4-5Marzo2009 [email protected] MassimilianoMartinelli SoluzioniAnaliticheeNumericheApplicateall’IngegneriaAmbientale

Soluzioni Analitiche e Numeriche Applicate all’Ingegneria Ambientale

Massimiliano Martinelli

[email protected]

Università Politecnica delle Marche, Ancona Facoltà di Ingegneria

4-5 Marzo 2009

Definizioni

Una EDP è una relazione che lega un insieme di variabili indipendenti x = (x

, . . . , x

), una funzione incognita u(x) e un certo numero di derivate parziali di u:

F



x, u(x), . . . , ∂

u(x)

∂ ^x

. . . ∂ ^x



= 0

L’ordine di una EDP è il grado più alto delle derivate parziali presenti

nell’equazione precedente, cioè il massimo valore assoluto di p

+ ··· + p

Se F è lineare rispetto ad u e alle sue derivate, l’EDP è definita essere lineare

Se si ha una sola variabile x = x

⇒ Equazioni Differenziali Ordinarie

In molti problemi le variabili si possono decomporre in variabili temporali e

spaziali, ovvero x = (t, x

, . . . , x

)

Sistema di equazioni di Eulero

∂ ^W

∂ ^{t +} ∂ ^F

(W)

∂ ^{x +} ∂ ^F

(W)

∂ ^{y +} ∂ ^F

(W)

∂ ^{z = 0} dove W = ( ρ , ρ u, ρ v, ρ w, E) sono chiamate variabili conservative e

F

(W) =



 

 

 ρ ^u ρ ^u

+ p

ρ uv ρ uw u(E + p)



 

 



F

(W) =



 

 

 ρ ^v ρ ^uv ρ v

+ p

ρ vw v(E + p)



 

 



F

(W) =



 

 

 ρ ^w ρ ^uw ρ ^vw ρ w

+ p w(E + p)



 

 



sono i termini (flussi) convettivi

Equazione fluidodinamica per un fluido comprimibile non viscoso

Il sistema di equazioni di Eulero è un sistema di EDP non lineare, evolutivo e

di ordine 1

Sistema di equazioni di Navier-Stokes

∂ ^W

∂ ^{t +}

∂ ^F

(W)

∂ ^{x +}

∂ ^F

(W)

∂ ^{y +}

∂ ^F

(W)

∂ ^z + ∂ ^G

(W, ∇W)

∂ ^{x +} ∂ ^G

(W,∇W)

∂ ^{y +} ∂ ^G

(W, ∇W)

∂ ^{z = 0} dove G

(W, ∇W), G

(W,∇W) e G

(W,∇W) sono i termini (flussi) diffusivi

G

(W,∇W) =



 

 

 0

− τ

− τ

− τ

−g



 

 



G

(W,∇W) =



 

 

 0

− τ

− τ

− τ

−g



 

 



G

(W, ∇W) =



 

 

 0

− τ

− τ

− τ

−g



 

 



dove g

= q

+ u τ

+ v τ

+ w τ

, g

= q

+ u τ

+ v τ

+ w τ

, . . .

Equazione fluidodinamica per un fluido comprimibile viscoso

È un sistema di EDP non lineare, evolutivo e di ordine 2

Sistema di equazioni di Maxwell

 

 

 

 

 

 

 



∇ × B = µ

j + ε

µ

∂ ^E

∂ ^t

∂ ^B

∂ ^{t = −∇ × E}

∇ · E = ρ ε

∇ · B = 0

dove E è il campo elettrico, B il campo magnetico, j la densita di corrente e ρ ^la densità di carica

Equazione fondamentale in elettromagnetismo

Equazione di Schröedinger ih ∂ Ψ

∂ t = −

∑

h

2m

∇

Ψ + V(x)Ψ

dove x = (x

, y

, z

, x

, . . . , z

) è la posizione delle particelle e Ψ(x) è la funzione d’onda delle particelle

Equazione fondamentale della meccanica quantistica non relativistica

È una EDP lineare, evolutiva e di ordine 2

Equazione di Lotka-Volterra (modello preda-predatore)

 x

(t) = (a

− a

x

(t))x

(t) x

(t) = −(a

− a

x

(t))x

(t)

dove x

(t) e x

(t) sono due grandezze che misurano l’entità delle popolazioni 1 e 2 al tempo t (ad esempio il numero di individui). a

, a

, a

e a

sono costanti positive.

È un sistema di ODE non lineare di ordine 1

Propagazione di una epidemia

 s

(t) = −kas(t)m(t) m

(t) = kas(t)m(t) − bm(t) dove:

s(t) è il numero di individui sani

m(t) è il numero di individui malati in circolazione a è un coefficiente che misura la virulenza della malattia

b è il tasso con cui gli individui malati vengono rimossi dalla possibilità del contagio (isolati, deceduti, immunizzati, . . . )

k è il coefficiente legato al numero di incontri tra individui sani e malati

È un sistema di ODE non lineare di ordine 1

Migrazione dei lavoratori

∂λ

∂ t + ∂

ω

∂ x

λ + ∂ω

∂ x

∂λ

∂ x = γ ∂

λ

∂ x

in cui λ (x, t) è la densità di lavoratori al posto x e al tempo t e ω (x, t) è lo stipendio

medio al posto x e al tempo t

Problema ben posto (secondo Hadamard)

Un problema di EDP è detto ben posto quando sono soddisfatte le proprietà seguenti:

Esiste una soluzione La soluzione è unica

La soluzione dipende in maniera continua dai dati

Le prime due proprietà dipendono, in particolare, dalle condizioni iniziali e/o ai limiti che vengono imposte

Il numero di condizioni da imporre è legato al tipo di equazione e al suo ordine:

Se si impongono troppe condizioni, il problema può non avere soluzioni Se non ci sono abbastanza condizioni, si possono trovare delle soluzioni che non sono “fisiche”

La terza proprietà assicura che a piccole variazioni di dati corrispondono

piccole variazioni dei risultati

Esempio

Si consideri il problema

 

 

 

 



 

 

 

 

∂

^u

∂ ^t

⁺ ∂

^u

∂ ^x

^{= 0 x} ∈ R, t > 0 u(t, 0) = 0

∂ ^u

∂ ^x  

= φ (x)

Esempio

Si consideri il problema

 

 

 

 



 

 

 

 

∂

^u

∂ ^t

⁺ ∂

^u

∂ ^x

^{= 0 x} ∈ R, t > 0 u(t, 0) = 0

∂ ^u

∂ ^x  

= φ (x)

Esiste un’unica soluzione u in C

(R × R

)

Se φ (x) = φ

(x) = e

n sin(nx) , allora la soluzione è

u

(t, x) = e

sin(nx)e

Esempio

Si consideri il problema

 

 

 

 



 

 

 

 

∂

^u

∂ ^t

⁺ ∂

^u

∂ ^x

^{= 0 x} ∈ R, t > 0 u(t, 0) = 0

∂ ^u

∂ ^x  

= φ (x)

Esiste un’unica soluzione u in C

(R × R

)

Se φ (x) = φ

(x) = e

n sin(nx) , allora la soluzione è u

(t, x) = e

sin(nx)e

Però abbiamo lim φ (x) = 0 e ∀t > 0 lim u (t , x) = +∞ quindi la

Classificazione delle EDP

Consideriamo una EDP lineare, di ordine 2 e con due variabili indipendenti:

a(x, y)u

+ b(x, y)u

+ c(x, y)u

+ d(x, y)u

+ e(x, y)u

+ f (x, y)u = g(x, y)

Questa equazione è detta iperbolica se b

ellittica se b

parabolica se b



a b d

b c e



= 2

Classificazione delle EDP

Consideriamo una EDP lineare, di ordine 2 e con due variabili indipendenti:

a(x, y)u

+ b(x, y)u

+ c(x, y)u

+ d(x, y)u

+ e(x, y)u

+ f (x, y)u = g(x, y)

Questa equazione è detta iperbolica se b

ellittica se b

parabolica se b



a b d

b c e



= 2

Se a(x, y), . . . , f (x, y) non sono costanti, allora la classificazione ha un carattere

locale

Classificazione delle EDP

Consideriamo una EDP lineare, di ordine 2 e con due variabili indipendenti:

a(x, y)u

+ b(x, y)u

+ c(x, y)u

+ d(x, y)u

+ e(x, y)u

+ f (x, y)u = g(x, y)

Questa equazione è detta iperbolica se b

ellittica se b

parabolica se b



a b d

b c e



= 2

Se a(x, y), . . . , f (x, y) non sono costanti, allora la classificazione ha un carattere locale

 a ∂

∂ ^x

^{+ b}

∂

∂ ^x ∂ ^{y + c}

∂

∂ ^y



è chiamato parte principale dell’operatore differenziale

La natura iperbolica ed ellittica dell’equazione differenziale dipende solo dalla

sua parte principale

Classificazione delle EDP

Nel caso di N variabili, possiamo scrivere l’equazione lineare di ordine 2 come

∑

∑

a

(x) ∂

^u

∂ ^x

∂ ^x

+

∑

b

(x) ∂ ^u

∂ ^x

= H(x, u) (1)

La classificazione è ora basata sugli autovalori della matrice A i cui elementi sono a

(x)

Si può sempre scegliere A simmetrica ⇒ A ha soltanto autovalori reali

Classificazione delle EDP

Nel caso di N variabili, possiamo scrivere l’equazione lineare di ordine 2 come

∑

∑

a

(x) ∂

^u

∂ ^x

∂ ^x

+

∑

b

(x) ∂ ^u

∂ ^x

= H(x, u) (1)

La classificazione è ora basata sugli autovalori della matrice A i cui elementi sono a

(x)

Si può sempre scegliere A simmetrica ⇒ A ha soltanto autovalori reali L’equazione (1) è detta

iperbolica se tutti gli autovalori sono non nulli ma ne esiste uno cha ha segno diverso dagli altri

ellittica se tutti gli autovalori sono non nulli e hanno lo stesso segno parabolica se esiste un autovalore nullo e rank(A(x), b(x)) = N (con

)

Questa classificazione non esaurisce tutti i casi possibili di EDP lineari di

ordine 2

Classificazione delle EDP

Consideriamo ora il sistema lineare di equazioni del primo ordine seguente AW

+ BW

= f W ∈ R

con A, B matrici quadrate di ordine n

Classificazione delle EDP

Consideriamo ora il sistema lineare di equazioni del primo ordine seguente AW

+ BW

= f W ∈ R

con A, B matrici quadrate di ordine n

Se A è invertibile, la classificazione è fatta in base alle soluzioni dell’equazione P( λ ) = det(B − A λ ) = 0

ed al numero di autovettori indipendenti che verificano

(B − A λ )v = 0

Classificazione delle EDP

Consideriamo ora il sistema lineare di equazioni del primo ordine seguente AW

+ BW

= f W ∈ R

con A, B matrici quadrate di ordine n

Se A è invertibile, la classificazione è fatta in base alle soluzioni dell’equazione P( λ ) = det(B − A λ ) = 0

ed al numero di autovettori indipendenti che verificano (B − A λ )v = 0 Il sistema è detto

iperbolico se P(λ

ellittico se P(λ

Problemi stazionari ed evolutivi

Le equazioni ellittiche descrivono problemi stazionari: in tal caso le variabili x = (x

, . . . , x

) possono essere considerate come variabili spaziali ⇒ Per chiudere il problema si aggiungono le condizioni ai limiti (dette anche condizioni al bordo o di frontiera)

Le equazioni iperboliche e paraboliche descrivono problemi evolutivi: in tal

caso una delle variabili assume il ruolo di variabile temporale. Richiedono

l’uso di condizioni iniziali e di condizioni al bordo.

Problemi stazionari ed evolutivi

Le equazioni ellittiche descrivono problemi stazionari: in tal caso le variabili x = (x

, . . . , x

) possono essere considerate come variabili spaziali ⇒ Per chiudere il problema si aggiungono le condizioni ai limiti (dette anche condizioni al bordo o di frontiera)

Le equazioni iperboliche e paraboliche descrivono problemi evolutivi: in tal caso una delle variabili assume il ruolo di variabile temporale. Richiedono l’uso di condizioni iniziali e di condizioni al bordo.

Sia L l’operatore differenziale corrispondente a un’equazione ellittica del tipo (1).

Allora:

Problemi stazionari ed evolutivi

Le equazioni ellittiche descrivono problemi stazionari: in tal caso le variabili x = (x

, . . . , x

) possono essere considerate come variabili spaziali ⇒ Per chiudere il problema si aggiungono le condizioni ai limiti (dette anche condizioni al bordo o di frontiera)

Le equazioni iperboliche e paraboliche descrivono problemi evolutivi: in tal caso una delle variabili assume il ruolo di variabile temporale. Richiedono l’uso di condizioni iniziali e di condizioni al bordo.

Sia L l’operatore differenziale corrispondente a un’equazione ellittica del tipo (1).

Allora:

u

+ Lu = 0 è un’equazione parabolica per u(x

, . . . , x

; t) e t corrisponde

all’autovalore λ = 0

Problemi stazionari ed evolutivi

Le equazioni ellittiche descrivono problemi stazionari: in tal caso le variabili x = (x

, . . . , x

) possono essere considerate come variabili spaziali ⇒ Per chiudere il problema si aggiungono le condizioni ai limiti (dette anche condizioni al bordo o di frontiera)

Le equazioni iperboliche e paraboliche descrivono problemi evolutivi: in tal caso una delle variabili assume il ruolo di variabile temporale. Richiedono l’uso di condizioni iniziali e di condizioni al bordo.

Sia L l’operatore differenziale corrispondente a un’equazione ellittica del tipo (1).

Allora:

u

+ Lu = 0 è un’equazione parabolica per u(x

, . . . , x

; t) e t corrisponde all’autovalore λ = 0

se la matrice A ha soltanto autovalori negativi

u

+ Lu = 0

Equazioni ellittiche (problemi stazionari)

Una perturbazione in un punto influenza la soluzione in tutto il dominio considerato

Sono necessarie condizioni al bordo per tutte le frontiere e per tutte le

incognite

Equazioni ellittiche (problemi stazionari)

Una perturbazione in un punto influenza la soluzione in tutto il dominio considerato

Sono necessarie condizioni al bordo per tutte le frontiere e per tutte le incognite

Equazioni paraboliche (problemi evolutivi)

I problemi parabolici sono caratterizzati da fenomeni di diffusione ⇒ una perturbazione è attenuata rapidamente

In generale, sono necessarie sia condizioni al bordo che condizioni ai valori

iniziali

Equazioni ellittiche (problemi stazionari)

Una perturbazione in un punto influenza la soluzione in tutto il dominio considerato

Sono necessarie condizioni al bordo per tutte le frontiere e per tutte le incognite

Equazioni paraboliche (problemi evolutivi)

I problemi parabolici sono caratterizzati da fenomeni di diffusione ⇒ una perturbazione è attenuata rapidamente

In generale, sono necessarie sia condizioni al bordo che condizioni ai valori iniziali

Equazioni iperboliche (problemi evolutivi)

Tipicamente descrivono problemi di propagazione di onde in assenza di dissipazione

Le condizioni al bordo e ai valori iniziali dipendono dalle direzioni

caratteristiche dell’equazione considerata

Problemi ellittici: esempi

Il Laplaciano ∇

è un operatore ellittico ⇒ Le equazioni di Laplace ∇

φ = 0 e di Poisson ∇

φ = f sono EDP ellittiche. Esse descrivono per esempio

la deformazione di una membrana soggetta ad un carico

la ripartizione del calore in un ambiente omogeneo

Problemi ellittici: esempi

Il Laplaciano ∇

è un operatore ellittico ⇒ Le equazioni di Laplace ∇

φ = 0 e di Poisson ∇

φ = f sono EDP ellittiche. Esse descrivono per esempio

la deformazione di una membrana soggetta ad un carico la ripartizione del calore in un ambiente omogeneo

Equazione del potenziale: è un’equazione semplificata per corpi aereodinamici in un flusso stazionario, subsonico di un fluido comprimibile non viscoso:

(1 − M

) ∂

φ

∂ x

+ ∂

φ

∂ y

= 0

dove φ è il potenziale della velocità (v = ∇ φ ^{), e M}

< 1 è il numero di Mach

Problemi ellittici: esempi

Il Laplaciano ∇

è un operatore ellittico ⇒ Le equazioni di Laplace ∇

φ = 0 e di Poisson ∇

φ = f sono EDP ellittiche. Esse descrivono per esempio

la deformazione di una membrana soggetta ad un carico la ripartizione del calore in un ambiente omogeneo

Equazione del potenziale: è un’equazione semplificata per corpi aereodinamici in un flusso stazionario, subsonico di un fluido comprimibile non viscoso:

(1 − M

) ∂

φ

∂ x

+ ∂

φ

∂ y

= 0

dove φ è il potenziale della velocità (v = ∇ φ ^{), e M}

< 1 è il numero di Mach

Equazioni di Navier-Stokes stazionarie

Esempi di problemi ben posti per EDP ellittiche, lineari e di ordine 2 Sia Ω un aperto limitato e Γ = Γ

∪ Γ

la frontiera di Ω

Problema di Dirichlet

 ∇

u = f su Ω u = g su Γ Problema di Neumann

 



∇

u = f su Ω

∂ ^u

∂ ^{n ˆ = g su Γ}

Problema misto di Neumann-Dirichlet

 



 

∇

u = f su Ω u = g su Γ

∂ ^u

∂ ^{n ˆ = h su Γ}

Problema di Robin

 



∇

u = f su Ω

∂ ^u

∂ ^{n ˆ + ku = h su Γ}

Esempio di problema parabolico: equazione del calore Consideriamo la diffusione del calore in una barra infinita

 



∂ ^T

∂ ^{t −} ∂

^T

∂ ^x

^{= 0 x} ∈ R, t > 0 T(x, 0) = T

(x)

Questo problema ha soluzione T(x, t) = 1 4 π t

Z +∞

−∞

e

T

(y) dy

Esempio di problema parabolico: equazione del calore Consideriamo la diffusione del calore in una barra infinita

 



∂ ^T

∂ ^{t −} ∂

^T

∂ ^x

^{= 0 x} ∈ R, t > 0 T(x, 0) = T

(x)

Questo problema ha soluzione T(x, t) = 1 4 π t

Z +∞

−∞

e

T

(y) dy Consideriamo il caso in cui i dati iniziali siano discontinui

T

(x) =

 0 x < 0 1 x > 0 la soluzione diventa

T (x, t) = 1 4 π ^t

Z +∞

0

e

dy = 1 2 π ^{√ t}

Z ^x

2√ t

−∞

e

d ξ

Esempio di problema parabolico: equazione del calore T(x, t) = 1

2 π ^{√ t}

2√ t

−∞

e

d ξ

Per ogni t > 0 abbiamo che T(0, t) = 1

2 π ^{√ t}

−∞

e

d ξ = 1 4 √

π ^t

perciò non abbiamo più la discontinuità per x = 0

Esempio di problema parabolico: equazione del calore T(x, t) = 1

2 π ^{√ t}

2√ t

−∞

e

d ξ

Per ogni t > 0 abbiamo che T(0, t) = 1

2 π ^{√ t}

−∞

e

d ξ = 1 4 √

π ^t perciò non abbiamo più la discontinuità per x = 0

Inoltre, per ogni t > 0 abbiamo T(x, t) > 0 ⇒ Il calore si propaga a velocità

infinita, cioè T

(x) influenza istantaneamente tutto il dominio spaziale

Esempio di problema parabolico: equazione del calore T(x, t) = 1

2 π ^{√ t}

2√ t

−∞

e

d ξ

Per ogni t > 0 abbiamo che T(0, t) = 1

2 π ^{√ t}

−∞

e

d ξ = 1 4 √

π ^t perciò non abbiamo più la discontinuità per x = 0

Inoltre, per ogni t > 0 abbiamo T(x, t) > 0 ⇒ Il calore si propaga a velocità infinita, cioè T

(x) influenza istantaneamente tutto il dominio spaziale

Altro esempio di problema parabolico (non lineare): equazioni di Navier-Stokes

Equazioni iperboliche

Definizione

Sia A(x) una matrice quadrata di ordine n. Il sistema lineare di equazioni del primo ordine

∂ ^u

∂ ^{t + A(x)} ∂ ^u

∂ ^{x = 0 u ∈ R}

è detto iperbolico se, per ogni x, A è diagonalizzabile ed ha autovalori reali (cioè A(x) = T(x)Λ(x)T

(x), con

Λ(x) = diag( λ

(x), . . . , λ

(x))) è la matrice diagonale degli autovalori di A(x) T(x) = (r

(x), . . . , r

(x)) è la matrice le cui colonne sono gli autovettori destri di A(x), cioè

A(x)r

(x) = λ

(x)r

(x) k = 1, . . . , n

Allora, il seguente problema ai valori iniziali (o problema di Cauchy) è ben posto

 u

+ A(x)u

= 0 x ∈ R

u(x, 0) = u

(x) (2)

Esempi

Equazione di convezione:

u

+ cu

= 0 Equazione delle onde:

u

− c

u

= 0

Equazione del potenziale per un flusso supersonico

Equazioni di Eulero (non lineari)

Equazione di convezione

Consideriamo il seguente problema iperbolico scalare ( ∂ ^u

∂ ^{t + c} ∂ ^u

∂ ^{x = 0 t} > 0 , x ∈ R, c 6= 0

u(x, 0) = u

(x) x ∈ R

Equazione di convezione

Consideriamo il seguente problema iperbolico scalare ( ∂ ^u

∂ ^{t + c} ∂ ^u

∂ ^{x = 0 t} > 0 , x ∈ R, c 6= 0 u(x, 0) = u

(x) x ∈ R

La soluzione di tale problema è un’onda viaggiante con velocità c data da

u(x, t) = u

(x − ct) t ≥ 0

Equazione di convezione

Consideriamo il seguente problema iperbolico scalare ( ∂ ^u

∂ ^{t + c} ∂ ^u

∂ ^{x = 0 t} > 0 , x ∈ R, c 6= 0 u(x, 0) = u

(x) x ∈ R

La soluzione di tale problema è un’onda viaggiante con velocità c data da u(x, t) = u

(x − ct) t ≥ 0

Consideriamo le curve x(t) soluzioni delle seguenti ODE (al variare di x

) ( dx

dt = c t > 0

x(0) = x

Equazione di convezione

Consideriamo il seguente problema iperbolico scalare ( ∂ ^u

∂ ^{t + c} ∂ ^u

∂ ^{x = 0 t} > 0 , x ∈ R, c 6= 0 u(x, 0) = u

(x) x ∈ R

La soluzione di tale problema è un’onda viaggiante con velocità c data da u(x, t) = u

(x − ct) t ≥ 0

Consideriamo le curve x(t) soluzioni delle seguenti ODE (al variare di x

) ( dx

dt = c t > 0

x(0) = x

Equazione di convezione

Consideriamo il seguente problema iperbolico scalare su un intervallo limitato (a sinistra)

( ∂ ^u

∂ ^{t + c} ∂ ^u

∂ ^{x = 0 t} > 0 , x > 0 , c > 0

u(x, 0) = u

(x) x ≥ 0

Equazione di convezione

Consideriamo il seguente problema iperbolico scalare su un intervallo limitato (a sinistra)

( ∂ ^u

∂ ^{t + c} ∂ ^u

∂ ^{x = 0 t} > 0 , x > 0 , c > 0 u(x, 0) = u

(x) x ≥ 0

La linea caratteristica che parte da x

= 0 è x(t) = ct

Equazione di convezione

Consideriamo il seguente problema iperbolico scalare su un intervallo limitato (a sinistra)

( ∂ ^u

∂ ^{t + c} ∂ ^u

∂ ^{x = 0 t} > 0 , x > 0 , c > 0 u(x, 0) = u

(x) x ≥ 0

La linea caratteristica che parte da x

= 0 è x(t) = ct

Se utilizziamo la soluzione precedente u(x, t) = u

(x − ct) abbiamo dei

problemi: per ogni t > 0 abbiamo dei valori definiti solo nell’intervallo

[ct, +∞) invece che su [0, +∞)

Equazione di convezione

Consideriamo il seguente problema iperbolico scalare su un intervallo limitato (a sinistra)

( ∂ ^u

∂ ^{t + c} ∂ ^u

∂ ^{x = 0 t} > 0 , x > 0 , c > 0 u(x, 0) = u

(x) x ≥ 0

La linea caratteristica che parte da x

= 0 è x(t) = ct

Se utilizziamo la soluzione precedente u(x, t) = u

(x − ct) abbiamo dei problemi: per ogni t > 0 abbiamo dei valori definiti solo nell’intervallo [ct, +∞) invece che su [0, +∞)

Serve una condizione che ci permetta di definire la soluzione nell’intervallo [0, ct) ⇒ Condizione al bordo x = 0

u(0, t) = u

(t) t > 0

Equazione di convezione Allora il problema

 

 



 

 

∂ ^u

∂ ^{t + c} ∂ ^u

∂ ^{x = 0 t} > 0 , x > 0 , c > 0 u(x, 0) = u

(x) x ≥ 0

u(0, t) = u

(t) t ≥ 0 u

(0) = u

(0)

ammette l’unica soluzione u(x, t) =

 u

(x − ct) se x ≥ ct

u

(t − x/c) se x < ct

Equazioni iperboliche: dominio di dipendenza e caratteristiche Cerchiamo la soluzione del problema

( ∂ ^u

∂ ^{t + A(x)} ∂ ^u

∂ ^{x = 0 x ∈ R}

u(x, 0) = u

(x)

Equazioni iperboliche: dominio di dipendenza e caratteristiche Cerchiamo la soluzione del problema

( ∂ ^u

∂ ^{t + A(x)} ∂ ^u

∂ ^{x = 0 x ∈ R} u(x, 0) = u

(x)

Ricordiamo che A(x) = T(x)Λ(x)T

(x) e poniamo v(x, t) = T

(x)u(x, t) (variabili caratteristiche). Possiamo allora scrivere il sistema precedente come

 



∂ ^v

∂ t + Λ(x) ∂ ^v

∂ x = 0 v(x, 0) = T

(x)u

(x)

Ovvero si hanno n equazioni scalari indipendenti ∂ ^v

∂ ^{t +} λ

∂ ^v

∂ ^{x = 0}

Equazioni iperboliche: dominio di dipendenza e caratteristiche Cerchiamo la soluzione del problema

( ∂ ^u

∂ ^{t + A(x)} ∂ ^u

∂ ^{x = 0 x ∈ R} u(x, 0) = u

(x)

Ricordiamo che A(x) = T(x)Λ(x)T

(x) e poniamo v(x, t) = T

(x)u(x, t) (variabili caratteristiche). Possiamo allora scrivere il sistema precedente come

 



∂ ^v

∂ t + Λ(x) ∂ ^v

∂ x = 0 v(x, 0) = T

(x)u

(x)

Ovvero si hanno n equazioni scalari indipendenti ∂ ^v

∂ ^{t +} λ

∂ ^v

∂ ^{x = 0}

λ

Le soluzioni saranno determinate dalle condizioni iniziali

v

(x, t) = v

(x − λ

t, 0) i = 1, . . . , n

Le soluzioni saranno determinate dalle condizioni iniziali v

(x, t) = v

(x − λ

t, 0) i = 1, . . . , n Poiché u(x, t) = Tv(x, t), abbiamo u(x, t) =

∑

v

(x − λ

t, 0)r

, ovvero la

soluzione del sistema originale è composta da n onde viaggianti e non

interagenti

Le soluzioni saranno determinate dalle condizioni iniziali v

(x, t) = v

(x − λ

t, 0) i = 1, . . . , n Poiché u(x, t) = Tv(x, t), abbiamo u(x, t) =

∑

v

(x − λ

t, 0)r

, ovvero la soluzione del sistema originale è composta da n onde viaggianti e non interagenti

Osserviamo che per ogni ¯x e ¯t fissati, u(¯x,¯t) dipenderà solo dal dato iniziale nei

punti ¯x − λ

¯t con i = 1, . . . , n.

Le soluzioni saranno determinate dalle condizioni iniziali v

(x, t) = v

(x − λ

t, 0) i = 1, . . . , n Poiché u(x, t) = Tv(x, t), abbiamo u(x, t) =

∑

v

(x − λ

t, 0)r

, ovvero la soluzione del sistema originale è composta da n onde viaggianti e non interagenti

Osserviamo che per ogni ¯x e ¯t fissati, u(¯x,¯t) dipenderà solo dal dato iniziale nei punti ¯x − λ

¯t con i = 1, . . . , n.

L’insieme degli n punti che formano i piedi delle linee caratteristiche uscenti dal punto (¯x,¯t), cioè

D (¯x,¯t) = {x ∈ R t.c. x = ¯x − λ

¯t , i = 1, . . . , n}

viene chiamato dominio di dipendenza della soluzione u nel punto (¯x,¯t)

Le soluzioni saranno determinate dalle condizioni iniziali v

(x, t) = v

(x − λ

t, 0) i = 1, . . . , n Poiché u(x, t) = Tv(x, t), abbiamo u(x, t) =

∑

v

(x − λ

t, 0)r

, ovvero la soluzione del sistema originale è composta da n onde viaggianti e non interagenti

Osserviamo che per ogni ¯x e ¯t fissati, u(¯x,¯t) dipenderà solo dal dato iniziale nei punti ¯x − λ

¯t con i = 1, . . . , n.

L’insieme degli n punti che formano i piedi delle linee caratteristiche uscenti dal punto (¯x,¯t), cioè

D (¯x,¯t) = {x ∈ R t.c. x = ¯x − λ

¯t , i = 1, . . . , n}

viene chiamato dominio di dipendenza della soluzione u nel punto (¯x,¯t)

Nel caso si consideri un intervallo limitato, bisogna considerare anche

condizioni al contorno oltre che le condizioni iniziali

Equazioni iperboliche non-lineari

Consideriamo il sistema del primo ordine seguente:

∂ ^w

∂ ^{t +}

∂ F(w)

∂ ^{x = 0 w ∈ R}

⁽³⁾

dove F : R

→ R

è una funzione (in generale) non-lineare e C

, e w = w(x, t)

Equazioni iperboliche non-lineari

Consideriamo il sistema del primo ordine seguente:

∂ ^w

∂ ^{t +}

∂ F(w)

∂ ^{x = 0 w ∈ R}

⁽³⁾

dove F : R

→ R

è una funzione (in generale) non-lineare e C

, e w = w(x, t) Se w è una soluzione regolare (C

) di (3), allora il sistema (3) è equivalene al sistema

∂ w

∂ ^{t + A(w)}

∂ w

∂ ^{x = 0 (4)}

dove A(w) = ∂ F(w)

∂ ^w è la matrice Jacobiana di F, cioè A

= ∂ ^F

(w)

∂ ^w

Il sistema (3) è detto in forma conservativa, mentre (4) è detto in forma non

conservativa o di tipo quasi lineare

Equazioni iperboliche non-lineari

Consideriamo il sistema del primo ordine seguente:

∂ ^w

∂ ^{t +}

∂ F(w)

∂ ^{x = 0 w ∈ R}

⁽³⁾

dove F : R

→ R

è una funzione (in generale) non-lineare e C

, e w = w(x, t) Se w è una soluzione regolare (C

) di (3), allora il sistema (3) è equivalene al sistema

∂ w

∂ ^{t + A(w)}

∂ w

∂ ^{x = 0 (4)}

dove A(w) = ∂ F(w)

∂ ^w è la matrice Jacobiana di F, cioè A

= ∂ ^F

(w)

∂ ^w

Il sistema (3) è detto in forma conservativa, mentre (4) è detto in forma non conservativa o di tipo quasi lineare

Definizione

Equazione di Eulero 1D: ∂ ^w

∂ ^{t +} ∂ F(w)

∂ ^{x = 0}

w =



 ρ ρ ^u

E



 e F(w) =



 ρ ^u ρ u

+ p u(E + p)





dove p = ( γ − 1)(E −

ρ ^u

)

Equazione di Eulero 1D: ∂ ^w

∂ ^{t +} ∂ F(w)

∂ ^{x = 0}

w =



 ρ ρ ^u

E



 =



 w

w

w



 e F(w) =



 ρ ^u ρ u

+ p u(E + p)



 =



  w

w²₂ w₁

+ p

w₂

w₁

(w

+ p)



 

dove p = ( γ − 1)(E −

ρ ^u

) = ( γ − 1)(w

−

)

Equazione di Eulero 1D: ∂ ^w

∂ ^{t +} ∂ F(w)

∂ ^{x = 0}

w =



 ρ ρ ^u

E



 =



 w

w

w



 e F(w) =



 ρ ^u ρ u

+ p u(E + p)



 =



  w

w²₂ w₁

+ p

w₂

w₁

(w

+ p)



 

dove p = ( γ − 1)(E −

ρ ^u

) = ( γ − 1)(w

−

)

A(w) =





0 1 0

1

2

( γ − 3)u

(3 − γ )u ( γ − 1)

1

2

( γ − 1)u

−

(E + p)

(E + p) − ( γ − 1)u

γ ^u





Equazione di Eulero 1D: ∂ ^w

∂ ^{t +} ∂ F(w)

∂ ^{x = 0}

w =



 ρ ρ ^u

E



 =



 w

w

w



 e F(w) =



 ρ ^u ρ u

+ p u(E + p)



 =



  w

w²₂ w₁

+ p

w₂

w₁

(w

+ p)



 

dove p = ( γ − 1)(E −

ρ ^u

) = ( γ − 1)(w

−

)

A(w) =





0 1 0

1

2

( γ − 3)u

(3 − γ )u ( γ − 1)

1

2

( γ − 1)u

−

(E + p)

(E + p) − ( γ − 1)u

γ ^u





A(w) ha autovalori λ

= u, λ

= u − c e λ

= u + c dove c = q

ρ

è la velocità

del suono per un gas perfetto

Equazione di Eulero 1D: ∂ ^w

∂ ^{t +} ∂ F(w)

∂ ^{x = 0}

w =



 ρ ρ ^u

E



 =



 w

w

w



 e F(w) =



 ρ ^u ρ u

+ p u(E + p)



 =



  w

w²₂ w₁

+ p

w₂

w₁

(w

+ p)



 

dove p = ( γ − 1)(E −

ρ ^u

) = ( γ − 1)(w

−

)

A(w) =





0 1 0

1

2

( γ − 3)u

(3 − γ )u ( γ − 1)

1

2

( γ − 1)u

−

(E + p)

(E + p) − ( γ − 1)u

γ ^u





A(w) ha autovalori λ

= u, λ

= u − c e λ

= u + c dove c = q

ρ

è la velocità del suono per un gas perfetto

A (w) ha autovalori reali e distinti ⇒ A(w) è diagonalizzabile in campo reale,

perciò l’equazione di Eulero è iperbolica.

Sia dato il problema ai limiti seguente:

Trovare u nello spazio funzionale V (solitamente di dimensione infinita), tale che

 Lu = f su Ω

Bu = g su ∂ Ω

Sia dato il problema ai limiti seguente:

Trovare u nello spazio funzionale V (solitamente di dimensione infinita), tale che

 Lu = f su Ω Bu = g su ∂ Ω

Per il calcolo della soluzione con un metodo numerico, dobbiamo passare da un

dominio e da una soluzione continui a un dominio e a una soluzione discretizzati

Sia dato il problema ai limiti seguente:

Trovare u nello spazio funzionale V (solitamente di dimensione infinita), tale che

 Lu = f su Ω Bu = g su ∂ Ω

Per il calcolo della soluzione con un metodo numerico, dobbiamo passare da un dominio e da una soluzione continui a un dominio e a una soluzione discretizzati Discretizzazione del dominio

Metodi locali: usano una griglia o reticolazione di calcolo

Sia dato il problema ai limiti seguente:

Trovare u nello spazio funzionale V (solitamente di dimensione infinita), tale che

 Lu = f su Ω Bu = g su ∂ Ω

Per il calcolo della soluzione con un metodo numerico, dobbiamo passare da un dominio e da una soluzione continui a un dominio e a una soluzione discretizzati

Discretizzazione del dominio

Metodi locali: usano una griglia o reticolazione di calcolo Differenze finite: insieme finito di nodi x

Elementi finiti: insieme finito di oggetti geometrici (per esempio, in 2D, triangoli o rettangoli)

Volumi finiti: insieme finito di celle (o volumi) costruite su una griglia di calcolo (griglie duali)

Metodi globali: usano un insieme finito di punti di collocazione (metodi

spettrali)

Discretizzazione della soluzione

Si cerca una soluzione ˜u in uno spazio V

di dimensione finita

Differenze finite: si discretizza l’operatore differenziale, e si risolve il problema

 L ˜u ˜ = ˜f su Ω

B˜u ˜ = ˜g su ∂ Ω

Quello che si calcola sono i valori di una funzione (sconosciuta) sui punti della

griglia

Discretizzazione della soluzione

Si cerca una soluzione ˜u in uno spazio V

di dimensione finita

Differenze finite: si discretizza l’operatore differenziale, e si risolve il problema

 L ˜u ˜ = ˜f su Ω

B˜u ˜ = ˜g su ∂ Ω

Quello che si calcola sono i valori di una funzione (sconosciuta) sui punti della griglia

Metodi variazionali: si cerca ˜u ∈ V

tale che

hL˜u − ˜f, φ

i = 0 con φ

base di ; V

Quello che si calcola sono i coefficienti dello sviluppo della funzione ˜u nella

base φ

Discretizzazione della soluzione

Si cerca una soluzione ˜u in uno spazio V

di dimensione finita

Differenze finite: si discretizza l’operatore differenziale, e si risolve il problema

 L ˜u ˜ = ˜f su Ω

B˜u ˜ = ˜g su ∂ Ω

Quello che si calcola sono i valori di una funzione (sconosciuta) sui punti della griglia

Metodi variazionali: si cerca ˜u ∈ V

tale che

hL˜u − ˜f, φ

i = 0 con φ

base di ; V

Quello che si calcola sono i coefficienti dello sviluppo della funzione ˜u nella base φ

Elementi finiti: V

Metodi spettrali: V

,

Metodi alle differenze finite

Il dominio di calcolo è rappresentato da un insieme di punti ordinati (per esempio in 1D: x

= x

+ h

)

Si cerca un’approssimazione dell’operatore differenziale considerato, usando soltanto i valori della soluzione nei nodi della griglia

Per l’approssimazione dell’operatore differenziale si usa lo sviluppo in serie di

Taylor

Approssimazione della derivata prima

Vogliamo un’approssimazione della derivata prima di una funzione u(x)

definita nell’intervallo [a, b]

Approssimazione della derivata prima

Vogliamo un’approssimazione della derivata prima di una funzione u(x) definita nell’intervallo [a, b]

Sviluppo in serie di Taylor: se u ∈ C

([a, b]), allora ∀i esiste ξ _{∈ [x}

, x

] tale che:

u(x

) = u(x

) + hu

(x

) + h

2 u

(x

) + ··· + h

k! u

(x

) + h

(k + 1)! u

( ξ )

Approssimazione della derivata prima

Vogliamo un’approssimazione della derivata prima di una funzione u(x) definita nell’intervallo [a, b]

Sviluppo in serie di Taylor: se u ∈ C

([a, b]), allora ∀i esiste ξ _{∈ [x}

, x

] tale che:

u(x

) = u(x

) + hu

(x

) + h

2 u

(x

) + ··· + h

k! u

(x

) + h

(k + 1)! u

( ξ ) In particolare, se u ∈ C

([a, b]), allora ∀i esiste ξ ∈ [x

, x

] tale che:

u

(x

) − u(x

) − u(x

) h

   = h

2  u

( ξ ) 

 = R

u(x

) − u(x

)

h è un’approssimazione alla differenze finite decentrata a destra

Metodi alle differenze finite

Proprietà degli schemi numerici

Consistenza: è la proprietà di rappresentare “correttamente l’equazione di

partenza. Si richiede che l’errore di troncamento tenda a zero quando la

dimensione del passo di discretizzazione tende a zero

Metodi alle differenze finite

Proprietà degli schemi numerici

Consistenza: è la proprietà di rappresentare “correttamente l’equazione di partenza. Si richiede che l’errore di troncamento tenda a zero quando la dimensione del passo di discretizzazione tende a zero

Ordine di precisione: in uno schema consistente è l’esponente

dell’infinitesimo dell’errore di troncamento

Metodi alle differenze finite

Proprietà degli schemi numerici

Consistenza: è la proprietà di rappresentare “correttamente l’equazione di partenza. Si richiede che l’errore di troncamento tenda a zero quando la dimensione del passo di discretizzazione tende a zero

Ordine di precisione: in uno schema consistente è l’esponente dell’infinitesimo dell’errore di troncamento

Per lo schema decentrato a destra, l’errore di troncamento è R

= h

2  u

( ξ ) 

 = O(h)

perciò lo schema è consistente e di ordine 1.

Altri schemi numerici per l’approssimazione della derivata prima Schema decentrato a sinistra

u(x

) − u(x

)

h = u

(x

) + h 

− u

(x

)

2 + h

3! u

(x

) + . . . 

⇒ è uno schema consistente di ordine 1

Altri schemi numerici per l’approssimazione della derivata prima Schema decentrato a sinistra

u(x

) − u(x

)

h = u

(x

) + h 

− u

(x

)

2 + h

3! u

(x

) + . . . 

⇒ è uno schema consistente di ordine 1 Schema alle differenze finite centrate

u(x

) − u(x

)

2h = u

(x

) + h

 1

3! u

(x

) + h

5! u

(x

) + . . . 

⇒ è uno schema consistente di ordine 2

Schemi di ordine superiore

Aumentando il numero di nodi che si utilizzano per approssimare la derivata prima

si aumenta la precisione dello schema