Scritto d’esame di Matematica I

Scritto d’esame di Matematica I

Pisa, 17 Gennaio 2004

1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il

x→0lim

sin x · log(1 + x²) − sin x²· log(1 + x)

x arctan x³ .

2. Consideriamo la funzione f :]0, +∞] → R definita da f (x) = arctan x²− α log x, dove α > 0 `e un parametro reale.

(a) Nel caso particolare α = 1, determinare se esistono punti di massimo o minimo relativo per la funzione.

(b) Determinare per quali valori α > 0 la funzione `e surgettiva.

(c) Determinare per quali valori α > 0 la funzione `e iniettiva.

3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da

a_n+1 =

ra²_n+ 50

3 , a₀ = 2004.

(a) Studiare il comportamento della successione.

(b) Determinare il raggio di convergenza della serie di potenze

∞

X

n=0

(a_n− 5)xⁿ.

4. Sia T il triangolo, nel piano cartesiano, con vertici in (0, 0), (1, 0) e (2, 2).

Calcolare

Scritto d’esame di Matematica I

Pisa, 7 Febbraio 2004

1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il

n→+∞lim

√

n⁴+ n³ + 1 −√

n⁴+ 7

· arcsin5n + 3 n²+ 2. 2. Consideriamo la funzione

f (x) = 3x²+ 4x x²+ 1 .

(a) Determinare estremo inferiore e superiore della funzione al variare di x in R, precisando se si tratta, rispettivamente, di minimo e massimo. Determinare anche gli eventuali punti di massimo/minimo.

(b) Stessa domanda al variare di x in N \ {0}.

3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da a_n+1= log(1 + na_n), a₁ = 2004.

(a) Dimostrare che a_n `e limitata inferiormente.

(b) Determinare (se esiste) il limite della successione.

(c) Dimostrare che la successione a_n/n `e limitata superiormente.

4. Determinare il volume e le coordinate del baricentro del solido ottenuto dalla rotazione completa della figura

F = {(x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ π/2, 0 ≤ y ≤ cos x}

intorno all’asse x.

Scritto d’esame di Matematica I

Pisa, 21 Febbraio 2004

1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il

n→+∞lim (n³+ 3) sin1

n − (n⁴+ 4) sin 1 n². 2. Determinare per quali valori del parametro λ ∈ R l’equazione

3√

3 sin x + 4 cos³x = λ ammette soluzioni reali.

3. (a) Determinare per quali valori del parametro α > 0 si ha che l’integrale improprio Z 1

0

sin x² x^α dx converge.

(b) Determinare per quali valori del parametro α > 1 si ha che l’integrale improprio Z +∞

1

sin x² x^α dx converge.

(c) Studiare la convergenza dell’integrale del punto precedente per i valori del parametro α ≤ 1.

4. Sia

D = {(x, y) ∈ R² : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ x²} e sia

f (x, y) = x²+ y²− 2y.

Scritto d’esame di Matematica I

Pisa, 8 Giugno 2004

1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il

n→+∞lim

√n

nⁿ+ 7ⁿ+ n⁷· arctan 2n n²+ 3. 2. Consideriamo la funzione

f (x) = x⁷⁰⁰sin x³⁰⁰− log(1 + x¹⁰⁰⁰) + sinh x²⁰⁰⁴.

(a) Determinare il pi`u piccolo intero positivo n per cui la derivata n-esima di f (x) non si annulla in x = 0.

(b) Dimostrare che l’equazione f (x) = 0 ha almeno tre soluzioni reali.

3. (a) Determinare per quali valori del parametro reale x la serie

∞

X

n=0

5ⁿ+ 3 n + 1 xⁿ risulta convergente.

(b) Per tali valori della x determinare la somma della serie.

4. Consideriamo il problema di Cauchy u⁰ = t

cos u, u(0) = α.

(a) Risolvere il problema nel caso particolare α = π/6, precisando se si ha esistenza globale, blow-up o break-down.

(b) Stessa domanda nel caso particolare α = 7π.

Scritto d’esame di Matematica I

Pisa, 28 Giugno 2004

1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il

x→0lim

(1 + x)^x2 − (1 + x²)^x sinh²(x²+ x³) . 2. Trovare il pi`u grande valore di λ per cui si ha che

λx − 1

3x³ ≤ 1 ∀x ≥ 0.

3. Consideriamo la successione definita per ricorrenza da a_n+1 = 3a_n

a²_n+ 2, a₀ = α.

(a) Studiare il comportamento della successione nel caso particolare α = 1/2004.

(b) Determinare per quali α > 0 la successione risulta strettamente decrescente.

(c) Nel caso particolare α = 3/2, studiare la convergenza della serie

∞

X

n=0

log a_n.

4. (a) Sia C il cerchio con centro in (3, 1) e raggio 5. Calcolare Z

C

(x + 2y) dx dy.

(b) Determinare quali sono i cerchi sui quali l’integrale della funzione x + 2y si annulla.

Scritto d’esame di Matematica I

Pisa, 21 Settembre 2004

1. Dire se esiste, ed in caso affermativo calcolare, il

x→0lim

cosh(2x) − e^2x2 sinh x · sin x − x²+ x⁴. 2. Consideriamo la funzione

f (x) = arctan x + 20

√x

 .

(a) Determinare estremo inferiore e superiore della funzione al variare di x in ]0, +∞[, precisando se si tratta, rispettivamente, di minimo e massimo.

Determinare anche gli eventuali punti di massimo/minimo.

(b) Determinare per quali valori del parametro α ∈ R la funzione f (x) − α√

x risulta lipschitziana in ]0, +∞[.

3. Studiare la convergenza dei seguenti integrali Z 1

−1

log(1 − x) dx,

Z 1

−1

log(1 − x²) dx, e, nel caso in cui convergano, determinarne il valore.

4. Consideriamo il problema di Cauchy

u⁰⁰+ 4u = sin(αt), u(0) = u⁰(0) = 0.

(a) Risolvere il problema nel caso particolare α = 1.

(b) Determinare per quali valori del parametro α > 0 la soluzione del problema non `e una funzione limitata.