CONVOLUZIONE INFERIORE E SUPERIORE DI UNA FUNZIONE

ESERCIZIO 19-05-2016

CONVOLUZIONE INFERIORE E SUPERIORE DI UNA FUNZIONE

Data una funzione f : R ^N → R, f ∈ C(R ^N ) la convoluzione Inf-Sup f indicate con f  e con f ^

(1) f  (x) = inf

y∈R



f (y) + kx − yk ² 2



e

(2) f ^ (x) = sup

y∈R



f (y) − kx − yk ² 2



1. Esercizio: caso regolare Consideriamo il seguente esempio. Sia

f = kxk ² .

(3) f  (x) = inf

y∈R

 N

X

k=1

y ² _k

 + 1

2

N

X

k=1

(x k − y _k ) ²

 .

Per x fissato,

F _ =

 N

X

k=1

y ² _k

 + 1

2

N

X

k=1

(x _k − y _k ) ²

D _y

F _ = 2y _j − 1

 (x _j − y _j ) = 0. j = 1, . . . , N Quindi

y j = 1 2 + 1 x j , e sostituendo

(4) f  (x) =

 N

X

k=1

1 (2 + 1) ² x ² _k

 + 1

2

N

X

k=1

(2 1 2 + 1 x k ) ²

 . Semplificando

(5) f _ (x) = 1

2 + 1

N

X

k=1

x ² _k .

1

2

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2. Esercizio: caso non regolare (punto angoloso di minimo) Consideriamo il seguente esempio. Sia

f = kxk .

(6) f  (x) = inf

y∈R

 N

X

k=1

y ² _k



+ 1

2

N

X

k=1

(x k − y _k ) ²

 .

Assumiamo y 6= 0, calcoliamo il gradiente e poniamolo uguale a 0. Trovi- amo

(7) y _k

kyk − 1

 (x k − y _k ) = 0 ∀k = 1 . . . N.

Allora abbiamo, quadrando

 ² y _k ²

|y| ² = (x _k − y _k ) ² , e sommando su k

kx − yk ² =  ² . Questo implica

kx − yk = .

Moltiplichiamo (7) per y k e sommiamo allora si ottiene kyk − 1

 (yx − kyk ² ) = 0.

Dalla formula (7) otteniamo anche

y _k (kyk + ) = kykx _k ∀k = 1 . . . N.

Facendo il quadrato e addizionando

kyk ² (kyk + ) ² = kyk ² kxk ² . Ossia

kyk +  = kxk e quindi

kxk >  y = kxk − .

per questo valore di y si ha

f _ (x) = kxk − 1 2 . Assumiamo |y| 6= 0 e |x| ≤ , allora

kyk + 1

2 ky − xk ² ≥ kyk + 1

2 (kyk ² + |x| ² − 2kxkkyk = |y|(1 − kxk

 ) + kyk ² 2 + |x| ²

2 ≥ |x| ² 2 . Mentre f _ in 0 fornisce

f _ (x) = kxk ²

2 .

ESERCIZIO 19-05-2016CONVOLUZIONE INFERIORE E SUPERIORE DI UNA FUNZIONE 3

Allora si ottiene

f _ (x) = ( _kxk

2 kxk ≤ 

kxk − ₂ ^ kxk > .

3. Esercizio: funzione discontinua

f (x) =

( −1 x ≤ 0 1 x > 0

(8) f  (x) = inf

y∈R



f (y) + kx − yk ² 2



(9) f  (x) = min



y≤0 inf



f (y) + kx − yk ² 2

 , inf

y>0



f (y) + kx − yk ² 2



(10) f  (x) = min



y≤0 inf



− 1 + kx − yk ² 2

 , inf

y>0



1 + kx − yk ² 2



f (x) =







−1 x ≤ 0

min



− 1 + ^x _2

 , 1



x > 0 min



− 1 + x ² 2

 , 1



= −1 + x ²

2 − 1 + x ² 2 ≤ 1

−1 + x ²

2 ≤ 1 ⇐⇒ x ² ≤ 4 ⇐⇒ |x| ≤ 2 √



f (x) =



 

 

−1 x ≤ 0

−1 + ^x _2

0 < x ≤ 2 √

 1 x > 2 √



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