QCM DE MATHÉMATIQUES

(1)

Exo7

Année 2018

QCM DE MATHÉMATIQUES

Répondre en cochant la ou les cases correspondant à des assertions vraies (et seulement celles-ci).

Ces questions ont été écrites par Arnaud Bodin, Abdellah Hanani, Mohamed Mzari de l’université de Lille.

Ce travail a été effectué dans le cadre d’un projet Liscinum porté par l’université de Lille et Unisciel.

Ce document est diffusé sous la licence Creative Commons – BY-NC-SA – 4.0 FR.

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(2)

Table des matières

I Algèbre 5

1 Logique – Raisonnement | 100 5

1.1 Logique | Facile | 100.01 . . . 5

1.2 Logique | Moyen | 100.01 . . . 6

1.3 Logique | Difficile | 100.01 . . . 8

1.4 Raisonnement | Facile | 100.03, 100.04 . . . 9

1.5 Raisonnement | Moyen | 100.03, 100.04 . . . 10

1.6 Raisonnement | Difficile | 100.03, 100.04 . . . 11

2 Ensembles, applications | 100, 101, 102 12 2.1 Ensembles, applications | Facile | 100.02, 101.01, 102.01, 102.02 . . . 12

2.2 Ensembles, applications | Moyen | 100.02, 101.01, 102.02, 102.02 . . . 15

2.3 Ensembles, applications | Difficile | 100.02, 101.01, 102.01, 102.02 . . . 17

3 Polynômes – Fractions rationnelles | 105 20 3.1 Polynômes | Facile | 105.05 . . . 20

3.2 Polynômes | Moyen | 105.05 . . . 21

3.3 Polynômes | Difficile | 105.05 . . . 21

3.4 Arithmétique des polynômes | Facile | 105.01, 105.02 . . . 22

3.5 Arithmétique des polynômes | Moyen | 105.01, 105.02 . . . 23

3.6 Arithmétique des polynômes | Difficile | 105.01, 105.02 . . . 23

3.7 Racines, factorisation | Facile | 105.03 . . . 24

3.8 Racines, factorisation | Moyen | 105.03 . . . 25

3.9 Racines, factorisation | Difficile | 105.03 . . . 25

3.10 Fractions rationnelles | Facile | 105.04 . . . 25

3.11 Fractions rationnelles | Moyen | 105.04 . . . 26

3.12 Fractions rationnelles | Difficile | 105.04 . . . 27

4 Nombres complexes | 104 27 4.1 Écritures algébrique et géométrique | Facile | 104.01 . . . 27

4.2 Écritures algébrique et géométrique | Moyen | 104.01 . . . 29

4.3 Écritures algébrique et géométrique | Difficile | 104.01 . . . 30

4.4 Équations | Facile | 104.02, 104.03, 104.04 . . . 31

4.5 Équations | Moyen | 104.02, 104.03, 104.04 . . . 32

4.6 Équations | Difficile | 104.02, 104.03, 104.04 . . . 33

5 Géométrie du plan | 140 34 5.1 Géométrie du plan | Facile | 140.01, 140.02 . . . 34

5.2 Géométrie du plan | Moyen | 140.01, 140.02 . . . 37

5.3 Géométrie du plan | Difficile | 140.01, 140.02 . . . 39

6 Géométrie dans l’espace | 141 42 6.1 Produit scalaire – Produit vectoriel – Déterminant | Facile | 141.01 . . . 42

6.2 Aire – Volume | Moyen | 141.02 . . . 43

6.3 Plans | Facile | 141.03 . . . 43

6.4 Droites de l’espace | Facile | 141.04 . . . 44

(3)

6.5 Plans – Droites | Moyen | 141.03, 141.04 . . . 45

6.6 Plans – Droites | Difficile | 141.03, 141.04 . . . 47

6.7 Distance | Facile | 141.05 . . . 49

6.8 Distance | Moyen | 141.05 . . . 50

6.9 Distance | Difficile | 141.05 . . . 50

II Analyse 51

7 Réels | 120 52 7.1 Rationnels | Facile | 120.01 . . . 52

7.2 Rationnels | Moyen | 120.01 . . . 52

7.3 Rationnels | Difficile | 120.01 . . . 53

7.4 Propriétés de nombres réels | Facile | 120.03 . . . 53

7.5 Propriétés de nombres réels | Moyen | 120.03 . . . 54

7.6 Propriétés de nombres réels | Difficile | 120.03 . . . 55

7.7 Intervalle, densité | Facile | 120.04 . . . 56

7.8 Intervalle, densité | Moyen | 120.04 . . . 56

7.9 Intervalle, densité | Difficile | 120.04 . . . 58

7.10 Maximum, majorant | Facile | 120.02 . . . 58

7.11 Maximum, majorant | Moyen | 120.02 . . . 58

7.12 Maximum, majorant | Difficile | 120.02 . . . 59

8 Suites réelles | 121 59 8.1 Suites | Facile | 121.00 . . . 59

8.2 Suites | Moyen | 121.00 . . . 61

8.3 Suites | Difficile | 121.00 . . . 64

9 Limites des fonctions réelles | 123 66 9.1 Limites des fonctions réelles | Facile | 123.03 . . . 66

9.1.1 Fraction rationnelle . . . 66

9.1.2 Fonction racine carrée . . . 67

9.1.3 Croissances comparées . . . 67

9.1.4 Encadrement . . . 68

9.2 Limites des fonctions réelles | Moyen | 123.03 . . . 68

9.2.1 Définition d’une limite . . . 68

9.2.2 Fonction racine carrée . . . 69

9.2.3 Fonction valeur absolue . . . 69

9.2.4 Fonction périodique . . . 70

9.2.5 Dérivabilité en un point . . . 70

9.3 Limites des fonctions réelles | Difficile | 123.03 . . . 71

9.3.1 Fonction partie entière . . . 71

9.3.2 Densité des rationnels et irrationnels . . . 71

9.3.3 Fonction monotone . . . 72

9.3.4 Fonction racine n-ième . . . . 72

9.3.5 Fonction puissance . . . 73

(4)

10 Continuité | 123 73

10.1 Notion de fonctions | Facile | 123.00 . . . 73

10.2 Notion de fonctions | Moyen | 123.00 . . . 74

10.3 Notion de fonctions | Difficile | 123.00 . . . 75

10.4 Fonctions continues | Facile | 123.01, 123.02 . . . 76

10.5 Fonctions continues | Moyen | 123.01, 123.02 . . . 76

10.6 Fonctions continues | Difficile | 123.01, 123.02 . . . 77

10.7 Théorèmes des valeurs intermédiaires | Facile | 123.01, 123.02 . . . 78

10.8 Théorèmes des valeurs intermédiaires | Moyen | 123.01, 123.02 . . . 78

10.9 Théorèmes des valeurs intermédiaires | Difficile | 123.01, 123.02 . . . 79

10.10Maximum, bijection | Facile | 123.04 . . . 79

10.11Maximum, bijection | Moyen | 123.04 . . . 80

10.12Maximum, bijection | Difficile | 123.04 . . . 80

11 Dérivabilité des fonctions réelles | 124 81 11.1 Dérivées | Facile | 124.00 . . . 81

11.2 Dérivées | Moyen | 124.00 . . . 83

11.3 Dérivées | Difficile | 124.00 . . . 86

12 Fonctions usuelles | 126 88 12.1 Fonctions usuelles | Facile | 126.00 . . . 88

12.1.1 Domaine de définition . . . 88

12.1.2 Fonctions circulaires réciproques . . . 89

12.1.3 Equations . . . 90

12.1.4 Etude de fonctions . . . 90

12.2 Fonctions usuelles | Moyen | 126.00 . . . 91

12.2.1 Domaine de définition . . . 91

12.2.2 Equations - Inéquations . . . 91

12.2.4 Etude de fonctions . . . 92

12.3 Fonctions usuelles | Difficile | 126.00 . . . 93

12.3.1 Equations . . . 93

12.3.3 Etude de foncions . . . 95

(5)

Première partie

Algèbre

Logique – Raisonnement

Arnaud Bodin, Abdellah Hanani, Mohamed Mzari

1 Logique – Raisonnement | 100

1.1 Logique | Facile | 100.01

Question 1

Soit P une assertion vraie et Q une assertion fausse. Quelles sont les assertions vraies ?

^P ^{ou Q}

^P ^{et Q}

non(P) ou Q

non(P et Q)

Question 2

Par quoi peut-on compléter les pointillés pour avoir les deux assertions vraies ? x ¾ 2 . . . x²¾ 4 | y| ¶ 3 . . . 0 ¶ y ¶ 3

^{⇐= et =⇒}

^{=⇒ et =⇒}

^{⇐= et =⇒}

^{=⇒ et ⇐=}

Question 3

Quelles sont les assertions vraies ?

∀x ∈ R x²− x ¾ 0

^{∀n ∈ N n}²^{− n ¾ 0}

^{∀x ∈ R |x}³^{− x| ¾ 0}

∀n ∈ N \ {0, 1} n²− 3 ¾ 0

(6)

Question 4

^{∃x > 0} ^p^x ^{= x}

^{∃x < 0} exp(x) < 0

^{∃n ∈ N n}²^{= 17}

^{∃z ∈ C z}²^{= −4}

Question 5

Un groupe de coureurs C chronomètre ses temps : t(c) désigne le temps (en secondes) du coureur c. Dans ce groupe Valentin et Chloé ont réalisé le meilleur temps de 47 secondes.

Tom est déçu car il est arrivé troisième, avec un temps de 55 secondes. À partir de ces informations, quelles sont les assertions dont on peut déduire qu’elles sont vraies ?

^{∀c ∈ C} ^t^{(c) ¾ 47}

∃c ∈ C 47 < t(c) < 55

^{∃c ∈ C} ^t(c) > 47

^{∀c ∈ C} ^t^{(c) ¶ 55}

Question 6

La négation de "∀x > 0 ln(x) ¶ x" est "∃x ¶ 0 ln(x) ¶ x".

La négation de "∃x > 0 ln(x²) 6= x" est "∀x > 0 ln(x²) = x".

La négation de "∀x ¾ 0 exp(x) ¾ x" est "∃x ¾ 0 exp(x) ¶ x".

La négation de "∃x > 0 exp(x) > x" est "∀x > 0 exp(x) < x".

1.2 Logique | Moyen | 100.01

Question 7

Soit P une assertion fausse, Q une assertion vraie et R une assertion fausse. Quelles sont les assertions vraies ?

^Qet (P ou R)

^P ou (Q et R)

non(P et Q et R)

(P ou Q) et (Q ou R)

Question 8

Soient P et Q deux assertions. Quelles sont les assertions toujours vraies (que P et Q soient vraies ou fausses) ?

(7)

^P ^{et non(P)}

non(P) ou P

non(Q) ou P

(P ou Q) ou (P ou non(Q))

Question 9

Par quoi peut-on compléter les pointillés pour avoir une assertion vraie ?

|x²| < 5 . . . −p

5< x <p 5

⇐=

^=⇒

^⇐⇒

Aucune des réponses ci-dessus ne convient.

Question 10

À quoi est équivalent P =⇒ Q ?

non(P) ou non(Q)

non(P) et non(Q)

non(P) ou Q

^P ^{et non(Q)}

Question 11

Soit f :]0, +∞[→ R la fonction définie par f (x) = ¹_x. Quelles sont les assertions vraies ?

∀x ∈]0, +∞[ ∃ y ∈ R y = f (x)

∃x ∈]0, +∞[ ∀ y ∈ R y = f (x)

∃x ∈]0, +∞[ ∃ y ∈ R y = f (x)

∀x ∈]0, +∞[ ∀ y ∈ R y = f (x)

Question 12

Le disque centré à l’origine de rayon 1 est défini par

D=(x, y) ∈ R²| x²+ y²¶ 1 . Quelles sont les assertions vraies ?

∀x ∈ [−1, 1] ∀ y ∈ [−1, 1] (x, y) ∈ D

∃x ∈ [−1, 1] ∃ y ∈ [−1, 1] (x, y) ∈ D

∃x ∈ [−1, 1] ∀ y ∈ [−1, 1] (x, y) ∈ D

∀x ∈ [−1, 1] ∃ y ∈ [−1, 1] (x, y) ∈ D

(8)

1.3 Logique | Difficile | 100.01

Question 13

On définit l’assertion "ou exclusif", noté "xou" en disant que "P xou Q" est vraie lorsque P est vraie, ou Q est vraie, mais pas lorsque les deux sont vraies en même temps. Quelles sont les assertions vraies ?

Si "P ou Q" est vraie alors "P xou Q" aussi.

Si "P ou Q" est fausse alors "P xou Q" aussi.

"P xou Q" est équivalent à "(P ou Q) et (non(P) ou non(Q))"

"P xou Q" est équivalent à "(P ou Q) ou (non(P) ou non(Q))"

Question 14

Soient P et Q deux assertions. Quelles sont les assertions toujours vraies (que P, Q soient vraies ou fausses) ?

^(P =⇒ Q) ou (Q =⇒ P)

^(P =⇒ Q) ou (P et non(Q))

^P ^{ou (P} ^{=⇒ Q)}

^(P ⇐⇒ Q) ou (non(P) ⇐⇒ non(Q))

Question 15

À quoi est équivalent P⇐= Q ?

non(Q) ou P

non(Q) et P

non(P) ou Q

non(P) et Q

Question 16

Soit f : R → R la fonction définie par f (x) = exp(x) − 1. Quelles sont les assertions vraies ?

^{∀x, x}⁰^{∈ R} ^x^{6= x}⁰ =⇒ f (x) 6= f (x⁰)

^{∀x, x}⁰^{∈ R} ^x^{6= x}⁰⇐= f (x) 6= f (x⁰)

^{∀x, x}⁰^{∈ R} ^x^{6= x}⁰ =⇒ (∃y ∈ R f (x) < y < f (x⁰))

^{∀x, x}⁰^{∈ R} ^f^{(x) × f (x}⁰) < 0 =⇒ x × x⁰< 0

Question 17

On considère l’ensemble

E =(x, y) ∈ R²| 0 ¶ x ¶ 1 et y ¾p x . Quelles sont les assertions vraies ?

(9)

∀ y ¾ 0 ∃x ∈ [0, 1] (x, y) ∈ E

∃ y ¾ 0 ∀x ∈ [0, 1] (x, y) ∈ E

∀x ∈ [0, 1] ∃ y ¾ 0 (x, y) /∈ E

∀x ∈ [0, 1] ∀ y ¾ 0 (x, y) /∈ E

Question 18

Soit f :]0, +∞[→]0, +∞[ une fonction. Quelles sont les assertions vraies ?

La négation de "∀x > 0 ∃ y > 0 y6= f (x)" est "∃x > 0 ∃ y > 0 y = f (x)".

La négation de "∃x > 0 ∀ y > 0 y× f (x) > 0" est "∀x > 0 ∃ y > 0 y× f (x) < 0".

La négation de "∀x, x⁰ > 0 x 6= x⁰ =⇒ f (x) 6= f (x⁰)" est "∃x, x⁰ > 0 x = x⁰ et f(x) = f (x⁰)".

La négation de "∀x, x⁰ > 0 f (x) = f (x⁰) =⇒ x = x⁰" est "∃x, x⁰ > 0 x 6= x⁰ et f(x) = f (x⁰)".

1.4 Raisonnement | Facile | 100.03, 100.04

Question 19

Je veux montrer que ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ est un entier, quelque soit n ∈ N. Quelles sont les démarches possibles ?

Montrer que la fonction x 7→ x(x + 1) est paire.

Séparer le cas n pair, du cas n impair.

Par l’absurde, supposer que ⁿ⁽ⁿ⁺¹⁾₂ est un réel, puis chercher une contradiction.

Le résultat est faux, je cherche un contre-exemple.

Question 20

Je veux montrer par récurrence l’assertion H_n: 2ⁿ> 2n − 1, pour tout entier n assez grand.

Quelle étape d’initialisation est valable ?

Je commence à n= 0.

Question 21

Je veux montrer par récurrence l’assertion H_n: 2ⁿ> 2n − 1, pour tout entier n assez grand.

Pour l’étape d’hérédité je suppose H_nvraie, quelle(s) inégalité(s) dois-je maintenant démon- trer ?

(10)

²ⁿ⁺¹> 2n + 1

²ⁿ> 2n − 1

²ⁿ> 2(n + 1) − 1

²ⁿ+ 1 > 2(n + 1) − 1

Question 22

Chercher un contre-exemple à une assertion du type "∀x ∈ E l’assertion P(x) est vraie"

revient à prouver l’assertion :

^{∃!x ∈ E} l’assertion P(x) est fausse.

^{∃x ∈ E} l’assertion P(x) est fausse.

^{∀x /}^{∈ E} l’assertion P(x) est fausse.

^{∀x ∈ E} l’assertion P(x) est fausse.

1.5 Raisonnement | Moyen | 100.03, 100.04

Question 23

J’effectue le raisonnement suivant avec deux fonctions f , g : R → R.

∀x ∈ R f(x) × g(x) = 0

=⇒ ∀x ∈ R f(x) = 0 ou g(x) = 0

=⇒ ∀x ∈ R f (x) = 0

ou ∀x ∈ R g(x) = 0

Ce raisonnement est valide.

Ce raisonnement est faux car la première implication est fausse.

Ce raisonnement est faux car la seconde implication est fausse.

Ce raisonnement est faux car la première et la seconde implication sont fausses.

Question 24

Je souhaite montrer par récurrence une certaine assertion H_n, pour tout entier n ¾ 0. Quels sont les débuts valables pour la rédaction de l’étape d’hérédité ?

Je suppose H_n vraie pour tout n ¾ 0, et je montre que Hn+1 est vraie.

Je suppose H_n−1vraie pour tout n ¾ 1, et je montre que Hn est vraie.

Je fixe n ¾ 0, je suppose Hn vraie, et je montre que H_n+1est vraie.

Je fixe n ¾ 0 et je montre que Hn+1est vraie.

(11)

Question 25

Je veux montrer que e^x > x pour tout x réel avec x ¾ 1. L’initialisation est vraie pour x = 1, car e¹= 2, 718 . . . > 1. Pour l’hérédité, je suppose e^x > x et je calcule :

e^x+1= e^x× e > x × e ¾ x × 2 ¾ x + 1.

Je conclus par le principe de récurrence. Pour quelles raisons cette preuve n’est pas valide ?

Car il faudrait commencer l’initialisation à x = 0.

Car x est un réel.

Car l’inégalité e^x > x est fausse pour x ¶ 0.

Car la suite d’inégalités est fausse.

Question 26

Pour montrer que l’assertion "∀n ∈ N n² > 3n − 1" est fausse, quels sont les arguments valables ?

L’assertion est fausse, car pour n= 0 l’inégalité est fausse.

L’assertion est fausse, car pour n= 1 et n = 2 l’inégalité est fausse.

1.6 Raisonnement | Difficile | 100.03, 100.04

Question 27

Le raisonnement par contraposée est basé sur le fait que "P =⇒ Q" est équivalent à :

"non(P) =⇒ non(Q)".

"non(Q) =⇒ non(P)".

"non(P) ou Q".

"P ou non(Q)".

Question 28

Par quelle phrase puis-je remplacer la proposition logique "P⇐= Q" ?

"P si Q"

"P seulement si Q"

"Q est une condition nécessaire pour obtenir P"

"Q est une condition suffisante pour obtenir P"

Question 29

(12)

La négation de "P =⇒ Q" est "non(Q) ou P"

La réciproque de "P =⇒ Q" est "Q =⇒ P"

La contraposée de "P =⇒ Q" est "non(P) =⇒ non(Q)"

L’assertion "P =⇒ Q" est équivalente à "non(P) ou non(Q)"

Question 30

Je veux montrer que p

13 /∈ Q par un raisonnement par l’absurde. Quel schéma de raison- nement est adapté ?

Je suppose quep

13 est rationnel et je cherche une contradiction.

Je suppose quep

13 est irrationnel et je cherche une contradiction.

^{J’écris 13}⁼q^p (avec p, q entiers) et je cherche une contradiction.

^J’écris^p¹³⁼ ^pq (avec p, q entiers) et je cherche une contradiction.

Ensembles, applications

Arnaud Bodin, Abdellah Hanani, Mohamed Mzari

2 Ensembles, applications | 100, 101, 102

2.1 Ensembles, applications | Facile | 100.02, 101.01, 102.01, 102.02

Question 31

Soit A= {x ∈ R | (x + 8)²= 9²}. Sous quelle forme peut-on encore écrire l’ensemble A ?

^A^{= {1}}

^A^{= ∅}

^A^{= {−17}}

^A^{= {1, −17}}

Question 32

Soit E = {a, b, c}. Quelle écriture est correcte ?

^{{a} ∈ E}

^a^{⊂ E}

^a^{∈ E}

(13)

^{{a, b} ∈ E}

Question 33

Soit A= {1, 2}, B = {{1}, {2}} et C = {{1}, {1, 2}}. Cochez la bonne réponse :

^A^{= B}

^A^{⊂ B}

^A^{∈ C}

^A^{⊂ C}

Question 34

Soit A= [1, 3] et B = [2, 4]. Quelle est l’intersection de A et B ?

^A^{∩ B = ∅}

^A∩ B = [2, 3]

^A∩ B = [1, 4]

^A^{∩ B = A}

Question 35

Soit A= [−1, 3] et B = [0, 4]. Cochez la bonne réponse :

^A∪ B = ∅

^A∪ B = [0, 3]

^A∪ B = [−1, 0]

^A∪ B = [−1, 4]

Question 36

Soit A= {a, b, c} et B = {1, 2}. Cochez la bonne réponse :

{a, 1} ∈ A × B

{(a, 1)} ∈ A × B

(a, 1) ∈ A × B

{a, 1} ⊂ A × B

Question 37

On désigne par C^k_n le nombre de choix de k éléments parmi n. Combien fait

100

X

k=0

(−1)^kC^k₁₀₀?

(14)

¹⁰⁰

⁰

¹⁰¹

⁵⁰⁰⁰

Question 38

On désigne par C^k_n le nombre de choix de k éléments parmi n. Combien fait

10

X

k=0

C₁₀^k ?

¹⁰

¹⁰⁰

¹⁰²⁴

⁵⁰

Question 39

On considère l’application f :{1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4} définie par f(1) = 2, f (2) = 3, f (3) = 4, f (4) = 2.

Quelle est la bonne réponse ?

^f⁻¹({2}) = {1}

^f⁻¹({2}) = {3}

^f⁻¹({2}) = {4}

^f⁻¹({2}) = {1, 4}

Question 40

On considère l’application f : N → N définie par

∀n ∈ N, f (n) = n + 1.

^f est surjective et non injective.

^f est injective et non surjective.

^f est bijective.

^f n’est ni injective ni surjective.

(15)

2.2 Ensembles, applications | Moyen | 100.02, 101.01, 102.02, 102.02

Question 41

Soit A et B deux ensembles. L’écriture A B signifie que A est inclus dans B et que A 6= B.

On suppose que A∩ B = A ∪ B. Que peut-on dire de A et B ?

^A^B

^B^A

^A^{6= B}

^A^{= B}

Question 42

Soit A une partie d’un ensemble E telle que A6= E. On note A le complémentaire de A dans E. Quelles sont les bonnes réponses ?

^A^{∩ A = E}

^A^{∩ A = ∅}

^A^{∪ A = E}

^A∪ A= A

Question 43

Soient A, B deux parties d’un ensemble E. On note A le complémentaire de A dans E. Quelle est la bonne réponse ?

^A∪ B = A ∪ B

^A∪ B = A ∩ B

^A∪ B = A ∪ B

Question 44

Soient A, B deux parties d’un ensemble E. On note A le complémentaire de A dans E. Quelle est la bonne réponse ?

^A∩ B = A ∩ B

^A∩ B = A ∪ B

^A∩ B = A ∩ B

Question 45

Pour tout n ∈ N^∗, on pose E_n = {1, 2, . . . , n}. On note P (En) l’ensemble des parties de En. Quelles sont les bonnes réponses ?

(16)

^{P (E}2) = {{1}, {2}}

^{P (E}2) = {∅, {1}, {2}, E2}

^{Card(P (E}ⁿ^{)) = n}

^Card^{(P (E}n)) = 2ⁿ

Question 46

On considère l’application f : R → R définie par

∀x ∈ R, f (x) = x²+ 1.

^f^{(R) = R}

^f(R) = [0, +∞[

^f(R) =]1, +∞[

^f(R) = [1, +∞[

Question 47

∀x ∈ R, f (x) = x²+ 1.

Quelles sont les bonnes réponses ?

^f⁻¹([1, 5]) = [−2, 2]

^f⁻¹([0, 5]) = [−2, 2]

^f⁻¹([1, 5]) = [0, 2]

^f⁻¹([0, 5]) = [0, 2]

Question 48

∀x ∈ R, f (x) = cos(πx).

Quelles sont les bonnes réponses ?

^f({0, 2}) = {1}

^f({0, 2}) = {0}

^f([0, 2]) = [1, 1]

^f([0, 2]) = [−1, 1]

(17)

Question 49

On considère l’application f : R × R → R définie par f(x, y) = x²+ y². Quelles sont les bonnes réponses ?

^f⁻¹({0}) = {(0, 0)}

^f⁻¹({1}) = {(1, 0)}

^f⁻¹({0}) = {(0, 1)}

^f⁻¹({1}) est le cercle de centre (0, 0) et de rayon 1

Question 50

On considère l’application f : R \ {2} → R \ {1} définie par

∀x ∈ R \ {2}, f (x) = x+ 1 x− 2. Quelle est la bonne réponse ?

^f n’est pas bijective.

^f est bijective et f⁻¹(x) = x− 2 x+ 1.

^f est bijective et f⁻¹(x) = 2x+ 1 x− 1 .

^f est bijective et f⁻¹(x) = −x + 1

−x − 2.

2.3 Ensembles, applications | Difficile | 100.02, 101.01, 102.01, 102.02

Question 51

Soit A= {(x, y) ∈ R²| 2x − y = 1} et B = {(t + 1, 2t + 1) | t ∈ R}. Que peut-on dire de A et B?

^A^B

^B^A

^A^{6= B}

^A^{= B}

Question 52

Soient E et F deux ensembles non vides et f une application de E dans F . Soient A, B deux sous-ensembles de E. Quelles sont les bonnes réponses ?

^f(A ∪ B) = f (A) ∪ f (B)

^f(A ∪ B) f (A) ∪ f (B)

(18)

^f(A ∩ B) = f (A) ∩ f (B)

^f(A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B)

Question 53

Soient E et F deux ensembles non vides et f une application de E dans F . Soit A un sous- ensemble de E. Quelles sont les bonnes réponses ?

^A^{= f}⁻¹^{(f (A))}

^A^{⊂ f}⁻¹^{(f (A))}

^f⁻¹(f (A)) ⊂ A

^f⁻¹(f (A)) = E \ A

Question 54

Soient E et F deux ensembles non vides et f une application de E dans F . Soit B un sous- ensemble de F . Quelles sont les bonnes réponses ?

^B^{= f (f}⁻¹^(B))

^B^{⊂ f ( f}⁻¹^(B))

^f^(f⁻¹^{(B)) ⊂ B}

^f^(f⁻¹(B)) = F \ B

Question 55

Soit E un ensemble et A⊂ E avec A 6= E. Comment choisir X ⊂ E de sorte que A∩ X = A et A ∪ X = E ?

^X ^{= A}

^X ^{= E}

^X ^{= ∅}

^X n’existe pas

Question 56

Soit E un ensemble et A⊂ E avec A 6= E. On note A le complémentaire de A dans E. Comment choisir X ⊂ E de sorte que

A∩ X = ∅ et A ∪ X = E ?

^X ^{= A}

^X ^{= E}

^X ^{= ∅}

(19)

^X ^{= A}

Question 57

Soit E un ensemble à n éléments et a ∈ E. On note Pa(E) l’ensemble des parties de E qui contiennent a. Quel est le cardinal dePa(E) ?

^Card^(Pa(E)) = n − 1

^Card^(Pa(E)) = n

^Card^(Pa(E)) = 2ⁿ⁻¹

^Card^(Pa(E)) = 2ⁿ

Question 58

On note C_n^kle nombre de choix de k éléments parmi n. Combien fait

100

X

k=0

(−1)^k2^−kC₁₀₀^k ?

⁰

²⁻¹⁰⁰

²¹⁰⁰

¹⁰⁰

Question 59

Soit E un ensemble à n éléments et A ⊂ E une partie à p < n éléments. On note H (E) l’ensemble des parties de E qui contiennent un et un seul élément de A. Quel est le cardinal deH (E) ?

Card(H (E)) = p2ⁿ^−p

Card(H (E)) = p

Card(H (E)) = p2^p

Card(H (E)) = p2ⁿ

Question 60

Soit f :[−1, 1] → [−1, 1] l’application définie par

∀x ∈ [−1, 1], f (x) = 2x 1+ x². Quelle sont les bonnes réponses ?

^f est injective mais non surjective.

^f est surjective mais non injective.

^f n’est ni injective ni surjective.

(20)

^f est bijective et f⁻¹(x) = x 1+p

1− x².

Polynômes

Arnaud Bodin, Abdellah Hanani, Mohamed Mzari

3 Polynômes – Fractions rationnelles | 105

3.1 Polynômes | Facile | 105.05

Question 61

Soit P(X ) = 2X⁵+ 3X²+ X et Q(X ) = 3X²− 2X + 3. Quelles sont les assertions vraies concernant le polynôme produit P(X ) × Q(X ) ?

Le coefficient dominant est 5.

Le coefficient du monôme X³ est−3.

Le coefficient du terme constant est 3.

Le produit est la somme de 7 monômes ayant un coefficient non nuls.

Question 62

Soit P(X ) = X³− 3X²+ 2 et Q(X ) = X³− X + 1. Quelles sont les assertions vraies ?

Le polynôme P(X ) × Q(X ) est de degré 9.

Le coefficient du monôme X² dans le produit P(X ) × Q(X ) est 3.

Le polynôme P(X ) + Q(X ) est de degré 3.

Le polynôme P(X ) − Q(X ) est de degré 3.

Question 63

Soient P(X ) et Q(X ) deux polynômes unitaires de degré n ¾ 1. Quelles sont les assertions vraies ?

^P+ Q est un polynôme de degré n.

^P− Q est un polynôme de degré n.

^P× Q est un polynôme de degré n + n = 2n.

^P/Q est un polynôme de degré n − n = 0.

(21)

3.2 Polynômes | Moyen | 105.05

Question 64

Soit P un polynôme de degré ¾ 2. Quelles sont les assertions vraies, quel que soit le poly- nôme P ?

^deg(P(X ) × (X²− X + 1)) = deg P(X ) + 2

^deg(P(X ) + (X²− X + 1)) = deg P(X )

^{deg(P(X )}²) = (deg P(X ))²

^deg(P(X²)) = 2 deg P(X )

Question 65

Soit P(X ) = Pⁿ_k=0a_kX^k. On associe le polynôme dérivé : P⁰(X ) = Pⁿ_k=1ka_kX^k−1.

Le polynôme dérivé de P(X ) = X⁵− 2X²+ 1 est P⁰(X ) = 5X⁴− 2X .

Le seul polynôme qui vérifie P⁰(X ) = 0 est P(X ) = 1.

^{Si P}⁰(X ) est de degré 7, alors P(X ) est de degré 8.

Si le coefficient constant de P est nul, alors c’est aussi le cas pour P⁰.

3.3 Polynômes | Difficile | 105.05

Question 66

Soit P(X ) = Xⁿ+ a_n−1Xⁿ⁻¹+ · · · + a1X + a0 un polynôme de R[X ] de degré n ¾ 1. À ce polynôme P on associe un nouveau polynôme Q, défini par Q(X ) = P(X − ^aⁿ⁻¹_n ).

^{Si P}^{(X ) = X}²+ 3X + 1 alors Q(X ) = X²− 2X .

^{Si P}^{(X ) = X}³^{− 3X}²+ 2 alors Q(X ) = X³− 3X .

Le coefficient constant du polynôme Q est toujours nul.

Le coefficient du monôme Xⁿ⁻¹de Q est toujours nul.

Question 67

Soit P(X ) = Pⁿ_k₌₀a_kX^k. On associe le polynôme dérivé : P⁰(X ) = Pⁿ_k₌₁ka_kX^k−1. Quelles sont les assertions vraies ?

Si P est de degré n ¾ 1 alors P⁰ est de degré n− 1.

^{Si P}⁰^{(X ) = nX}ⁿ⁻¹ ^{alors P}^{(X ) = X}ⁿ^.

^{Si P}⁰= P alors P = 0.

^{Si P}⁰^{− Q}⁰= 0 alors P − Q = 0.

(22)

Question 68

Soit A(X ) = Pⁿ_i=0a_iXⁱ. Soit B(X ) = P^m_j=0b_jX^j. Soit C(X ) = A(X ) × B(X ) = P^m+n_k=0 c_kX^k. Quelles sont les assertions vraies ?

^c^k^{= a}^k^b^k

^ck= P_i_+j=ka_ib_j

^ck= P^k_i₌₀a_ib_i

^ck= P^k_i=0a_ib_k−i

3.4 Arithmétique des polynômes | Facile | 105.01, 105.02

Question 69

Soient A, B deux polynômes, avec B non nul. Soit A= B × Q + R la division euclidienne de Apar B.

Un tel Q existe toujours.

S’il existe, Q est unique.

On a toujours deg Q ¶ deg A.

On a toujours deg Q ¶ deg B.

Question 70

Soient A, B deux polynômes, avec B non nul. Soit A= B × Q + R la division euclidienne de Apar B.

Un tel R existe toujours.

S’il existe, R est unique.

On a toujours deg R< deg A (ou bien R est nul).

On a toujours deg R< deg B (ou bien R est nul).

Question 71

Soient A(X ) = 2X⁴+ 3X³− 8X²− 2X + 1 et B(X ) = X²+ 3X + 1. Soit A = BQ + R la division euclidienne de A par B.

Le coefficient du monôme X² de Q est 1.

Le coefficient du monôme X de Q est 3.

Le coefficient du monôme X de R est 2.

Le coefficient constant de R est 2.

(23)

3.5 Arithmétique des polynômes | Moyen | 105.01, 105.02

Question 72

Soient A(X ) = X⁶− 7X⁵+ 10X⁴+ 5X³− 23X²+ 5 et B(X ) = X³− 5X²+ 1. Soit A = BQ + R la division euclidienne de A par B.

Le coefficient du monôme X² de Q est 0.

Le coefficient du monôme X de Q est 0.

Le coefficient du monôme X de R est−1.

Le coefficient constant de R est 1.

Question 73

Soient A(X ) = X⁴− 2X³− 4X²+ 2X + 3 et B(X ) = X⁴− 2X³− 3X² des polynômes de R[X ].

Notons D le pgcd de A et B. Quelles sont les affirmations vraies ?

^X− 1 divise D.

^X+ 1 divise D.

^D(X ) = (X − 3)(X + 1).

^D(X ) = (X − 3)(X + 1)².

Question 74

Quelles sont les affirmations vraies pour des polynômes de R[X ] ?

^{Le pgcd de}^{(X − 1)}²^{(X − 3)}³^(X²^{+ X + 1)}³ ^et^{(X − 1)}²(X − 2)(X − 3)(X²+ X + 1)² est (X − 1)²(X − 3)(X²+ X + 1).

^{Le ppcm de}^{(X − 1)}²^{(X − 3)}³^(X²^{+ X + 1)}³ ^et^{(X − 1)}²(X − 2)(X − 3)(X²+ X + 1)² est (X − 1)²(X − 2)(X − 3)³(X²+ X + 1)².

^{Le pgcd de}^{(X − 1)}²^(X²^{− 1)}³ ^et^{(X − 1)}⁴^{(X + 1)}⁵ ^est^{(X − 1)}⁴^{(X + 1)}³^.

^{Le ppcm de}^{(X − 1)}²^(X²− 1)³ et(X − 1)⁴(X + 1)⁵ est(X − 1)⁵(X + 1)⁵.

3.6 Arithmétique des polynômes | Difficile | 105.01, 105.02

Question 75

Soit A un polynôme de degré n ¾ 1. Soit B un polynôme de degré m ¾ 1, avec m ¶ n. Soit A = B × Q + R la division euclidienne de A par B. On note q = degQ et r = deg R (avec r= −∞ si R = 0). Quelles sont les assertions vraies (quelque soient A et B) ?

^q^{= n − m}

^r^{< m}

^r= 0 =⇒ A divise B.

ⁿ^{= mq + r}

(24)

Question 76

Soit n ¾ 2. Soit A(X ) = X²ⁿ+ X²ⁿ⁻². Soit B(X ) = Xⁿ+ Xⁿ⁻¹. Soit A= BQ + R la division euclidienne de A par B.

Le coefficient de Xⁿ de Q est 1.

Le coefficient de Xⁿ⁻¹de Q est 1.

Le coefficient de Xⁿ⁻²de Q est 2.

^Rest constitué d’un seul monôme.

Question 77

Soit A(X ) = X⁴− X². Soit B(X ) = X²+ X − 2. Soit D le pgcd de A et B dans R[X ].

^D^{(X ) = 1}

Il existe U, V ∈ R[X ] tels que AU + BV = X − 1.

Il existe u∈ R et V ∈ R[X ] tels que Au + BV = X − 1.

Il existe U ∈ R[X ] et v ∈ R tels que AU + Bv = X − 1.

3.7 Racines, factorisation | Facile | 105.03

Question 78

Soit P ∈ R[X ] un polynôme de degré 8. Quelles sont les affirmations vraies ?

^P admet exactement 8 racines réelles (comptées avec multiplicité).

^P admet au moins une racine réelle.

^P admet au plus 8 racines réelles (comptées avec multiplicité).

^P admet au moins 8 racines réelles (comptées avec multiplicité).

Question 79

Soit P(X ) = X⁷− 5X⁵− 5X⁴+ 4X³+ 13X²+ 12X + 4.

−1 est une racine de P.

0 est une racine de P.

Question 80

Quelles sont les affirmations vraies ?

^2X²+ 3X + 1 est irréductible sur Q.

^2X²− 3X + 2 est irréductible sur R.

^2X²− X + 3 est irréductible sur C.

^X³^{+ X}²+ X + 4 est irréductible sur R.

(25)

3.8 Racines, factorisation | Moyen | 105.03

Question 81

Soit P ∈ R[X ] un polynôme de degré 2n + 1 (n ∈ N^∗). Quelles sont les affirmations vraies ?

^P peut admettre une racine complexe, qui ne soit pas réelle.

^P admet au moins une racines réelle.

^P admet au moins deux racines réelles (comptées avec multiplicités).

^P peut avoir 2n+ 1 racines réelles distinctes.

Question 82

Soit P(X ) = X⁶+ 4X⁵+ X⁴− 10X³− 4X²+ 8X .

−1 est une racine double.

0 est une racine double.

1 est une racine double.

−2 est une racine double.

3.9 Racines, factorisation | Difficile | 105.03

Question 83

Soit P ∈ Q[X ] un polynôme de degré n.

^P peut avoir des racines dans R, mais pas dans Q.

^{Si z}∈ C \ R est une racine de P, alors ¯z aussi.

Les facteurs irréductibles de P sur Q sont de degré 1 ou 2.

Les racines réelles de P sont de la formeα + βpγ, α, β, γ ∈ Q.

Question 84

Soit P ∈ K[X ] un polynôme de degré n ¾ 1. Quelles sont les affirmations vraies ?

^aracine de P ⇐⇒ X − a divise P.

^aracine de P de multiplicité ¾ k ⇐⇒ (X − a)^k divise P.

^aracine de P de multiplicité ¾ k ⇐⇒ P(a) = 0, P⁰(a) = 0, ..., P^(k)(a) = 0.

La somme des multiplicités des racines est ¶ n.

3.10 Fractions rationnelles | Facile | 105.04

Question 85

Quelles sont les affirmations vraies ?

(26)

Les éléments simples sur C sont de la forme _X^a_−α, a,α ∈ C.

Les éléments simples sur C sont de la forme _{(X −α)}^a ^k, a,α ∈ R, k ∈ N^∗.

Les éléments simples sur R peuvent être de la forme _{(X −α)}^a k, a,α ∈ R.

Les éléments simples sur R peuvent être de la forme ^aX_X−α^+b, a, b,α ∈ R.

Question 86

Soient P(X ) = X − 1, Q(X ) = (X + 1)²(X²+ X + 1). On décompose la fraction F = _Q^P sur R.

La partie polynomiale est nulle.

Il peut y avoir un élément simple _X^a₋₁.

Il peut y avoir un élément simple _X+1^a mais pas _{(X +1)}^a 2.

Il peut y avoir un élément simple _X^aX2+X +1^+b mais pas _(X2^aX+X +1)^+b ².

3.11 Fractions rationnelles | Moyen | 105.04

Question 87

Soit _{Q(X )}^P^{(X )} une fraction rationnelle. On note E(X ) sa partie polynomiale (appelée aussi partie entière).

^{Si deg P}< degQ alors E(X ) = 0.

Si deg P ¾ deg Q alors deg E(X ) = deg P − deg Q.

^{Si P}^{(X ) = X}³+ X + 2 et Q(X ) = X²− 1 alors E(X ) = X + 1.

^{Si P}^{(X ) = X}⁵+ X − 2 et Q(X ) = X²− 1 alors E(X ) = X³+ X .

Question 88

Soit P(X ) = 3X et Q(X ) = (X − 2)(X − 1)²(X²− X + 1). On écrit P(X )

Q(X ) = a

X − 2+ b

X− 1 + c

(X − 1)² + d X+ e X²− X + 1. Quelles sont les affirmations vraies ?

En multipliant par X − 2, puis en évaluant en X = 2, j’obtiens a = 1.

En multipliant par(X − 1)², puis en évaluant en X = 1, j’obtiens c = −3.

En multipliant par X , puis en faisant tendre X → +∞, j’obtiens la relation a+b+d = 0.

En évaluant en X = 0, j’obtiens la relation a + b + c + e = 0.

(27)

3.12 Fractions rationnelles | Difficile | 105.04

Question 89 Soit F(X ) = 1

(X²+ 1)X³. On écrit F(X ) = a

X + b X² + c

X³ +d X+ e X²+ 1. Quelles sont les affirmations vraies ?

^c^{= 1}

^b^{= 1}

^a^{= 1}

^e^{= 0}

Question 90

Soit F(X ) = X− 1

X(X²+ 1)². On écrit F(X ) = a

X + bX + c

X²+ 1 + d X+ e (X²+ 1)². Quelles sont les affirmations vraies ?

^a^{= −1}

^d= 0 et e = 0

^b= 0 et c = 0

^b= 0 et d = 0

Nombres complexes

Arnaud Bodin, Abdellah Hanani, Mohamed Mzari

4 Nombres complexes | 104

4.1 Écritures algébrique et géométrique | Facile | 104.01

Question 91

Soit z= (1 − 2i)². Quelles sont les assertions vraies ?

^z^{= 5 − 4i}

(28)

^z^{= −3 − 4i}

Le conjugué de z est : z= 3 + 4i.

Le module de z est 5.

Question 92

Soit z=₁_−iⁱ⁺¹^p₃. Quelles sont les assertions vraies ?

^{|z| =} ^p¹₂

^zz⁼¹2

Un argument de z est : ^7π₁₂.

Le conjugué de z est : z= ₁_+iⁱ⁻¹^p₃.

Question 93

Soit z un nombre complexe de module 2 et d’argument ^π₄. L’écriture algébrique de z est :

^z⁼^p²^{− i}^p²

^z⁼^p²^{+ i}^p²

^z^{= 2 + 2i}

^z^{= 2 − 2i}

Question 94

Soit θ ∈ R. e^iθ ∈ R si et seulement si :

^{θ = 0}

^{θ = 2π}

θ = 2kπ, k ∈ Z

θ = kπ, k ∈ Z

Question 95

Soit θ un réel. Quelles sont les assertions vraies ?

^cos²^{θ =} ¹^+cos(2θ)2

^cos²^{θ =} ¹^{−cos(2θ )}2

^sin²^{θ =} ^{1−cos(2θ )}2

^sin²^{θ =} ¹^+cos(2θ)2

Question 96

(29)

^cos(2θ) = 2 cos θ sin θ

^cos^{(2θ) = cos}²^{θ − sin}²^θ

^sin(2θ) = 2 cos θ sin θ

^sin^{(2θ) = cos}²^{θ − sin}²^θ

4.2 Écritures algébrique et géométrique | Moyen | 104.01

Question 97

Soit z=_(1+i⁽¹⁻ⁱ⁾^p₃¹⁰₎4. Quelles sont les assertions vraies ?

^{|z| = 2}

^{|z| =} ¹2

^{arg z}⁼ ^π6[2π]

^{arg z}^{= −}^π6 [2π]

Question 98

Soit z=_cos^cos_{φ−i sin φ}^{θ+i sin θ},θ, φ ∈ R. Quelles sont les assertions vraies ?

^{|z| = 2}

^{arg z}= θ + φ [2π]

^z= cos(θ + φ) + i sin(θ + φ)

^{|z| = 1}

Question 99

Soit z₁ et z₂ deux nombres complexes. Alors,|z1+ z2|²+ |z1− z2|² est égal à :

^|z¹^|²^{+ |z}²^|²

^|z¹^|²^{− |z}²^|²

²^|z¹^|²^{+ 2|z}²^|²

²^|z¹^|²^{− 2|z}²^|²

Question 100

^cos³^{θ =} ¹8(cos(3θ) + 3 cos θ)

^cos³^{θ =} ¹4(cos(3θ) + 3 cos θ)

^sin³^{θ =} ¹4(3 sin θ − sin(3θ))

^sin³^{θ =} ¹4(3 sin θ + sin(3θ))

(30)

Question 101

^cos^{(5θ) = cos}⁵^{θ − 10 cos}³^{θ sin}²θ + 5 cos θ sin⁴θ

cos(5θ) = cos⁵θ + 10 cos³θ sin²θ + 5 cos θ sin⁴θ

sin(5θ) = 5 cos⁴θ sin θ + 10 cos²θ sin³θ + sin⁵θ

^sin(5θ) = 5 cos⁴θ sin θ − 10 cos²θ sin³θ + sin⁵θ

4.3 Écritures algébrique et géométrique | Difficile | 104.01

Question 102

Par définition, si x, y∈ R, e^x^{+i y} = e^x· e^{i y}= e^x(cos y + i sin y).

Soit z= e^e^iθ, oùθ est un réel. Quelles sont les assertions vraies ?

^{|z| = 1}

^{|z| = e}^cos^θ

^{arg z}^{= θ [2π]}

^{arg z}= sin θ [2π]

Question 103

Soit z= 1 + e^iθ,θ ∈] − π, π[. Quelles sont les assertions vraies ?

^{|z| = 2}

|z| = 2 cos(^θ₂)

^{arg z}⁼ ^θ2 [2π]

^{arg z}^{= θ [2π]}

Question 104

Soit z= eⁱ^θ + eⁱ^φ,θ, φ ∈ R tels que −π < θ − φ < π. Quelles sont les assertions vraies ?

^{|z| = 2}

|z| = 2 cos(^θ−φ₂ )

^{arg z}= θ + φ [2π]

^{arg z}⁼ ^θ+φ2 [2π]

Question 105

Soit x ∈ R\{2kπ, k ∈ Z}, n ∈ N^∗, S₁= Pⁿ_k₌₀cos(kx) et S2 = Pⁿ_k₌₀sin(kx). Quelles sont les assertions vraies ?

^S1 = cos(^nx₂ ) ·^sin_sin⁽ⁿ⁺¹₍²^x^)x

2)

QCM DE MATHÉMATIQUES