettivo è quello di avere un metodo di ordine> 1 senza avere gli svantaggi dei metodi di sviluppo in serie di Taylor di ordine elevato

(45)

L’obiettivo è quello di avere un metodo di ordine> 1 senza avere gli svantaggi dei metodi di sviluppo in serie di Taylor di ordine elevato

Si possono distinguere due grandi famiglie Metodi di Runge-Kutta

Metodi a più passi (o multistep)

(46)

Varianti dello schema di Eulero

Abbiamo visto che, definito il metodo ad un passo u_n+1= un+ hΦ(xn, un; h, f ) la soluzione esatta si può scrivere come

y_n+1= yn+ hΦ(xn, yn; h, f ) + hτn(h; y)

Nel caso del metodo di EuleroΦ(x, y; h, f ) = f (x, y) e quindiτn(h; y) = O(h)

(47)

Varianti dello schema di Eulero

Abbiamo visto che, definito il metodo ad un passo u_n+1= un+ hΦ(xn, un; h, f ) la soluzione esatta si può scrivere come

y_n+1= yn+ hΦ(xn, yn; h, f ) + hτn(h; y)

Nel caso del metodo di EuleroΦ(x, y; h, f ) = f (x, y) e quindiτn(h; y) = O(h) L’idea è quella di scegliereΦ(x, y; h, f ) in modo tale cheτn(h; y) abbia ordine di infinitesimo più elevato possibile

ScegliendoΦ(x, y; h, f ) =∑^k_i=1^hⁱ_i!⁻¹ϕi(x, y; f ) si ha cheτn(h; y) = O(h^k), ma questo richiede il calcolo delle derivate parziali di f(x, y)

(48)

Nel caso k= 2 abbiamo

Φ(x, y; h, f ) =ϕ0(x, y) + hϕ1(x, y)

= f (x, y) + h(fx(x, y) + fy(x, y)f (x, y))

perciò, se vogliamo evitare il calcolo delle derivate parziali di f , dobbiamo scegliere invece diΦ(x, y; h, f ), una funzione eΦ(x, y; h, f ) (in cui non compaiono derivate di f ) tale che

Φ(x, y; h, f ) =e Φ(x, y; h, f ) + O(h²) (8)

(49)

Nel caso k= 2 abbiamo

Φ(x, y; h, f ) =ϕ0(x, y) + hϕ1(x, y)

= f (x, y) + h(fx(x, y) + fy(x, y)f (x, y))

perciò, se vogliamo evitare il calcolo delle derivate parziali di f , dobbiamo scegliere invece diΦ(x, y; h, f ), una funzione eΦ(x, y; h, f ) (in cui non compaiono derivate di f ) tale che

Φ(x, y; h, f ) =e Φ(x, y; h, f ) + O(h²) (8) Scegliamo eΦ(x, y; h, f ) = a1f(x, y) + a2f(x + p1h, y + p2hf(x, y)) in cui le costanti a₁, a₂, p₁e p₂devono essere determinate in modo da soddisfare (8)

Φ(x, y; h, f ) = ae 1f(x, y) + a2f(x + p1h, y + p2hf(x, y))

= a1f(x, y) + a2

f(x, y + p2hf(x, y)) + p1hf_x(x, y + p2hf(x, y))

= a1f+ a2

f+ p2hf_yf+ O(h²)

+ p1h f_x+ p2hf_xyf+ O(h²)

= (a1+ a2)f + ha2 p₁f_x+ p2f_yf

+ O(h²)

(50)

Perché sia

(a1+ a2)f + ha2 p₁fx+ p2fyf

= f + h fx+ fyf

deve essere 



 a₂6= 0 a₁+ a2= 1 p₁= p2=_2a¹

2

In base alla scelta della costante a₂abbiamo diversi metodi il cui errore locale di troncamentoτn(h; y) è di ordine 2

(51)

Perché sia

(a1+ a2)f + ha2 p₁fx+ p2fyf

= f + h fx+ fyf

deve essere 



 a₂6= 0 a₁+ a2= 1 p₁= p2=_2a¹

2

In base alla scelta della costante a₂abbiamo diversi metodi il cui errore locale di troncamentoτn(h; y) è di ordine 2

Metodo di Heun: a₁= a2=¹₂, p₁= p2= 1 u_n+1= un+h

2 h

f(xn, un) + f (xn+1, un+ hf (xn, un))i

Metodo di Eulero modificato: a₁= 0, a2= 1, p1= p2=¹₂ u_n+1= un+ hf (xn+¹₂h, un+¹₂hf(xn, un))